% The following text is in alternative encoding
% It has been processed using LaTeX 2e with compiled-in support
% of the bi-lingual environment. You might have to add a preamble
% reflecting your LaTeX russification.
%
% Changing documentclass, please pay attention to the comments below.
% All the requarements MUST be obeyed (unless you want to deal with the
% author :)!
%
% Questions, Comments: feel free to e-mail to alekso@math.uu.se
%
\documentclass[11pt]{amsart}
%%
\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
\addtolength{\evensidemargin}{-20mm}
\addtolength{\textwidth}{40mm}
\addtolength{\textheight}{28mm}
\addtolength{\topmargin}{-15mm}

% The following package has been used for commutative diagrams. This
% is not an author preference and alternative way may be employed as
% well. However, author's approval of the final result is to be asked
% in the case of noticeable change of the document appearance.
% The diagram package is available at
% CTAN:macros/generic/diagrams/taylor/
%
\usepackage[height=2em]{diagrams}

% The following is here to "fix" \title and \author fields in amsart.cls
% You may not need it in other classes.
%
\def\uppercasenonmath#1{\relax}

\newcommand\C{{\mathbb C}} 		%complex numbers
\newcommand\amp{{\scriptstyle\,\&\,}}

\def\refname{���஢����� �������}

% The body text of the following enviroments should be in italic
%
\theoremstyle{plain}%default
\newtheorem{Theorem}{���६�}
\newtheorem*{Proposition}{�।�������}

% The body text of the following enviroments should be in roman
%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{Definition}{��।������}
\newtheorem*{Example}{�ਬ��} 
\newtheorem*{Remark}{����砭��}
\newtheorem*{Proof}{������⥫��⢮}

% You might have to engage float technique for some of the commutative
% diagrams in the paper. Please contact the author or his authorized
% representative in the case any structural changes are involved.

\begin{document}

% ������饥 ����饭�� ����� �� ������������ � ��㣨� classes, ��
% "������" ��������� ������ ᮤ�ঠ�� �������� ��� ᭮�� �� \thanks
% (����� �������� �� ��� � ���� \thanks ��ࠬ���!)).
%
\title[����� �ᮡ������ �ਢ��]{����� �ᮡ������ �ਢ�� $^*$}

\author{�.�.�୮��}

\dedicatory{����頥��� �.�.��������}

\thanks{$^*$ ����筮 �����ঠ�� ����, �࠭� 96-01-01104. ���� �������७
�������� ���⠣-���䫥�, ��� �� ࠡ�� �뫠 ����ᠭ�, ��
�����প�, �.��\"{�}���� � �.����� �� ���㦤���� � 㪠����� ��������,
�.��� � �.������\"{�}�� --- �� ������ � ���⠭�� ⥪��}

\address{\newline
��⥬���᪨� ������� ��.�.�.�⥪����\newline
���ᨩ᪮� �������� ���\newline
�\newline
CEREMADE, Universit\'e Paris-Dauphine}

\maketitle

\section{��������} %s1

��� \emph{�ᮡ�������� �ਢ��} ���� ���������� ��⮪ �������䭮��
�⮡ࠦ���� �������᭮� ��אַ� � �������᭮� ����࠭�⢮ � �ᮡ��
�窥 (��� �ந������� �⮡ࠦ���� ���頥��� � ���), ��ᬠ�ਢ����
� �筮���� �� ���������䨧�� ����࠭�⢠-��ࠧ�.

�ᮡ������� ���뢠���� \emph{���⮩}, �᫨ �� ������� �ᮡ������
�ਭ������� ����筮�� ������ ����ᮢ ���������⭮�� (�.�.~�� �����
���㫥�). ����� �ᮡ������ ���᪨� �ਢ�� �᪫�����஢���� 
�.���ᮬ � �.��䭨 �~\cite{B1}. 

�ᮡ������� ���뢠���� \emph{�⠡��쭮 ���⮩}, �᫨ ���
��⠥��� ���⮩ �� �������� ᮤ�ঠ饣� �ਢ�� ����࠭�⢠
� �� ����襥. �ਢ�, ����祭�� �� ������ ⠪��� �������ﬨ,
�㤥� ���뢠�� \emph{�⠡��쭮 ����������묨}.

���� �ਢ����� �����䨪��� ������ �ᮡ�����⥩ �ਢ��
� ����࠭�⢥ ��� �᫠ ����७�� � �筮���� �� �⠡��쭮�
���������⭮��.

����뢠����, ����� ���� �� �ᮡ������ �⮡ࠦ����, ���
������ ������ ��稭����� � 童��� �⥯��� ��� ��� ��, ���
����� ���
\[x = t^4,\quad y = t^6,\quad z_i = 0\quad(\mathrm{modd\ } {t^7}),\]
� ��\"{�} �ᮡ������ �ਤ�� ���� \emph{ᯮࠤ��᪨� �ਢ��},
ᯨ᮪ ������ �ਢ���� ����.

\emph{���� ��} ����� � ���� ����砥� ``��, �� �᪫�祭���
��᪮��筮-��஦\-���\-��� �ਢ��, ��ࠧ���� ������⢮ ��ࠧ��୮��
��᪮��筮��� � ����࠭�⢥ ��� �ਢ��''. \emph{��ࠧ��୮���} �����
� �����  ����砥� ``��ࠧ��୮��� � ����࠭�⢥ �冷� ��� ᢮�������
童��''.

��ࠧ��୮��� ������⢠ ��� �� ������ �ᮡ�����⥩ ��⪮� �ਢ��,
������ � $N$-��୮� ����࠭�⢥, ࠢ�� $6N-6$. �� ����砥�, ��
\emph{�� ����� �ᮡ������ �� ��������� �� �ਢ�� ⨯����}
\emph{$(6N-8)$-��ࠬ�����\-��� ᥬ���� �ਢ��, �� �⠭������
�����࠭��묨 ���묨 襢�����ﬨ, ����� �᫮ ��ࠬ��஢ ᥬ���⢠
���⨣���} $6N-7$. 

�� ����� �ᮡ������, ��� ������ ������ ��稭����� �
童��� �⥯��� $n$, ॠ�������� � ����࠭�⢥ �� ����� $n$
����७��. �� �ਤ�� ���� ᯮࠤ��᪨� �ਢ�� ���� �ॡ��
��⨬�୮�� ����࠭�⢠, ���� --- ��⨬�୮��, ������ ---
����\"{�}嬥୮��, �ਭ����� --- ��\"{�}嬥୮��, � ���� 㬥�����
�� ���᪮��.

� �����ࠨ�᪮� �窨 �७�� ��� ����� ��⮨� � �����䨪�樨
``����⨭����'' ��������� (����筮� ��ࠧ��୮�� � ������ �⥯�����
�冷� �� ����� ��६�����). �᭮��묨 �����㬥�⠬� ��᫥�������
����� \emph{�����㯯� �ᮡ������}, ��ࠧ������� ������⥫ﬨ
�⥯���� �������  童��� �室��� � ���������� �冷�
(�p.~\cite{B2,B3,B4}), �
\emph{ᯥ��ࠫ쭠� ��᫥����⥫쭮���} ���������த��� 䨫���樨,
�������� �ᯮ��㥬�� � ⥮ਨ ����᪨� �祪 �㭪権 (�.~\cite{B5}).

��� ����⢥���� 䨫���樨 � ��������� � ��������騥 ������
����������� ���쯮⥭��� �����, �易��� � ��襩 ��������ன,
��������� ���������, �� �����䨪��� ������ (� ��᫥ ������⢨�
���㫥�, � ���� �����뢭�� ����ਠ�⮢) ����⨭���� ��������� �����
���� ����祭� � ⥮�� ⨯� ⥮ਨ ���砭��. �� ���� � �� ��襫 �痢�
����祭��� �����䨪�樨 �� � ����� �� �������� ��� ����� �⮣� ⨯�
(� �����䨪�樥� ������ ������ ��, ������ ��⥣�਩ �������
����࠭��, ������ ����⨪ � �������� �஭⮢, �ࠢ�����
������࠭�����, ��㯯 ������, � �����䨪�樥� ������ ��஬�����
�㭪権 � � ��y���� ``$A$, $D$, $E$-�����䨪��ﬨ'').

�ᮡ�� ஫� �᫠ 6, ࠧ�࠭�稢��饣� ����� � �� �����
�ᮡ������, ���᪠�뢠�� ��\"{�} ��, �� �����-� ஫� �����
$E_6$, $E_7$, $E_8$  ��� �����. �� ���\"{�}ઠ --- � ᠬ��, 
����� ��।���� ⠭���� $7/6$ 㣫� ������� ���孥� �࠭��� 
������ ``���� ࠧ��୮�⥩'' �����~\cite{B6}.

� �����䨪�樨 ������ �ᮡ�����⥩ �ਢ�� ���� �ਢ��� ����⪠
����஥��� �����쭮� �����ࠨ�᪮� (���, ���� ᪠����,
�������᪮�) ᨬ������᪮� ������ਨ �� ����� �������樨
����権 ᪮��� ���ᮭ� � 㬭������ � ������ �㭪権 �� 䠧����
����࠭�⢥. � ������� �������� ᨬ������᪨� ᫥��⢨� ���ᠭ���
����� १���⮢ � ��㣮� ����.

\section{���᮪ �⠡��쭮 ������ � ���ࠦ������ �ᮡ�����⥩
�ਢ��} %s2

����������� �ਢ�� � $\C^N$, �������� ��ࠬ����᪨ �ࠢ����ﬨ
\[x_1=t^{a_1},\quad\ldots,\quad x_N=t^{a_N}\quad (a_1 < \cdots < a_N),\]
�㤥� ��������� ᨬ����� $(a_1,\ldots,a_N)$. �᫨ � ����� ��
��������� ����� ������ $t^{a_i}$ �⮨� ����� $t^a+t^b$, � �
ᨬ���� ������� $a_i$ ��������� �� $(a,b)$. ���ਬ��, ᨬ��� $(4,(6,7))$
����砥� ������ �ਢ�� $x_1=t^4$, $x_2=t^6+t^7$.

\begin{Theorem}\label{T1} %1
�⠡��쭮 ����� �ᮡ������ �ਢ�� �⠡��쭮
����������� �ᮡ������� ᫥���饣� ᯨ᪠ (����� �� �����):
\begin{enumerate}
\item ���� �� �ਢ� � ���㫥��� ������筮� ����� �鸞 ������;
\item ���� �� �ਢ� � �㫥��� ������筮� � ���㫥��� �㡨�᪮� 
����� �鸞 ������;
\item ���� �� �ਢ� � 6-����\"{�}� $(t^4,t^6,0,\ldots,0)\,$;
\item �ਤ��� ��� ᯮࠤ��᪨� �ਢ�, ᯨ᮪ ������
�ਢ���� ����.
\end{enumerate}
\end{Theorem}

\begin{Remark}
��᪮��筮-��஦����� �ਢ�, �᪫��\"{�}��� ᫮���� 
``���� ��'', ⮯������᪨ �� ������� (``��室�� �� ᥡ� ������'',
���, ᪠���, �ਢ�� � ᨬ����� $(2,6)$). ��� �ଠ����
�冷� � ��� ������� ����⢥���� �ਢ�� ��᪮��筮-��஦��������
��।������ ⮩ �� ��⥬�� ��᪮��筮�� �᫠ �ࠢ����� ��
�����樥��� �鸞 ������, �� � ��� ����������, �� 㦥 �� �����
�⮫� ���⮣� ⮯������᪮�� ���ᠭ��.
\end{Remark}

\subsection*{���᮪ ᯮࠤ��᪨� �ਢ��} 
��� ᯨ᮪ ��⮨� �� ��� ��⥩.	   
\begin{enumerate}
\item \textit{���� �ਢ�� � ��砫쭮� ����� ᨬ���� $(4, 5)$}:
\begin{diagram}
(4,5,6,7)^{3N}	\\
\uTo		\\	
(4,5,6)^{4N-3} &\lTo&  (4,5,7)^{4N-2}&\lTo&  
        (4,(5,7),11)^ {5N-4} &\lTo& (4,5,11)^{5N-3}		\\
&&&&	      \uTo           &    &       \uTo  		\\
&&&&   (4,(5,7))^{6N-6}    &\lTo&  (4, 5)^{6N-5}		\\
\end{diagram}
�� ���� ����뢠�� �ਢ�, ᨬ���� ������ ��稭����� �
$(4, 5)$. �� ⠪�� �ᮡ������ �����.				
				      
���孨� ������� ��������� ��ࠧ��୮��, � ��५�� ---
�ਬ몠���.	

\item \textit{��⭠���� �ਢ�� � ��砫쭮� ����� ᨬ���� $(4,7)$}:
\begin{diagram}
(4,7,9,10)^{5N-2}	\\
      \uTo		\\
(4,7,(9,10))^{6N-5}	&\lTo&(4,7,9)^{6N-4}	\\ 
       \uTo			      		\\
(4,(7,9),10,13)^{6N-4} 	&\lTo&(4,7,10,13)^{6N-3}	\\
      \uTo              & &	      \uTo		\\
(4,(7,9),10)^{7N-7}     &\lTo&(4,7,10)^{7N-6}		\\
      \uTo              &    &	      \uTo		\\
(4,(7,9),13)^{7N-6}     &\lTo&(4,7,13)^{7N-5}		\\
      \uTo              &   			\\
(4,(7,9),17)^{8N-8}	&\lTo&(4,(7,13),17)^{8N-7} &\lTo&(4,7,17)^{8N-6}\\
      \uTo       	&    &	      \uTo	   &    &	\uTo     \\
(4,(7,9))^{9N-10}       &\lTo&(4,(7,13))^{9N-9}    &\lTo&(4,7)^{9N-8}.\\
\end{diagram}
�� ���� ����뢠�� �ਢ�, ᨬ���� ������ ��稭����� �
$(4,7)$. �� ⠪�� �ᮡ������ �����.

\item \textit{�ਢ�� $(4,9,10,11)^{6N-3}$}. 

\item \textit{����� �ਢ�� � ��砫쭮� ����� ᨬ���� $(5)$}:
\begin{diagram}
(5,6,7,8,9)^{4N} &\lTo& (5,6,7,8)^{5N-4} &\lTo& (5,6,7,9)^{5N-3} \\
                                         &&&&		\uTo	\\
(5,7,8,9)^{6N-5} &\rTo& (5,7,8,9,11)^{5N-1} &\rTo& (5,6,8,9)^{5N-2}
\end{diagram}

\item \textit{�� �ਢ� � ��砫쭮� ����� ᨬ���� $(6)$}:
\begin{diagram}
(6,7,8,9,10,11)^{5N} &\lTo& (6,7,8,9,10)^{6N-5} &\lTo& (6,7,8,9,11)^{6N-4}
\end{diagram}
\end{enumerate}

\begin{Theorem} %2
��猪� �� ����� �ᮡ������� �ਢ�� ���� �ਭ�������
������ �� ��\"{�}� ���\-��\-��筮-��஦������ �।����� ����ᮢ ᥬ���� $1$,
$2$ � $3$ ⥮६� \ref{T1}, ���� �ਬ몠�� � ������ �� ᫥����� ��\"{�}� ����ᮢ
���ࠦ������ �ᮡ�����⥩:
\[\begin{array}{c}
(t^4+t^5+at^6, t^9, t^{10}, t^{15}),\\
(t^5, t^6+t^8+at^9,t^7),\\
(t^6,t^7+t^{10}+at^{11}, t^8+bt^{10}, t^9).
\end{array}\]
��ࠧ��୮�� ��� ��\"{�}� ����ᮢ ࠢ��, ᮮ⢥��⢥���, $7N-6$, $6N-6$, 
$7N-8$.
\end{Theorem}

� ��⭮��, ��ࠧ��୮��� ������⢠ �� ������ �ᮡ�����⥩ ��⪮�
�ਢ�� � $\C ^N$ ࠢ�� $6N-6$, �᫨ $N\geq 3$. �� ���\"{�}ઠ
��।���� ⠭���� 㣫� ������� $7/6$ �� ��᪮��筮�� ���孥� �࠭���
������ ���� ࠧ��୮�⥩ �����.

\section{�����䨪��� �ਢ�� � ���㫥��� 3-����\"{�}�} %s3

�� ⠪�� �ਢ�, �᪫��� ��᪮��筮-��஦�����, ����� �
�⠡��쭮 ����������� ���� ���᪨� �ਢ�, ���� �ਢ� ��嬥୮�� 
����࠭�⢠.

\begin{Theorem} %3
�ᮡ� �ਢ� � ���㫥��� 2-����\"{�}� (�᪫��� ��᪮��筮-��\-஦\-�����)
��ࠧ��� ���� ��᪮����� ��� $A_{2k}$ �⠡��쭮 ���᪨� �ਢ��:
\begin{diagram}
(2,3)^{N} &\lTo& (2,5)^{2N-1} &\lTo& \cdots &\lTo& 
(2,2k+1)^{kN-(k-1)} &\lTo& \cdots 
\end{diagram}
\end{Theorem}

�।������� ⥯���, �� �������� ���� �鸞 ������ �ᮡ��
�ਢ�� �㫥���, �� �㡨�᪠� --- �� �㫥���.

\begin{Theorem} %4
�ᮡ� �ਢ� � �㫥��� 2-����\"{�}� � ���㫥��� 3-����\"{�}�
(�᪫��� ��᪮��筮-��஦�����) ��ࠧ��� ��� ��\"{�}娭����� �ਨ
�ਢ��, �⠡��쭮 ������������ ᫥���騬 �ਢ� � ��\"{�}嬥୮�
����࠭�⢥:

\[\begin{array}{lcl}
E_{6k,p,i}  &=&(3,(3k+1,3k+2+3i),3k+2+3p)^{(2k+p)N-(2k+2p-2-i)}, \\
E_{6k+2,p,i}&=&(3,(3k+2,3k+4+3i),3k+4+3p)^{(2k+p+1)N-(2k+2p-1-i)},\\
\end{array}\]
��� $k\geq 1$, $0\leq p\leq k$, $0\leq i\leq{k-1}$.
\end{Theorem}

\begin{Remark}
�� �࠭���� ���祭��� �����ᮢ ��ଠ���� ��� ����� ������, �
������ ����� �����
\[\begin{array}{lcl}
E_{6k,k,i}    &=&(3,(3k+1,3k+2+3i))^{3kN-(4k-2-i)},	\\
E_{6k+2,k,i}  &=&(3,(3k+2,3k+4+3i))^{(3k+1)N-(4k-1-i)},	\\
E_{6k,p,p}    &=&(3,3k+1,3k+2+3p)^{(2k+p)N-(2k+p-2)},	\\
E_{6k+2,p,p}  &=&(3,3k+2,3k+4+3p)^{(2k+p+1)N-(2k+p-1)},	\\
E_{6k,k,k-1}  &=&(3,3k+1)^{3kN-(3k-1)},			\\
E_{6k+2,k,k-1}&=&(3,3k+2)^{(3k+1)N-3k}.
\end{array}\]
\end{Remark}

����� ���� �ਬ몠���
\begin{diagram}
E_{.,p,i} &\rTo& E_{.,p,i-1} &\rTo& E_{.,p-1,i-1}
\end{diagram}

��砫� ����娨 ��� �ᮡ�����⥩ $E$ ⠪���:
\begin{diagram}
(3,4,5)^{2N} &\lTo& (3,4)^{3N-2} &\lTo& (3,5,7)^{3N-1} &\lTo& (3,5)^{4N-3} \\
             &    &              &    &     \uTo	\\
 && && (3,7,8)^{4N-2} &\lTo& (3,(7,8),11)^{5N-4} &\lTo& \cdots \\  
 && &&        \uTo    &    &      \uTo \\
 && && (3,8,10)^{5N-3} &&   (3,7,11)^{5N-3} &\lTo& \cdots \\
 && &&        \uTo \\
 && &&        \vdots
\end{diagram}

\section{�����䨪��� �ਢ�� � 6-����\"{�}� $(t^4,t^6,\ldots)$} %s4

�� ⠪�� �ਢ�, �᪫��� ��᪮��筮 ��஦�����, �����.
\begin{Theorem} %5
�ਢ� � 6-����\"{�}� $(t^4, t^6, \ldots)$ (�� ��᪮��筮-��஦�����)
��ࠧ��� ᥬ� ������ࠬ����᪨� �਩:
\[\begin{array}{rll}
a_k=&\!\!(4,(6,2k+1))^{(5+k)N-(6+k)},\hfill 		&k\geq3;	\\
b_k=&\!\!(4,(6,2k+3),2k+11)^{(5+k)N-(5+k)}, 		&k\geq2;	\\
c_k=&\!\!(4,(6,2k+5),2k+9)^{(5+k)N-(4+k)}, 		&k\geq1;	\\
d_k=&\!\!(4,(6,2k+7),2k+9, 2k+11)^{(5+k)N-(3+k)}, 	&k\geq0;	\\
e_k=&\!\!(4,6,2k+9,2k+11)^{(5+k)N-(2+k)}, 		&k\geq{-1};	\\
f_k=&\!\!(4,6,2k+5,2k+7)^{(5+k)N-(5+k)},		&k\geq1;	\\
g_k=&\!\!(4,6,2k+7)^{(5+k)N-(4+k)}, 			&k\geq0.
\end{array}\]
�� ᥬ� �਩ �ਬ몠�� ��� � ���� ⠪:
\begin{diagram}[height=1.7em]
b_{k-1} &\lTo& c_{k-1} &\lTo& d_{k-1} &\lTo& e_{k-1}		\\
        &    &         &    & \uTo    &    & \uTo		\\  
        &    &         &    & f_k     &\lTo&  g_k               \\
\uTo    &    & \uTo    &    & \uTo    &    & \uTo  		\\
a_k     &\lTo& b_k     &\lTo& c_k     &\lTo& d_k    &\lTo& e_k	\\
        &    & \uTo    &    & \uTo    &    & \uTo   &    & \uTo	\\
        &    & \vdots  &    & \vdots  &    & \vdots &    & \vdots   
\end{diagram}
\end{Theorem}

��砫� ����娨 ��� �ᮡ�����⥩ ����� ���
\begin{diagram}[height=1.7em]
e_{-1}								\\
\uTo								\\
g_0								\\
\uTo								\\
d_0 &\lTo& e_0							\\
\uTo&    & \uTo							\\
f_1 &\lTo& g_1							\\
\uTo&    & \uTo							\\
c_1 &\lTo& d_1 &\lTo& e_1					\\
    &    & \uTo&    & \uTo 					\\
    &    & f_2 &\lTo& g_2					\\
\uTo&    & \uTo&    & \uTo					\\
b_2 &\lTo& c_2 &\lTo& d_2 &\lTo& e_2				\\
    &    &     &    & \uTo&    & \uTo				\\
    &    &     &    & f_3 &\lTo& g_3				\\
\uTo&    & \uTo&    & \uTo&    & \uTo 				\\
a_3 &\lTo& b_3 &\lTo& c_3 &\lTo& d_3 &\lTo& e_3			\\
    &    &     &    &     &    & \uTo&    & \uTo 		\\
    &    &     &    &     &    & f_4 &\lTo& g_4			\\
    &    & \uTo&    & \uTo&    & \uTo&    & \uTo 		\\
    &    & a_4 &\lTo& b_4 &\lTo& c_4 &\lTo& d_4 &\lTo& e_4	\\
    &    & \uTo&    & \uTo&    & \uTo&    & \uTo 		\\
    &    &\vdots&   &\vdots&   &\vdots&   &\vdots		\\
\end{diagram}

\section{����⨭��� ������ � �����㯯� �ᮡ������ �ਢ��} %s5

�����䨪��� �ᮡ�����⥩ �ਢ�� ����� ��⮫���뢠�� �
�����⢥���� �ନ��� ��� ����᫥��� ``����⨭����'' ���������
����筮� ��ࠧ��୮�� � ������ �⥯����� �冷� �� ����� ��६�����
(��ᬠ�ਢ�� ���������� � �筮���� �� ��⮬��䨧��� ��ꥬ��饩 
������� �冷�, � ���� �� �ଠ���� ���䥮���䨧��� ��אַ�).

\begin{Definition}
\emph{�����쭮� �����ன} $A_f$ �ਢ�� $x_i=f_i(t)$
� $\C ^N$ ���뢠���� ��������� ������� �⥯����� �冷� �� $t$,
��஦������ (��᫥ ���몠��� �� ����� �⥯���� ���ᨬ��쭮�� ������)
���⨯����⨢�묨 ��ࠧ��騬� $f_i$, �.�.~������
\[A_f = f^* \C[[x_1, \ldots, x_N]] \subset \C[[t]].\]
\end{Definition}

������樨 ������ �冷� �� $t$ � �� $x$ �� ���浪�� �㫥� ��஦����
� ������ $A_f$ ��� 䨫���樨. ������稬 �१ $M^i$ ����� � ������
$\C [[t]]$, ��ࠧ������ �鸞��, ����騬��� �� $t^i$. ��������
\[A_f={A_f}^0 \supset{A_f}^1 \supset\cdots,\quad {A_f}^s=A_f \cap M^s,\]
ᮢ������ � $M^i \supset M^{i+1}\supset\cdots$, ��稭�� � �����ண� ���� $i$,
⠪ ��� ��ࠧ��୮��� $A_f$ � $\C[[t]]$ ����筠 (��� ��
��᪮��筮-��஦������ �ᮡ�����⥩). 

�� ����砥� ����筮����� ������⨢��� ������� $A_f/M^i$ (�
䨫���樥�), �।�⠢������ ���������騬� ���쯮⥭�묨 ������묨 
�����ࠬ� � ����筮��୮� ����୮� ����࠭�⢥ $M^1/A_f$.

�����୮��� $a=\dim_\C M^1/A_f$ �⮣� ����୮�� ����࠭�⢠
������ � ��㫥 ��� ��ࠧ��୮�� $aN-b$ ����� ���⮩
�ᮡ������ $f$ �ਢ��, ����饩 � ����࠭�⢥ $\C^N$.
���ࠢ�� $b$ ࠢ�� ࠧ��୮�� 䠪��-����࠭�⢠
$(M^1df/dt + {A_f}^N)/{A_f}^N$, ��� �� ᫥��� �� ���� ���⥫쭮��
����࠭�⢠ � �ࡨ� ��⪠ $f$.

\begin{Definition}
\emph{�����㯯��} $P_f$ �ᮡ������ �ਢ�� $x_i=f_i(t)$ ���뢠����
��������㯯� ����⨢��� �����㯯� ����ࠫ��� �ᥫ, ��ࠧ�������
���浪��� �㫥� �ᥢ�������� �������� �������権 �ந�������� �㭪権
$f_i$. 
\end{Definition}

��묨 ᫮����, �����㯯� $P_f$ ��⮨� �� �⥯���� ����த���
��⠢����� ࠧ��୮�� ������ (� �� ���) � �ࠤ�஢�����
������ $G_f$, ���樨஢����� � 䨫��஢����� �����ன
$A_f \supset {A_f}^1 \supset\cdots$ :
\[{G_f}^i = {A_f}^i / {A_f}^{i+1},\quad G_f = {\textstyle\bigoplus}
{G_f}^i.\]

� ��� �ନ��� ����� ᪠����, �� \emph{�ࠤ�஢����� ������
$G_f$, ᮮ⢥������� �ਢ�� $f$, ���� �����㯯���� ������
�����㯯� $P_f$ �⮩ �ਢ��} (��ࠧ������� ������묨 ��������ﬨ
����童��� $t^i$, ������⥫� $i$ ������ �ਭ������� �����㯯�).

\begin{Example}
�����㯯� ���᪮� �ਢ�� $x=t^3$, $y= \sin^3 t$ ����뢠����
��ப��
\[ P_f = ([1],[2],{\bf 3},[4],{\bf 5},6,[7],8.).\]
����� � �������� ᪮���� ���� \emph{�஡���} $[i]$, (��� ������
$\dim {G_f}^i = 0$ ), � �뤥���� ���㦨�� ���⮬ �⥯���
���⨯����⨢��� ��ࠧ���� �ࠤ�஢����� ������� $G_f$.
��窠 ��᫥ ���쬥ન ����砥�, �� �����㯯� ᮤ�ন� � ��
��᫥���騥 �᫠ $(9, 10, \ldots)$.
\end{Example}

������ �ᮡ�����⥩, ���ᠭ��� � ���� ⥮६��, ��ࠦ��� ��䬥⨪�
�����㯯 $P_f$. ��� �����㯯 � ���� ��ࠧ��騬� ����� ���� �१��砩��
�������� \emph{�����⢥������ ���좥���} ����� �����㯯�� � �\"{�}
�����������. ����� $u$ � $v$ --- ������� ����� ����ࠫ�� �᫠.
������稬 �१ $K$ �⭮� �᫮ $(u-1)(v-1)$.

���좥���  ��㡫������ � ����⥬���᪮� ����� (�.~\cite{B3}) ᫥���饥

\begin{Proposition}
����� �᫮~$c$ �।�⠢��� � ���� 
�������� �������樨 $mu+nv$ � 楫묨 ������⥫�묨 �����樥�⠬�, �᫨
� ⮫쪮 �᫨ �᫮ $K-1-c$, ᨬ����筮� ���~$c$ �⭮�⥫쭮 �।���
��৪� $[0, K-1]$, �� �।�⠢��� � ⠪�� ����.
\end{Proposition}

� ��⭮��, �� 楫� �᫠, ��稭�� � $K$ �����⥫쭮,
�।�⠢���, � $K-1$ �� �।�⠢��� � ���� $mu+nv$, $m\ge0$, $n\ge0$. 
�� ��१�� �� $[0,K-1]$  �।�⠢��� ஢�� �������� �ᥫ.

\begin{Example}
�� $u=3$, $v=5$ �����㯯� �������権 ����� ���
\[(0, [1], [2], \mathbf{3}, [4], \mathbf{5}, 6, [7], 8. ).\]
��᫥����⥫쭮��� ���� �஡���� $(2,1,1)$ �����⢥���
��᫥����⥫쭮�� $(1,1,2)$ ���� ��⨯஡����. �� ���쬨 楫��
�祪 ��१�� $[0,7]$ ���� �室��, � ���� �� �室�� � �����㯯�
�।�⠢���� �祪.
\end{Example}

\section{��孨�� ���᫥��� � �����㯯���} %s6

������⥫��⢠ �ਢ������� ��� ⥮६ ����� �� �������
���᫥���, ����� �ਮ����� ����� ����ਬ� ��� �� �몥
�����㯯. �������, ��� ࠡ�⠥� �����㯯���� �孨�� ��
�ਬ�� ������⥫��⢠ �����筮�� ����������쭮� ��ଠ�쭮�
��� $(3,7,8)$.  �� ���襬 ᯮᮡ 㭨�⮦���� ����� 童���
�冷� ������  $(t^3+\cdots, t^7+\cdots, t^8+\cdots)$ ���।�⢮�
����� ����ᨬ�� � ������ᨬ�� ��६�����.

������ ����ᨬ�� ��६����� $x_i$ ���뢠���� \emph{�����},
� ������ ������ᨬ�� ��६����� $t$ --- \emph{�ࠢ��}.

�� �ࠢ�� ������ $t=T(1+aT^r)$ ����� $t^m$ ����砥� ���饭��
$t^m \sum c_k t^{kr},\penalty0 \quad k\geq 1$.

�� ����� ������ $X_i=x_i+g(x)$ ��������� $x_i$ ����砥� 
���饭�� � ���� �鸞, ���⥫� ���ண� �ਭ�������      
�����㯯� $P_f$. �� �⮬, �롨�� $g$, ����� ������� ���ࠢ��
� ��� ����訬 童��� $t^i$, ��� $i$ �ਭ������� �����㯯� $P_f$,
���� ⮫쪮 ᫥���� �� ⥬, �⮡� �믮��﫮�� �᫮��� ⥮६� �
���� �㭪樨 (�����筮, �⮡� $i$ �뫮 ����� ���浪� ����襣�
童�� �鸞 $f_i$). 

�㤥� ��������� ��� �த� $t^3+at^5+o(t^5)$ ᨬ������
�த� $(3\amp 5.)$ . (��窠 ����� ᪮��� ����⢥��� --- ��� 㪠�뢠�� 
�� ��������� ������⢨� �鸞 $o(t^5)$ ).

\begin{Proposition}
��猪� �ਢ�� $(3.,7.,8.)$ ���������⭠ ��������쭮� �ਢ�� $(3,7,8)$.    
\end{Proposition}

\begin{Proof}
�����㯯� ����� ���ᠭ��
 \[([1],[2],3,[4],[5],6.).\] 
��᫥����⥫쭮 㡨��� � ������ ��������� ᫠�����, ���浪� ������
�ਭ������� �����㯯�, �� ����砥� ����� ���������⭮���
 \[(3.,7.,8.) \sim (3\amp 4\amp 5,7,8)\]
��室��� �ਢ�� � �ਢ��, ������ ��������� ���ன ����� ���⥫��
�����饭�� � �஡��� �����㯯�, ����� ᫥���� �� ������⥫��  ��������
童�� �⮩ ���������� (���ਬ��, �஡��� [4], [5] ᫥���� ��
������⥫�� �������� 童�� 3 � ��ࢮ� ���������).

������ 㡨���� $t^4$ � ��ࢮ� ��������� �ࠢ�� ���������⭮����
� $r=1$. ������ ��⥬ ����� ���������⭮���� ������訥 ��譨�
᫠����� (�⥯���� 6 � ��� � ��ࢮ� ���������, 8 � ��� �� ��ன,
9 � ��� � ���쥩), �� ����砥� ���������⭮���
    \[(3\amp 4\amp 5,7,8) \sim (3\amp 5,7,8).\]

��⠢襥�� �����饭�� $t^5$ � ��ࢮ� ��������� 㡨���� �ࠢ��
���������⭮���� � $r=2$. ������ ��������� ��譨� ᫠����� �⥯���� 
$\geq 7$ � ��ࢮ� ���������, $\geq 9$ �� ��ன � $\geq 10$ � ���쥩. 
�� �� ������⥫� �ਭ������� �����㯯�. ���⮬� �� ⠪�� ��譨� ᫠�����
����� 㡨�� ����� �������: 
     \[(3\amp 5,7,8) \sim (3,7,8). \]
�� �����뢠�� �᪮��� ���������⭮���.
\end{Proof}

\begin{Remark}
��ண� ������, �� �� �஢������ ���㦤����
�஢����� ��\-� ���� �� �஢�� �ଠ���� �冷�. ������ � ��砥 ����������
(��� ���� ���� ����⢥���-�������) �ਢ�� ������ ����� ᤥ���� ⮦�
��������묨 ��� ����⢥���-�������� ᮮ⢥��⢥���, ��� �� ���
�����⭮ �� ⥮ਨ �ᮡ�����⥩ ������� �⮡ࠦ���� (�ᯮ����
``�����⮢�⥫��� ⥮६�'' ���������� � ����࠭��). 
\end{Remark}

������⥫��⢠ ��⠫��� ⥮६ �஢������ �� ⮩ �� �奬�, ���
���᫥��� �����㯯� ������ �뢠�� ����� ᫮��� (�����㯯� �ਢ��
\emph{��} ��।������ ������⥫ﬨ �⥯���� \emph{�������} 童��� ���������).
���ਬ��, �ਢ�� � ᨬ����� $(4,(6,7+2k))$ ᮮ⢥����� �����㯯�,
� ������ �室�� $13+2k$. 

�஬� ⮣�, �� ��᫥������� �ਢ�� � 6-����\"{�}� $(t^4,t^6,0,\ldots,0)$ �祭�
������� ��樮��ୠ� ��㯯� ���᪮� �ਢ�� $x^3=y^2$. �\"{�} ������
�� ��஦���� ����஢� ����� $2x\partial_x+3y\partial_y$ � ������⮭��� �����
$2y\partial_x+3x^2\partial_y$ (��� ����� ��� �����ன �㭪権).

�����ࠫ쭠� ��᫥����⥫쭮��� ᮮ⢥�����饩 ���������த���
䨫���樨 ��������, ���ਬ��, �ࠧ� 㡥������ � ���������⭮��
\[(t^4, t^6+t^{7+2k}+o(t^{7+2k})) \sim (t^4, t^6+t^{7+2k}), \]
� ⠪�� �ਢ��� � ���冷� ��㣨� ���������� ᮮ⢥�����饩
����࠭�⢥���� �ਢ��, ��� �� 㪠���� � ⥮६� 5. ���ਬ��,
⠪ �����뢠���� �� ������ �祢����� ���������⭮���
\[(t^4,t^6+t^{7+2k},t^{9+2k}+at^{11+2k}) \sim 
(t^4,t^6+t^{7+2k},t^{9+2k}).\]

%\section*{���஢����� �������}

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{B1} J.~W.~Bruce, T.~Gaffney. \emph{Simple singularities of maps
$(\C,0)\rightarrow (\C^2,0)$}. Journal of London Mathematical Society, II
ser., vol.~\textbf{26} (1982), 464--474.

\bibitem{B2} E.~Kunz. \emph{The value semigroup of a one-dimension
Gorenstein ring}.  Proc.\ Amer.\ Math.~Soc., vol.~\textbf{25} (1970),
748--751.

\bibitem{B3} J.~J.~Sylvester. \emph{Mathematical questions with their
solutions}.  Educational Times, vol.~\textbf{41} (1884), 21.

\bibitem{B4} R.~-O.~Buchweitz, G.~-M.~Greuel. \emph{The Milnor
number and deformations of complex curves singularities}. Inventiones
Mathematicae, vol.~\textbf{58} (1980), 241--281.

\bibitem{B5} �.�.�୮��. \emph{�����ࠫ�� ��᫥����⥫쭮�� ���
�ਢ������ �㭪権 � ��ଠ�쭮� �ଥ}. � �����: �஡���� ��堭��� �
��⥬���᪮� 䨧���, �., ��㪠, 1976, ���.~7--20.   (������᪨�
��ॢ��: V.~I.~Arnold. \emph{Spectral sequences for the reduction of
functions to a normal form}. Selecta Math.~Sov., vol.~\textbf{1}
(1981), 3--18).

\bibitem{B6} J.~Mather. \emph{Stability of $C^{\infty}$  mappings,
VI}. Proceedings of the Liverpool Conference on Singularities,
vol.~\textbf{1}. Lecture Notes in Mathematics, vol.~\textbf{192},
207--253, Springer-Verlag, Berlin--Heidelberg--New York, 1971.
(���᪨� ��ॢ��: �ᯥ� ��⥬���᪨� ���, ⮬ \textbf{29}, ��.~1,
(1974) �.~99--158).

\end{thebibliography}
\end{document}
