%From: "Vladimir M. Zakalyukin" <Vladimir@zakal.mccme.ru>
%Date: Wed, 17 Mar 1999 19:14:25 +0300 (MSK)
%Subject: sevruk's file

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{cyrsam,russiankoi}
%\textwidth=16.44cm \textheight=23.08cm
%\oddsidemargin=-0.5cm \evensidemargin=-0.5cm \topmargin=-0.5cm

\newenvironment{problem}[1]{\vspace{5.7mm}\noindent\textbf{#1.}}{}

\begin{document}
\baselineskip=17pt
\parindent=5mm

\centerline{\bf\large Задачи Арнольда}

\centerline{\it Март 1999}

\begin{problem}{1999-1}
Составить \textit{полный} список примыканий простых особенностей кривых в
$\mathbb C^N$.

\textit{В этой задаче и в шести последующих речь идет о комплексных кривых,
т.\,е.\ о ростках $(\mathbb C,0)\to(\mathbb C^N,0)$, однако те же вопросы
имеют смысл и для вещественных кривых~--- ростков
$(\mathbb R,0)\to(\mathbb R^N,0)$.}
\end{problem}

\begin{problem}{1999-2}
Составить список \textit{полугрупп} простых особенностей кривых в
$\mathbb C^N$.

a) Определяет ли полугруппа тип (простой) особенности?

b) Какие пары полугрупп исключают примыкание соответствующих особенностей
(вероятно, простота здесь не существенна)?

c) Реализуются ли остальные примыкания какой-либо парой (простых?\ не
простых?)\ особенностей с данными полугруппами?
\end{problem}

\begin{problem}{1999-3}
Верно ли, что \textit{простые} особенности кривых в $\mathbb C^N$~--- это
в точности те \textit{стабильно простые}, которые реализуются в $\mathbb C^N$?
\end{problem}

\begin{problem}{1999-4}
Составить список фильтрованных \textit{артиновых алгебр} простых особенностей
кривых $f\,{:}\;(\mathbb C,0)\to(\mathbb C^N,0)$.

a) Определяет ли тип простой особенности (или ее полугруппу) эта фильтрованная
алгебра (или ее действие операторами на $\mathfrak m^1/\mathcal A_f$)? Здесь
$\mathfrak m^1$~--- максимальный идеал в пространстве ростков функций
$(\mathbb C,0)\to(\mathbb C,0)$, а $\mathcal A_f$~--- идеал, порожденный
компонентами отображения $f$.

b) Определяет ли полугруппа особенности эту алгебру? фильтрацию?
\end{problem}

\begin{problem}{1999-5}
\textit{Разрешение особенностей} простых кривых в $\mathbb C^N$.

a) Составить список графов разрешений. Как они связаны с вопросом a) задачи
\textbf{1999-2}?

b) Верно ли, что модули кривых появляются в точности тогда, когда появляются
модули разрешений ($4$ точки на $\mathrm{P}^1$ и т.\,п.)?
\end{problem}

\begin{problem}{1999-6}
\textit{Стабилизация кривых}. Рассмотрим базу версальной деформации
$\mathbb C^{M(N)}$ более сложной особенности и в ней страт $\Sigma$ менее
сложной.

a) Сколько (локально) неприводимых компонент имеет страт $\Sigma$?

b) В каком смысле стабилизируются топологические (гомологические?\
гомотопические?)\ свойства дополнения $\mathbb C^{M(N)}\setminus\Sigma$ при
$N\to\infty$?

c) В каком смысле стабилизируются эти свойства дополнения (стабилизированные
при $N\to\infty$ или нет), когда тип менее сложной особенности фиксирован, а
тип исходной более сложной (простой?\ любой?)\ усложняется?
\end{problem}

\begin{problem}{1999-7}
\textit{Страт $\mu=\mathrm{const}$ для кривых}. Рассмотрим ``многообразие"
особенностей с данной коразмерностью $\mu$ орбиты в функциональном
пространстве как подмногообразие в базе $\mathbb C^{\mu}$ ее версальной
деформации.

a) Гладко ли это ``многообразие"? Неприводимо ли?

b) Как вычислить (через полугруппу?\ алгебру?\ разрешение?)\ или хотя бы
оценить его размерность $m$ в $\mathbb C^{\mu}$ (``число внутренних
модулей")?

c) Верно ли, что $m$ полунепрерывно по отношению к выбору исходной
особенности, т.\,е.\ совпадает с обычной ее модальностью?
\end{problem}

\end{document}
