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\def\skipline{\vskip\baselineskip}
\def\R{{\bf R}}

\centerline{\bf SUR L'EDUCATION MATH\'{E}MATIQUE}
\skipline
\centerline{\bf V.I. ARNOLD}
\skipline
\centerline{Universit\'{e} Paris IX, Dauphine et Institut Steklov}

\skipline
\skipline
\noindent\hfill\vbox{\setbox0=
   \hbox{\sl Difficile est saturam non scribere,}\copy0
        \hbox to\wd0{\hfil Juvenal, Satura I, 30.}}
\skipline
\skipline

Les math\'{e}matiques font partie de la physique.  La physique est une
science exp\'{e}rimen\-tale, une des sciences naturelles.  Les
math\'{e}matiques, ce sont la partie de la physique o\`{u} les
exp\'{e}riences ne co\^{u}tent pas cher.

L'identit\'{e} de Jacobi (qui force les trois hauteurs d`un triangle \`{a}
\^{e}tre concourantes) est tout autant un fait exp\'{e}rimental que la
rotondit\'{e} de la Terre (le fait que la terre soit hom\'{e}omorphe \`{a}
une boule), mais cela revient moins cher \`{a} v\'{e}rifier~!  Au milieu
du 20\`{e}me si\`{e}cle on a essay\'{e} de s\'{e}parer les
math\'{e}matiques de la physique. Les r\'{e}sultats ont \'{e}t\'{e}
catastrophiques~! On a vu appara\^{\i}tre des g\'{e}n\'{e}rations
ENTI\`ERES de math\'{e}maticiens ignorant la moiti\'{e} de leur science
---n'ayant d'ailleurs pas la moindre id\'{e}e d'aucune autre. Ils ont
commenc\'e \`a enseigner leur horrible scolastique
pseudomath\'{e}matique, d'abord aux \'{e}tudiants, puis aux lyc\'{e}ens,
en oubliant le principe de Hardy, selon lequel il n'y a pas de refuge
permanent sous le soleil pour des math\'{e}matiques laides.  Comme de
telles math\'{e}matiques scolastiques, s\'{e}par\'{e}es de la physique, ne
sont adapt\'{e}es ni \`{a} l`enseignement, ni \`{a} aucune application
\'{e}ventuelle \`{a} d'autres sciences, les math\'{e}maticiens se sont fait 
ha\"{\i}r des lyc\'{e}ens (dont certains ensuite sont devenus
ministres--\footnote {(*)}{NDT Cet article a \'{e}t\'{e} \'{e}crit pour
une revue moscovite}) et des utilisateurs.  La construction sans harmonie
faite par des math\'{e}maticiens ruminant leurs complexes d'ignorance vis
a vis de la physique me fait penser \`{a} la construction axiomatique des
nombres impairs. Il est \'{e}vident qu'on peut construire une telle
th\'{e}orie, on peut m\^{e}me la faire admirer par les \'{e}l\`{e}ves pour
sa beaut\'{e} et son architecture interne (on a par exemple que la somme
d'un nombre impair de nombres impairs est toujours bien d\'{e}finie ainsi
que le produit de nombres impairs. De ce point de vue sectaire, les
nombres pairs sont une h\'{e}r\'{e}sie~; mais on peut aussi les introduire
plus tard dans la th\'{e}orie comme "nombres id\'{e}aux", ceci pour
s'adapter aux besoins de la physique et du monde r\'{e}el).

Malheureusement, c'est une construction similaire qui a domin\'{e}
l'enseignement de la math\'{e}matique en France pendant des d\'{e}cades.
Cette perversion, n\'{e}e en France, s'est vite r\'{e}pandue \`{a} l
enseignement des bases des math\'{e}matiques, d'abord aux \'{e}tudiants,
puis aux \'{e}l\`{e}ves, d'abord en France, puis ailleurs, Russie inclue.
A la question "Combien font 2+3?" un \'{e}l\`{e}ve d'\'{e}cole
fran\c{c}ais a r\'{e}pondu "3+2, puisque l'addition est commutative". Il
ne savait m\^{e}me pas \`{a} quoi cette somme \'{e}tait \'{e}gale, il ne
comprenait m\^{e}me pas ce qu'on lui demandait!  Un autre \'{e}l\`{e}ve
(tout a fait sens\'{e} selon moi) d\'{e}finissait les math\'{e}matiques de
la mani\`{e}re suivante: "Il y a des carr\'{e}s, encore faut-il le
prouver!" Selon mon exp\'{e}rience p\'{e}dagogique en France, l'id\'{e}e
de la math\'{e}matique chez les \'{e}tudiants n'est pas tr\`{e}s
\'{e}loign\'{e}e de celle de cet \'{e}colier.  C'est m\^{e}me vrai pour
les normaliens (j'ai la plus grande piti\'{e} pour ces \'{e}tudiants, qui
ne manquent \'{e}videmment pas d'intelligence par nature mais sont
estropi\'{e}s par un enseignement ab\^{e}tissant). Par exemple les
normaliens n'ont jamais vu de parabolo\"{\i}de hyperbolique de leur vie et
si on leur demande la forme de la surface d'\'{e}quation $$xy =z^2$$ cela
provoque chez eux de la stupeur~!  Dessiner la courbe donn\'{e}e sous
forme param\'{e}trique par exemple par 
$$
  x =t^3 -3t, \quad y = t^4 - 2 t^2
$$ 
est un probl\`{e}me insoluble pour les \'{e}tudiants (et probablement
pour la majorit\'{e} des professeurs fran\c{c}ais de math\'{e}matiques)
Pourtant, \`{a} l'\'{e}poque du premier manuel d'analyse de l'H\^{o}pital
(Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes,
Paris 1696) et en gros jusqu'au manuel de Goursat. la capacit\'{e} de
r\'{e}soudre de tels probl\`{e}mes \'{e}tait consid\'{e}r\'{e}e ---autant
que la connaissance des tables de multiplication--- comme une part
indispensable du bagage de tout math\'{e}maticien.  Les z\'{e}lotes de la
math\'{e}matique superabstraite, priv\'{e}s par les Dieux de l'imagination
g\'{e}om\'{e}trique, ont \'{e}limin\'{e} toute la g\'{e}om\'{e}trie de
l'\'{e}ducation, alors que c'est \`{a} travers elle que passent le plus
souvent les relations avec la physique et le r\'{e}el.  Les manuels de
Goursat \footnote{(*)}{NDT Pauvre Goursat, il en a eu des malheurs: C'est
d\'{e}j\`{a} pour remplacer son manuel "out of date" que se sont
manifest\'{e}es les premi\`{e}res vell\'{e}it\'{e}s, alors
p\'{e}dagogiques, de N.~Bourbaki: cf. discours d'H.~Cartan en 1958,
publi\'{e} en anglais en 1980, The math.  Intelligencer vol. 2, 4. 1980,
page 176}, Hermite, Picard, ont failli r\'{e}cemment \^{e}tre jet\'{e}s de
la biblioth\`{e}que universitaire de Jussieu, comme obsol\`{e}tes et donc
n\'{e}fastes (on ne les a conserv\'{e}s que sur mon intervention).  Les
normaliens, qui avaient d\'{e}j\`{a} suivi des cours de g\'{e}om\'{e}trie
alg\'{e}brique et de g\'{e}om\'{e}trie diff\'{e}rentielle donn\'{e}s par
des math\'{e}maticiens respect\'{e}s, se sont r\'{e}v\'{e}l\'{e}s ignorant
de la surface riemannienne associ\'{e}e \`{a} une courbe elliptique et
aussi de la classification topologique des surfaces (sans parler des
int\'{e}grales elliptiques de premi\`{e}re esp\`{e}ce ni de la structure
de groupe d'une courbe elliptique ou du th\'{e}or\`{e}me d'addition: ils
n'ont appris que les structures de Hodge et les vari\'{e}t\'{e}s
jacobiennes!  Comment a-t-on pu en arriver l\`{a}, en France, le pays de
Lagrange, de Cauchy et Poincar\'{e}, de Leray et de Thom~?  Je me souviens
de l'explication que m'a propos\'{e} I.~Petrovski en 1966 du comportement
des math\'{e}maticiens: les vrais math\'{e}maticiens ne forment pas de
gangs, mais les faibles en ont besoin pour survivre \footnote {(**)}{NDT
Ceci ne s'applique \'{e}videmment qu'aux math\'{e}maticiens russes. }

Ils peuvent se regrouper sous diff\'{e}rentes banderoles (la
superabstraction, l'anti\-s\'{e}mi\-tisme ou les probl\`{e}mes "appliqu\'{e}s
et industriels"), mais cela se fait toujours essentiellement pour
r\'{e}soudre un probl\`{e}me de nature sociale: comment survivre dans un
environnement intellectuel plus qualifi\'{e}~?  Je me souviens d'ailleurs
des mots de Louis Pasteur-il n'y a jamais eu et il n'y aura jamais de
"sciences appliqu\'{e}es", il n'y a que des applications de la science
(souvent tr\`{e}s utiles!) Il m'est arriv\'{e} de mettre en doute la
r\'{e}flexion de Petrovski, mais aujourd'hui je suis de plus en plus
convaincu de son exactitude. Une part significative de la math\'{e}matique
dite abstraite se r\'{e}duit tout simplement \`{a} une appropriation
syst\'{e}matique et impudente des r\'{e}sultats chez les cr\'{e}ateurs,
pour ensuite les attribuer aux \'{e}pigones g\'{e}n\'{e}ralisateurs. Comme
l'Am\'{e}rique ne porte pas le nom de Colomb, les r\'{e}sultats
math\'{e}matiques ne portent presque jamais le nom de ceux qui les ont
d\'{e}couverts. Je dois remarquer que mes r\'{e}sultats n'ont jamais fait
l'objet de pareils d\'{e}tournements, mais c'est arriv\'{e}
syst\'{e}matiquement \`{a} mes ma\^{\i}tres (Kolmogorov, Petrovski,
Pontryagin, Rohlin)comme \`{a} mes \'{e}l\`{e}ves.

Le professeur Berry a formul\'{e} les deux principes suivants:
\item{--}Principe d'Arnold: Si une notion porte un nom propre, 
ce n'est pas celui de son cr\'{e}ateur. 
\item{--}Principe de Berry: Le principe d'Arnold s'applique \`{a}
lui-m\^{e}me. 

Revenons \`{a} l'enseignement des math\'{e}matiques en France.  Quand
j'\'{e}tais \'{e}tudiant en premi\`{e}re ann\'{e}e \`{a} l'Universit\'{e}
de Moscou, le cours d'Analyse \'{e}tait fait par Toumarkin, un
sp\'{e}cialiste de topologie et th\'{e}orie des ensembles, et il suivait
un cours \`{a} la fran\c{c}aise (comme Goursat). Il nous apprenait que les
int\'{e}grales de fonctions rationnelles le long de courbes
alg\'{e}briques s'expriment au moyen de fonctions \'{e}l\'{e}mentaires si
la surface de Riemann correspondante est une sph\`{e}re, et qu'en
g\'{e}n\'{e}ral elles ne s'expriment pas ainsi si le genre est
sup\'{e}rieur, et que pour que la surface de Riemann soit une sph\`{e}re
il suffit qu'il existe pour une courbe de degr\'{e} fix\'{e} un assez
grand nombre de points doubles (qui obligent la courbe \`{a} \^{e}tre
unicursale: on peut dessiner les points r\'{e}els dans le plan projectif
d'un seul trait).  Ces faits en eux-m\^{e}mes excitent l'imagination,
m\^{e}me sans aucune d\'{e}monstration, et donnent une meilleure id\'{e}e
des math\'{e}matiques contemporaines que plusieurs volumes de Bourbaki.
Ils nous apprennent en effet qu'il existe des relations remarquables entre
des faits apparemment sans rapports: l'existence d'une expression
d'int\'{e}grales en termes de fonctions \'{e}l\'{e}mentaires et la
topologie de la surface de Riemann correspondante, ou encore le lien entre
le nombre de points doubles et le genre de la surface, qui en plus se
manifeste dans le plan r\'{e}el comme la propri\'{e}t\'{e}
d'unicursalit\'{e}.

D\'{e}j\`{a} Jacobi affirmait que c'\'{e}tait le plus
grand attrait de la math\'{e}matique que de voir appara\^{\i}tre la
m\^{e}me fonction dans la repr\'{e}sentation d'un nombre entier comme
somme de quatre carr\'{e}s et dans le mouvement du pendule. La
d\'{e}couverte de ces liens entre objets math\'{e}matiques
\'{e}loign\'{e}s peut \^{e}tre compar\'{e}e \`{a} celle des 
rapports entre l'\'{e}lectricit\'{e} et le magn\'{e}tisme en physique, ou
de la ressemblance entre la C\^{o}te Ouest de l'Afrique et la C\^{o}te
Ouest de l'Am\'{e}rique en g\'{e}ologie.  Il est difficile de surestimer
la valeur \'{e}motionnelle de ces d\'{e}couvertes dans l'enseignement.
Elles nous apprennent en effet \`{a} chercher et \`{a} trouver d'autres
manifestations de l'unit\'{e} du monde. La d\'{e}g\'{e}om\'{e}trisation de
l'\'{e}ducation math\'{e}matique et le divorce avec la physique brisent
ces relations. Par exemple, les \'{e}tudiants d'aujourd'hui, comme les
g\'{e}om\`{e}tres alg\'{e}bristes modernes ne connaissent plus en
g\'{e}n\'{e}ral le fait (voir la remarque de Jacobi) que l'int\'{e}grale
elliptique de premi\`{e}re esp\`{e}ce exprime le temps le long d'une
courbe elliptique pour le syst\`{e}me dynamique hamiltonien correspondant.
En reprenant les mots connus sur l'\'{e}lectron et l'atome \footnote
{(*)}{L\'{e}nine "L'\'{e}lectron est aussi in\'{e}puisable que l'atome~!
"}, on peut dire que l'hypocyclo\"{\i}de est aussi in\'{e}puisable qu'un
id\'{e}al de l'anneau de polyn\^{o}mes. Mais enseigner les id\'{e}aux de
polyn\^{o}mes \`{a} des \'{e}tudiants qui n'ont jamais vu
d'hypocyclo\"{\i}des est aussi absurde que d'enseigner l'addition des
fractions \`{a} des enfants qui n'auraient jamais divis\'{e} une pomme ou
un g\^{a}teau en parties \'{e}gales, ne serait-ce que mentalement. Il ne
faut pas s'\'{e}tonner ensuite qu'ils pr\'{e}f\`{e}rent ajouter le
num\'{e}rateur au num\'{e}rateur et le d\'{e}nominateur au
d\'{e}nominateur.  

Mes amis fran\c{c}ais m'ont dit que la tendance \`{a}
la g\'{e}n\'{e}ralisation toujours plus abstraite est une tradition
nationale \footnote{(*)}{Il semble que le premier "Bourbakiste" ait
\'{e}t\'{e} Descartes,  qui a subordonn\'{e} toute les sciences \`{a}
des axiomes simples en voulant en d\'{e}duire tout le reste par des 
d\'{e}ductions math\'{e}matiques.  Quand Pascal, encore tr\`{e}s jeune, a
confirm\'{e} par des exp\'{e}riences c\'{e}l\`{e}bres (en rempla\c{c}ant
le mercure de l'Italien Toriccelli par du vin fran\c{c}ais), que l'axiome
"la nature a horreur du vide" est faux, il est venu en discuter avec le
grand Ma\^{\i}tre des Sciences de l'\'{e}poque, Descartes.  Comme ces
exp\'{e}riences infirmaient ses th\'{e}ories, Descartes, m\'{e}prisant, a
d\'{e}sapprouv\'{e} les th\'{e}ories de Pascal~; il a \'{e}crit quelque
temps apr\`{e}s \`{a} Huygens que le seul vide auquel il croyait \'{e}tait
celui du cerveau de Pascal.  Quelque mois plus tard le proph\`{e}te de
l'axiomatisme pr\'{e}tendait d\'{e}j\`{a} avoir sugg\'{e}r\'{e} \`{a}
Pascal ces exp\'{e}riences.  Ref.  Henri Gee, "L'Auvergne, berceau du
voyage spatial", Le Monde, le 3 avril 1998, p.~24 } Je me demande
effectivement s'il ne s'agit pas d'une maladie h\'{e}r\'{e}ditaire, mais
je souligne tout de m\^{e}me que j'ai emprunt\'{e} l'exemple de la pomme
et du g\^{a}teau \`{a} Poincar\'{e}.  Le sch\'{e}ma de construction d'une
th\'{e}orie math\'{e}matique ressemble tout \`{a} fait \`{a} celui de
n'importe laquelle des autres sciences naturelles. Au d\'{e}but nous
\'{e}tudions certains objets, nous faisons des observations dans
diff\'{e}rentes circonstances.  Puis nous cherchons \`{a} trouver les limites
d'applications de nos observations, nous cherchons des contre-exemples, en
\'{e}vitant de trop g\'{e}n\'{e}raliser (exemple: le nombre de partitions 
des entiers impairs 1, 3, 5, 7, 9 en un nombre impair de parties forme la 
suite 1, 2, 4, 8, 16, mais ensuite appara\^{\i}t le nombre 29).  A la
suite de ces observations nous formulons si possible une conjecture comme
d\'{e}couverte empirique (par exemple la conjecture de Fermat, celle de
Poincar\'{e}). Puis arrive la p\'{e}riode difficile o\`{u} il s'agit de
v\'{e}rifier si nos conjectures sont \`{a} la hauteur des
r\'{e}alit\'{e}s.

En math\'{e}matique a \'{e}t\'{e} mise au point une technique
particuli\`{e}re qui peut parfois \^{e}tre utile pour les applications
pratiques mais qui peut nous induire en erreur. Elle s'appelle la {\it
mod\'{e}lisation}. Pour la construction d'un mod\`{e}le on fait
l'id\'{e}alisation suivante: certains faits, connus seulement avec un
certain degr\'{e} d'approximation ou de probabilit\'{e}, sont
consid\'{e}r\'{e}s comme absolument vrais et sont pris comme "axiomes". La
signification de cet "absolu" est exactement que nous nous permettons
d'agir avec ces "faits" selon les r\`{e}gles de la logique formelle, en
appelant "Th\'{e}or\`{e}mes" les d\'{e}ductions que nous en tirons.  Il
est clair que dans aucune action r\'{e}elle on ne peut s'appuyer
enti\`{e}rement sur de telles d\'{e}ductions, parce que les param\`{e}tres
des ph\'{e}nom\`{e}nes \'{e}tudi\'{e}s ne sont pas connus tout \`{a} fait
exactement, et qu'une petite modification (par exemple des conditions
initiales du processus) peut compl\`{e}tement bouleverser le r\'{e}sultat.
C'est ainsi qu'il n'est pas possible d'esp\'{e}rer des pr\'{e}visions
m\'{e}t\'{e}orologiques dynamiques sur une longue p\'{e}riode, et que cela
restera impossible quels que soient les perfectionnements des ordinateurs
et de l'enregistrement des donn\'{e}es. De m\^{e}me une petite
modification des axiomes (en lesquels de toute fa\c{c}on nous ne pouvons
avoir totalement confiance) peut conduire \`{a} d'autres conclusions que
celles fournies par les th\'{e}or\`{e}mes obtenus. Plus sont longs et
astucieux les raisonnements ("d\'{e}monstrations"), moins le r\'{e}sultat
final est robuste. Les mod\`{e}les compliqu\'{e}s sont rarement utiles
(sauf pour \'{e}crire des th\`{e}ses).

La technique math\'{e}matique de mod\'{e}lisation consiste en ce qu'on
oublie les d\'{e}fauts et on parle des mod\`{e}les d\'{e}ductifs comme
s'ils co\"{\i}ncidaient avec la r\'{e}alit\'{e}. Le fait m\^{e}me que
cette m\'{e}thode \'{e}videmment incorrecte du point de vue scientifique
conduise souvent \`{a} des r\'{e}sultats utiles est appel\'{e}
"l'efficacit\'{e} d\'{e}raisonnable des math\'{e}matiques dans les
sciences physiques" (E.~Wigner). On peut d'ailleurs ajouter, suivant 
I.~M.~Gelfand, qu'il y a un autre ph\'{e}nom\`{e}ne tout aussi
d\'{e}raisonnable, c'est l'inefficacit\'{e} d\'{e}raisonnable des
math\'{e}matiques en biologie.  Pour un physicien, "le poison subtil de la
formation math\'{e}matique, selon l'expression de F.~Klein, c'est
justement que le mod\`{e}le devenu autonome se s\'{e}pare de la
r\'{e}alit\'{e} et ne lui est plus compar\'{e}". Voici un exemple simple:
les math\'{e}matiques nous apprennent que la solution de l'\'{e}quation de
Malthus $$ dx/dt = x $$ est d\'{e}termin\'{e}e de mani\`{e}re unique par
les conditions initiales ---autrement dit les diff\'{e}rentes courbes
int\'{e}grales dans le plan des variables $(x, t)$ ne se rencontrent pas.
Cette conclusion du mod\`{e}le math\'{e}matique est bien \'{e}loign\'{e}e
de la r\'{e}alit\'{e}. Une exp\'{e}rience sur ordinateur montre que toutes
les courbes int\'{e}grales ont des points communs sur l'axe n\'{e}gatif
des $t$. Et en effet les deux courbes correspondant aux conditions
initiales $x(0)=0$ et $x(0) =1$ sont pratiquement confondues en $t
=-10$, et en $t =-100$ on ne peut plus mettre un atome entre les deux
courbes. Les propri\'{e}t\'{e}s de l'espace \`{a} des distances aussi
infimes ne sont absolument plus d\'{e}crites par la g\'{e}om\'{e}trie
euclidienne. L'application du th\'{e}or\`{e}me d'unicit\'{e} dans cette
situation d\'{e}passe \'{e}videmment le degr\'{e} d'exactitude du
mod\`{e}le. Il faut en tenir compte dans les applications pratiques, sinon
on peut avoir de s\'{e}rieux ennuis.  Je remarque par ailleurs que le
m\^{e}me th\'{e}or\`{e}me d'unicit\'{e} explique pourquoi l'\'{e}tape
finale d'amarrage d'un bateau est conduite \`{a} la main. Le contr\^{o}le,
avec une vitesse fonction lisse---par exemple lin\'{e}aire---de la
distance, demanderait un temps infini pour l'amarrage. L'alternative
serait un choc contre le quai (amorti par des corps convenables, pas
parfaitement \'{e}lastiques).  Il a fallu traiter s\'{e}rieusement ce
probl\`{e}me lors de l'arriv\'{e}e des premiers appareils sur la Lune et
sur Mars, et aussi pour l'amarrage aux stations spatiales, et l\`{a} le
th\'{e}or\`{e}me d'unicit\'{e} travaille contre nous.  Malheureusement, ni
de tels exemples, ni les recommandations face au danger de la
f\'{e}tichisation des th\'{e}or\`{e}mes ne se trouvent dans les manuels
modernes, m\^{e}me les meilleurs. Je me suis m\^{e}me dit que les
scolastes de la math\'{e}matique (qui connaissent si peu la physique)
croient en une diff\'{e}rence fondamentale entre les math\'{e}matiques
axiomatiques et la pratique habituelle de la mod\'{e}lisation (qui doit
toujours \^{e}tre suivie de la v\'{e}rification des conclusions par
l'exp\'{e}rience).  Sans parler m\^{e}me du caract\`{e}re relatif des
axiomes introduits, il ne faut pas oublier les erreurs logiques
in\'{e}vitables dans de longs raisonnements, ou des erreurs d'ordinateurs
dues aux oscillations quantiques ou par exemple \`{a} des particules
cosmiques. Tout math\'{e}maticien en activit\'{e} sait que s'il ne se
contr\^{o}lait pas (au mieux par des exemples), sur une dizaine de pages
de calculs la moiti\'{e} des signes serait fausse, et les ``$2$''
passeraient par erreur du num\'{e}rateur au d\'{e}nominateur.  La
technique pour combattre de telles erreurs est le contr\^{o}le
ext\'{e}rieur par des exp\'{e}riences ou des comparaisons, avec des
r\'{e}sultats obtenus par des m\'{e}thodes ind\'{e}pendantes, comme dans
toute autre science exp\'{e}rimentale. Il faut enseigner cette technique
d\`{e}s le d\'{e}but aux
\'{e}coliers, d\`{e}s les premi\`{e}res ann\'{e}es d'enseignement. 

La tentative de construire des "math\'{e}matiques pures" suivant la
m\'{e}thode axiomatico-d\'{e}ductive a conduit au refus du sch\'{e}ma
classique en physique: exp\'{e}rience-mod\`{e}le-\'{e}tude du
mod\`{e}le-conclusions-v\'{e}rifications par l'exp\'{e}rience, et \`{a}
son remplacement par le sch\'{e}ma:
d\'{e}finition--th\'{e}or\`{e}me--d\'{e}monstration. On ne peut pas
comprendre une d\'{e}finition non-moti\-v\'{e}e, mais cela n'arr\^{e}te pas
nos criminels axiomatisateurs alg\'{e}bristes. Ils seraient pr\^{e}ts par
exemple \`{a} d\'{e}finir le produit des nombres entiers \`{a} l'aide de
la loi de multiplication des nombres d\'{e}cimaux. La commutativit\'{e} de
la multiplication devient alors un th\'{e}or\`{e}me difficile, p\'{e}nible
\`{a} d\'{e}montrer, elle peut \^{e}tre d\'{e}duite des axiomes. 
On peut alors enseigner ce th\'{e}or\`{e}me et sa d\'{e}monstration aux
mis\'{e}rables \'{e}tudiants, avec pour but \`{a} la fois d'affirmer
l'autorit\'{e} de la science et celle des enseignants. Il est clair qu'une
telle d\'{e}finition et de telles d\'{e}monstrations n'ont aucune valeur
ni pour l'enseignement ni pour leur utilisation pratique. Elles ne peuvent
faire que du mal.  Pour comprendre la commutativit\'{e} de la
multiplication, il faut soit compter de deux mani\`{e}res le nombre de
soldats align\'{e}s en rang sur une place, soit calculer la surface d'un
rectangle selon deux ordres diff\'{e}rents.  Essayer d'\'{e}chapper \`{a}
l'intervention de la r\'{e}alit\'{e} physique dans les math\'{e}matiques
est une attitude sectaire et isolationniste qui d\'{e}truit aux yeux de
toute personne sens\'{e}e l'image des math\'{e}matiques comme activit\'{e}
utile.  Je vais d\'{e}voiler encore quelques secrets du m\^{e}me genre,
dans l'int\'{e}r\^{e}t des \'{e}tudiants terroris\'{e}s par l'abstraction. 

\item{--}Le {\it d\'{e}terminant\/} d'une matrice, c'est le volume 
(orient\'{e}) du parall\'{e}l\'{e}pip\`{e}de dont les c\^{o}t\'{e}s sont
les vecteurs-colonnes. Si on livre aux \'{e}tudiants ce secret,
soigneusement cach\'{e} dans des manuels d'alg\`{e}bre bien astiqu\'{e}s,
alors toute la th\'{e}orie des d\'{e}terminants devient compr\'{e}hensible
comme une partie naturelle de la th\'{e}orie des formes
multilin\'{e}aires. Si on d\'{e}finit les d\'{e}terminants autrement, un
\'{e}tudiant sens\'{e} gardera toute sa vie une aversion pour les 
d\'{e}terminants comme pour les matrices jacobiennes et donc pour le
th\'{e}or\`{e}me des fonctions implicites. 

\item{--}Qu'est-ce qu'un {\it  groupe}~?  Les alg\'{e}bristes nous 
enseignent que c'est un ensemble muni de deux op\'{e}rations, avec une
pile d'axiomes qu'on oublie facilement. Cette d\'{e}finition suscite
naturellement une protestation: en quoi un \^{e}tre intelligent a-t-il
besoin d'un tel couple d'op\'{e}rations~?  La situation est
compl\`{e}tement diff\'{e}rente si on ne commence pas par les groupes
abstraits mais par la notion de transformation (correspondance bijective
d'un ensemble dans lui-m\^{e}me), comme d'ailleurs ce fut le cas
historiquement~; une famille de transformations d'un ensemble s'appelle un
groupe si chaque fois qu'elle contient deux transformations elle contient
leur compos\'{e}e et si chaque fois qu'elle contient une transformation
elle contient son inverse. Voil\`{a} la d\'{e}finition compl\`{e}te. Les
"axiomes" ne sont que les propri\'{e}t\'{e}s (\'{e}videntes) des groupes
de transformations. Ce que les axiomatisateurs appellent "groupes
abstraits", ce sont simplement les groupes de transformations de
diff\'{e}rents ensembles, regard\'{e}s \`{a} isomorphisme pr\`{e}s
(correspondance bijective qui conserve les op\'{e}rations). Il n'y a pas
d'autres groupes plus "abstraits" dans la nature, comme l'a
d\'{e}montr\'{e} Cayley. Pourquoi faut-il que les alg\'{e}bristes
torturent encore aujourd'hui les d\'{e}finitions avec la d\'{e}finition
abstraite~?

Dans les ann\'{e}es soixante j'ai fait un cours de th\'{e}orie des groupes
\`{a} des lyc\'{e}ens moscovites,  m'\'{e}loignant le plus possible de
l'axiomatique, je cherchais \`{a} \^{e}tre le plus proche de la physique, 
et en un semestre je suis arriv\'{e} au th\'{e}or\`{e}me d'Abel sur
l'irr\'{e}solubilit\'{e} de l'\'{e}quation g\'{e}n\'{e}rale du
cinqui\`{e}me degr\'{e} par radicaux (chemin faisant j'ai enseign\'{e} aux
\'{e}l\`{e}ves les nombres complexes, les surfaces de Riemann, les
groupes fondamentaux et les groupes de monodromie des fonctions
alg\'{e}briques). Ce cours a \'{e}t\'{e} r\'{e}dig\'{e} et publi\'{e} par
un des \'{e}l\`{e}ves, V.~Alexeiev, sous le nom de "Le th\'{e}or\`{e}me
d'Abel par les probl\`{e}mes".

\item{--}Que veut dire {\it vari\'{e}t\'{e} lisse}~?  J'ai lu
r\'{e}cemment dans un livre am\'{e}ricain que Poincar\'{e} ne connaissait
pas cette notion (qu'il a introduite lui-m\^{e}me en math\'{e}matique), et
que la d\'{e}finition moderne a \'{e}t\'{e} introduite seulement dans les
ann\'{e}es vingt par Veblen~; une vari\'{e}t\'{e}, c'est un espace
topologique v\'{e}rifiant toute une s\'{e}rie d'axiomes.  Quels
p\'{e}ch\'{e}s les \'{e}tudiants doivent-ils expier pour devoir subir
toutes ces tortures~?  Dans son article "Analysis situs" Poincar\'{e}
donne une d\'{e}finition claire et directe d'une vari\'{e}t\'{e}
diff\'{e}rentiable, bien plus utile que la d\'{e}finition abstraite. Une
sous-vari\'{e}t\'{e} diff\'{e}rentiable de dimension k de l'espace
euclidien $\R^n$, c'est un sous-ensemble qu'on peut repr\'{e}senter au
voisinage de chacun de ses points comme le graphe d'une application de
$\R^k$ dans $\R^{n-k}$. C'est la g\'{e}n\'{e}ralisation directe des
courbes habituelles dans le plan
$$\hbox{(comme le cercle $x^2 +y^2  =1$)}$$
et des courbes et des surfaces dans l'espace. 

On d\'{e}finit entre vari\'{e}t\'{e}s diff\'{e}rentiables, de mani\`{e}re
naturelle, la notion d'application diff\'{e}rentiable. Un
diff\'{e}omorphisme est une application diff\'{e}rentiable ainsi que son
inverse. Une vari\'{e}t\'{e} diff\'{e}rentiable "abstraite", c'est une
sous-vari\'{e}t\'{e} diff\'{e}rentiable d'un espace euclidien,
consid\'{e}r\'{e}e \`{a} diff\'{e}omorphisme pr\`{e}s. Il n'y a pas dans
la nature de vari\'{e}t\'{e}s diff\'{e}rentiables de dimension finie plus
"abstraites" (C'est le th\'{e}or\`{e}me de Whitney). Pourquoi
torturons-nous encore maintenant les \'{e}tudiants avec la d\'{e}finition
abstraite~?  Ne vaut-il pas mieux leur d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me
de classification des vari\'{e}t\'{e}s compactes de dimension deux (des
surfaces)~? Inversement, ce th\'{e}or\`{e}me remarquable (n'est-ce pas
vraiment \'{e}tonnant que toute surface compacte connexe orient\'{e}e soit
une sph\`{e}re \`{a} laquelle on a rajout\'{e} un certain nombre
d'anses~?) donne une bonne id\'{e}e de ce qu'est la math\'{e}matique
aujourd'hui, une id\'{e}e bien plus exacte que les g\'{e}n\'{e}ralisations
superabstraites des sous-vari\'{e}t\'{e}s na\"{\i}ves des espaces
euclidiens, g\'{e}n\'{e}ralisations st\'{e}riles pr\'{e}sent\'{e}es par
les axiomatisateurs comme de grandes victoires des math\'{e}matiques.

Le th\'{e}or\`{e}me de classification des surfaces est un succ\`{e}s
math\'{e}matique de premier ordre, comparable \`{a} la d\'{e}couverte de
l'Am\'{e}rique ou \`{a} celle des rayons X. C'est une v\'{e}ritable
d\'{e}couverte de la connaissance math\'{e}matique et il est d'ailleurs
difficile de d\'{e}cider si le fait lui-m\^{e}me rel\`{e}ve des
math\'{e}matiques ou de la physique. Par sa signification et ses
cons\'{e}quences, sa contribution \`{a} une mise en place de conceptions
justes sur l'Univers, il surpasse de loin les "accomplissements" des
math\'{e}matiques que sont la solution du probl\`{e}me de Fermat ou la
d\'{e}monstration de ce que tout nombre entier assez grand est somme de
trois nombres premiers. A titre de publicit\'{e} pour la math\'{e}matique
contemporaine on pr\'{e}sente souvent de telles r\'{e}ussites sportives
comme le dernier mot de cette science. Il est clair que non seulement cela
ne provoque pas une grande admiration pour la math\'{e}matique, mais qu'au
contraire cela suscite des doutes sur la n\'{e}cessit\'{e} de tels efforts
(comparables \`{a} l'escalade de rochers difficiles) pour r\'{e}soudre des
probl\`{e}mes exotiques dont on peut se demander \`{a} qui et \`{a} quoi
ils vont servir.

Le th\'{e}or\`{e}me de classification des surfaces devrait \^{e}tre
introduit (sans d\'{e}monstration) dans le cours de math\'{e}matique
d\`{e}s le lyc\'{e}e, mais \'{e}trangement il n'est m\^{e}me pas encore
enseign\'{e} \`{a} l'Universit\'{e} (o\`{u} d'ailleurs, en France, on a
pratiquement \^{o}t\'{e} ces derni\`{e}res ann\'{e}es toute la
g\'{e}om\'{e}trie).  Le retour de l'\'{e}ducation math\'{e}matique, \`{a}
tous les niveaux, de bavardages scolastiques \`{a} l'\'{e}tude d'un champ
important de la connaissance, est une question m\^{e}me plus urgente en
France qu'ailleurs. J'ai \'{e}t\'{e} stup\'{e}fait d'apprendre qu'ici les
\'{e}tudiants ne connaissent pas les meilleurs livres d'enseignement
des m\'{e}thodes math\'{e}ma\-tiques (qui ne sont d'ailleurs pas tous
traduits en fran\c{c}ais, semble-t-il): "Nombres et figures" de
Rademacher et Toeplitz, "G\'{e}om\'{e}trie visuelle" de
Hilbert--Cohn-Vossen, "Que sont les math\'{e}matiques" de Courant--Robbins,
"Comment r\'{e}soudre un probl\`{e}me~?" et "Math\'{e}matique et
raisonnement" de G.~Polya, "Le\c{c}ons sur le d\'{e}veloppement des
math\'{e}ma\-tiques au 19\`{e}me si\`{e}cle" de F.~Klein.

Je me souviens tr\`{e}s bien de la tr\`{e}s forte impression que fit sur
moi pendant mes ann\'{e}es de lyc\'{e}e le livre d'analyse d'Hermite (qui
existait en russe!).  Les surfaces de Riemann apparaissaient,
semble-t-il, dans l'un des premiers Chapitres (l'analyse se faisait bien
entendu sur les complexes, comme il se doit. Le d\'{e}veloppement des
int\'{e}grales \'{e}tait \'{e}tudi\'{e} \`{a} l'aide de d\'{e}formations
du chemin d'int\'{e}gration sur la surface riemanienne, obtenus en
d\'{e}pla\c{c}ant les points de ramification (aujourd'hui on appellerait
cela la th\'{e}orie de Picard-Lefschetz, d'ailleurs Picard \'{e}tait le
gendre d'Hermite~; les comp\'{e}tences math\'{e}matiques se transmettent
souvent par les gendres, la dynastie
Hadamard--P.L\'{e}vy--L.Schwartz--U.Frisch est un autre exemple \`{a}
l'Acad\'{e}mie des Sciences).  Le cours obsol\`{e}te d'Hermite d'il y a
cent ans (probablement retir\'{e} \`{a} pr\'{e}sent des biblioth\`{e}ques
universitaires fran\c{c}aises) \'{e}tait bien plus moderne que les
ennuyeux manuels d'analyse qui font souffrir les \'{e}tudiants
d'aujourd'hui.  Si les math\'{e}maticiens ne se font pas eux-m\^{e}mes la
le\c{c}on, les utilisateurs (qui auront toujours besoin des r\'{e}sultats
de la math\'{e}matique moderne, dans le meilleur sens du mot, et qui
gardent une immunit\'{e} naturelle contre le bavardage axiomatique
inutile) chasseront finalement les scolastes demi-savants des \'{e}coles 
et des Universit\'{e}s. Sinon, le professeur de math\'{e}matiques qui
n'aura pas assimil\'{e} une bonne partie des Landau-Lifchitz para\^{\i}tra
aussi anachronique qu'aujourd'hui celui qui ne conna\^{\i}t pas la
diff\'{e}rence entre un ouvert et un ferm\'{e}.

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\noindent\hfill            (Traduction: J.~M.~Kantor)

\bye
