\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{russcorr}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\evensidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm}
\sloppy
\begin{document}

\title{Родственники фактора комплексной проективной плоскости
     по комплексному сопряжению.}
\author {В.И. Арнольд\thanks {частично поддержано грантом РФФИ 96-02-02204
               и Institut Universitaire de France.}}
\date{}
\maketitle
\def\CC{{\bf C}}
\def\RR{{\bf R}}
 \def\HH{{\bf H}}
 \def\P{\mbox{\rm P}}
 \def\conj{\mbox{\rm conj}}
 \def\Conj{\mbox{\rm Conj}}
 \def\Aut{\mbox{\rm Aut}}

\begin{abstract}

Доказывается, что фактор-пространство кватернионного
проективного четырехмерного пространства по группе автоморфизмов тела
кватернионов превращается при дальнейшей факторизации по кватернионной
инволюции в тринадцатимерную сферу.

Этот факт и различные его обобщения
доказываются при помощи теории гиперболических уравнений в частных
производных, доставляющей также доказательство теоремы (впервые
установленной, видимо, Л.С. Понтрягиным еще в тридцатые годы), по
которой фактор комплексной проективной плоскости по комплексному сопряжению
есть четырехмерная сфера.

\end{abstract}

\section{Введение.}

  В работе $1971$ г. о топологии вещественных алгебраических кривых
{\cite{1}} я использовал тот факт, что фактор комплексной проективной
плоскости по инволюции комплексного сопряжения представляет
собой четырехмерную сферу. Попытки найти доказательство этого
факта в литературе не были тогда успешными,{\footnote {в частности, я
спрашивал у Н. Кейпера, не знает ли он такую ссылку}}
но В.А. Рохлин
сообщил мне, что этот результат был известен Л.С.Понтрягину
еще в тридцатые годы.

  Я не знаю, каким было доказательство Л.С.Понтрягина. Мое
доказательство (опубликованное позже в {\cite{2}} ) основывалось на
теории гиперболических уравнений с частными производными.
Продумывая недавно это доказательство с точки зрения последовательной
комплексификации и кватернионизации (работы  {\cite{3}})(в связи с
попыткой дать кватернионный аналог фазы Берри и квантового
эффекта Холла, см. {\cite{4}}, {\cite{5}}), я обнаружил, что
это доказательство,
использующее комплексные числа, непосредственно переносится и на
кватернионный, и на вещественный случаи, приводя к следующей
странной троице теорем с общим доказательством (первая из которых
очевидна, а третья, кажется, нова):

\bigskip

{\bf Теорема {\RR.}} {\it
Одномерное вещественное проективное пространство
гомеоморфно окружности:}
$$ {\RR}\P^1 \approx S^1 .$$

\bigskip

{\bf Теорема {\CC.}} {\it Фактор-пространство двумерной комплексной проективной
плоскости по инволюции комплексного сопряжения гомеоморфно
четырехмерной сфере:}
$$ {\CC}\P^2 /{\conj} \approx S^4 .$$

\bigskip

{\bf Теорема {\HH.}} {\it Фактор-пространство четырехмерного кватернионного
проективного пространства по группе автоморфизмов тела кватернионов,
профакторизованное по инволюции кватернионного сопряжения,
гомеоморфно тринадцатимерной сфере:}
$$
({\HH}\P^4 /{\Aut}\HH) / {\Conj} \approx S^{13} .
$$

\bigskip

{\bf Замечание.} Построенные ниже гомеоморфизмы
становятся диффеоморфизмами, если снабдить факторы их естественными
гладкими структурами. Но описание этих структур факторов слишком
длинно и диффеоморфность ниже доказываться на будет (ср., впрочем,
{\cite {6}}-{\cite {9}}).

\section{Геометрия гиперболических конусов.}

{\bf Определение.} Вещественная алгебраическая гиперповерхность
в вещественном проективном пространстве называется {\it гиперболической}
относительно некоторой точки $P$ своего дополнения, если всякая
вещественная прямая, проходящая через точку $P$, пересекает
гиперповерхность лишь в вещественных точках (число которых,
с учетом кратностей, равно степени гиперповерхности).

Точка $P$ называется в этом случае {\it времяподобной точкой}.

В векторном пространстве $ {\RR}^{N}$, координаты точек которого являются
однородными координатами проективного пространства $ {\RR}\P^{N -1}$,
гиперболические гиперповерхности этого проективного пространства
изображаются алгебраическими гиперболическими конусами с
вершиной в начале координат, а времяподобным точкам соответствуют
{\it времяподобные векторы}. Условие гиперболичности принимает при этом
следующий вид: всякая прямая в $ {\RR}^{N}$, параллельная времяподобному
вектору, пересекает гиперболический конус в стольких вещественных
точках (с учетом кратностей), какова его степень.

\bigskip

{\bf Пример {1}.} Рассмотрим пространство {\it квадратичных форм} в $ {\RR}^{n}$.
Это вещественное векторное пространство размерности $N = n(n+1)/2$ содержит
конус вырожденных форм. Этот конус гиперболичен относительно
времяподобного вектора, которым может служить любая
положительно-определенная квадратичная форма (т.е. любая
евклидова структура в $ {\RR}^{n}$). В этом состоит теория собственных чисел
квадратичных форм. Особые точки конуса составляют множество
коразмерности $3$ в объемлющем пространстве $ {\RR}^{N}$.

\bigskip

{\bf Пример {2}.} Рассмотрим пространство {\it эрмитовых квадратичных форм}
в $ {\CC}^{n}$ (вещественных квадратичных форм в соответствующем
$ {\RR}^{2n}$,
инвариантных относительно действия группы окружности $S^1$
комплексных чисел, по модулю равных единице, на которые можно
умножить векторы из ${\CC}^{n}$).

Это вещественное векторное пространство размерности $N= n^2$
содержит конус вырожденных форм. Этот конус гиперболичен
относительно времяподобного вектора, которым может служить
любая положительно-определенная эрмитова форма (т.е. любая
эрмитова структура в $ {\CC}^{n}$). В этом состоит теория собственных
чисел эрмитовых форм. Особые точки конуса составляют множество коразмерности $4$
в объемлющем пространстве $ {\RR}^{N}$.

\bigskip

{\bf Пример {3}.} Рассмотрим пространство {\it гиперэрмитовых квадратичных
форм} в кватернионном $n$-мерном векторном пространстве ${\HH}^{n}$. Речь
идет о вещественных квадратичных формах в соответствующем
пространстве $ {\RR}^{4n}$, инвариантных относительно естественного
действия группы трехмерной сферы $S^3$, состоящей из равных по
модулю единице кватернионов, действующих на векторы кватернионного
пространства одновременным умножением всех компонент вектора
на кватернион (с какой-либо, раз навсегда выбранной, стороны).

Это вещественное векторное пространство размерности $N= n(2n-1)$
содержит конус вырожденных форм. Этот конус гиперболичен
относительно времениподобного вектора, которым может служить
любая положительно-определенная гиперэрмитова форма (т.е.
любая гиперэрмитова структура в $ {\HH}^{n}$). В этом состоит теория
собственных чисел гиперэрмитовых форм.
  Особые точки конуса составляют множество коразмерности $6$
в объемлющем пространстве $ {\RR}^{N}$).

  Основной факт геометрии гиперболических конусов, который
мы используем, состоит в следующем (ср. {\cite {2}}).

Рассмотрим пересечение гиперболического конуса степени $k$
в $ {\RR}^{N}$ со сферой $S^{N-1}$ с центром в нуле. Фиксируем времяподобную
точку $P$ (полюс) на сфере и систему соединяющих $P$ с $-P$ меридианов.
Отметим на каждом меридиане первую (считая от $P$) точку конуса,
вторую, ..., $k$-ую.

\bigskip

{\bf Теорема.} {\it Точки с одинаковым номером $i$, расположенные на всех
меридианах, образуют полуалгебраическое многообразие $V_i$,
гомеоморфное сфере $S^{N-2}$.}

\bigskip

  Действительно, гомеоморфизм многообразия $V_i$ на экватор
задается проектированием вдоль меридианов.

  Доказательства сформулированных во введении теорем получаются
из этого общего факта при его применении к многообразиям $V_1$
неотрицательно полуопределенных квадратичных форм от подходящего
числа переменных.

\section{Матрица Грама системы векторов.}

  Рассмотрим $n$ векторов $v_1,\dots ,v_n$ в евклидовом пространстве.
{\it Матрицей Грама} этой системы называется матрица из их скалярных
произведений $a_{i,j} = (v_i, v_j)$.

\bigskip

{\bf Лемма.} {\it Матрица Грама системы вектором является матрицей
неотрицательной квадратичной формы, ранг которой равен
размерности линейной оболочки векторов.

Каждая матрица неотрицательной квадратичной формы ранга $r$
реализуется как матрица Грама системы $n$ векторов в $r$-мерном
евклидовом пространстве.

Эта упорядоченная система $n$ векторов
определяется своей матрицей Грама однозначно, с точностью до
ортогональных преобразований пространства $ {\RR}^{r}$.}

\bigskip

  Доказательство этого хорошо известного факта основано на том,
что процесс ортогонализации заданного базиса евклидова
пространства позволяет выразить ортонормированный базис через
заданный базис и его матрицу Грама. Квадратичная форма,
соответствующая системе векторов, дается формулой
$f(c)= (\sum c_i v_i, \sum c_i v_i)$.

Из леммы вытекает

\bigskip

{\bf Следствие.} {\it Многообразие $V_1$ неотрицательных вырожденных
квадратичных форм в $ {\RR}^{n}$ (нормированных условием ``сумма квадратов
элементов матрицы формы в фиксированном базисе равна $1$'')
гомеоморфно многообразию упорядоченных наборов $n$ векторов
в $ {\RR}^{n-1}$ (нормированных условием ``сумма квадратов скалярных
произведений векторов равна $1$''), рассматриваемых с точностью до
ортогональных преобразований пространства $ {\RR}^{n-1}$.}

\bigskip

  В частности, применение к $V_1$ теоремы \S 2 приводит к следующему выводу.

\bigskip

{\bf Теорема.} {\it Многообразие упорядоченных нормированных наборов $n$
векторов в $ {\RR}^{n-1}$, рассматриваемых с точностью до ортогональных
преобразований этого евклидова пространства, естественно отождествляются
со сферой $S^M$, $M=n(n+1)/2 - 2$.}

\bigskip

  Теоремы из \S 1 получаются из этой теоремы при $n = 2,3,5$ (когда
$ {\RR}^{n-1}$ есть, соответственно, $\RR, \CC, \HH$).


\section{Доказательство теоремы о факторе кватернионного пространства.}

  По пятерке кватернионов $q_0,\dots , q_4 \in \HH^5$
построим неотрицательную вырожденную
квадратичную форму от пяти вещественных переменных,
$f(c)= (\sum c_i q_i, \sum c_i q_i)$ --- скалярный квадрат
кватерниона-комбинации.

По теореме \S 3, многообразие нормированных (и, следовательно,
ненулевых) пятерок, профакторизованное по действию ортогональной
группы $O(4)$ на $\HH$, представляет собой сферу $S^{13}$. Факторизацию
по действию $O(4)$ можно провести в три этапа.


\bigskip

{\bf Лемма.} {\it Фактор-пространство $S^{4m+3}/O(4)$ сферы в
$\HH^{m+1}$ по действию $O(4)$ на
$\HH$ получается из кватернионного проективного пространства
${\HH}\P^m$ факторизацией сначала по автоморфизмам тела кватернионов, а затем по
действующей на полученном факторе инволюции кватернионного
сопряжения:}
$$
S^{4m+3}/O(4) \approx ({\HH}\P^m /{\Aut}\HH) / {\Conj} .
$$

\bigskip

{\bf Доказательство.} Обозначим через $S^3 (=SU(2))$ группу кватернионов единичной
нормы. Прямое произведение $S^3\times S^3$ ортогонально действует на
пространстве кватернионов $\HH$ левыми и правыми умножениями
$q \mapsto uqv^{-1}$.
Построенное отображение $S^3\times S^3 \rightarrow SO(4)$
является универсальным двулистным
накрытием $Spin(4) \rightarrow SO(4)$,
его ядро состоит из двух элементов $(1,1)$ and $(-1,-1)$.


  Кватернионное проективное пространство ${\HH}\P^m$ состоит из классов
эквивалентности ненулевых наборов $m+1$ кватерниона
$(uq_0, \dots,uq_m) \in \HH^{m+1} \setminus 0$.
Автоморфизмы тела кватернионов --- внутренние, вида
$q \mapsto uqu^{-1}, u \in S^3$). Такой
автоморфизм переводит класс эквивалентности вектора
$q \in \HH^{m+1} \setminus 0$ в класс эквивалентности (вектора $qu^{-1}$),
так как левые сдвиги коммутируют с правыми.
Итак, $S^{4m+3}/SO(4) \approx {\HH}\P^m
/{\Aut}\HH$.

Кватернионное сопряжение $\Conj$ не действует на ${\HH}\P^m,$ но действует
на построенном пространстве двусторонних классов смежности:
элемент
$ {\Conj}(uqv^{-1})={\Conj}(v^{-1}){\Conj}(q){\Conj}(u)$
принадлежит классу ${\Conj}(q).$


Ортогональное преобразование ${\Conj}: {\HH}\rightarrow {\HH} $
меняет ориентацию этого
вещественно-четырехмерного пространства. Поэтому
$$
 ( {\HH}\P^m/{\Aut}{\HH})/{\Conj}\approx S^{4m+3} / O(4) ,
$$
что и доказывает лемму.

  Применяя лемму в случае $ m=4,$ мы получаем из теоремы \S 3
$$
 S^{13}\approx S^{19}/O(4) \approx ({\HH}\P^4/{\Aut}{\HH})/{\Conj},
$$
что и доказывает теорему {\HH}.

Теоремы {\RR} и ${\CC}$ доказываются так же, только кватернионы нужно
заменить вещественными или комплексными числами, а четырехмерное
проективное пространство - одномерным или двумерным соответственно.
Факторизация по $O(4)$ заменяется на факторизацию по действию
$O(1)$ и $O(2)$ соответственно. Вещественное (комплексное) проективное
пространство остается профакторизовать еще по действию $O(1)/S^0 = 1$
в вещественном случае и $O(2)/S^1 = S^0$ в комплексном (нетривиальный
элемент этой группы из двух элементов действует как
комплексное сопряжение на ${\CC}\P^2).$

\section{Гиперэрмитова геометрия.}

  Заменяя в теореме \S 3 квадратичные формы эрмитовыми или
гиперэрмитовыми, можно получить обобщение полученных выше
результатов.

\bigskip

{\bf Определение.} {\it Эрмитовой формой} в комплексном векторном
пространстве называется вещественная квадратичная форма на
этом пространстве, инвариантная относительно умножения векторов
на комплексные числа, по модулю равные единице. Размерность
вещественного векторного пространства эрмитовых форм в ${\CC}^m$ равна
$m^2.$

  Положительно определенная эрмитова форма называется
{\it эрмитовой структурой.} Комплексные линейные преобразования, сохраняющие
эрмитову структуру, образуют {\it унитарную группу} $U(m)$ размерности
$m^2.$ Комплексное векторное пространство с эрмитовой структурой
называется {\it эрмитовым пространством}.

\bigskip

{\bf Теорема.} {\it Многообразие упорядоченных нормированных наборов $n$
векторов в эрмитовом пространстве $\CC^{n-1},$ рассматриваемых с
точностью до унитарных преобразований этого пространства,
естественно отождествляется со сферой $S^M,  M = n^2 - 2.$}

\bigskip

{\bf  Пример.} При $n=2$ получается расслоение Хопфа, $S^2 =  S^3/S^1.$
При $n=3$ получаем фактор-пространство (но уже не базу
расслоения)
$$
 S^7 \approx S^{11}/U(2) = {\CC}\P^5 /SU(2) = {\HH}\P^2 / S^1.
$$

\bigskip

{\bf Определение.} {\it Гиперэрмитовой формой} в кватернионном векторном
пространстве называется вещественная квадратичная форма,
инвариантная относительно умножения всех компонент вектора
{\it слева} на любой кватернион единичной нормы.

\bigskip

{\bf  Замечание.} Инвариантность относительно умножения справа
отсюда не следует.

\bigskip

 Положительно  определенная гиперэрмитова форма называется
{\it гиперэрмитовой структурой,} а кватернионное пространство с
такой формой --- {\it гиперэрмитовым пространством}.

\bigskip

 {\bf Пример.}  Функция $ F(q) = q_1 \bar q_1 + \dots + q_m \bar q_m $
задает в ${\HH}^m$ {\it стандартную гиперэрмитову
структуру.} Всякая гиперэрмитова структура задается таким образом
через компоненты в подходящем базисе.
Фиксируя базис, мы получаем следующее описание гиперэрмитовых форм.

\bigskip

 {\bf Теорема.} {\it Всякая гиперэрмитова форма в ${\HH}^m$
 однозначно определяется кватернионной матрицей $f_{i,j} ,$
удовлетворяющей условию гиперэрмитовости
$f_{j,i} = \bar f_{i,j}, $ по формуле}

$$
 \begin{array}{rr}
 \;\;\;\;f(q) = \sum \limits_{i,j=1}^m q_i f_{i,j}\bar q_j. &
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)
 \end{array}
$$

 \bigskip

{\bf Доказательство.}  $1^o.$  {\it Формула задает вещественную форму.}
Действительно, $\bar f(q) = \sum q_j
\bar f_{i,j} \bar q_i = f(q). $


$2^o$. {\it Форма инвариантна относительно умножения $q$ слева на кватернион
$u$ единичной нормы.}  Действительно,

$$
f(uq) =\sum u q_i f_{i,j} \bar q_j \bar u = u f(q) \bar u = f(q),
$$
поскольку вещественное число $f(q)$ коммутирует с $u.$

$3^o.$ Итак, формула $(1)$ доставляет гиперэрмитову форму. Докажем,
что {\it всякая гиперэрмитова форма записывается в виде} $(1).$

С этой целью мы введем в ${\HH}$ и в ${\HH}^m = \oplus {\HH}^1_i$
обычное евклидово скалярное произведение $(p,q)= {\rm {\mbox Re}}(p \bar q)$.
Тогда наша квадратичная форма запишется в виде
$$
f(q) =\sum (A_{i,j}(q_i), q_j),\;\;\;\;\;\;\;\;\; A^*_{i,j} = A_{j,i}\;,
$$
где $A_{i,j} : \HH \rightarrow \HH $ - вещественно-линейный оператор,
$*$ --- евклидово сопряжение.
  Условие инвариантности $f$ принимает вид
$$
(A_{i,j}(ux), uy) = (A_{i,j}(x), y)
$$
для любых кватернионов $x$ и $y$. Следовательно, $u^{-1}A_{i,j}u =A_{i,j}$
(поскольку $u^*=u^{-1}$), т.е. оператор
$A_{i,j}$ коммутирует с умножением кватернионов на
$u$ слева.

 \bigskip

{\bf Лемма.} {\it Всякий вещественно-линейный оператор $A$ в $\HH$, коммутирующий
с умножением слева на любой кватернион
$u$ нормы единица, есть
оператор умножения на некоторый кватернион справа.}

\bigskip

{\bf  Доказательство.} По условию
$A(u) = A(u \cdot 1) = u A(1).$  Поэтому $A$
действует на любой кватернион $q$ по формуле
$A(q) = qa,$ где $a = A(1).$

\bigskip

  По доказанной лемме $A_{i,j}(q_i)=q_if_{i,j},$ где $f_{i,j}$ - кватернион.
Из симметричности $A$ следует гиперэрмитовость построенной
кватернионной матрицы $f_{i,j}$, $f_{j,i} =\bar {f_{i,j}}$.
В частности, ее диагональные элементы вещественны. Мы получаем
формулу (1):
$$
f(q) = {\rm {\mbox Re}}\sum q_i f_{i,j} \bar q_j = \sum q_i f_{i,j} \bar q_j.
$$

$4^o.$ {\it Гиперэрмитова матрица определена формой} $f$ {\it однозначно}.
Действительно, если $f=0$, то и ограничение $f$ на $\HH^1_i \oplus \HH^1_j$
равно нулю. Поэтому равны нулю операторы $A_{i,j}$, а значит и кватернионы
$f_{i,j}$. Теорема доказана.

\bigskip

{\bf Следствие.} {\it Размерность вещественного векторного пространства
гиперэрмитовых форм в $\HH^m$ равна} $m+ 4m(m-1)/2 = m(2m-1)$.

\bigskip

{\bf Определение.} {\it Гиперунитарные преобразования}
эрмитова пространства ---
это кватернионно-линейные операторы, сохраняющие гиперэрмитову
структуру. Кватернионно-линейный оператор --- это линейный оператор $A$,
для которого $A(qx) = qA(x)$ для любого кватерниона $q$.

\bigskip

Размерность гиперунитарной группы гиперэрмитова пространства
$\HH^m$ равна $m(2m+1)$. Эта группа обозначается (к сожалению) $Sp(m)$.

Гиперунитарные
преобразования задаются матрицами, элементы которых следует
ставить справа от компонент векторов:
$$
A(q_1,q_2) = (q_1a_{1,1} + q_2a_{2,1}, q_1a_{1,2} + q_2a_{2,2}) \:\;\;\;\;\;\;
\;\;\;\;\;\;\;\mbox{\rm {и
т.п.}}
$$

Условие гиперунитарности матрицы
(по отношению к стандартной гиперэрмитовой структуре
$F(q) = \sum q_i \bar {q_i}$ in $\HH$)
имеет вид
$$
\sum \limits_j a_{i,j} \bar a_{k,j} = \delta_{i,k}.
$$
Поэтому гиперэрмитово скалярное произведение (с кватернионными
значениями) в $\HH^m$, заданное формулой
$$
\langle q, r \rangle = \sum q_i \bar r_i,
$$
инвариантно относительно действия гиперунитарных преобразований:
$$
\langle Aq, Ar \rangle = \langle q, r \rangle .
$$

\bigskip

{\bf Замечание.} Это, конечно, следует и из кватернионной поляризационной
формулы, которая слишком длинна, чтобы тут ее выписывать.

\bigskip

{\bf Теорема.} {\it Многообразие упорядоченных нормированных наборов
$n$ векторов в гиперэрмитовом пространстве $\HH^{n-1}$, рассматриваемых с
точностью до гиперунитарных преобразований этого пространства, естественно
отождествляется со сферой $S^M, M=n(2n-1) - 2$.}

\bigskip

{\bf Пример.} При $n=2$ получается кватернионное расслоение Хопфа,
$S^4 = S^7/{S^3}.$ При $n=3$ получаем $S^{13} = S^{23}/{Sp(2)}.$
Это наводит на мысль о кэлиевской проективной плоскости.

\bigskip

Доказательство как этой теоремы, так и ее эрмитова аналога, --- такая же
редукция к теории гиперболических конусов, как в разобранном в
\S 3 вещественном евклидовом случае.

\bigskip

{\bf Определение.} {\it Матрицей Грама} системы $n$ векторов
$q_i$ в стандартном гиперэрмитовом  (эрмитовом) пространстве $\HH^m$ ($\CC^m$)
называется матрица гиперэрмитовой (эрмитовой) формы
$$
f(c) = F(c_1q_1+\dots+c_nq_n),\:\;\;\;\;\;\;\; c \in \HH^n (\CC^n).
$$

\bigskip

Эта форма гиперэрмитова (эрмитова), так как при умножении всех $c_i$ на
$u$ слева аргумент $F$ умножается на $u$ слева. По определению стандартной
гиперэрмитовой (эрмитовой) структуры $F$,
$$
f(c) = \sum c_i\langle q_i, q_j\rangle \bar c_j,\;\;\;\;
{\rm \mbox{откуда}} \;\;\;\; f_{i,j}=\langle q_i, q_j\rangle.
$$
Поэтому форма $f$ инвариантна относительно гиперунитарных (унитарных)
преобразований пространства $\HH^m$ ($\CC^m$).

Гиперэрмитова (эрмитова) матрица $f_{i,j}$ определяет весь процесс
ортогонализации набора векторов $q_i$. Поэтому эта матрица определяет этот
набор векторов с точностью до гиперунитарного (унитарного) преобразования
пространства $\HH^m$ ($\CC^m$).

\section{Эквивариантная теорема Неймана-Вигнера о пересечении электронных
уровней.}

Как мы видели, теории собственных чисел квадратичных, эрмитовых и
гиперэрмитовых форм являются теориями гиперболических конусов в пространствах
квадратичных форм, инвариантных относительно некоторого представления
(группы $U(1)$ в эрмитовом и $SU(2)$ в гиперэрмитовом случае), кратного
неприводимому. Соответствующие обобщения теоремы Неймана-Вигнера
(ср. \cite{6}, \cite{3}) утверждают, в наших обозначениях, что коразмерности
многообразия особенностей на конусах вырожденных форм равны, соответственно,
$2$, $3$ и $5$ (это --- коразмерности одномерных пространств диагональных форм
от двух переменных в пространствах всех квадратичных, эрмитовых или
гиперэрмитовых форм от двух переменных).

Можно заменить здесь стандартные неприводимые представления групп $U(1)$ и
$SU(2)$ на произвольные неприводимые представления произвольных компактных
групп Ли. Из сообщаемых ниже результатов вытекает, что {\it никаких новых
гиперболических конусов при этом не получится:} все пространства квадратичных
форм, инвариантных относительно кратных неприводимым вещественных
представлений компактных групп Ли, сводятся либо к пространству всех
квадратичных форм, либо к пространству всех эрмитовых форм, либо к
пространству всех гиперэрмитовых форм.

Зафиксируем вещественное неприводимое представление компактной группы Ли $G$
ортогональными преобразованиями евклидова пространства $\RR^n$.

\bigskip

{\bf Определение.} {\it Симметрией} представления называется вещественный
линейный оператор, коммутирующий со всеми операторами представления: $Ag=gA$
(оператор, сплетающий представление с самим собой).

\bigskip

Все симметрии данного представления очевидно образуют (ассоциативную) алгебру
(подалгебру алгебры всех линейных операторов из $\RR^n$ в себя). Нам
понадобится следующий вещественный аналог леммы Шура:

\bigskip

{\bf Теорема.} {\it Алгебра симметрий любого неприводимого вещественного
представления компактной группы Ли изоморфна (как алгебра линейных
преобразований евклидова пространства) одной из следующих трех алгебр: }\\
$1)$ {\it алгебра $\RR$ вещественных чисел, действующих как скалярные матрицы
в $\RR^n$;}\\
$2)$ {\it алгебра $\CC$ комплексных чисел, действующих как скалярные матрицы
в $\CC^m$ ($n=2m$);}\\
$3)$ {\it алгебра $\HH$ кватернионов, действующих как умножение справа на
кватернион компонент вектора в $\HH^k$ ($n=4k$).}\\

\bigskip

{\bf Замечание.} Эта классическая теорема доставляет царский путь к теории
кватернионов, которые появляются здесь не в виде неполного аксиоматического
обобщения теории комплексных чисел, а в виде решения естественной задачи
вещественной евклидовой геометрии. Все ``аксиомы'' теории кватернионов
оказываются вынужденными свойствами решений этой естественной задачи, и их
обнаружение не требует использования винных паров, употребленных с этой целью
Гамильтоном. Одновременно получается и классификация ассоциативных алгебр с
делением (причем не только как абстрактных объектов но и как алгебр линейных
операторов). Доказательство столь просто, что приведено ниже.

\bigskip

{\bf Доказательство.} Комплексифицируем $\RR^n$ до $\CC^n \approx \RR^{2n}$.
Комплексифицированные операторы представления $g$ и симметрии $A$ действуют на
$\CC^n$ как комплексные линейные операторы. Возникающее представление $G$ в
$\RR^{2n}$ приводимо: это прямая сумма двух копий исходного представления.

\bigskip

{\bf Лемма $1$.} {\it Комплексифицированный оператор симметрии $A$ или есть
умножение на вещественное число, либо имеет два комплексно-сопряженных
собственных числа $\lambda = \alpha \pm i\omega$ кратности $m = n/2$ каждое
(так что число $n$ четно).}

\bigskip

{\bf Доказательство.} В противном случае $A$ имел бы собственное
подпространство комплексной размерности либо больше, либо меньше, чем $m.$
Первое невозможно, так как оно пересекалось бы с $\RR^n$ вопреки
неприводимости представления
(собственные пространства $A$ инвариантны относительно представления). Во
втором случае ортогональное дополнение к собственному подпространству (также
инвариантное относительно представления) нетривиально пересекалось бы с $\RR^n$,
вопреки неприводимости.

Положим $I = (A-\alpha {\bf 1})/\omega$. Очевидна

\bigskip

{\bf Лемма $2$.} {\it Оператор симметрии $I$ - комплексная структура в
$\RR^n$, т.е. $I^2 = -{\bf 1}$.}

\bigskip

{\bf Лемма $3$.} {\it Каждая комплексная структура, являющаяся оператором
симметрии неприводимого представления в $\RR^n$, сохраняет евклидову структуру.}

\bigskip

Действительно, неотрицательная форма $(Ix,Ix)$ инвариантна, так как
$(Igx,Igx) = (gIx,gIx) = (Ix,Ix)$, так как форма $(y,y)$ $g$-инвариантна.
Поэтому $(Ix,Ix) = \lambda (x,x)$ (иначе собственное подпространство этой
формы было бы $G$-инвариантным). Значит $(x,x) = (I^2x,I^2x) = \lambda^2
(x,x),$ $\lambda^2 = 1$. Из неотрицательности формы $(Ix,Ix)$ следует, что
$\lambda = 1$, так что любая симметрия, являющаяся комплексной структурой,
ортогональна.

\bigskip

Если вещественные линейные комбинации ${\bf 1}$ и $I$ исчерпывают всю алгебру
симметрий, то мы получаем случай $2$ теоремы. Предположим, что алгебра
содержит еще одну симметрию. Заменяя ее линейной комбинацией с ${\bf 1}$, мы
превращаем ее в комплексную структуру $B$. Оператор симметрии $IB + BI$
симметрический. Из неприводимости исходного представления следует, что он
скалярный: $IB + BI = 2 \varepsilon \in \RR$. Положим
$J = (B + \varepsilon I)/ \sqrt{1-\varepsilon^2 }.$
($\varepsilon^2 \le 1,$ так как ортогональный оператор $C=IB$ не равен
$\pm{\bf 1}$ ввиду независимости $B$
от $I$.)

\bigskip

{\bf Лемма $4$.} {\it Оператор $J$ --- комплексная структура, антикоммутирующая
с $I$.}

\bigskip

Действительно,
$$
J^2 = (B + \varepsilon I)^2/ (1-\varepsilon^2) = -{\bf 1},\:\:
IJ+JI = (IB+BI + 2\varepsilon I^2)/\sqrt{1-\varepsilon^2 } = 0.
$$

\bigskip

{\bf Лемма $5$.} {\it Оператор $K = IJ$ тоже комплексная структура, причем
все три оператора $(I,J,K)$
попарно антикоммутируют.}

\bigskip

Действительно,
$$
K^2 = (IJ)(IJ) = IJ(-JI) = I^2 = -{\bf 1},
$$
$$
IK = I^2J, KI=-JI^2, JK=-J^2I, KJ = IJ^2.
$$
  Мы заключаем, что векторы $(a, Ia, Ja, Ka)$, где $a$ орт, попарно
ортогональны и порождают $\RR^4$, на котором операторы $(I,J,K)$ действуют
как кватернионы $(i,j,k).$ В ортогональном дополнении выбираем еще один орт
и строим еще одно $\RR^4$. Продолжая, мы отождествляем исходное евклидово
пространство $\RR^n$ с $\HH^k, n = 4k$.

\bigskip

{\bf Лемма $6$.} {\it Никаких других симметрий, кроме вещественных линейных
комбинаций построенных операторов $({\bf 1}, I, J, K)$, неприводимое представление
иметь не может.}

\bigskip

  Если бы была еще одна симметрия, то мы нашли бы, как выше,
ее линейную комбинацию $L$ с  и ${\bf 1}$, независимую с
$({\bf 1}, I, J, K)$, которая
была бы, как и $J$, антикоммутирующей с $I$ комплексной структурой:
$IL + LJ = 0, L^* = -L.$

  Оператор $JL + LJ$ симметрический. Вследствие неприводимости,
$JL + LJ = 2\xi{\bf 1}$ ($\xi$ --- вещественное число). Оператор
$X = K(L + \xi J)$ самосопряжен
$$
X^* = LK + \xi JK = LIJ + \xi I = -ILJ + \xi I = -I(2\xi - JL) + \xi I = - \xi I
+ KL.
$$
Вследствие неприводимости, $X = \mu \in \RR,$ откуда
$L = -\xi J - \mu K$. Лемма, а с ней и теорема, доказана.

\bigskip

  Пусть теперь в $\RR^{Nn}$ действует $N$-кратное неприводимое в
$\RR^n$ представление компактной группы Ли, имеющее в $\RR^n$ алгебру
симметрий $\RR, \CC$ или $\HH$ вещественной размерности $d = 1,2$ или $4$.

\bigskip

{\bf Теорема.} {\it Квадратичные формы в $\RR^{Nn}$, инвариантные относительно этого
представления, образуют вещественное
$N+dN(N-1)/2$-мерное векторное пространство,
изоморфное пространству квадратичных (эрмитовых, гиперэрмитовых)
форм в $\RR^N$ (в $\CC^N$, в $\HH^N$).

Определитель квадратичной формы, рассматриваемый как многочлен
от коэффициентов формы в $\RR^{Nn}$,
переходит при этом изоморфизме в $\frac nd$-ю
степень определителя соответствующей формы в $\RR^N$
(в $\RR^{2N}$, в $\RR^{4N}$).}

\bigskip

{\bf Следствие.} {\it Конус вырожденных инвариантных квадратичных форм
на пространстве $\RR^{Nn}$ переходит при указанном в теореме изоморфизме
в конус вырожденных квадратичных форм в $\RR^{N}$ (эрмитовых в $\RR^{2N}$,
гиперэрмитовых в $\RR^{4N}$).}

\bigskip

  В частности, коразмерности многообразий особенностей этих конусов
(а значит и коразмерности многообразий форм с характеристическими
корнями неминимальной кратности) зависят не от неприводимого
представления и не от группы, а только от его алгебры симметрий
(и равны $d+1$ на конусе вырожденных форм и $d+2$ в пространстве форм).

  Таким образом, явление расталкивания уровней Неймана-Вигнера
имеет всего три варианта: вещественный, эрмитов и гиперэрмитов,
причем {\it для столкновения уровней требуется, соответственно, $2,3$
или $5$ независимых параметров, каковы бы ни были компактная
группа и ее представление, кратное неприводимому вещественному
представлению.}

\bigskip

{\bf Доказательство.} Разложим представление на ортогональные
неприводимые слагаемые $\RR^n_i, i = 1, \dots, N.$
Квадратичная форма представится, как в
\S 5, в виде суммы $n \times n$-блоков,
$$
f(x) = \sum (A_{i,j}x_i, x_j),\;\;\;\;\;\;  A^*_{i,j}=A_{j,i}.
$$
  Условие инвариантности относительно преобразования $g$ группы
принимает вид $g^{-1}A_{i,j}g = A_{i,j},$ (поскольку $g$ ортогонально и
$(A_{i,j}x, y) = (x, A_{j,i}y)$).
Поэтому $A_{i,j}$ коммутирует с $g$. По (вещественной) лемме Шура оператор
$A_{i,j}:\RR^n \mapsto \RR^n$ действует либо как умножение на
вещественный скаляр, либо
как умножение в $\CC^{n/2}$ на комплексный скаляр, либо как умножение в
$\HH^{n/4}$ на кватернион (справа).

  Представим $\RR^n (\CC^{n/2}, \HH^{n/4})$ в виде ортогональной
  суммы пространств $\RR_i(\CC_i, \HH_i)$. Мы приведем
тогда матрицу нашей квадратичной формы к
блочно-диагональному виду из $n(n/2, n/4)$ одинаковых блоков, каждый из
которых является матрицей квадратичной (эрмитовой, гиперэрмитовой)
формы в пространстве $\RR^N (\CC^{N}, \HH^{N})$. Это доказывает теорему.


\bigskip

{\bf Замечание.} Характеристические многочлены наших форм в $\RR^{Nn}$
являются
  $\frac{n}{d}$-ми степенями многочленов, почти никогда не имеющих кратных
корней. Формы, для которых кратные корни есть, образуют алгебраическое
подмногообразие вещественной коразмерности ${d+1} = 2, 3$ или $5$ в пространстве
квадратичных (эрмитовых, гиперэрмитовых) форм.

 \bigskip

  Дискриминанты этих многочленов с вещественными корнями не меняют знака.
Вероятно, эти многочлены от коэффициентов форм являются суммами квадратов
нескольких многочленов\footnote{Я уже предлагал эту гипотезу несколько лет
назад на лекции в Курантовском институте о преобразовании волн определенных
гиперболическими вариационными принципами. Как мне кажется, у П. Лакса были
тогда некоторые соображения как это доказать.}.
%
% have already proposed this conjecture some years ago in
% a lecture at the Courant Institute on the transformation of
% waves defined by the hyperbolic variational principles. It seems
% that Prof. P.Lax has then some ideas how to prove it.}.

\bigskip

 {\bf Пример.} При $N=2$ этих слагаемых $2$ --- в евклидовом, $3$ --- в
 эрмитовом и $5$ --- в гиперэрмитовом случаях.

\bigskip

 {\bf Замечание.} Быть может, более простой, но также важный пример
положительного почти всюду многочлена получается при попытке
комплексификации и кватернионизации определителя линейного оператора.

   Комплексный линейный оператор $A: \CC^n \rightarrow \CC^n$ определяет
вещественный линейный
оператор $ ^{\RR}A: \RR^{2n} \rightarrow \RR^{2n}$, для которого
$ \det (^{\RR}A) = |\det A|^2.$ Следовательно, определитель овеществленного
оператора $ ^{\RR}A $ есть сумма квадратов двух многочленов от элементов
его матрицы (как это и должно быть, так как многообразие комплексных
вырожденных операторов имеет вещественную коразмерность $2$).

  Многообразие кватернионно-вырожденных операторов $ A: \HH^n \rightarrow
\HH^n$ имеет в пространстве
кватернионных операторов вещественную коразмерность четыре. Поэтому
естественно рассмотреть не меняющий знака многочлен
$\det\left( ^{\RR}A: \RR^{4n} \rightarrow \RR^{4n}\right)$  от компонент
кватернионных элементов матрицы оператора $A$ и попытаться представить
его как сумму (не менее чем четырех) квадратов.


  Кватернион можно представить комплексной $2\times 2$ матрицей
$\left( \begin{array}{cc}
             z & -\bar w \\
             w &  \bar z
             \end{array}\right).$
 Это превращает кватернионный оператор в комплексный,
$^{\CC}\!A: \CC^{2n} \rightarrow \CC^{2n}$. Очевидно,
$^{\RR}\!A= ^{\RR \CC}\!A$, поэтому
$$
\det (^{\RR}\!A) = |H|^2, \;\;\;\;{\rm {\mbox {где}}} \;\;\;\; H=\det(^{\CC}\!A).
$$
  Комплексное в принципе число $H$ в случае комплексификации
кватернионного оператора оказывается (неотрицательным) вещественным
многочленом от элементов кватернионов, составляющих матрицу $A$.
Поэтому $\det (^{\RR}\!A) = H^2$ оказывается не суммой квадратов,
а просто квадратом
неотрицательного многочлена, нули которого по-прежнему образуют
подмногообразие вещественной коразмерности $4$ в пространстве
кватернионных матриц.

  В случае $n=1$ этот многочлен $H$ есть просто сумма квадратов
четырех компонентов кватерниона. Вероятно, он является суммой
квадратов нескольких многочленов и в общем случае.
  При n = 2 многочлен $H$  допускает простое выражение через
миноры  $2\times 4$ комплексной матрицы $(z, w)$:
$$
H = |M_{12}|^2 + |M_{14}|^2 + |M_{34}|^2 + |M_{23}|^2 - 2{\rm {\mbox {Re}}}M_{13}{\bar
M}_{24},
$$
где $M_{12}M_{34} + M_{14}M_{23} = M_{13}M_{24}.$

Эти формулы удивительным образом напоминают (отличающуюся лишь
отсутствием комплексных сопряжений) формулу представления
Клейна пространства прямых в $\CC P^3$, указанную Атьей \cite{10} при
описании твисторного пространства Пенроуза.

\begin{thebibliography}{10}


\bibitem{1} В.И.Арнольд. {\it О расположении овалов вещественных плоских алгебраических
кривых, инволюциях четырехмерных многообразий и арифметике целочисленных
квадратичных форм. \/}
Функц. анализ и его прилож., 1971, т. {\bf 5}, в. 3, с. 1-9.

\bibitem{2} В.И.Арнольд. {\it Разветвленное накрытие
$\CC {\mbox{\rm P}}^2 \rightarrow
S^4,$
гиперболичность и проективная
топология.\/} Сиб. матем. журнал 1988, т. {\bf 29}, в. 5, с. 36-47.

\bibitem{3} V.I.Arnold. {\it Моды и квазимоды.\/}
Функц. анализ и его прилож.,, 1972, т. {\bf 6}, в. 2, с. 12-20.

\bibitem{4} V.Arnold. {\it Remarks on eigenvalues and eigenvectors
of Hermitian matricies, Berry phase, adiabatic
connections and quantum Hall effect.\/} Selecta
Math., 1995, V. {\bf 1}, N 1, P. 1-19.

\bibitem{5} V.Arnold. {\it Symplectization, complexification
and mathematical trinities.\/} CEREMADE(UMR 7534),
Universit\'e Paris-Dauphine, $N^o$ 9815, $04/03/98$, P. 1-20.

\bibitem{6} V.Arnold. {\it Topological content
of the Maxwell theorem on multipole
representation of spherical functions.\/} Topological
methods in nonlinear Analysis.
Journal of the Juliusz Schauder Center, Vol. {\bf 7,}
1996, p. 205-217.

\bibitem{7} W.Massey.{\it The quotient space of the
complex projective plane under the conjugation is a
$4$-sphere.\/} Geometria Dedicata, V.{\bf 2},(1973),
p.371-374.

\bibitem{8} N.H.Kuiper. {\it The Quotient Space of
$\CC{\mbox{\rm P}}^2$ by Complex Conjugation is the
$4$-sphere.\/} Math. Ann., v. {\bf 208} (1974),
p. 175-177.

\bibitem{9} A.Marin. {\it $\CC{\mbox{\rm P}}^2 /\sigma$ or
Kuiper and Massey in the land of conics.\/} In:
A.Marin, L.Guillou, A la recherche de la topologie perdue.
Progress in Math., V.{\bf 62}, Birkh\"auser, Boston, 1986,
p. 141-152.

\bibitem{10} M.F.Atiyah. {\it Geometry of Yang-Mills
Fields.\/} Accademia Nazionale dei Lincei,
Scuola Normale Superiore, Lezioni Fermiane, Pisa,
1979 (section III --- 1).

\end{thebibliography}

Математический институт Стеклова и Университет Париж-Дафин

\end{document}
