%редакция 29 мая 2009
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,amsfonts,amscd}
\begin{document}

\title{Геометрический подход к стабильным гомотопическим группам
сфер.I. Инвариант Хопфа}
\author{П.М.Ахметьев  \thanks{Работа автора поддержена  грантами INTAS 00-0259, РФФИ 08-01-00663-а.}}
\date{посвящается памяти проф. М.М.Постникова}

%\language=1
\sloppy \theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{main*}{Основная Теорема}
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение}
%\newtheorem*{proposition*}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}
%\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Гипотеза}
\newtheorem{problem}[theorem]{Проблема}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Определение}
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}
\newtheorem*{remark*}{Замечание}
\newtheorem*{example*}{Пример}
\newtheorem{example}[theorem]{Пример}

\def\Z{{\Bbb Z}}
\def\R{{\Bbb R}}
\def\RP{{\Bbb R}\!{\rm P}}
\def\N{{\Bbb N}}
\def\C{{\Bbb C}}
\def\A{{\bf A}}
\def\D{{\bf D}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\i{{\bf i}}
\def\j{{\bf j}}
\def\k{{\bf k}}
\def\E{{\bf E}}
\def\F{{\bf F}}
\def\J{{\bf J}}
\def\G{{\bf G}}
\def\I{{\bf I}}
\def\e{{\bf e}}
\def\f{{\bf f}}
\def\d{{\bf d}}
\def\H{{\bf H}}
\def\fr{{\operatorname{fr}}}
\def\st{{\operatorname{st}}}
\def\mod{{\operatorname{mod}\,}}
\def\cyl{{\operatorname{cyl}}}
\def\dist{{\operatorname{dist}}}
\def\sf{{\operatorname{sf}}}
\def\dim{{\operatorname{dim}}}
\def\dist{\operatorname{dist}}

\maketitle

\begin{abstract}
В работе развивается геометрический подход к стабильным
гомотопическим группам сфер, основанный на конструкции
Понтрягина-Тома. В рамках этого подхода получено доказательство
теоремы Адамса об инварианте Хопфа для всех размерностей, исключая
$15,31$. Доказывается, что при $n
> 31$ в стабильной гомотопической группе сфер $\Pi_n$ не
существует элемента с инвариантом Хопфа 1. Новое доказательство
основано на методах геометрической топологии. Используется теорема
Понтрягина-Тома в форме Уоллеса о представлении стабильных
гомотопических групп $\lim_{k \to +\infty} \pi_{k+n}(\Sigma^k(\RP^{\infty}))$
вещественного проективного бесконечномерного
пространства (которые по теореме Кана-Придди эпиморфно
отображаются на 2-компоненты стабильных гомотопических групп сфер)
классами кобордизма погружений (вообще говоря, неориентируемых)
$n-1$--мерных многообразий в коразмерности 1. Инвариант Хопфа выражаеся
характеристическим классом $n-1$--мерного многообразия
двукратных точек самопересечения погруженного $n$--мерного многообразия,
представляющего заданный элемент в стабильной гомотопической
группе $\Pi_n$.
%В новом доказательстве применяется принцип геометрического
%контроля погружений в заданном классе регулярной гомотопии,
%который основан на теореме Смейла-Хирша о погружениях и был
%выявлен М.Громовым.
\end{abstract}


\section*{Введение}

Пусть $\pi_{n+m}(S^m)$ -- гомотопические группы сфер. При условии
$m \ge n+2$ эта группа не зависит от $m$ и обозначается $\Pi_n$.
Она называется стабильной гомотопической группой сфер в
размерности $n$. Проблема вычисления стабильных гомотопических
групп является одной из основных нерешенных проблем в топологии.
Эта проблема имеет важное прикладное значение при изучении пространства вещественных функций
(см. [В], гл.3) и при изучении задачи аппроксимации отображений вложениями [Ме2].



При вычислении элементов стабильной гомотопической группы сфер
изучают те алгебраические инварианты, определение которых дается
сразу для всех размерностей (или для некоторой бесконечной
последовательности размерностей). Тем не менее, эти инварианты,
как правило, оказываются тривиальными и не вырождаются лишь в
исключительных случаях, подробнее см. [M].


Основным алгебраическим инвариантом на гомотопических группах сфер
является  стабильный инвариант Хопфа, который представляет собой гомоморфизм
$$ h: \Pi_{2k-1} \to \Z/2, $$
и который называется также инвариантом Стинрода-Хопфа, см.,
например, [M-T] по поводу определения и основных свойств.
 Стабильный инвариант
Хопфа изучается в работе.





Доказательство следующей теоремы было получено Адамсом в [A].


\begin{theorem*}{Адамс [A]}

Стабильный инвариант Хопфа $h: \Pi_n \to \Z/2$, $n \equiv 1 \pmod{2}$,
является тривиальным тогда и только тогда, когда $n
\ne 1,3,7$.
\end{theorem*}

\begin{remark*}
Теорема Адамса в простом случае $n \ne 2^k-1$ была доказана Адемом
[Ad]. Cлучай $n=15$ был доказан Тодой (см. [M-T] гл.18).
\end{remark*}





Впоследствии Адамс и Атья предложили альтернативный подход к
изучению инвариантов Хопфа, основанный на результатах из
$K$-теории и на теореме Ботта о периодичности см. [A-A]. В
последующих работах этот подход также был обобщен. Простое
доказательство Теоремы Адамса, близкое к доказательству
Адамса-Атьи, было предложено В.М.Бух\-шта\-бе\-ром в [B].







Определение стабильного инварианта Хопфа переформулируется на языке
групп кобордизмов погруженных многообразий. В основе этого метода
лежат результаты работ [E1, K2, K-S1, K-S2, La]. Стабильный инвариант Хопфа
равен характеристическому числу многообразия двукратных точек
самопересечения исходного многообразия, представляющего элемент в
исходной группе кобордизма погружений.
Это, например, явно сформулировано в работе [E1], Лемма 3.1. Формулировка указанной леммы стандартным способом
переводится на язык теории погружений при помощи конструкции Понтрягина-Тома.

 В случае $n \not\equiv 3 \pmod{4}$
доказательство теоремы Адамса, использующее теорию погружений,
было получено А.Сючем в работе [Sz]. Следующий по сложности
случай (теорема Адема) возникает при $n \ne 2^l-1$. Теорема Адамса
в этом случае была передоказана геометрическими методами в
совместной работе автора с А. Сючем [A-Sz].


Далее в работе всюду предполагается, что $n=2^l-1$. Основной
результат настоящей работы обобщает предыдущий и состоит в
следующем.

\subsubsection*{Основная Теорема}
Пусть $g: M^{\frac{3n+3}{4}+7} \looparrowright \R^n$--
произвольное гладкое погружение замкнутого, вообще говоря,
несвязного многообразия $M$, $\dim(M)=\frac{3n+3}{4}+7$, причем
нормальное расслоение $\nu(g)$ погружения $g$ изоморфно сумме
Уитни $(\frac{n+1}{4}-8)$ экземпляров линейного расслоения
$\kappa$ над $M$, т.е. $\nu(g)=(\frac{n+1}{4}-8)\kappa$ (в
частности, $w_1(M)=0$, поскольку коразмерность погужения $g$ четна
и $w_1(M)=(\frac{n+1}{4}-8)w_1(\kappa)=0$). Тогда в предположении
$n \ge 63$ (т.е. при $l \ge 6$) справедливо равенство $\langle
w_1(\kappa)^{ \dim(M)};[M] \rangle=0$, где $w_1$ -- первый
характеристический класс Штифеля-Уитни.
\[  \]

Новое в доказательстве Основной Теоремы состоит в применении
принципа геометрического контроля, который позволяет в классе
кобордизма погружения находить погружение, у которого
подмногообразие кратных точек самопересечения имеет более простую
структурную группу нормального расслоения. Напомню, что
структурная группа нормального расслоения к многообразию кратных
точек самопересечения отвечает за перестановку листов исходного
многообразия и изменение векторов скошенного оснащения при обходе
по замкнутому пути на многообразии кратных точек.



При помощи стандартных рассуждений теории погружений из Основной
Теоремы можно вывести следующее.


\subsubsection*{Основное Следствие}

Пусть $g: M^{n-1} \looparrowright \R^n$ -- произвольное гладкое
погружение замкнутого многообразия $M^{n-1}$ (которое, вообще
говоря, ориентируемым и связным не предполагается). Тогда в
предположении $n=2^l-1$, $n \ge 63$ (т.е. при $l \ge 6$),
справедливо равенство $\langle w_1(M)^{n-1};[M] \rangle =0$.
\[  \]

\begin{remark*}
 Эквивалентность предыдущего утверждения  и теоремы Адамса (при
 $l \ge 4$) доказана в [E1,La].
\end{remark*}

Отметим, что в топологии существуют теоремы, близкие по
формулировке к Теореме Адамса. Как правило, эти теоремы являются
следствиями Теоремы Адамса. Иногда сами эти теоремы могут быть
доказаны альтернативными и более простыми методами. Как замечает
С.П.Новиков в обзоре [N], к таким теоремам относится Теорема
Милнора-Ботта о том, что касательное $n$-мерное расслоение к
стандартной сфере $S^n$ тривиально тогда и только тогда, когда
$n=1,3,7$. Это теорема была открыта в работе [B-M]. Элегантная
модификация известного доказательства была недавно получена в [F].

Остановимся на структуре работы. В разделе 1 напоминаются основные
определения и конструкции теории погружений. Результаты этого
раздела формально являются новыми, но легко получаются известными
методами. В разделе 2 Основная Теорема
переформулирована с использованием обозначений из раздела 1
(Теорема 5) и представлены основные этапы ее доказательства. В
разделе 3 проводится основной этап доказательства, а именно,
доказывается первая Основная Лемма 24, которая была высказана
С.А.Мелиховым как гипотеза и обсуждалась на семинаре проф. О.Саеки
в 2006 году, а также аналогичная ей вторая Основная Лемма 25.


Работа была написана при неоднократных обсуждениях на семинаре по
алгебраической топологии под руководством проф. М.М.Постникова. В
настоящей версии работы исправлена ошибка в формулировке Основной
Леммы 3 из [Akh], которая приводилась без доказательства.


Автор благодарит за многочисленные обсуждения проф.
В.М.Бухштабера, проф. В.А.Васильева, проф. П. Ландвебера, проф.
А.С.Мищенко, проф. О.Саеки, проф. А.Б.Скопенкова, проф.
Ю.П.Соловьёва, проф. А.В.Чернавского, проф. Е.В.Щепина, проф.
П.Дж.Экклза, Н.Бродского, С.А.Мелихова, Р.Р.Садыкова,
М.Б.Скопенкова.



\section{Предварительные редукции}
Напомним определения групп кобордизма оснащенных погружений  в
евклидово пространство, которые являются частными случаями более
общей конструкции, изложенной в книге [K1] на стр. 55 и в разделе
10. Связь с конструкцией Понтрягина-Тома объясняется в [A-E].


Пусть $f:  M^{n-1}  \looparrowright  \R^{n}$--  гладкое
погружение, причем $(n-1)$-мерное многообразие $M^{n-1}$ замкнуто
но, вообще говоря, неориентировано и несвязно. На пространстве
таких погружений введем отношение кобордантности. Скажем, что два
погружения $f_0$, $f_1$  связаны кобордизмом, $f_0  \sim  f_1$,
если существует погружение
 $ \Phi  :(  W^{n},  \partial  W  =  M^{n-1}_0  \cup
M^{n-1}_1) \looparrowright  (\R^{n}  \times  [0;1];\R^n \times
\{0,1\})$    такое, что выполнены граничные условия $f_i = \Phi
\vert_{ M^{n-1}_i} : M^{n-1}_i \looparrowright \R^{n} \times \{i\}
$, $i=0,1$ и, кроме того, требуется, чтобы погружение $\Phi$ было ортогонально к $\R \times \{0,1\}$.

Множество классов кобордантности погружений образует
абелеву группу относительно операции дизъюнктного объединения
погружений. Например, нулевой элемент этой группы представляется пустым погружением, а
элемент, обратный к данному погружению $f_0$ представлен композицией $S \circ f_0$, где $S$--зеркальная симметрия
пространства $\R^n$.
Эту группу обозначим через $Imm^{sf}(n-1,1)$. По теореме Уоллеса [Wa] указанная группа
изоморфна стабильной гомотопической группе $\lim_{k \to \infty} \pi_{k+n}(\Sigma^k\RP^{\infty})$.


Погружение $f$ определяет изоморфизм нормального расслоения
многообразия $M^{n-1}$ и ориентирующего линейного расслоения
$\kappa$, т.е. изоморфизм $D(f): T(M^{n-1}) \oplus \kappa =
n\varepsilon$, где $\varepsilon$--тривиальное линейное расслоение
над $M^{n-1}$. В похожих конструкциях теории хирургии гладких
многообразий всегда рассматривается стабильный изоморфизм
нормального расслоения многообразия $M^{n-1}$ и ориентирующего
линейного расслоения $\kappa$, т.е. изоморфизм $ T(M^{n-1}) \oplus
\kappa \oplus N\varepsilon= (n+N)\varepsilon$, где $N>>n$.
Пользуясь теоремой Хирша, легко проверить, что если двум
погружениям $f_1, f_2$ отвечают изоморфизмы $D(f_1)$, $D(f_2)$,
которые при стабилизации принадлежат одному классу (стабильного)
изоморфизма, то рассматриваемые погружения $f_1$, $f_2$
оказываются регулярно кобордантными и даже регулярно
конкордантными (но, вообще говоря, могут оказаться не регулярно
гомотопными).

Нам потребуется также группа $Imm^{sf}(n-k,k)$. Элемент этой
группы представлен тройкой $(f, \kappa, \Xi)$, где $f: M^{n-k}
\looparrowright \R^{n}$ -- погружение замкнутого многообразия,
$\kappa: E(\kappa) \to M^{n-k}$ линейное расслоение (для
сокращения обозначений далее линейное (одномерное) расслоение и
его характеристический класс в $H^1(M^{n-k};\Z/2)$ мы обозначаем
той же буквой), $\Xi$ скошенное оснащение нормального расслоения
погружения при помощи расслоения $\kappa$, т.е. изоморфизм
нормального расслоения погружения $f$ и расслоения $k \kappa$.
Тройка $(f, \kappa, \Xi)$ будет называться скошенно-оснащенным погружением.
В случае нечетного $k$ линейное расслоение $\kappa$ оказывается
ориентирующим над $M^{n-k}$, и обязательно  $\kappa=w_1(M^{n-k})$.


Два элемента группы кобордизма, представленные тройками
$(f_1,\kappa_1,\Xi_1)$ $(f_2,\kappa_2,\Xi_2)$, равны, если
погружения $f_1$, $f_2$ кобордантны, при этом требуется, чтобы
погружение кобордизма было скошенно-оснащено и требуется
согласование скошенного оснащения на кобордизме с заданными
скошенными оснащениями на компонентах границы. Заметим, что при
$k=1$ новое определение групп $Imm^{sf}(n-k,k)$ совпадает с
первоначальным.


Определим гомоморфизм: $$J^{sf}: Imm^{sf}(n-1,1) \to
Imm^{sf}(n-k,k),$$ который называется гомоморфизмом перехода в
коразмерность $k$. Рассмотрим многообразие $M'^{n-1}$, погружение
которого $f: M'^{n-1} \looparrowright \R^n$ представляет элемент
первой группы, и рассмотрим классифицирующее отображение $\kappa':
M'^{n-1} \to \RP^a$ в вещественное проективное пространство
высокой размерности ($a = n$ достаточно), представляющее
когомологический класс $w_1(M'^{n-1})$. Рассмотрим стандартное
подпространство $\RP^{a-k+1} \subset \RP^{a}$ коразмерности $k-1$.
Предположим, что отображение $\kappa'$ трансверсально вдоль
выбранного подпространства и определим подмногообразие $M^{n-k}
\subset M'^{n-1}$ как полный прообраз этого подпространства при
нашем отображении, $M^{n-k} = \kappa'^{-1}(\RP^{a-k+1})$.
Определим погружение $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$ как
ограничение погружения $f'$ на заданное подмногообразие. Заметим,
что погружение $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$ допускает
естественное скошенное оснащение. Действительно, нормальное
расслоения подмногообразия $M^{n-k} \subset M'^{n-1}$ естественно
изоморфно расслоению $(k-1) \kappa$, где $\kappa =\kappa'
\vert_{M}$ (здесь и далее, если обозначение многообразия
используется в нижнем индексе, то верхний индекс размерности
многообразия опускается). Указанный изоморфизм $\Xi$ определяется
стандартным скошенным оснащением нормального расслоения к
подмногообразию $\RP^{a-k+1}$ в многообразии $\RP^a$, которое
переносится на подмногообразие $M^{n-k} \subset M'^{n-1}$,
поскольку предполагалось, что $\kappa'$  регулярно вдоль
$\RP^{a-k+1}$. Еще одно прямое слагаемое в скошенном оснащении
$\Xi$ нормального расслоения погружения $f$ соответствует
нормальному одномерному расслоению погружения $f'$. Это расслоение
служит ориентирующим расслоением для $M'^{n-1}$, поэтому его
ограничение на $M^{n-k}$ совпадает с $\kappa$. Гомоморфизм
$J^{sf}$ переводит элемент, представленный погружением $f'$ в
элемент, представленный тройкой $(f,\kappa,\Xi)$. Из элементарных
геометрических соображений, использующих лишь понятие
трансверсальности вытекает, что гомоморфизм $J^{sf}$ корректно
определен, поскольку произвол в его конструкции приводит к тройке
из того же класса нормального кобордизма.

 При условии, что
погружение $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$ общего положения,
подмножество в $\R^n$ точек самопересечения погружения $f$
обозначается через $\Delta = \Delta(f)$, $\dim(\Delta)=n-2k$. Это
подмножество определяется по формуле:
\begin{eqnarray}\label{Delta}
\Delta=\{ x \in \R^n : \exists x_1, x_2 \in M^{n-k}, x_1 \ne
x_2, f(x_1)=f(x_2)=x\},
\end{eqnarray}
оно является замкнутым. Определим $\bar
\Delta \subset M^{n-k}$ по формуле $\bar \Delta = f^{-1}(\Delta)$.

Напомним стандартное определение многообразия двукратных точек
самопересечения данного погружения общего положения и параметризующего погружения
многообразия двукратных точек самопересечения.
Пространство $N$ определяется формулой
\begin{eqnarray}\label{N}
N=\{[(x_1,x_2)] \in (M^{n-k} \times M^{n-k})/T' : x_1 \ne x_2,
f(x_1)=f(x_2)\}
\end{eqnarray}
 ($T'$ -- инволюция, переставляющая координаты
сомножителей), а его каноническое накрывающее определяется
формулой
\begin{eqnarray}\label{barN}
\bar N=\{ (x_1,x_2) \in M^{n-k} \times M^{n-k} : x_1 \ne x_2,
f(x_1)=f(x_2)\}.
\end{eqnarray}
 В предположении о том, что погружение $f$ общего
положения, пространство $N$ является гладким многообразием
размерности $\dim(N)=n-2k$. Это многообразие обозначается через
$N^{n-2k}$.

Погружение $\bar g: \bar N^{n-2k} \looparrowright M^{n-k}$,
параметризующее $\bar \Delta$, определяется формулой $\bar g = \pi
\vert_{\bar N}$, где $\pi: M^{n-k} \times M^{n-k} \to M^{n-k}$ --
стандартная проекция на первый сомножитель. Погружение $g:
N^{n-2k} \looparrowright \R^n$, параметризующее $\Delta$,
определяется формулой $g([x_1,x_2])=f(x_1)$. Заметим, что
параметризующие погружения $g, \bar g$ не являются, вообще говоря,
погружениями общего положения. Определено двулистное накрытие $p:
\bar N^{n-2k} \to N^{n-2k}$, при этом $g \circ p = f \circ \bar g$. Это
накрытие назовем каноническим накрытием над многообразием точек
самопересечения.


\begin{definition}\label{def1}
Пусть $(f, \kappa, \Xi)$ представляет элемент из
$Imm^{sf}(n-k,k)$. Определим гомоморфизм:
$$ h_k : Imm^{sf}(n-k,k) \to \Z/2,$$
называемый инвариантом Хопфа, по формуле:
$$h_k([f,\kappa,\Xi]) =
\langle \kappa^{n-k};[\bar M^{n-k}] \rangle. $$
\end{definition}

Определения стабильного инварианта Хопфа (в смысле Определения 1)
при различных значениях $k$ согласованы между собой. Сформулируем
это в виде отдельного утверждения.

\begin{proposition}\label{prop2}
При гомоморфизме $J^{sf}: Imm^{sf}(n-1,1) \to Imm^{sf}(n-k,k)$
стабильный инвариант Хопфа сохраняется, т.е. инвариант $h_1:
Imm^{sf}(n-1,1) \to \Z/2$ и инвариант $h_k: Imm^{sf}(n-k,k) \to
\Z/2$ связаны между собой по формуле:
\begin{eqnarray}\label{1}
 h_1 = h_k \circ J^{sf}.
\end{eqnarray}
\end{proposition}

\subsubsection*{Доказательство Предложения $\ref{prop2}$}

Пусть $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$ --  погружение со
скошенным оснащением $\Xi$ и c характеристическим классом $\kappa
\in H^1(M^{n-k};\Z/2)$, представляющее элемент из
$Imm^{sf}(n-k,k)$, причем $J^{sf}([f'])=[f,\kappa,\Xi]$ для
некоторого элемента $[f'] \in Imm^{sf}(n-1,1)$. По определению
$h_k([f,\kappa,\Xi])=\langle \kappa^{n-k};[M^{n-k}] \rangle$.

C другой стороны, $M^{n-k} \subset M'^{n-1}$ представляет цикл,
двойственный в смысле Пуанкаре коциклу $\kappa'^{k-1} \in
H^{k-1}(M'^{n-1};\Z/2)$. Формула $\ref{1}$ справедлива, поскольку
$\langle \kappa'^{n-1};[M'^{n-1}]\rangle =\langle
\kappa^{n-k};[M^{n-k}]\rangle $. Действительно, образ
характеристического отображения $\kappa': M'^{n-1} \to
\RP^{\infty}$ ($\kappa: M^{n-k} \to \RP^{\infty}$), не ограничивая
общности, лежит в остове классифицирующего пространства
размерности $n-1$ ($n-k$). Характеристическое число $\langle
\kappa'^{n-1};[M'^{n-1}]\rangle$ ($\langle
\kappa^{n-k};[M^{n-k}]\rangle$) совпадает со степенью
$\deg(\kappa')$ ($\deg(\kappa)$) классифицирующего отображения
$\kappa': M'^{n-1} \to \RP^{n-1}$ ($\kappa: M^{n-k} \to
\RP^{n-k}$), которая рассматривается по модулю 2 и определяется
как четность числа прообразов регулярного значения отображения.
При этом значение $\deg(\kappa')$ ($\deg(\kappa)$) не зависит от
выбора отображения $\kappa'$ ($\kappa$) в указанный остов.
(Напомню, что классы когомологий и их характеристические
отображения обозначаются  одинаково.) Степени $\deg(\kappa')$ и
$\deg(\kappa)$ совпадают, поскольку регулярное значение можно
выбрать общим для рассматриваемых отображений. Предложение 2
доказано.
\[  \]


Сформулируем другое (эквивалентное) определение инварианта Хопфа
(в предположении $n-2k>0$).


\begin{definition}\label{proba}
Пусть $(f, \kappa, \Xi)$ представляет элемент из
$Imm^{sf}(n-k,k)$, $n-2k>0$.
 Пусть $N^{n-2k}$ -- многообразие двукратных точек погружения $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$,
 $\bar N$--каноническое двулистное накрытие над
$N$, $\kappa_{\bar N} \in H^1(\bar N;\Z/2)$ индуцирован из $\kappa
\in H^1(M^{n-k};\Z/2)$ погружением $\bar g: \bar N^{n-2k}
\looparrowright M^{n-k}$.

Определим значение гомоморфизма $h_k : Imm^{sf}(n-k,k) \to \Z/2$
по формуле:
$$h_k([f,\kappa,\Xi]) = \langle \kappa^{n-2k}_{\bar
N};[\bar N^{n-2k}] \rangle. $$
\end{definition}
\[  \]

Следующее утверждение устанавливает эквивалентность Определений 1
и $\ref{proba}$.

\begin{proposition}\label{prop4}
В условиях Определения 3 справедлива формула:
\begin{eqnarray}\label{1.400}
\langle \kappa^{n-2k}_{\bar N};[\bar N^{n-2k}] \rangle =\langle
\kappa^{n-k};[M^{n-k}]\rangle.
\end{eqnarray}
\end{proposition}


\subsubsection*{Доказательство Предложения $\ref{prop4}$}
Пусть $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$ --  погружение со
скошенным оснащением $\Xi$ и c характеристическим классом $\kappa
\in H^1(M^{n-k};\Z/2)$, представляющее элемент из
$Imm^{sf}(n-k,k)$. Пусть $N^{n-2k}$--многообразие двукратных точек
самопересечения погружения $f$, $g: N^{n-2k} \looparrowright
\R^n$--параметризующее погружение, $\bar N^{n-2k} \to
N^{n-2k}$--каноническое двулистное накрытие. Рассмотрим образ
фундаментального класса $\bar g_{\ast}([\bar N^{n-2k}]) \in
H_{n-2k}(M^{n-k};\Z/2)$ при погружении $\bar g: \bar N^{n-2k}
\looparrowright M^{n-k}$ и обозначим через $m \in
H^{k}(M^{n-k};\Z/2)$--когомологический класс, двойственный в
смысле Пуанкаре классу гомологий $\bar g_{\ast}([\bar N^{n-2k}])$.
Рассмотрим также когомологический эйлеров класс нормального
расслоения погружения $f$, который обозначим через $e \in
H^k(M^{n-k};\Z/2)$.

По Теореме Герберта (см. [E-G], Теорема 1.1) справедлива формула:
\begin{eqnarray}\label{1.500}
e=m.
\end{eqnarray}
Поскольку эйлеров класс $e$ нормального расслоения $k\kappa$
погружения $f$ равен $\kappa^k$ (классы когомологий и
соответствующие линейные расслоения обозначаются одинаково), то
цикл $\bar g_{\ast}([\bar N]) \in H_{n-2k}(M^{n-k};\Z/2)$,
двойственен в смысле Пуанкаре коциклу $\kappa^{k} \in
H^{k}(M^{n-k};\Z/2)$. Поэтому формула $(\ref{1.400})$ и
Предложение $\ref{prop4}$ доказано.
\[  \]

Более удобно переформулировать Предложение 4 (в несколько более общей форме) на языке коммутативных диаграмм.
Приступим к формулировке соответствующих определений.

Пусть $g: N^{n-2} \looparrowright \R^n$-- погружение многообразия точек самопересечения
погружения $f: M^{n-1} \looparrowright \R^n$ коразмерности $1$. Определено нормальное
двумерное расслоение погружения $g$,  которое мы будем обозначать через $\nu_N :
E(\nu_N) \to N^{n-2}$. (Пространство дискового  расслоения, ассоциированного с
векторным расслоением $\nu_N$, диффеоморфно регулярной замкнутой трубчатой окрестности
погруженния $g$.)

Это расслоение снабжено дополнительной
структурой по сравнению с произвольным векторным расслоением, а
именно, его структурная группа как $O(2)$-расслоения допускает
редукцию к дискретной группе диэдра, которую мы обозначим через
$\D_4$. Это группа восьмого порядка, она определяется как группа
перемещений плоскости, которые переводят стандартную пару
координатных осей  в себя (возможно, с изменением ориентации и
порядка).


В стандартном копредставлении группа $\D_4$ задается двумя
образующими $a,b$, которые связаны между собой соотношениями
$\{a^4=b^2=1, [a;b]=a^2\}$. Образующая $a$ представлена поворотом
плоскости на угол $\frac{\pi}{2}$, образующая $b$ представлена
симметрией относительно биссектриссы первого координатного угла.
Заметим, что элементу $ba$ (произведение будем записывать по
правилу композиции $b \circ a$ преобразований из $O(2)$)
соответствует симметрия относительно первой координатной оси.

\subsubsection*{Замечание}

В книге [A-M] описана структура когомологий по модулю 2
классифицирующего пространства группы $\D_4$ как модуля над
алгеброй Стинрода. Инвариант Хопфа, который определяется ниже как
характеристическое число на многообразии точек самопересечения
скошенно-оснащенного погружения, это
вычисление не использует.


\subsubsection*{Структурная группа нормального расслоения многообразия
точек самопересечения для погружения $f: M^{n-k} \looparrowright
\R^n$, при $k=1$.}

Используем условие трансверсальности самопересечения  погружения
$f: M^{n-1} \looparrowright \R^n$. Пусть $N^{n-2}$--многообразие самопересечения погружения $f$,
$g: N^{n-2} \looparrowright \R^n$--параметризующее погружение.
В слое $E(\nu_N)_x$ нормального
расслоения $\nu_N$ над точкой $x \in N$ фиксирована
неупорядоченная пара координатных осей. Эти оси образованы
касательными к кривым пересечения слоя $E(\nu_N)_x$ с двумя
вложенными листами погруженного многообразия, пересекающимися
трансверсально в окрестности этой точки. По построению расслоение
$\nu_N$ имеет структурную группу $\D_4 \subset O(2)$.

 Над пространством $K(\D_4,1)$
определено универсальное 2-мерное $\D_4$--расслоение, которое
обозначим через $\psi: E(\psi) \to K(\D_4,1)$. Скажем, что
отображение $\eta: N \to K(\D_4,1)$ является классифицирующим для
расслоения $\nu_N$, если определен изоморфизм $\Xi: \eta^{\ast}(\psi) = \nu_N$
обратного
образа $\eta^{\ast}(\psi)$ расслоения $\psi$ и расслоения нормального расслоения $\nu_N$ погружения $g$.
В дальнейшем само расслоение и его классифицирующее отображение
будут обозначаться одинаково и в рассматриваемом случае можно
записать $\eta=\nu_N$. Изоморфизм $\Xi$ будем называть $\D_4$--оснащением погружения $g$, а отображение $\eta$ будем называть характеристическим классом $\D_4$--оснащения $\Xi$.




\begin{remark*}

В действительности, мы описали лишь часть более общей конструкции.
Структурная группа $s$-мерного нормального расслоения к
подмногообразию $N_s$ точек самопересечения кратности $s$
погружения $f$ допускает редукцию к структурной группе $\Z/2 \int
\Sigma(s)$ -- сплетению циклической группы $\Z/2$ с группой
подстановок множества из $s$ элементов (см., например, [E1]).
\end{remark*}
\[  \]




 Пусть тройка $(f,\kappa,\Xi)$, где $f: M^{n-k}
\looparrowright \R^n$ -- погружение, $\Xi$ -- скошенное оснащение
нормального расслоения погружения $f$ c характеристическим классом $\kappa \in H^1(M;\Z/2)$, представляет элемент группы $Imm^{sf}(n-k,k)$.
 Нам потребуется обобщение предыдущего построения, которое относилось к случаю
 $k=1$. Напомним описание (см., например, [E1], [E-G])
структурной группы нормального расслоения $\nu_N$ над
многообразием точек самопересечения произвольного погружения
общего положения произвольной коразмерности $k$, $k \le
[\frac{n}{2}]$.



\begin{proposition}\label{prop5}
Нормальное $2k$-мерное расслоение $\nu_{N}$ погружения $g$
представимо в виде прямой суммы $k$ изоморфных копий двумерного
расслоения $\eta$ над $N^{n-2k}$, причем каждое двумерное
расслоение имеет структурную группу $\D_4$ и классифицируется
отображением $\eta: N^{n-2k} \to K(\D_4,1)$ (аналогичное
предложение доказано в {\rm[Sz2]}).
\end{proposition}

\subsubsection*{Доказательство Предложения $\ref{prop5}$}
Пусть $x \in N^{n-2k}$ точка на многообразии двукратных точек
погружения $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$. Обозначим через
$\bar x_1, \bar x_2 \in \bar N^{n-2k} \looparrowright M^{n-k}$ два
прообраза этой точки на каноническом накрывающем многообразии.
Ортогональное дополнение в пространстве $T_(g(x))(\R^n)$ к
подпространству $g_{\ast}(T_x(N^{n-2k}))$ является слоем
нормального расслоения $E(\nu_N)$ погружения $g$ над точкой $x \in
N^{n-2k}$. Этот слой представлен как прямая сумма двух линейных
пространств $E(\nu_N)_{x} = \bar E_{x,1} \oplus \bar E_{x,2}$, где
подпространство $\bar E_{x,i} \subset E(\nu_N)_x$ является слоем
нормального расслоения погружения $f$ в точке $\bar x_i$.


Подпространство $\bar E_{x,i}$ слоя канонически представлено в
виде прямой суммы $k$ упорядоченных линейных подпространств $\bar
E(\kappa_{x,j,i})$, $j=1, \dots, k$, $i=1,2$, причем фиксировано
семейство попарных изоморфизмов между этими пространствами,
поскольку нормальное расслоение погружения $f$ было снабжено
скошенным оснащением в коразмерности $k$. Сгруппируем слои с
одинаковыми номерами $j$ в двумерный подслой слоя $E(\nu_N)_x$.
Получим разложение слоя $E(\nu_N)_x$ над каждой точкой $x \in
N^{n-2k}$ в прямую сумму $k$ экземпляров попарно изоморфных
двумерных подпространств. Проведенная конструкция непрерывно
зависит от выбора точки $x$ и может быть проведена одновременно
для каждой точки базы $N^{n-2k}$. В результате получится требуемое
разложение расслоения $\nu_N$ в сумму Уитни некоторого числа
канонически изоморфных между собой двумерных подрасслоений. Каждое
двумерное прямое слагаемое классифицируется отображением $\eta: N
\to K(\D_4,1)$, что доказывает Предложение $\ref{prop5}$.
\[  \]


\begin{definition}\label{def6}
Определим группу кобордизма погружений
$Imm^{\D_4}(n-2k,2k)$, в предположении $n>2k$.
Пусть $(g,\Psi,\eta)$-- тройка, определяющая $\D_4$--оснащенное
погружение в коразмерности $2k$. Здесь $g: N^{n-2k} \looparrowright
\R^n$ -- погружение, $\eta: N^{n-2k} \to K(\D_4,1)$--
характеристический класс $\D_4$--оснащения $\Psi$. Отношение кобордизма троек стандартно.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lemma7}
В предположении $k_1 < k$, $2k < n$, определена коммутативная диаграмма гомоморфизмов групп:
\begin{eqnarray}\label{1.5}
\begin{array}{ccccc}
Imm^{sf}(n-k_1,k_1) & \stackrel{J^{sf}}{\longrightarrow} & Imm^{sf}(n-k,k) & \stackrel{h_k}{\longrightarrow} & \Z/2\\
\downarrow \delta_{k_1}& &\downarrow \delta_{k} && \| \\
Imm^{\D_4}(n-2k_1,2k_1) & \stackrel{J^{\D_4}}{\longrightarrow} &
Imm^{\D_4}(n-2k,2k) & \stackrel{h^{\D_4}_k}{\longrightarrow} &
\Z/2.
\end{array}
\end{eqnarray}
\end{lemma}

\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma7}$}
Определим гомоморфизмы в диаграмме $(\ref{1.5})$. Гомоморфизм
$$Imm^{sf}(n-k_1,k_1)  \stackrel{J^{sf}}{\longrightarrow}
Imm^{sf}(n-k,k)$$
 определяется дословно также, как был определен
гомоморфизм перехода в коразмерность $k$ для случая $k_1=1$.
Гомоморфизм $$Imm^{sf}(n-k,k)
\stackrel{\delta_{k}}{\longrightarrow}  Imm^{\D_4}(n-2k,2k)$$
переводит класс кобордизма тройки $(f,\kappa,\Xi)$ в класс
кобордизма тройки $(g,\eta,\Psi)$, где $g: N^{n-2k}
\looparrowright \R^n$ -- параметризующее погружение многообразия
точек самопересечения погружения $f$ (предполагается, что
погружение $f$ самопересекается трансверсально), $\Psi$--это
$\D_4$--оснащение нормального расслоения погружения $g$,
$\eta$--характеристический класс $\D_4$-- оснащения $\Psi$.

Приступим к определению гомоморфизма
$$Imm^{\D_4}(n-2k,2k)
\stackrel{h^{\D_4}_k}{\longrightarrow}  \Z/2,$$
который назовем
диэдральным инвариантом Хопфа. Определим подгруппу
\begin{eqnarray}\label{1.6}
\I_c \subset \D_4,
\end{eqnarray}
порожденную преобразованиями плоскости, сохраняющими собственное
подпространство каждого базисного вектора. Группа $\I_c$ является
элементарной абелевой группой ранга 2. Определим гомоморфизм
\begin{eqnarray}\label{1.7}
l^{[2]}: \I_c \to \Z/2,
\end{eqnarray}
отвечающий за преобразование в собственном пространстве первого
базисного вектора. Подгруппа $(\ref{1.6})$ имеет индекс 2 и
определено 2-листное накрытие:
\begin{eqnarray}\label{1.8}
 K(\I_c,1) \to K(\D_4,1),
\end{eqnarray}
индуцированное этой подгруппой.

Обозначим через
\begin{eqnarray}\label{1.9}
\bar N^{n-2k} \to N^{n-2k}
\end{eqnarray}
2-листное накрытие, индуцированное характеристическим классом
$\eta: N^{n-2k} \to K(\D_4,1)$ из накрытия $(\ref{1.8})$.
Определен характеристический класс:
$$  \bar \eta^{sf} = l \circ \bar \eta^{\I_c} : \bar N^{n-2k} \to K(\Z/2,1), $$
где $\bar \eta^{\I_c}: \bar N^{n-2k} \to  K(\I_c,1)$-- двулистное
накрытие над классифицирующим отображением $\eta: N^{n-2k} \to
K(\D_4,1)$, индуцированное накрытиями $(\ref{1.8})$, $(\ref{1.9})$
над пространствами обаза и прообраза отображения $\eta$
соответственно.

Определим значение гомоморфизма $Imm^{\D_4}(n-2k,2k)
\stackrel{h^{\D_4}_k}{\longrightarrow}  \Z/2$ по формуле:
\begin{eqnarray}\label{1.99}
h^{\D_4}_k([g,\eta,\Psi]) = \left\langle  (\bar
\eta^{sf})^{n-2k};[\bar N^{n-2k}] \right\rangle.
\end{eqnarray}

Диаграмма $(\ref{1.5})$ определена. Коммутативность правого
квадрата диаграммы вытекает из прямых геометрических рассуждений.
Коммутативность правого квадрата диаграммы вытекает при $k_1=1$ из
Предложения 5, а при произвольном $k_1$ доказательство аналогично.
Лемма $\ref{lemma7}$ доказана.
\[  \]

Нам потребуется эквивалентное определение диэдрального инварианта Хопфа.
Рассмотрим подгруппу в группе $O(4)$ преобразований, переводящих
множество векторов $(\e_1,\e_2,\e_3,\e_4)$ стандартного базиса в себя, быть может, изменяя направления некоторых
векторов и, кроме того, сохраняющих пару 2-мерных подпространств, порожденных
базисными векторами $(\e_1,\e_2)$, $(\e_3,\e_4)$.
При этом указанные 2-мерные подпространства могут, вообще говоря, переставляться между собой.
Обозначим подгруппу таких преобразований через $\Z/2^{[3]}$.
Определим цепочку подгрупп индекса 2:
\begin{eqnarray}\label{1.10}
\H_{\bar c} \subset \H_c \subset \Z/2^{[3]}.
\end{eqnarray}
Подгруппа $\H_c$ определена как подгруппа преобразований,
инвариантных на каждом 2-мерном подпространстве, порожденном
парами векторов $(\e_1,\e_2)$, $(\e_3,\e_4)$. Эта подгруппа
изоморфна прямой сумме двух экземпляров группы $\D_4$, каждое
прямое слагаемое инвариантно действует в соответствующем 2-мерном
подпространстве. Подгруппа $ \H_{\bar c} \subset \H_c$ определена
как подгруппа преобразований, инвариантных на каждом линейном
подпространстве, порожденных векторами $\e_1$, $\e_2$.




Пусть $(g, \eta, \Psi)$ представляет элемент из
$Imm^{\D_4}(n-2k,2k)$ в предположении, что $n-4k>0$ и что $g$ является погружением общего положения.
 Пусть $L^{n-4k}$ -- многообразие двукратных точек погружения $g: N^{n-2k} \looparrowright \R^n$. Определена
башня 2-листных накрытий:
\begin{eqnarray}\label{1.12}
L_{\H_{\bar c}}^{n-4k} \to L_{\H_c}^{n-4k} \to L^{n-4k}
\end{eqnarray}
в результате следующей конструкции. Определено параметризующее
погружение $h: L^{n-4k} \looparrowright \R^n$. Нормальное
расслоение погружения $h$ обозначим через $\nu_L$. Это расслоение
крассифицируется отображением
 $\zeta: L^{n-4k} \to K(\Z/3^{[3]},1)$.
Цепочка подгрупп $(\ref{1.10})$ индуцирует башню 2-листных накрытий классифицирующих пространств:
\begin{eqnarray}\label{1.11}
K(\H_{\bar c},1) \subset K(\H_c,1) \subset K(\Z/2^{[3]},1)
\end{eqnarray}
над пространством-образом классифицирующего отображения $\zeta$ и
башню 2-листных накрытий $(\ref{1.12})$ над
пространством-прообразом отображения $\zeta$. Накрытие
$L_{\H_{\bar c}} \to  L^{n-4k}$, определенное формулой
$(\ref{1.12})$, будем называть каноническим 4-листным накрытием
над многообразием точек самопересечения погружения $g$.


Определено отображение классифицирующих пространств:
\begin{eqnarray}\label{1.41}
K(\H_{\bar c},1) \to K(\Z/2,1),
\end{eqnarray}
индуцированное гомоморфизмом
\begin{eqnarray}\label{1.51}
l^{[3]}: \H_{\bar c} \to \Z/2,
\end{eqnarray}
который отвечает за преобразование линейного собственного
подпространства вектора $\e_1$. Определены классифицирующее
отображение $\bar \zeta^{\H_{\bar c}}: \bar L_{\H_{\bar c}}^{n-4k}
\to K(\H_{\bar c},1)$ в результате перехода к 4-листному накрытию
над отображением $\zeta$ и характеристическое отображение $\bar
\zeta^{sf}: L^{n-4k}_{\H_{\bar c}} \to K(\Z/2,1)$ в результате
композиции классифицирующего отображение $\bar \zeta^{\H_{\bar
c}}$ с отображением $(\ref{1.41})$.


\begin{proposition}\label{prop8}
Предположим, что $\D_4$--оснащенное погружение $(g, \eta, \Psi)$,
представляющее элемент из группы $Imm^{\D_4}(n-2k,2k)$, лежит в
образе гомоморфизма
$$ \delta_k: Imm^{sf}(n-k,k) \to Imm^{\D_4}(n-2k,2k).$$
Тогда справедлива формула:
\begin{eqnarray}\label{1.60}
\langle (\bar \zeta^{sf})^{n-4k}; [\bar L_{\H_{\bar c}}^{n-4k}]
\rangle =\langle (\bar \eta^{sf})^{n-2k};[\bar N^{n-2k}]\rangle.
\end{eqnarray}
\end{proposition}

\subsubsection*{Доказательство Предложения $\ref{prop8}$}
Пусть $g: N^{n-2k} \looparrowright \R^n$ --  погружение с
$\D_4$--оснащением $\Psi$ и c характеристическим классом $\eta:
N^{n-2k} \to K(\D_4,1)$, представляющее элемент из
$Imm^{\D_4}(n-2k,2k)$ из образа $\delta_k$. Пусть
$L^{n-4k}$--многообразие двукратных точек самопересечения
погружения $g$, $h: L^{n-4k} \looparrowright
\R^n$--параметризующее погружение, $\bar L^{n-4k} \to
L^{n-4k}$--каноническое двулистное накрытие. Рассмотрим образ
фундаментального класса $\bar h_{\ast}([\bar L^{n-4k}]) \in
H_{n-4k}(N^{n-2k};\Z/2)$ при погружении $\bar h: \bar L^{n-4k}
\looparrowright N^{n-2k}$ и обозначим через $m \in
H^{2k}(N^{n-2k};\Z/2)$--когомологический класс, двойственный в
смысле Пуанкаре классу гомологий $\bar h_{\ast}([\bar L^{n-4k}])$.
Рассмотрим также когомологический эйлеров класс нормального
расслоения погружения $g$, который обозначим через $e \in
H^{2k}(N^{n-2k};\Z/2)$.

По Теореме Герберта (см. [E-G], Теорема 1.1) справедлива формула
$(\ref{1.500})$.
%$$ e=m. $$
Обозначим через $\bar e \in H^{2k}(\bar N^{n-2k}_{sf};\Z/2)$,
$\bar m \in H^{2k}(\bar N^{n-2k}_{sf};\Z/2)$ -- образы коциклов
$e$, $m$ соответственно при каноническом двулистном накрытии $\bar
N^{n-2k}_{sf} \to N^{n-2k}$. Справедлива также формула:
$$ \bar e= \bar m, $$
в частности, справедлива формула:
\begin{eqnarray}\label{1.61}
\langle (\bar \eta^{sf})^{n-4k} \bar m;[\bar N_{sf}^{n-2k}]
\rangle = \langle (\bar \eta^{sf})^{n-4k} \bar e;[\bar
N_{sf}^{n-2k}] \rangle.
\end{eqnarray}
 Правая часть формулы $(\ref{1.61})$ равна
$h^{\D_4}_{2k}(J^{\D_4}([g,\eta,\Psi]))$. Это характеристическое
число в силу коммутативности диаграммы $(\ref{1.5})$ совпадает с
$h^{\D_4}_{k}([g,\eta,\Psi]) = \langle (\bar
\eta^{sf})^{n-2k};[\bar N^{n-2k}]\rangle $ в правой части формулы
$(\ref{1.60})$. Поскольку характеристические классы $\bar
\zeta^{sf}: \bar L_{sf}^{n-4k} \to K(\Z/2,1)$ и $\bar \eta^{sf}
\vert_{\bar L_{sf}}$ совпадают, левая часть формулы $(\ref{1.61})$
равна характеристическому числу $\langle (\bar \zeta^{sf})^{n-4k};
[\bar L_{\H_{\bar c}}^{n-4k}] \rangle$ из левой части формулы
$(\ref{1.60})$. Предложение $\ref{prop8}$ доказано.
\[  \]


\section{Доказательство основной теоремы}



Переформулируем Основную Теорему.

\begin{theorem}\label{th9}
При $l \ge 6$ гомоморфизм $h_{2^{l-2}-8}: Imm^{sf}(3 \cdot
2^{l-2}+7,2^{l-2}-8) \to \Z/2$, заданный Определением 3,
тривиален.
\end{theorem}


\subsubsection*{Вывод Основного Следствия из Теоремы $\ref{th9}$}
Рассмотрим гомоморфизм $J^{sf}: Imm^{sf}(n-1,1) \to Imm^{sf}(3
\cdot 2^{l-2}+7,2^{l-2}-8)$. Согласно Предложению 4,
$h_1=h_{2^{l-2}-8} \circ J^{sf}$. Пусть элемент в группе
$Imm^{sf}(n-1,1)$ представлен погружением $f: M^{n-1}
\looparrowright \R^n$, $w_1(M)=\kappa$. Значение $h_k(J^{sf}(f))$,
где $k=2^{l-2}-8$, совпадает с характеристическим числом $\langle
\kappa^{n-1};[M^{n-1}]\rangle$. Используя Теорему $\ref{th9}$,
получаем требуемое.
\[  \]

Для доказательства Теоремы $\ref{th9}$ потребуются ввести
дополнительные определения и обозначения.


\subsubsection*{Определение подгрупп $\I_d \subset \I_a \subset \D_4$, $\I_b \subset \D_4$}
 Обозначим через
 $\I_a = \subset
 \D_4$ циклическую подгруппу порядка 4 индекса 2,  содержащую нетривиальные элементы
 $a,a^2,a^3
\in \D_4$ (т.е. порожденную преобразованием поворота, меняющим
координатные оси). Обозначим через $\I_d
\subset \I_a$ -- подгруппу c нетривиальным элементом $a^2$ (
преобразование центральной симметрии).
Обозначим через $\I_b
\subset \D_4$ -- подгруппу c образующими $a^2$, $ab$ (преобразование симметрии относительно
биссектриссы первой координатной четверти).

Определены
гомоморфизмы включения подгрупп: $i_{d,a}: \I_d \subset
\I_a$  $i_{d,b}: \I_d \subset
\I_b$. В случае, если образ совпадает со всей группой
$\D_4$ соответствующий индекс при гомоморфизмах включений опускается:
$i_d: \I_d \subset \D_4$, $i_a: \I_a \subset \D_4$, $i_b: \I_b \subset \D_4$.
\[  \]

\subsubsection*{Определение подгруппы $i_{\Q_a}: \Q_a \subset \Z/2^{[3]}$}

Обозначим через $\Q_a$ -- группу кватернионов порядка 8.
Эта группа задана копредставлением $\{ \i,\j,\k \vert \i\j = \k = -\j\i,
\j\k=\i = -\k\j, \k\i = \j = -\i\k, \i^2 =\j^2 = \k^2 =-1 \}$. Определено
стандартное представление $\chi_+: \Q_a \to SO(4)$. Представление
$\chi_+$ (матрица действует слева на вектор-столбец) переводит
единичные кватернионы $\i,\j,\k$ в матрицы
\begin{eqnarray}\label{Q a1}
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right),
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\label{Q a2}
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right),
\end{eqnarray}
%$$
%$$
\begin{eqnarray}\label{Q a3}
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right).
\end{eqnarray}
%$$
Указанное представление определяет подгруппу $i_{\Q_a}: \Q_a \subset
\Z/2^{[3]} \subset O(4)$.

\subsubsection*{Определение подгрупп $\I_d \subset \I_a \subset \Q_a$}

Обозначим через
$i_{\I_d,\Q_a}: \I_d \subset \Q_{a}$ -- центральную подгруппу в кватернионной группе,
которая оказывается также центральной и во всей группе $\Z/2^{[3]}$.


Обозначим через
$i_{\I_a,\Q_a}: \I_a \subset \Q_{a}$ -- подгруппу в кватернионной группе,
порожденную комплексным кватернионом $\i$.

Определены также гомоморфизмы включения
$i_{\I_d}: \I_d \subset \Z/2^{[3]}$,
$i_{\Q_a}: \Q_a \subset \Z/2^{[3]}$
\[  \]

\begin{definition}\label{defcycl}
Структурное отображение $\eta: N^{n-2k} \to K(\D_4,1)$ называется
циклическим, если оно является композицией некоторого отображения
$\mu_a:  N^{n-2k} \to K(\I_a,1)$ и включения $i_a: K(\I_a,1)
\subset K(\D_4,1)$.
\end{definition}


\begin{definition}\label{defQ}
Структурное отображение $\zeta: L^{n-4k} \to K(
\Z/2^{[3]},1)$ называется кватернионным, если оно является композицией
некоторого отображения $\lambda_a:  L^{n-4k} \to K(\Q_a,1)$ и
включения $K(\Q_a,1) \subset K(\Z/2^{[3]},1)$.
\end{definition}




 Ниже нам потребуется конструкция пространств
Эйленберга-Маклейна $K(\I_a,1)$, $K(\Q_a,1)$ и описание
конечномерных остовов этих пространств, которое мы напомним.
Рассмотрим бесконечномерную сферу $S^{\infty}$ (это стягиваемое
пространство), которая определяется как прямой предел
бесконечной цепочки вложений стандартных сфер нечетной
размерности,
$$S^{\infty}=
\lim_{\longrightarrow} \quad (S^1 \subset S^3 \subset \dots \subset
S^{2j-1} \subset S^{2j+1} \subset \dots  \quad) .$$

При этом $S^{2j-1}$ определяется по формуле $S^{2j-1}=\{(z_1,
\dots, z_j) \in \C^j \vert \vert z_1 \vert ^2+ \dots + \vert
z_j\vert ^2=1 \}$. Пусть $\i(z_1, \dots, z_j)=(\i z_1, \dots, \i z_j)$.
 Тем самым,
пространство $S^{2j-1}/\i$ служит $(2j-1)$-мерным остовом
пространства $S^{\infty}/i$, который  называется $(2j-1)$-мерным
линзовым пространством над $\Z/4$. Само пространство
$S^{\infty}/\i$ является пространством Эйленберга-Маклейна
$K(\I_a,1)$.

Определим пространство $K(\Q_a,1)$.
Рассмотрим
бесконечномерную сферу $S^{\infty}$ (это стягиваемое
пространство), которая определяется как прямой предел
бесконечной цепочки вложений стандартных сфер:
$$S^{\infty}=
\lim_{\longrightarrow} \quad (S^3 \subset S^7 \subset \dots \subset
S^{4j-1} \subset S^{4j+3} \subset \dots  \quad).$$

 Определено покоординатное действие $\Q_a
\times (\C^{2})^j \to (\C^{2})^j$ на каждом прямом слагаемом $\C^2$ в
соответствии с формулами $\ref{Q a1}, \ref{Q a2}, \ref{Q a3}$.
 Тем самым,
пространство $S^{4j-1}/\Q_a$ служит $(4j-1)$-мерным остовом
пространства $S^{\infty}/\Q_a$ и  называется
$(4j-1)$-мерным линзовым пространством над $\Q_a$. Само
пространство $S^{\infty}/\Q_a$ является пространством
Эйленберга-Маклейна $K(\Q_a,1)$.


\subsubsection*{Определение характеристического числа $h_{\mu_a,k}$}

Пусть в предположении $n>2k$ на многообразии точек самопересечения
$N^{n-2k}$ скошенно-оснащенного погружения определено произвольное
отображение $\mu_a: N^{n-2k} \to K(\I_a,1)$. Определим
характеристическое число $h_{\mu_a,k}$ по формуле:

\begin{eqnarray}\label{mu_a}
 h_{\mu_a,k}=\langle \bar \mu_a^{\ast}x;[\bar
N_a^{n-2k}]\rangle,
\end{eqnarray}
где $\bar \mu_a: \bar N_a^{n-2k} \to K(\I_d,1)$ -- двулистное
накрывающее над отображением $\mu_a: N_a^{n-2k} \to K(\I_a,1)$, индуцированное накрытием
$K(\I_d,1) \to K(\I_a,1)$, $x \in  H^{n-2k}(K(\I_d,1);\Z/2)$ --
образующая,  $[\bar N_a^{n-2k}]$ -- фундаментальный класс многообразия
$\bar N_a^{n-2k}$. (Многообразие $\bar N_a^{n-2k}$ совпадает с
каноническим 2-листным накрывающим $\bar N^{n-2k}$, если структурное отображение
$\eta: N^{n-2k} \to K(\D_4,1)$
является циклическим.)



\subsubsection*{Определение характеристического числа $h_{\lambda_a,k}$}

Пусть в предположении $n>4k$ на многообразии точек самопересечения
$L^{n-4k}$ $\D_4$--оснащенного погружения определено произвольное
отображение $\lambda_a: L^{n-4k} \to K(\Q_a,1)$. Определим
характеристическое число $h_{\lambda_a,k}$ по формуле:



\begin{eqnarray} \label{lambda_a}
 h_{\lambda_a,k}=\langle \bar
\lambda_a^{\ast}y;[\bar L_a]\rangle,
\end{eqnarray}
 где
$y \in H^{n-4k}(K(\H_e,1);\Z/2)$ -- образующая, $\bar \lambda_a:
\bar L_a^{n-4k} \to K(\H_e,1)$ -- 4-листное накрытие над
отображением $\lambda_a$, индуцированное из накрытия $K(\H_e,1)
\to K(\Q_a,1)$, $[\bar L_a]$-- фундаментальный класс многообразия
$\bar L_a^{n-4k}$. (Многообразие $\bar L_a^{n-4k}$ не совпадает с
каноническим 4-листным накрывающим $\bar L^{n-4k}$, если
структурное отображение $\zeta$ не является кватернионным.)
где $\bar \lambda_a: \bar L_a^{n-4k} \to K(\H_e,1)$ -- 4-листное
накрытие над отображением $\lambda_a: L_a^{n-4k} \to K(\Q_a,1)$, индуцированное накрытием
$K(\Q_e,1) \to K(\Q_a,1)$, $y \in  H^{n-4k}(K(\H_e,1);\Z/2)$ --
образующая,  $[\bar L_a^{n-4k}]$ -- фундаментальный класс многообразия
$\bar L_a^{n-4k}$. (Многообразие $\bar L_a^{n-4k}$ совпадает с
каноническим 4-листным накрывающим $L_{\H_{\bar c}}^{n-4k}$, если структурное отображение $\zeta: L^{n-4k}
\to K(\Z/2^{[3]},1)$
является кватернионным.)


\begin{lemma}\label{lemma12}
Для произвольного скошенно-оснащенного погружения $(f: M^{n-k}
\looparrowright \R^n, \kappa, \Xi)$ с многообразием
самопересечения $N^{n-2k}$, для которого классифицирующее
отображение $\eta$ нормального расслоения оказывается циклическим,
справедливо равенство
$$h_k(f,\kappa, \Xi) = h_{\mu_a,k},$$
где характеристическое число в правой части вычислено для
такого отображения $\mu_a$, что $\eta = i_a \circ \mu_a$,  $i_a: \I_a \subset \D_4$.
\end{lemma}


\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma12}$}

Рассмотрим двулистное накрытие $\bar \mu_a: \bar N_a^{n-2k} \to
K(\I_d,1)$ над отображением $\mu_a: N^{n-2k} \to K(\I_a,1)$,
индуцированное двулистным накрытием $K(\I_d,1) \to K(\I_a,1)$ над
пространством--образом отображения. Поскольку структурное
отображение $\eta$ является циклическим, многообразие $\bar
N^{n-2k}_a$ совпадает с каноническим двулистным накрывающим $\bar
N^{n-2k}$  над многообразием  самопересечения $N^{n-2k}$
погружения $f$. Доказательство леммы  вытекает из Леммы 7,
поскольку отображения $\bar \mu_a$ и $\bar \eta$ совпадают и
характеристическое число $h_{\mu_a,k}$ вычисляется как в левой
части равенства ($\ref{1.99}$).
\[  \]

\begin{lemma}\label{lemma13}
Для произвольного $\D_4$--оснащенного погружения $(g: N^{n-2k}
\looparrowright \R^n, \eta, \Psi)$ с многообразием самопересечения
$L^{n-4k}$, для которого классифицирующее отображение $\zeta$
нормального расслоения оказывается кватернионным, справедливо
равенство
$$h_k(g,\eta, \Psi) = h_{\lambda_a,k},$$
где характеристическое число в правой части вычислено для такого
отображения $\lambda_a$, что $\zeta = i_{a} \circ \lambda_a$, $i_{a}: \Q_a
\subset \Z/2^{[3]}$.
\end{lemma}


\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma13}$}

Рассмотрим 4-листное накрытие $\bar \lambda_a: \bar L_a^{n-4k} \to
K(\H_d,1)$ над отображением $\lambda_a: L^{n-4k} \to K(\Q_a,1)$,
индуцированное 4-листным накрытием $K(\Q_e,1) \to K(\Q_a,1)$ над
пространством--образом отображения. Поскольку структурное
отображение $\zeta$ является кватернионным, многообразие $\bar
L^{n-4k}_a$ совпадает с каноническим 4-листным накрывающим $\bar
L^{n-4k}_{sf}$ над многообразием точек самопересечения $L^{n-4k}$
погружения $g$. Доказательство леммы вытекает из Предложения 8,
поскольку отображения $\bar \lambda_a$ и $\bar \zeta^{sf}$
совпадают и характеристическое число $h_{\lambda_a,k}$ вычисляется
по отображению $\bar \lambda_a$ как в правой части равенства
($\ref{1.60}$).
\[  \]



\begin{definition}\label{def14}
Пусть $N^{n-2k}$ -- многообразие двукратных точек самопересечения
скошенно-оснащенного погружения   $(f,  \Xi, \kappa)$ в
предположении, что $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$ -- погружение
общего положения.
 Скажем, что это скошенно-оснащенное погружение
 допускает циклическую структуру, если существует
 отображение
$\mu_a : N^{n-2k} \to K(\I_a,1)$ (при этом, вообще говоря, классифицирующее отображение $\eta$
циклическим не предполагается) такое, что $h_{\mu_a,k}=h_k(f,\Xi,
\kappa)$.
\end{definition}

\begin{example}\label{def15}
Из Леммы 10 вытекает, что если классифицирующее отображение $\eta$
является циклическим, то  циклическую структуру можно задать
отображением  $\mu_a: N^{n-2k} \to K(\I_a,1)$, где $i_a \circ \mu_a =
\eta$, $i_a: K(\I_a,1) \subset K(\D_4,1)$.
\end{example}

\begin{definition}\label{def16}
Пусть $L^{n-4k}$--многообразие двукратных точек самопересечения
$\D_4$-оснащенного погружения $(g, \Psi, \eta)$ в предположении,
что $g: N^{n-2k} \looparrowright \R^n$--погружение общего
положения.
 Скажем, что это $\D_4$--оснащенное погружение
 допускает кватернионную структуру, если существует
 отображение
$\lambda_a : L^{n-4k} \to K(\Q_a,1)$ (при этом, вообще говоря, классифицирующее отображение $\zeta$
циклическим не предполагается) такое, что
$h_{\lambda_a,k}=h_k(g,\Psi,  \eta)$.
\end{definition}

\begin{example}\label{ex17}
Из Леммы 11 вытекает, что если структурное отображение $\zeta$
является кватернионным, то кватернионную структуру можно задать
отображением  $\lambda_a: L^{n-4k} \to K(\Q_a,1)$, где $i_{Q_a}
\circ \lambda_a = \zeta$, $i_{Q_a}: K(\Q_a,1) \subset K(\Z/2^{[3]},1)$.
\end{example}
\[  \]

Нам потребуется cформулировать понятие циклической и кватернионной
структур без предположения о том, что отображения $f: M^{n-k} \to
\R^n$, $g: N^{n-2k} \to \R^n$ являются погружениями. Мы
сформулируем необходимое определение в минимальной общности в
предположении $M^{n-k}=\RP^{n-k}$, $N^{n-2k} = S^{n-2k}/\i$. Итак,
пусть $d: \RP^{n-k} \to \R^n$ является гладким отображением общего
положения.

%\subsubsection*{Размерностное ограничение}
%Предполагается, что выполнено  условие $n<3k$ и значение $k$
%четно. Доказательство Леммы 16 происходит при
%$k=\frac{n+1}{2}-8$, $n = 2^l-1$, $k= 2^{l-1}-8$, $l \ge 8$.
%Это размерностное ограничение будет использовано, например, в начале раздела 3.
%\[  \]

Рассмотрим конфигурационное пространство
\begin{eqnarray}\label{99}
(\RP^{n-k} \times
\RP^{n-k} \setminus \Delta_{\RP^{n-k}})/T',
\end{eqnarray}
которое также
называется "взрезанный квадрат" \- пространства $\RP^{n-k}$. Это
пространство получено путем факторизации прямого произведения без
диагонали по инволюции $T': \RP^{n-k} \times \RP^{n-k} \to
\RP^{n-k} \times \RP^{n-k}$, переставляющей координаты.
Построенное пространство является открытым многообразием.


Определим пространство $\bar
\Gamma_0$ как сферическое раздутие пространства $\RP^{n-k} \times \RP^{n-k}
\setminus \Sigma_{diag}$ в окрестности диагонали. Сферическим раздутием называется
многообразие с краем, которое определено в результате компактификации открытого многообразия
$\RP^{n-k} \times \RP^{n-k}
\setminus \Sigma_{diag}$ посредством послойного вклеивания слоев сферизации $ST \Sigma_{diag}$
касательного расслоения $T \Sigma_{diag}$ в окрестности нулей слоев нормального расслоения
диагонали $\Sigma_{diag} \subset \RP^{n-k} \times \RP^{n-k}$. Определены естественные включения:
$$\RP^{n-k} \times \RP^{n-k} \setminus \Sigma_{diag} \subset \bar \Gamma_0,$$
$$ST \Sigma_{diag} \subset \bar \Gamma_0.$$
На пространстве $\bar \Gamma_0$ определена свободная инволюция
$\bar T': \bar \Gamma_0 \to \bar \Gamma_0$, которая определена как продолжение инволюции $T'$.
Факторпространство
$\bar \Gamma_0 / \bar T'$ обозначается через $\Gamma_0$, а соответствующее двулистное накрытие через
$$
p_{\Gamma_0}:  \bar \Gamma_0 / \bar T' \to \Gamma_0.
$$
Пространство $\Gamma_0$ является многообразием с краем и оно называется пространством раздутия
конфигурационного пространства $(\ref{99})$. Определена проекция $p_{\partial \Gamma_0}: \partial \Gamma_0 \to \RP^{n-k}$, это отображение отображение называется разрешением диагонали.


Для произвольного отображения $d$ определено пространство $N(d)$ точек самопересечения отображения $d$ по формуле:

\begin{eqnarray}\label{Nd}
N(d) = Cl \{ ([x,y]) \in int(\Gamma_0) : y \ne x, d(y)=d(x) \}.
\end{eqnarray}

По теореме Портеуса [Por] в предположении о том, что отображение $d$ общего положения, пространство $N(d)$ является многообразием с краем
размерности $n-2k$. Это многообразие обозначим через $N^{n-2k}(d)$ и назовем многообразием точек самопересечения отображения $d$.
При этом формула $(\ref{Nd})$ определяет вложение многообразий с краем:
$$i_{N(d)}: (N^{n-2k}(d), \partial N^{n-2k}(d)) \subset (\Gamma_0,\partial \Gamma_0). $$



 Край $\partial N^{n-2k}(d)$ многообразия $N^{n-2k}(d)$ называется многообразием разрешений критических
 точек отображения $d$. Отображение $p_{\partial \Gamma_0} \circ  i_{\partial N(d)} \vert_{\partial N(d)}:
 \partial N^{n-2k}(d) \subset \partial \bar \Gamma_0  \to \RP^{n-k}$ называется отображением
 разрешения особенностей отображения $d$, обозначим это отображение через $res_{d}: \partial N(d) \to \RP^{n-k}$.
 Определено
каноническое двулистное накрытие
\begin{eqnarray}\label{pNd}
p_{N(d)}: \bar N(d)^{n-2k} \to N(d)^{n-2k},
\end{eqnarray}
разветвленное над краем $\partial N(d)^{n-2k}$ (над этим краем
накрытие является диффеоморфизмом). При этом следующая диаграмма
является коммутативной:

$$
\begin{array}{ccc}
i_{\bar N(d)}: (\bar N^{n-2k}(d), \partial N^{n-2k}(d)) & \subset & (\bar \Gamma_0, \partial \Gamma_0) \\
\\
\downarrow p_{N(d)}&   &  \downarrow  p_{\Gamma_0} \\
\\
i_{N(d)}: (N^{n-2k}(d), \partial N^{n-2k}(d)) & \subset & (\Gamma_0, \partial \Gamma_0).
\end{array}
$$




\subsubsection*{Определение структурного отображения $\eta_N: N^{n-k}(d) \to
K(\D_4,1)$}

Определим отображение $\eta_{\Gamma_0}: \Gamma_0 \to K(\D_4,1)$,
которое назовем структурным отображением "взрезанного квадрата".
Заметим, что включение $\bar \Gamma_0 \subset \RP^{n-k} \times
\RP^{n-k}$ индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, т.к.
коразмерность диагонали $\Delta_{\RP^{n-k}} \subset \RP^{n-k}
\times \RP^{n-k}$ равна $n-k \ge 3$. Следовательно, справедливо равенство

\begin{eqnarray}\label{pi_1}
\pi_1(\bar \Gamma_0) = H_1(\bar \Gamma_0;\Z/2)= \Z/2 \oplus \Z/2.
\end{eqnarray}

Рассмотрим индуцированный автоморфизм $T'_{\ast}: H_1(\bar
\Gamma_0;\Z/2) \to H_1(\bar \Gamma_0;\Z/2)$. Заметим, что этот
автоморфизм не является тождественным. Зафиксируем изоморфизм
групп $H_1(\bar \Gamma_0;\Z/2)$ и $\I_c$, при котором образующая
первого (соответственно, второго) слагаемого группы $H_1(\bar \Gamma_0;\Z/2)$ (см.
(\ref{pi_1})) переходит в образующую $ab \in \I_c \subset \D_4$
(соответственно, $ba \in \I_c \subset \D_4$), которая в стандартном
представлении $\D_4$ определена преобразованием симметрии относительно второй
(соответственно, первой) координатной оси.

Легко проверить, что автоморфизм внешнего сопряжения подгруппы
$\I_c \subset \D_4$ на элемент $b \in \D_4 \setminus \I_c$ (в этой
формуле элемент $b$ можно выбрать произвольным), определенный
формулой $x \mapsto bxb^{-1}$ переходит при построенном
изоморфизме в автоморфизм $T'_{\ast}$. Фундаментальная группа $\pi_1(\Gamma_0)$
является квадратичным расширением группы $\pi_1(\bar \Gamma_0)$
посредством элемента $b$, и это расширение однозначно c точностью
до изоморфизма определяется автоморфизмом $T'_{\ast}$. Поэтому
 $\pi_1(\Gamma_0) \simeq \D_4$ и, значит, определено отображение
$\eta_{\Gamma_0}: \Gamma_0 \to K(\D_4,1)$.



Нетрудно проверить, что отображение $\eta_{\Gamma_0} \vert_
{\partial \Gamma_0}$ принимает значения в подпространстве
$K(\I_b,1) \subset K(\D_4,1)$. Отображение $\eta_{\Gamma_0}$
индуцирует отображение $\eta_N: (N(d),
\partial N(d)) \to (K(\D_4,1),K(\I_b,1))$, которое назовем структурным отображением.
Также нетрудно проверить, что гомотопический класс композиции
$\partial N(d) \stackrel{\eta}{\longrightarrow} K(\I_b,1)
\stackrel{p_b}{\longrightarrow} K(\I_d,1)$ совпадает с
характеристическим отображением $\kappa \circ res_{d}: \partial
N(d) \to \RP^{n-k} \to K(\I_d,1)$, которое является композиции
отображения разрешения особенностей $res_d: \partial N(d)^{n-2k}
\to  \RP^{n-k}$ и вложения остова $\RP^{n-k} \subset K(\I_d,1)$ в
классифицирующее пространство.




\subsubsection*{Определение циклической структуры для
отображения $d: \RP^{n-k} \to \R^n$ с особенностью}

Пусть $d: \RP^{n-k} \to \R^n$-- кусочно-линейное отображение
общего положения, вообще говоря, имеющее критические точки, $k
\equiv 0 \pmod{2}$. Пусть многообразие $N^{n-2k}(d)$, вообще
говоря, с непустым краем $\partial N^{n-2k}(d)$, служит
многообразием точек самопересечения отображения $d$. Отображение
$\mu_{a,N(d)} : (N^{n-2k}(d),\partial N^{n-2k}(d)) \to
(K(\I_a,1),K(\I_d,1))$ называется циклической структурой
отображения $d$, если $\mu_{a,N(d)}$ удовлетворяет краевому
условию:

\begin{eqnarray}
 \mu_{a,N(d)} \vert_{\partial N^{n-2k}(d)}= (i_a \circ \kappa)
\vert_{\partial N(d)}, \label{mu_a boundary}
\end{eqnarray}
где $\kappa: \RP^{n-k} \to K(\I_d,1)$ -- классифицирующее отображение для образующего класса
когомологий, $i_a: K(\I_d,1) \subset K(\I_a,1)$ -- отображение классифицирующих пространств, индуцированное включением подгрупп $i_{d,a}: \I_d \subset \I_a$, и, кроме
того, выполнено условие
\begin{eqnarray}
\langle \mu_{a,N(d)}^{\ast}(t);[N^{n-2k}(d),\partial N^{n-2k}(d)]
\rangle =1, \label{h mu_a}
\end{eqnarray}
 где  $t \in
H^{n-2k}(K(\I_a,1),K(\I_d,1);\Z/2)$ -- произвольный класс
когомологий, который переходит в образующий класс когомологий в
группе $H^{n-2k}(K(\I_a,1);\Z/2)$ при индуцированном гомоморфизме
$j^{\ast}: H^{n-2k}(K(\I_a,1),K(\I_d,1);\Z/2) \to
H^{n-2k}(K(\I_a,1);\Z/2)$, $[N^{n-2k}(d),\partial N^{n-2k}(d)]$ --
относительный фундаментальный цикл многообразия.
\[  \]


Пусть $c: S^{n-2k}/\i \to \R^n$ является
 гладким отображением общего положения.

%\subsubsection*{Размерностное ограничение}
%Предполагается, что выполнено  условие $n<3k$ и значение $k$
%четно. Доказательство Леммы 16 происходит при
%$k=\frac{n+1}{2}-8$, $n = 2^l-1$, $k= 2^{l-1}-8$, $l \ge 8$.
%Это размерностное ограничение будет использовано, например, в начале раздела 3.
%\[  \]

Рассмотрим конфигурационное пространство
\begin{eqnarray}\label{99.1}
(S^{n-2k}/\i \times
S^{n-2k}/\i \setminus \Delta_{S^{n-2k}})/T',
\end{eqnarray}
которое также
называется "взрезанный квадрат" \- линзового пространства $S^{n-2k}/\i$. Это
пространство получено путем факторизации прямого произведения без
диагонали по инволюции $T': S^{n-2k}/\i \times S^{n-2k}/\i \to
S^{n-2k}/\i \times S^{n-2k}/\i$, переставляющей координаты.
Построенное пространство является открытым многообразием.


Определим пространство $\bar
\Gamma_1$ как сферическое раздутие пространства $S^{n-2k}/\i \times
S^{n-2k}/\i \setminus \Delta_{S^{n-2k}}$ в окрестности диагонали. Сферическим раздутием называется
многообразие с краем, которое определено в результате компактификации открытого многообразия
$S^{n-2k}/\i \times S^{n-2k}/\i
\setminus \Sigma_{diag}$ посредством послойного вклеивания слоев сферизации $ST \Sigma_{diag}$
касательного расслоения $T \Sigma_{diag}$ в окрестности нулей слоев нормального расслоения
диагонали $\Sigma_{diag} \subset S^{n-2k} \times S^{n-2k}$. Определены естественные включения:
$$S^{n-2k} \times S^{n-2k} \setminus \Sigma_{diag} \subset \bar \Gamma_1,$$
$$ST \Sigma_{diag} \subset \bar \Gamma_1.$$
На пространстве $\bar \Gamma_1$ определена свободная инволюция
$\bar T': \bar \Gamma_1 \to \bar \Gamma_1$, которая определена как продолжение инволюции $T'$.
Факторпространство
$\bar \Gamma_1 / \bar T'$ обозначается через $\Gamma_1$, а соответствующее двулистное накрытие через
$$
p_{\Gamma_1}:  \bar \Gamma_1 / \bar T' \to \Gamma_1.
$$
Пространство $\Gamma_1$ является многообразием с краем и оно называется пространством раздутия
конфигурационного пространства $(\ref{99.1})$. Определена проекция $p_{\partial \Gamma_1}: \partial \Gamma_1 \to S^{n-2k}/\i$, это отображение отображение называется разрешением диагонали.


Для произвольного отображения $c$ определено пространство $L(c)$ точек самопересечения отображения $c$ по формуле:

\begin{eqnarray}\label{Nc}
L(c) = Cl \{ ([x,y]) \in int(\Gamma_1) : y \ne x, c(y)=c(x) \}.
\end{eqnarray}

По теореме Портеуса [Por] в предположении о том, что отображение $c$ общего положения, пространство $L(c)$ является многообразием с краем
размерности $n-4k$. Это многообразие обозначим через $L^{n-4k}(c)$ и назовем многообразием точек самопересечения отображения $c$.
При этом формула $(\ref{Nc})$ определяет вложение многообразий с краем:
$$i_{L(c)}: (L^{n-4k}(c), \partial L^{n-4k}(c)) \subset (\Gamma_1,\partial \Gamma_1). $$



 Край $\partial L^{n-4k}(c)$ многообразия $L^{n-4k}(c)$ называется многообразием разрешений критических точек отображения $c$. Отображение $p_{\partial \Gamma_1} \circ  i_{\partial L(c)} \vert_{\partial L(c)}:
 \partial L^{n-4k}(c) \subset \partial \bar \Gamma_1  \to S^{n-2k}/\i$ называется отображением
 разрешения особенностей отображения $c$, обозначим это отображение через $res_{L(c)}: \partial L(c) \to S^{n-2k}/\i$.
 Определено
каноническое двулистное накрытие
\begin{eqnarray}\label{pLc}
p_{L(c)}: \bar L(c)^{n-4k} \to L(c)^{n-4k},
\end{eqnarray}
разветвленное над краем $\partial L(c)^{n-4k}$; над этим краем
накрытие является диффеоморфизмом. При этом следующая диаграмма
является коммутативной:

$$
\begin{array}{ccc}
i_{\bar L(c)}: (\bar L^{n-4k}(c), \partial L^{n-4k}(c)) & \subset & (\bar \Gamma_1, \partial \Gamma_1) \\
\\
\downarrow p_{L(c)}&   &  \downarrow  p_{\Gamma_1} \\
\\
i_{L(c)}: (L^{n-4k}(c), \partial L^{n-4k}(c)) & \subset & (\Gamma_1, \partial \Gamma_1).
\end{array}
$$

\subsubsection*{Определение подгруппы $\H \subset \Z/2^{[3]}$}
Рассмотрим пространство $\R^4$ c базисом $(\e_1,\e_2,\e_3,\e_4)$.
Вектора базиса удобно отождествить с базисными единичными
кватернионами $({\bf 1}, \i,\j,\k)$, что иногда будет
использоваться, т.к. позволит упростить формулы некоторых
преобразований. Определим подгруппу
\begin{eqnarray}\label{H}
\H \subset \Z/2^{[3]}
\end{eqnarray}
как подгруппу преобразований, преобразований следующих двух типов:

-- в каждой плоскости $(\e_1 ={\bf 1},\e_2=\i)$,
$(\e_3=\j,\e_4=\k)$ допускается (взаимно независимые)
преобразования, кратные умножению на кватернион $\i$. Подгруппу
всех таких преобразований обозначим через $\H_c$, это подгруппа
изоморфна $\Z/4 \oplus \Z/4$.

-- преобразование, переставляющее между собой одновременно пару
базисных векторов $\e_1 ={\bf 1}$ и $\e_3 =\j$ и
 пару базисных векторов  $\e_2 =\i$ и $\e_4 =\k$, сохраняя их направления. Обозначим это преобразование через
 $t \in \H_c$.

 Легко проверить, что сама группа $\H$ имеет порядок $32$ и является подгруппой $\H \subset \Z/2^{[3]}$
индекса 4.
\[  \]

\subsubsection*{Определение подгруппы $\H_b \subset \H$ и мономорфизма $i_{\I_a,\H}: \I_a \subset \H$.}
Определим гомоморфизм включения $i_{\I_a,\H}: \I_a \subset \H$,
который переводит образующую группы $\I_a$ в преобразование
умножения на кватернион $\i$, действующее одновременно в каждой
плоскости $(\e_1 ={\bf 1},\e_2=\i)$, $(\e_3=\j,\e_4=\k)$.
Определим подгруппу $\H_b \subset \H$ как сумму подгруппы
$i_{\I_a,\H}: \I_a \subset \H$ и подгруппы, порожденной образующей
$t \in \H$. Легко проверить, что сама группа $\H_b$ имеет порядок
$16$ и изоморфна группе $\Z/4 \oplus \Z/2$. Подгруппа $\H_b
\subset \H$ имеет индекс 2. Определены также гомоморфизм включения
$i_{\I_a,\H_b}: \I_a \subset \H_b$ подгрупп и гомоморфизм проекции
$p_{\H_b,\I_a}: \H_b \to \I_a$, такие, что гомоморфизм композиции
$\I_a \stackrel{i_{\I_a,\H_b}}{\longrightarrow} \H_b
\stackrel{p_{\H_a,\I_a}}{\longrightarrow} \I_a$ является
тождественным.
\[  \]


\subsubsection*{Определение структурного отображения $\zeta: L^{n-4k}(c) \to
K(\H,1)$}

Определим отображение $\zeta_{\Gamma_1}: \Gamma_1 \to K(\H,1)$,
которое назовем структурным отображением "взрезанного квадрата".
Заметим, что включение $\bar \Gamma_1 \subset S^{n-2k}/\i \times
S^{n-2k}/\i$ индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, т.к.
коразмерность диагонали $\Delta_{S^{n-2k}/\i} \subset S^{n-2k}/\i
\times S^{n-2k}/\i$ равна $n-2k \ge 3$. Справедливо равенство:

\begin{eqnarray}\label{pi_1H}
\pi_1(\bar \Gamma_1) = H_1(\bar \Gamma_1;\Z/4)= \Z/4 \oplus \Z/4.
\end{eqnarray}

Рассмотрим индуцированный автоморфизм $T'_{\ast}: H_1(\bar
\Gamma_1;\Z/4) \to H_1(\bar \Gamma_1;\Z/4)$. Заметим, что этот
автоморфизм не является тождественным. Зафиксируем мономорфизм
групп $H_1(\bar \Gamma_1;\Z/4)$ в группу $\H_c$, при котором
образующая первого (соответственно, второго) слагаемого группы
$H_1(\bar \Gamma_1;\Z/2)$ (см. (\ref{pi_1H})) переходит в
образующую, которая в стандартном представлении подгруппы $\H_c
\subset \H \subset \Z/2^{[3]}$ определена умножением на кватернион
$\i$ в двумерной плоскости $({\bf 1},\i)$ (соответственно, в
плоскости $(\j, \k)$) и неподвижно в дополнительной плоскости.

Легко проверить, что автоморфизм внешнего сопряжения подгруппы
$\H_c \subset \H$ на произвольный элемент $b \in \H \setminus \H_c$, определенный
формулой $x \mapsto bxb^{-1}$, переходит при построенном
изоморфизме $\ref{pi_1H}$ в автоморфизм $T'_{\ast}$. Фундаментальная группа $\pi_1(\Gamma_1)$
является квадратичным расширением группы $\pi_1(\bar \Gamma_1)$
посредством элемента $b$, и это расширение однозначно c точностью
до изоморфизма определяется автоморфизмом $T'_{\ast}$. Поэтому
 $\pi_1(\Gamma_1) \simeq \H$ и, значит, определено отображение
$\zeta_{\Gamma_1}: \Gamma_1 \to K(\H,1)$.



Нетрудно проверить, что отображение $\zeta_{\Gamma_1} \vert_
{\partial \Gamma_1}$ принимает значения в подпространстве
$K(\H_b,1) \subset K(\H,1)$. Отображение $\zeta_{\Gamma_1}$
индуцирует отображение $\zeta: (L^{n-4k}(c),
\partial L^{n-4k}(c)) \to (K(\H,1),K(\H_b,1))$, которое назовем структурным отображением.
Также нетрудно
проверить, что гомотопический класс композиции $\partial L^{n-4k}(c)
\stackrel{\zeta}{\longrightarrow} K(\H_b,1)
\stackrel{p_{\H_b,\I_d}}{\longrightarrow} K(\I_a,1)$ совпадает с отображением
$\eta \circ res_c : \partial L^{n-4k}(c) \to S^{n-2k}/\i \to
K(\I_a,1)$, которое определяется как
композиция отображения разрешения особенностей $res_c: \partial L(c)^{n-2k} \to S^{n-2k}/\i$ и вложения остова $\eta: S^{n-2k}/i
\subset K(\I_a,1)$ в классифицирующее пространство.




\subsubsection*{Определение кватернионной структуры для
отображения $c: S^{n-2k}/\i \to \R^n$ с особенностью}

Пусть $c: S^{n-2k}/\i \to \R^n$-- кусочно-линейное отображение
общего положения, вообще говоря, имеющее критические точки, $k
\equiv 0 \pmod{2}$. Пусть многообразие $L^{n-4k}(c)$, вообще
говоря, с непустым краем $\partial L^{n-4k}(c)$ является
многообразием точек самопересечения отображения $c$. Отображение
$\lambda_{a,L(c)} : (L^{n-4k}(c),\partial L^{n-4k}(c)) \to
(K(\H,1),K(\H_b,1))$ называется циклической структурой отображения
$c$, если $\lambda_{a,L(c)}$ удовлетворяет краевому условию:

\begin{eqnarray}\label{lambda_a boundary}
 \lambda_{a,L(c)} \vert_{\partial L^{n-4k}(c)}= (i_{\H_b,\I_a} \circ \lambda_{a,L(c)})
\vert_{\partial L^{n-4k}(c)},
\end{eqnarray}
где $\eta: S^{n-2k} \to K(\I_a,1)$ -- характеристическое отображение образующего класса
когомологий (включение остова в классифицирующее пространство), $i_{\I_a,\H_b}: K(\I_a,1) \subset K(\H_b,1)$--
отображение классифицирующих пространств, индуцированное гомоморфизмом включения $i_{\I_a,\H_b}: \I_a \subset \H_b$
и, кроме
того, выполнено условие:
\begin{eqnarray}
\langle \lambda_{a,L(c)}^{\ast}(t);[L^{n-4k}(c),\partial
L^{n-4k}(c)] \rangle =1, \label{h lambda a}
\end{eqnarray}
 где  $t \in
H^{n-4k}(K(\Q_a,1),K(\I_a,1);\Z/2)$ -- произвольный класс
когомологий, который переходит в образующий класс когомологий в
группе $H^{n-4k}(K(\Q_a,1);\Z/2)$ при индуцированном гомоморфизме
$j^{\ast}: H^{n-4k}(K(\Q_a,1),K(\I_a,1);\Z/2) \to
H^{n-4k}(K(\Q_a,1);\Z/2)$, $[L^{n-4k}(c),\partial L^{n-4k}(c)]$ --
относительный фундаментальный цикл многообразия.
\[  \]



Следующие две леммы необходимы для проверки корректности
определений циклической и кватернионной структуры.

\begin{lemma}\label{lemma18}
Характеристическое число, определенное левой частью формулы
$(\ref{h mu_a})$, не зависит от выбора класса
когомологий $t \in H^{n-2k}(K(\I_a,1),K(\I_d,1);\Z/2)$, для
которого $j^{\ast}(t) \in H^{n-2k}(K(\I_a,1);\Z/2)$ является
образующим классом.
\end{lemma}


\begin{lemma}\label{lemma19}
Характеристическое число, определенное левой частью формулы
$(\ref{h lambda a})$, не зависит от выбора класса когомологий $t
\in H^{n-4k}(K(\Q_a,1),K(\I_a,1);\Z/2)$, для которого $j^{\ast}(t)
\in H^{n-4k}(K(\Q_a,1);\Z/2)$ является образующим классом.
\end{lemma}


\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma18}$}


Действительно, при другом выборе $t'$ получим, что $t-t' \in
\mathrm{Im} \delta^{\ast}: H^{n-2k-1}(K(\I_d,1);\Z/2) \to
H^{n-2k}(K(\I_a,1),K(\I_d,1);\Z/2))$. Следовательно, класс
$\mu_{a,N(d)}^{\ast}(t)-\mu_{a,N(d)}^{\ast}(t') \in
H^{n-2k}(N^{n-2k}(d),\partial N^{n-2k}(d);\Z/2))$ получен в
результате применения кограничного гомоморфизма $\delta^{\ast}:
H^{n-2k-1}(\partial N^{n-2k}(d);\Z/2) \to H^{n-2k}(N^{n-2k}(d),
\partial N^{n-2k}(d);\Z/2)$ к некоторому элементу $x = \mu_a^{\ast}(q)$,
где $q \in H^{n-2k-1}(K(\I_d,1);\Z/2)$ -- образующий класс
когомологий. Теперь заметим, что гомоморфизм
$$(\mu_{a,N(d)} \vert_{\partial N(d)})^{\ast}:
H^{n-2k-1}(K(\I_d,1);\Z/2) \to H^{n-2k-1}(\partial
N^{n-2k}(d);\Z/2)$$ является тривиальным. Для этого докажем, что
подмногообразие $\partial N^{n-2k}(d) \subset \RP^{n-k}$
представляет нулевой гомологический класс. Исходя из
геометрического смысла характеристических классов Штифеля-Уитни
(см. [M-S], параграф 12), класс $[\partial N^{n-2k}(d)] \in
H_{n-2k-1}(\RP^{n-k};\Z/2)$ двойственнен в смысле Пуанкаре
характеристическому классу $\bar w_{k+1}(\RP^{n-k})$ Штифеля-Уитни
нормального расслоения над $\RP^{n-k}$, поскольку является классом
гомологий, препятствующим к построению редукции стабильного
нормального расслоения этого многообразия до нормального
расслоения размерности $k$. Вспомним, что $n=2^l-1$, поэтому самый
старший характеристический класс $\bar w_{\ast}(\RP^{n-k})$
(нормального расслоения) имеет размерность $k$ и $\bar
w_{k+1}(\RP^{n-k})=0$ (Например, в простейшем случае $n=4$, $k=1$
получим $\bar w_2(\RP^2)=0$.) Лемма $\ref{lemma18}$ доказана.
\[  \]

Доказательство Леммы $\ref{lemma19}$ аналогично и опускается.
\[  \]



Пусть $d: \RP^{n-k} \to \R^n$ -- кусочно-линейное отображение
общего положения, $(N^{n-2k}(d), \partial N^{n-2k}(d))$ -- многообразие
с краем двойных точек самопересечения отображения $d$.
Пусть заданно
 отображение $\mu_{a,N(d)}: (N^{n-2k}(d),\partial N^{n-2k}(d)) \to
 (K(\I_a,1),K(\I_d,1))$, удовлетворяющее граничному условию ($\ref{mu_a boundary}$).
 Нам потребуется критерий проверки того, что отображение $\mu_{a,N(d)}$
  удовлетворяет условию ($\ref{h mu_a}$).

Рассмотрим двулистное накрытие
\begin{eqnarray}\label{p_a}
p_a: \bar N_a^{n-2k}(d) \to N^{n-2k}(d),
\end{eqnarray}
индуцированное из
универсального двулистного накрытия
\begin{eqnarray}\label{da}
K(\I_d,1) \to K(\I_a,1)
\end{eqnarray}
классифицирующих пространств отображением $\mu_{a,N(d)}:
N^{n-2k}(d) \to K(\I_a,1)$. Поскольку выполнено граничное условие
$(\ref{mu_a boundary})$, ограничение накрытия $(\ref{p_a})$ на
край $\partial N^{n-2k}(d)$ оказывается тривиальным двулистным
накрытием. Заметим, что в случае, когда структурное отображение
$\eta: N^{n-2k}(d) \to K(\D_4,1)$ является циклическим, накрытие
$(\ref{p_a})$ совпадает с каноническим двулистным накрытием,
определенным формулой $(\ref{pNd})$.

Рассмотрим отображение $\bar \mu_{a,N(d)}: \bar N^{n-2k}(d)_a \to
K(\I_d,1)$ накрывающих пространств, которое двулистно накрывает
отображение $\mu_{a,N(d)}: N^{n-2k}(d) \to K(\I_a,1)$ при
двулистных накрытиях $(\ref{p_a})$, $(\ref{da})$ над прообразом и
образом отображения $\mu_{a,N(d)}$.
 Определим замкнутое
многообразие $\bar R^{n-2k}$ как результат подклейки к
многообразию $\bar N^{n-2k}(d)_a$ цилиндра $C^{n-2k}$ двулистного
накрытия $\partial \bar N^{n-2k}(d)_a \to
\partial N^{n-2k}(d)$ вдоль общего края $\partial \bar N^{n-2k}(d)_a = \partial
C^{n-2k}$. Определим отображение $\mu_{\bar R}: \bar R^{n-2k} \to
K(\I_d,1)$ как результат склейки отображения $\bar \mu_a: \bar
N^{n-2k}(d)_a \to K(\I_d,1)$ c отображением
$$C^{n-2k}
\stackrel{p_C}{\longrightarrow}
\partial \bar N^{n-2k}(d)_a \stackrel{\mu_a \vert_{\partial \bar
N^{n-2k}(d)_a}}{\longrightarrow} K(\I_d,1),$$
где $p_C: C^{n-2k} \to
\partial N^{n-2k}(d)_a$ -- проекция цилиндра на основание.
Фундаментальный цикл многообразия $\bar R^{n-2k}$ обозначим через
$[\bar R]$.

\begin{lemma}\label{lemma20}

Для отображения $\mu_{a,N(d)}: (N^{n-2k}(d), \partial N^{n-2k}(d))
\to (K(\I_a,1),K(\I_d,1))$ равенство $(\ref{h mu_a})$ эквивалентно
тому, класс гомологий
$$ \mu_{\bar R,\ast}([\bar R^{n-2k}]) \in  H_{n-2k}(K(\I_d,1);\Z/2)$$ является образующим.
\end{lemma}


\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma20}$}
Из граничного условия ($\ref{mu_a boundary}$) вытекает, что класс
гомологий $\mu_{a,N(d);\ast}([\partial N^{n-2k}(d)])$ в группе
$H_{n-2k-1}(K(\I_d,1);\Z/2)$ равен нулю (см. эквивалентное
утверждение для классов когомологий в Лемме $\ref{lemma18}$).
Пусть $W^{n-2k}$ многообразие с краем $\partial W^{n-2k} =
\partial N^{n-2k}(d)$. Обозначим через
\begin{eqnarray}\label{varphi}
\varphi: W^{n-2k} \to
K(\I_d,1)
\end{eqnarray}
сингулярный относительный цикл, осуществляющий гомологию нулю
сингулярного цикла $\varphi \vert_{\partial W^{n-2k}} =
\mu_{a,N(d)} \vert_{\partial N^{n-2k}(d)}$ в подпространстве
$K(\I_d,1) \subset K(\I_a,1)$.

Образ фундаментального класса при отображении $(\mu_{a,N(d)}
\cup_{\partial} \varphi) : N^{n-2k}(d) \cup_{\partial} W^{n-2k}
\to K(\I_a,1)$ обозначим через $x \in H_{n-2k}(K(\I_a,1);\Z/2)$.
Очевидно, что при любом выборе относительного цикла
$(\ref{varphi})$ условие ($\ref{h mu_a}$), переформулированное для
соответствующих абсолютных классов гомологий, состоит в том, что
класс гомологий $x \in H_{n-2k}(K(\I_a,1);\Z/2)$ является
образующим.



Рассмотрим двулистное накрытие $\bar \mu_{a,N(d)} \cup_{\partial}
\bar \varphi: \bar N^{n-2k}(d)_a \cup_{\partial} \bar W^{n-2k} \to
K(\I_d,1)$ над отображением $\mu_{a,N(d)} \cup_{\partial}
\varphi$, индуцированное из накрытия $K(\I_d,1)  \to K(\I_a,1)$
над пространством-образом отображения $\mu_{a,N(d)}
\cup_{\partial} \varphi$. Образ фундаментального класса при этом
отображении обозначим через $\bar x \in H_{n-2k}(K(\I_d,1);\Z/2)$.
Элемент $\bar x$ является образующей, тогда и только тогда, когда
$x$ является образующей.

С другой стороны, класс гомологий $\bar x$ представлен образом
фундаментального класса при отображении $\mu_{\bar R}: \bar
R^{n-2k} \to K(\I_d,1)$. Лемма $\ref{lemma20}$ доказана.
\[  \]

Пусть $c: S^{n-2k}/\i \to \R^n$ -- кусочно-линейное отображение
общего положения, $(L^{n-4k}(c), \partial L^{n-4k}(c))$ --
многообразие с краем двойных точек самопересечения отображения
$c$. Пусть заданно
 отображение $\lambda_{a,L(c)}: (L^{n-4k}(c),\partial L^{n-4k}(c)) \to
 (K(\Q_a,1),K(\I_a,1))$, удовлетворяющее граничному условию $(\ref{lambda_a boundary})$.
 Нам потребуется критерий проверки того, что отображение $\lambda_{a,L(c)}$
  удовлетворяет уравнению ($\ref{h lambda a}$).

Рассмотрим двулистное накрытие
\begin{eqnarray}\label{p_aa}
p_a: \bar L_a^{n-4k}(c) \to L^{n-4k}(c),
\end{eqnarray}
индуцированное из
универсального двулистного накрытия
\begin{eqnarray}\label{daa}
K(\I_a,1) \to K(\Q_a,1)
\end{eqnarray}
классифицирующих пространств отображением $\lambda_{a,L(c)}:
L^{n-4k}(c) \to K(\Q_a,1)$. Поскольку выполнено граничное условие
$(\ref{mu_a boundary})$, ограничение накрытия $(\ref{p_aa})$ на
край $\partial L^{n-4k}(c)$ оказывается тривиальным двулистным
накрытием. Заметим, что в случае, когда структурное отображение
$\zeta: L^{n-4k}(c) \to K(\Z/2^{[3]},1)$ является циклическим,
накрытие $(\ref{p_aa})$ совпадает с каноническим двулистным
накрытием, определенным формулой $(\ref{pLc})$.

Рассмотрим отображение $\bar \lambda_{a,L(c)}: \bar L^{n-4k}(c)_a
\to K(\I_a,1)$ накрывающих пространств, которое двулистно
накрывает отображение $\lambda_{a,L(c)}: L^{n-4k}(c) \to
K(\Q_a,1)$ при двулистных накрытиях $(\ref{p_aa})$, $(\ref{daa})$
над прообразом и образом отображения $\lambda_{a,L(c)}$.
 Определим замкнутое
многообразие $\bar R^{n-4k}$ как результат подклейки к
многообразию $\bar L^{n-4k}(c)_a$ цилиндра $C^{n-4k}$ двулистного
накрытия $\partial \bar L^{n-4k}(c)_a \to
\partial L^{n-4k}(c)$ вдоль общего края $\partial \bar L^{n-4k}(c)_a = \partial
C^{n-4k}$. Определим отображение $\lambda_{\bar R}: \bar R^{n-4k}
\to K(\I_d,1)$ как результат склейки отображения $\bar
\lambda_{a,L(c)}: \bar L^{n-4k}(c)_a \to K(\I_a,1)$ c отображением
$$C^{n-4k}
\stackrel{p_C}{\longrightarrow}
\partial \bar L^{n-4k}(c)_a \stackrel{\lambda_a \vert_{\partial \bar
L^{n-4k}(c)_a}}{\longrightarrow} K(\I_a,1),$$
где $p_C: C^{n-4k} \to
\partial L^{n-4k}(c)_a$ -- проекция цилиндра на основание.
Фундаментальный цикл многообразия $\bar R^{n-4k}$ обозначим через
$[\bar R]$.

\begin{lemma}\label{lemma21}

Для отображения $\lambda_{a,L(c)}: (L^{n-4k}(c), \partial
L^{n-4k}(c)) \to (K(\Q_a,1),K(\I_a,1))$ равенство ($\ref{h lambda
a}$) эквивалентно тому, класс гомологий
$$ \lambda_{\bar R,\ast}([\bar R]) \in  H_{n-4k}(K(\Q_a,1);\Z/2)$$ является образующим.
\end{lemma}


Доказательство Леммы $\ref{lemma21}$ аналогично доказательству
Леммы $\ref{lemma20}$ и опускается.

\begin{proposition}\label{prop22}
При $k \equiv 0 \pmod{2}$, $k \ge 8$,  произвольный элемент группы
$Imm^{sf}(n-k,k)$ представлен скошенно--оснащенным погружением
$(f,\kappa, \Xi)$, допускающим циклическую структуру в смысле
Определения $\ref{defcycl}$.
\end{proposition}
\[  \]

\begin{proposition}\label{prop23}
При $k \equiv 0 \pmod{2}$, $10k-1>n$, $k \ge 8$,  произвольный
элемент группы $Imm^{\D_4}(n-2k,2k)$, лежащий в образе
гомоморфизма $\delta: Imm^{sf}(n-k,k) \to Imm^{\D_4}(n-2k,2k)$,
представлен $\D_4$--оснащенным погружением $(g,\eta, \Psi)$,
допускающим кватернионную структуру в смысле Определения
$\ref{defQ}$.
\end{proposition}
\[  \]


Доказательство Предложений $\ref{prop22}$, $\ref{prop23}$
основывается на следствии следующего принципа плотности
подпространства погружений в пространстве непрерывных отображений
с компактно-открытой топологией, см. [Gr, предложение 1.2.2 ].

\begin{proposition}\label{prop24}
Пусть $f_0: M \looparrowright N$ гладкое погружение между
замкнутыми многообразиями, причем многообразие $N$ снабжено
метрикой $b$ и $\dim(M) < \dim(N)$. Пусть $g: M \to N$ непрерывное
отображение, гомотопное погружению $f_0$. Тогда $\forall
\varepsilon > 0$ найдется погружение $f : M \looparrowright N $, регулярно
гомотопное погружению $f_0$, для которого $\dist(g;f)_{C^0} <
\varepsilon $ в метрике пространства отображений, индуцированной
метрикой $b$.
\end{proposition}


Нам потребуется следующее следствие Предложения 24.


\begin{corollary}\label{cor25}

Пусть $(f',\kappa,\Xi')$ -- произвольное скошенно-оснащенное
погружение, где $f': M^{n-k} \looparrowright \R^n$, представляющее
элемент $[(f',\kappa,\Xi')] \in Imm^{sf}(n-k,k)$ и пусть $f_1: M^{n-k}
\to \R^n$ -- произвольное непрерывное отображение. Тогда для
произвольного (сколь угодно малого) $\varepsilon
> 0$
существует скошенно-оснащенное погружение  $(f, \kappa, \Xi)$, где
$f : M^{n-k} \looparrowright \R^n$ -- погружение того же
многообразия, представляющая тот же элемент $[(f',\kappa, \Xi')]
\in Imm^{sf}(n-k,k)$, причем выполнено условие

\begin{eqnarray}
\dist(f_1;f) < \varepsilon. \label{dist}
\end{eqnarray}
\end{corollary}


\subsubsection*{Доказательство Следствия $\ref{cor25}$}

По предложению 24 существует погружение $f$, регулярно-гомотопное
$f'$ для которого выполнено условие ($\ref{dist}$). Регулярная
гомотопия скошенно-оснащенного погружения продолжается до
регулярной гомотопии в классе скошенно-оснащенных погружений.
Поэтому $f$ является скошенно-оснащенным и элементы
$[(f',\kappa,\Xi')]$, $[(f,\kappa,\Xi)]$ равны. Следствие
$\ref{cor25}$ доказано.
\[  \]

Нам также потребуется следующая лемма (Основная Лемма),
доказательство которой проводится в разделе 3.

\begin{lemma}\label{osnlemma1}
При $k \equiv 0 \pmod{2}$, $k\ge 8$,  существует кусочно-линейное
отображение $d: \RP^{n-k} \to \R^n$ (с особенностью) общего
положения,  допускающее циклическую структуру.
\end{lemma}

\subsubsection*{Вывод Предложения $\ref{prop22}$ из Леммы $\ref{osnlemma1}$}

Рассмотрим отображение $d: \RP^{n-k} \to \R^n$, построенное в
 Лемме 26. Рассмотрим произвольный элемент группы
 $Imm^{sf}(n-k,k)$, представленный погружением
 $f': M^{n-k} \looparrowright \R^n$ со скошенным оснащением $(\kappa,\Xi')$. Рассмотрим
  характеристический класс
 $\kappa: M^{n-k} \to \RP^{n-k}$ этого скошенного оснащения и рассмотрим отображение
 $f_1: M^{n-k} \to \R^n$, определенное как композиция $f_1 = d \circ
 \kappa$. Обозначим через $\varepsilon$ положительное число, много меньшее радиуса некоторой регулярной
 окрестности $U_{N(d)}$ полиэдра $N(d)$ (подмногообразия с особенностями) точек самопересечения
 отображения $d$. Обозначим через  $g_{N(d)}: N(d) \looparrowright \R^n$ параметризующее погружение полиэдра точек
 самопересечения.
 Воспользуемся Следствием $\ref{cor25}$ и определим
 скошенно-оснащенное погружение $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$,
 представляющее исходный элемент $[(f', \kappa, \Xi')]$ и при этом такое, что
 выполнено условие ($\ref{dist}$).


 Рассмотрим многообразие $N^{n-2k}$ точек самопересечения
 погружения $f$, определенное по формуле $(\ref{N})$. Определено погружение $g: N^{n-2k} \looparrowright \R^n$.
 Многообразие $N^{n-2k}$
 представим в виде
 объединения двух  подмногообразий $N^{n-2k}=N^{n-2k}_{cycl} \cup
 N^{n-2k}_{\I_b}$ по общей части границы $\partial N^{n-2k}_{cycl}= \partial
 N^{n-2k}_{\I_b}$. Все эти многообразия с краем определим далее.


 Для простоты обозначений предположим, что радиус регулярной погруженной окрестности
 погружения многообразия с краем $N^{n-2k}(d)$ точек самопересечения отображения $d$ (вдали от критических значений этого
 отображения т.е. края $\partial N^{n-2k}(d)$), радиус регулярной погруженной окрестности
 погружения, полученного ограничением отображения $d$ вне
 регулярной окрестности критических точек и радиус самой
 регулярной вложенной окрестности критических значений отображения $d$
  равны $\varepsilon$. Обозначим указанные окрестности через  $U_{N(d)}$ $U_d$, $U_{\partial
  N(d)}$ соответственно.

 Определим $N^{n-2k}_{cycl}$ как максимальное подмногообразие с краем, чтобы образ $g(N^{n-2k}_{cycl})$
 лежал в регулярной погруженной
 $\varepsilon$-окрестности точек самопересечения отображения $d$.
Это означает, что существует вложение $N^{n-2k}_{cycl} \subset
U_{N(d)}$, которое при композиции с параметризующим погружением
окрестности переходит в ограничение погружения многообразия
самопересечения на это подмногообразие. Легко определить
отображение
 $(N^{n-2k}_{cycl}, \partial  N^{n-2k}_{cycl}) \to (N^{n-2k}(d), \partial N^{n-2k}(d))$, при котором прообраз
 каждой точки состоит из пары точек, образы которых при отображении $\kappa$ $\varepsilon$-близки на $\RP^{n-k}$.


  Определим
 $N^{n-2k}_{\I_b}$ как оставшуюся часть многообразия $N^{n-2k}$, образ которой при отображении $g$ расположен в
 окрестности $U_d$ (погруженной) множества регулярных значений отображения
 $d$ (выше мы привели определение для аналогичного случая) или во вложенной окрестности $U_{\partial
  N(d)}$.

 Предположим, что погружение $g: N^{n-2k} \looparrowright \R^n$ трансверсально вдоль $\partial
 U_{N(d)}$.
 Тогда общая граница
 $\partial N^{n-2k}_{cycl} = \partial N^{n-2k}_{\I_b}$
 погружена в границу регулярной окрестности $U_{\partial N(d)}$.

Многообразие $N^{n-2k}$ снабжено характеристическим отображением
$\eta_{N}: N^{n-2k} \to K(\D_4,1)$.
 Легко проверить, что характеристическое отображение $\eta_{N}$,
 ограниченное на подмногообразие $N^{n-2k}_{\I_b} \subset N^{n-2k}$,
 гомотопно  отображению в подпространство $K(\I_b,1) \subset K(\D_4,1)$.

Структурное отображение   $\eta_{N(d)}: N^{n-2k}(d) \to K(\D_4,1)$
продолжается c $N^{n-2k}(d)$  до отображения
 $\eta_{U_{N(d)}}: U_{N(d} \to K(\D_4,1)$. При этом ограничение $\eta_{U_{\partial
 N(d)}}: U_{\partial N(d)} \to K(\D_4,1)$ гомотопно отображению в подпространство $K(\I_b,1) \subset K(\D_4,1)$.



Нетрудно проверить, что характеристическое отображение $\eta_{N}:
N^{n-2k} \to K(\D_4,1)$, ограниченное на подмногообразие
 $N^{n-2k}_{cycl}$ определено как ограничение структурного отображения $\eta_{U_N(d)}: U_{N(d)} \to
 K(\D_4,1)$, поскольку $g(N^{n-2k}_{cycl})$ лежит в $U_{N(d)}$.


По условию определена циклическая структура отображения $d$. Эта
структура  определена отображением $\mu_{a,N(d)}:
(N^{n-2k}(d),\partial N^{n-2k}(d)) \to (K(\I_a,1),K(\I_d,1))$.
Отображение $\mu_{a,N(d)}$ продолжается до отображения
$\mu_{a,U_{N(d)}}: (U_{N(d)},U_{\partial N(d)}) \to
(K(\I_a,1),K(\I_d,1))$. При этом из условия ($\ref{h mu_a}$)
вытекает, что отображения $\mu_{a,U_{N(d)}} \vert _{U_{\partial
N(d)}}$ и $\eta \vert_{U_{\partial N(d)}}$ гомотопны.
Характеристическое отображение $\eta_{N(f)} \vert_{N_{cycl}\subset
N(f)}: N_{cycl}^{n-2k} \to K(\D_4,1)$ индуцировано структурным
отображением $\eta_{U_{N(d)}}$ при включениии $N_{cycl}^{n-2k}
\subset U_{N(d)}$. Следовательно, отображения $\mu_{N_{cycl}}$ и
$\eta_{N_{\I_b}}$ можно склеить в одно отображение $\mu_{a}:
N^{n-2k} \to K(\I_a,1)$.

Докажем, что отображение $\mu_{a}$ определяет циклическую
структуру для $(f,\kappa,\Xi)$ в смысле Определения
$\ref{defcycl}$. Рассмотрим отображение многообразий с краем,
которое определяется композицией включения и проекции регулярной
окрестности на центральное подмногообразие: $F:(N_{cycl},\partial
N_{cycl}) \stackrel{g}{\subset} (U_{N(d)},U_{\partial N(d)})
\longrightarrow (N^{n-2k}(d),\partial N^{n-2k}(d))$. Из
элементарных геометрических соображений вытекает, что эта степень
этого отображения совпадает со степенью отображения $\kappa:
M^{n-k} \to \RP^{n-k}$ т.е.  с $h(f,\Xi, \kappa)$. С другой
стороны, характеристическое число $h_{\mu_a,k}$, посчитанное по
формуле $(\ref{mu_a})$, вычисляется как степень $deg(F)$
отображения $F$. Доказательство вытекает из Леммы $\ref{lemma20}$
и равенства $(\ref{h mu_a})$.


 Предложение $\ref{prop22}$ доказано.

\begin{lemma}\label{osnlemma2}
При $k \equiv 0 \pmod{2}$, $n<10k-1$, $k \ge 8$,  существует
кусочно-линейное отображение $с: S^{n-2k}/\i \to \R^n$ (с
особенностью) общего положения,  допускающее кватернионную
структуру.
\end{lemma}

Доказательство Леммы $(\ref{osnlemma2})$ аналогично доказательству
Леммы $(\ref{osnlemma1})$, оно также проводится в разделе 3.

\subsubsection*{Вывод Предложения $\ref{prop23}$ из Леммы
$\ref{osnlemma2}$}

Рассмотрим скошенно-оснащенное погружение $(f,\kappa,\Xi)$, такое,
что $\delta([(f,\kappa,\Xi)]) = [(g_1: N^{n-2k} \looparrowright
\R^n,\eta,\Psi)]$ представляет данный элемент из группы
$Imm^{\D_4}(n-2k,2k)$. По Предложению 22, не ограничивая общности,
можно считать, что погружение $f: M^{n-k} \looparrowright \R^n$
допускает циклическую структуру. Рассмотрим отображение $c:
S^{n-2k}/\i \to \R^n$, построенное в Лемме $(\ref{osnlemma2})$ и
рассмотрим погружение $g: N^{n-2k} \looparrowright \R^n$,
определенное в результате применения Предложения $\ref{prop22}$ к
отображению композиции $c \circ \mu_a: N^{n-2k} \to S^{n-2k}/\i
\to \R^n$.

Рассуждая по аналогии с доказательством Предложения
$\ref{prop22}$, заключаем, что определена кватернионная структура
$\D_4$--оснащенного погружения $[(g,\eta,\Psi)]$. Предложение
$\ref{prop23}$ доказано.

\subsubsection*{Доказательство Теоремы $\ref{th9}$}
Рассмотрим скошенно-оснащенное погружение $(f,\kappa,\Xi)$, такое,
что $\delta([(f,\kappa,\Xi)]) = [(g: N^{n-2k} \looparrowright
\R^n,\eta,\Psi)]$ представляет данный элемент из группы
$Imm^{\D_4}(n-2k,2k)$. Воспользуемся Предложением $\ref{prop23}$ и
представим элемент $[(g,\eta,\Psi)]$ $\D_4$--оснащенным
погружением, допускающим кватернионную структуру.



%\begin{proposition}
%Пусть  $K^7$--произвольное замкнутое многообразие размерности 7,
%нормальное расслоение $\nu_K$ которого изоморфно расслоению $k
%\varphi^{\ast}\chi$, где $k = 2 \pmod 4$, $\chi$ -- каноническое
%4-мерное расслоение над $K(\Q_a,1)$ (см. Определение в ??)
%$\varphi: K^7 \to S^7/\Q_a \subset K(\Q_a,1)$ -- произвольное
%отображение. Тогда $\deg(\varphi) \equiv 0 \pmod{2}$.
%\end{proposition}


 Выберем натуральное
значение $k$ таким, что $n-4k=31$, $k \ge 8$, что возможно в
предположении $n \ge 63$. Обозначим через $L^{31}$ -- многообразие
самопересечения погружения $g$. Рассмотрим отображение $\lambda_a:
L^{31} \to S^{31}/\Q_a$, которое задает кватернионную структуру
для $(g, \eta, \Psi)$ и построено в Предложении $\ref{prop23}$.
Предположим, что $\lambda_a$ является трансверсальным вдоль
подмногообразия $S^7/\Q_a \subset S^{31}/\Q_a$. Рассмотрим в
многообразии $L^{31}$ подмногообразие $K^7 \subset L^{31}$,
определенное по формуле $K^7 = \lambda_a^{-1}(S^7/i)$. Определим
$\varphi = \lambda_a \vert_{K^7}$.

Докажем, что многообразие $K^7$ имеет нормальное расслоение $6
\varphi^{\ast}\chi_+$. Расслоение $\chi_+$ над $K(\Q_a,1)$ имеет
размерность $4$ и определено в начале раздела 4. Нормальное
расслоение $\nu_{L}$ изоморфно расслоению $k \zeta^{\ast}\omega$,
где $\omega: E(\omega) \to K(\Z/2^{[3]},1)$-- каноническое
4-мерное расслоение, определенное в разделе 4 перед Предложением
$\ref{prop33}$, $\zeta: L^{31} \to K(\Z/2^{[3]},1)$ --
характеристическое отображение, классифицирующее нормальное
расслоение многообразия $L^{31}$.

Легко проверить, что $k= \frac{n-1}{4}-7$ и $k \equiv 0 \pmod{8}$.
По Предложению $\ref{prop33}$ заключаем, что расслоение $\nu_{N}
\vert_{K}$ тривиально. Нормальное расслоение многообразия $K^7$
изоморфно сумме Уитни расслоений $6 \varphi^{\ast}\chi \oplus
\nu_{N} \vert_{K}$. Из-за тривиальности второго слагаемого получим
требуемый изоморфизм $\nu_K = 6 \varphi^{\ast}\chi$.


 По размерностным соображениям, не ограничивая общности, образ отображения $\lambda_a \vert_{K}$
 лежит в остове $S^7/\Q_a \subset S^{31}/\Q_a$. По Предложению $\ref{prop32}$ степень
 $\deg(\lambda_a \vert_K)$ четна. Поскольку $\deg(\varphi)=\deg(\lambda_a \vert_K)= \deg(\lambda_a)=h_a$ и
 $h_a = h(f,\kappa,\Xi)$,
 получим $h(f,\kappa,\Xi)=0$. Теорема $\ref{th9}$ доказана.

%\end{document}

\section{Основной этап доказательства}

В этом разделе все отображения и многообразия предполагаются кусочно-линейными,
если специально не оговорено условие гладкости.

\subsubsection*{Определение  отображения    $d: \RP^{n-k} \to
\R^n$}

 Обозначим через $J_0$ стандартную $(n-k)$--мерную
сферу коразмерности $k$, $k \equiv 0 \pmod{8}$, $k>0$, которая
получена в результате джойна $\frac{n-k+1}{2}=r_0$ копий окружности
$S^1$.  Обозначим стандартное вложение $J_0$ в $\R^n$
через $i_{J_0}: J_0 \subset \R^n$.



Определено отображение $p': S^{n-k} \to J_0$, которое получается в
результате взятия джойна $r$ копий стандартных накрытий $S^1 \to
S^1/\i$. Стандартное действие $\Z/4 \times S^{n-k} \to S^{n-k}$
коммутирует с отображением $p'$. Тем самым, определено отображение
$\hat p: S^{n-k}/\i \to J_0$ и отображение $p: \RP^{n-k} \to J_0$
как композиция стандартного двулистного накрытия $\pi: \RP^{n-k}
\to S^{n-k}/\i$ с отображением $\hat p$.

Рассмотрим композицию $i_{J_0} \circ \hat p: S^{n-k}/i \to J_0 \to
\R^n$, которую мы обозначим через $\hat g$, и приведем это
отображение в отображение $\hat d$ общего положения малой
$\delta$-деформацией $(i_{J_0} \circ \hat p) \to \hat d$ (какую
именно деформацию и насколько малым следует выбирать положительное
число $\delta$, задащее калибр этой деформации, выяснится при
доказательстве Леммы $\ref{lemma30}$). Искомое отображение $d:
\RP^{n-k} \to \R^n$ определим  как гладкое отображение общего
положения, полученное в результате $C^0$--деформации калибра
$\delta'$, где $\delta' << \delta$, отображения, представленного
композицией стандартного двулистного накрытия $\pi$ и отображения
$\hat d$. В Лемме $\ref{osnlemma1}$ доказывается, что что для
отображения $d$ (с особенностью) существует циклическая структура.

\subsubsection*{Определение отображения $c: S^{n-2k}/\i \to \R^n$}


Обозначим через $J_1$ $(n-2k)$--мерный полиэдр, $k \equiv 0 \pmod
{8}$, $k>0$, который полученый в результате джойна
$\frac{n-2k+1}{4}=r_1$ копий кватернионного линзового пространства
$S^3/\Q_a$.
 Согласно теореме Масси [Ma] (см. также [Ме]) определено
вложение $S^3/\Q_a \subset \R^4$ коразмерности 1 и в предположении
$n \ge 4r-1$ определено стандартное вложение $J_1$ в $\R^n$,
которое обозначим через $i_{J_1}: J_1 \subset \R^n$.




Определено отображение $p': S^{n-2k} \to J_1$, которое получается
в результате взятия джойна $r$ копий стандартных накрытий $S^3 \to
S^3/\Q_a$. Стандартное действие $\Q_a \times S^{n-2k} \to
S^{n-2k}$, определенное прямой суммой $r$ экземпляров стандартного
действия на $S^3$, заданного формулами $(\ref{Q a1}), (\ref{Q
a2}), (\ref{Q a3})$, коммутирует с отображением $p'$. Тем самым,
определено отображение $\hat p: S^{n-2k}/\Q_a \to J_1$ и
отображение $p: S^{n-2k}/\i \to J_1$ как композиция стандартного
двулистного накрытия $\pi: S^{n-2k}/\i \to S^{n-2k}/\Q_a$ с
отображением $\hat p$.

Рассмотрим композицию $i_{J_1} \circ \hat p: S^{n-2k}/\Q_a \to J_1
\to \R^n$, которую обозначим через $\hat h$. Приведем это
отображение в отображение $\hat c$ общего положения малой
$\delta$-деформацией (какую именно следует выбрать деформацию и
насколько малым следует выбирать положительное число $\delta$,
задащее калибр этой деформации выяснится при доказательстве Леммы
$\ref{lemma31}$). Искомое отображение $c: S^{n-2k}/\i \to \R^n$
определим  как гладкое отображение общего положения, полученное в
результате $C^0$--деформации калибра $\delta'$, где $\delta' <<
\delta$, отображения, представленного композицией стандартного
двулистного накрытия $\pi$ и отображения $\hat c$.
 В Лемме
$\ref{osnlemma2}$ доказывается, что что для отображения $c$ (с
особенностью) существует кватернионная структура.



\subsubsection*{Подпространства и факторподпространства пополненного конфигурационного пространства для
$\RP^{n-k}$}

В разделе 2 было
определено пространство $\Gamma_0$, его двулистное накрытие $\bar \Gamma_0$
и структурное отображение $\eta_{\Gamma_0} : \Gamma_0 \to
K(\D_4,1)$. Пространство $\Gamma_0$ является многообразием с краем. Обозначим внутренность этого многообразия
через $\Gamma_{0\circ}$. Ограничение структурного отображения $\eta_{\Gamma_0}$ на $\Gamma_{0\circ}$
обозначим через $\eta_{\Gamma_{0\circ}} : \Gamma_{0\circ} \to
K(\D_4,1)$.

 Обозначим
через $\Sigma_{0\circ} \subset \Gamma_{0\circ}$ полиэдр двукратных особых точек
отображения $p: \RP^{n-k} \to J_0$, полученный раздутием полиэдра
$\{[(x, y)] \in \Gamma_{0\circ}, p(x) = p(y), x \ne y
\}$. Этот полиэдр снабжён структурным отображением
$\eta_{\Sigma_{0\circ}}: \Sigma_{0\circ} \to K(\D_4,1)$, которое индуцировано
ограничением структурного отображения $\eta_{\Gamma_{0\circ}}$ на
$\Sigma_{0\circ}$.



Определена свободная инволюция $T_{\RP}: \RP^{n-k} \to \RP^{n-k}$, переставляющая точки в
каждом слое стандартного двулистного накрытия $\RP^{n-k} \to S^{n-k}/\i$. На пространстве
$\bar \Gamma_{0\circ}$ действует инволюция $T_{\bar \Gamma_0}: \bar \Gamma_{0\circ} \to
\bar \Gamma_{0\circ}$, которая определена как ограничение инволюции
на $\RP^{n-k} \times \RP^{n-k}$, построенной по инволюции $T_{\RP}$ на каждом сомножителе,
на подпространство $\bar \Gamma_{0\circ} \subset
\RP^{n-k} \times \RP^{n-k}$. На факторпространстве $\Gamma_{0\circ}$ инволюции $T'$
определена факторинволюция $T_{\Gamma_{0\circ}}: \Gamma_{0\circ} \to \Gamma_{0\circ}$.


Обозначим через $\Sigma_{antidiag} \subset \Gamma_{0\circ}$
подпространство, называемое антидиагональю, которое образовано
всеми антиподальными парами  $\{[(x, y)] \in \Gamma_0 : x,y \in
\RP^{n-k}, x \ne y, T_{\RP}(x)=y \}$. Здесь и далее в обозначении
диагональных и антидиагональных пространств индекс $0$
опускается. Нетрудно проверить, что антидиагональ
$\Sigma_{antidiag} \subset \Gamma_0$ является множеством
неподвижных точек для инволюции $T_{\Gamma_0}$. Нормальное расслоение антидиагонали в $\Gamma_0$ изоморфно
касательному расслоению $T(\Sigma_{antidiag})$.


Определим пространство $\Gamma_{K_{0\circ}}$ на
котором инволюция $T_{\Gamma_{0\circ}}$ действует свободно. Определим
$\Gamma_{K_{0\circ}} = \Gamma_{0\circ} \setminus \Sigma_{antidiag}$.  Определена свободная инволюция
$T_{\Gamma_{K_{0\circ}}}: \Gamma_{K_{0\circ}} \to \Gamma_{K_{0\circ}}$.
Факторпространство $\Gamma_{K_{0\circ}}/T_{\Gamma_{K_{0\circ}}}$ обозначим через
$\hat \Gamma_{K_{0\circ}}$.


Подполиэдр $\Sigma_{0\circ} \subset \Gamma_{0\circ}$ кратных точек отображения
$p$ представляется в виде объединения $\Sigma_{0\circ} =
\Sigma_{antidiag} \cup K'_{0\circ}$, где   $K'_{0\circ}$--открытый подполиэдр, в
который входят все точки из $\Sigma_{0\circ}$, не попавшие на
антидиагональ.
Подполиэдр $K_{0\circ} \subset \Gamma_{K_{0\circ}}$ инвариантен при инволюции
$T_{\Gamma_{K_{0\circ}}}$. Обозначим $T_{\Gamma_{K_{0\circ}}} \vert_{K_{0\circ}}$ через
$T_{K_{0\circ}}$. Обозначим факторпространство
 $K_{0\circ}/ T_{K_{0\circ}}$ через  $\hat K_{0\circ}$.
Ограничение структурного отображение $\eta_{\Gamma_{0\circ}}: \Gamma_{0\circ}
\to K(\D_4,1)$ на $\Gamma_{K_{0\circ}}$ и $K_{0\circ}$ обозначим через
$\eta_{\Gamma_{0\circ}}$ и $\eta_{K_{0\circ}}$ соответственно.


Рассмотрим многообразие с особенностями, которое определено в результате замыкания открытого многообразия $\Gamma_{0\circ}$ и получено в результате присоединения
к этому открытому многообразию диагональной и антидиагональной компонент $\Sigma_{diag}$ и $\Sigma_{antidiag}$.
Обозначим замыкание $Cl(K_{0\circ})$ полиэдра $K_{0\circ}$ (соответственно замыкание
$Cl(\hat K_{0\circ})$ полиэдра $\hat K_{0\circ}$) в этом многообразии с особенностями через $K_{(0)}$ (соответственно через $\hat K_{(0)}$).
 Обозначим через
$Q_{antidiag} = \Sigma_{antidiag} \cap K_{(0)}$, $Q_{diag} =
\partial \Gamma_{diag} \cap K_{(0)}$, $Q_{diag}\subset K_{(0)}$,
$Q_{antidiag} \subset K_{(0)}$. Назовем эти подпространства компонентами границы полиэдра $K_{(0)}$.
Аналогично определим $\hat Q_{diag}$, $\hat Q_{antidiag}$ компоненты границы полиэдра $\hat K_{(0)}$.

Заметим, что структурное отображение $\eta_{K_{0\circ}}$ продолжается с $K_{0\circ}$ на компоненту границы
$Q_{antidiag}$. Обозначим это продолжение через $\eta_{Q_{antidiag}}: Q_{antidiag} \to K(\D_4,1)$.
Отображение $\eta_{Q_{antidiag}}$  представляется в виде композиции отображения
$\eta_{antidiag}: Q_{antidiag} \to K(\I_a,1)$ и отображения
включения $i_{\I_a,\D_4}: K(\I_a,1) \subset K(\D_4,1)$.

Cтруктурное
отображение $\eta_{K_{(0)}}$ на компоненту $Q_{diag}$ не продолжается.
Определено отображение $\eta_{diag}: Q_{antidiag} \to K(\I_d,1)$.
Обозначим через $U(Q_{diag}) \subset K_{0\circ}$ малую регулярную взрезанную окрестность
открытого конца, примыкающего к $Q_{diag}$. Определена проекция $proj_{diag}:U(Q_{diag}) \to Q_{diag}$
регулярной взрезанной окрестности на центальное подмногообразие.
Ограничение структурного отображения $\eta_{K_{0\circ}}$ на окрестность $U(Q_{diag})$ представлено композицией
отображения $\eta_{U(Q_{diag})}: U(Q_{diag}) \to K(\I_b,1)$ и отображения $i_{\I_b,\D_4}: K(\I_b,1) \to K(\D_4,1)$.
Гомотопические классы отображений $\eta_{K_{(0)}}$ и $\eta_{U(Q_{diag})}$ связаны равенством
$\eta_{diag} \circ proj_{diag} = p_{\I_b,\I_d} \circ \eta_{K_{(0)}}$.

Определим следующую коммутативную диаграмму мономорфизмов групп,
каждая из которых представлена в группе $O(4)$:
\begin{eqnarray}\label{HH}
\begin{array}{ccccccccc}
&&&& \I_b &&&&\\
&& \nearrow && \cap &&&&\\
\I_d& \subset &\I_a& \subset & \D_4 & \subset & \E & \subset &\H. \\
&& \searrow && \cap &&&&\\
&&&& \I_c &&&&\\
\end{array}
\end{eqnarray}

В этой диаграмме группа $\H$ имеет порядок $32$ и является
подгруппой в группе $O(4)$ и была ранее определена (см.
$(\ref{H})$) при помощи преобразований, записанных в стандартном
базисе $\{ \e_1, \e_2, \e_3, \e_4 \}$. Подгруппа $\E \subset \H$
имеет порядок $16$ и определяется как группа, порожденная
преобразованиями из $\H$, сохраняющими неупорядоченную пару
плоскостей $(\e_1,\e_3)$, $(\e_2,\e_4)$ (напимер, элемент из $\H$,
заданный преобразованием $\e_1 \to \e_2$, $\e_2 \to -\e_1$, $\e_3
\to \e_3$, $\e_4 \to \e_4$, не лежит в подгруппе $\E \subset \H$).
Включение $\D_4 \subset \E$ является центральным квадратичным
расширением группы $\D_4$ посредством элемента $c$ такого, что
$c^2$ совпадает с образующей подгруппы $\I_d \subset \D_4$.
Подгруппа $\D_4$ представлена диагональными преобразованиями $O(2)
\subset O(2) \oplus O(2) \subset O(4)$ стандартного вида в каждой
паре плоскостей $(\e_1, \e_3)$, $(\e_2, \e_4)$. Остальные
подгруппы в диаграмме $(\ref{HH})$ были определены ранее.



Определены абелевы подгруппы $\E_a,
\E_b, \E_c, \E_d$ в группе $\E$, которые являются квадратичными
расширениями соответствующих подгрупп $\I_a, \I_b, \I_c, \I_d$ в
группе $\D_4$. Нетрудно проверить, что определено естественное
отображение $\eta_{\hat K_{0\circ}}: \hat K_{0\circ} \to K(\E,1)$, которое индуцирует
отображение диаграмм 2-листных накрытий:


\begin{eqnarray}\label{14}
\begin{array}{ccccccc}
\bar K_{0\circ} & \stackrel{\bar r}{\longrightarrow} & \tilde K_{0\circ}& &K(\I_c,1)& \longrightarrow & K(\E_c,1)\\
\downarrow & & \downarrow & \longrightarrow & \downarrow & & \downarrow\\
K_{0\circ} & \stackrel{r}{\longrightarrow} & \hat K_{0\circ}& &K(\D_4,1)& \longrightarrow & K(\E,1).\\
\end{array}
\end{eqnarray}

Горизонтальные отображения между соответствующими пространствами
диаграмм мы переобозначим для краткости через $\bar \eta, \tilde \eta, \eta, \hat
\eta$ соответственно.



\[  \]
Включения подгрупп $\I_b \subset \E_b$, $\I_d \subset \E_d$, $\I_a
\subset \E_a$ входят в коммутативные диаграммы гомоморфизмов
групп:



\begin{eqnarray}\label{Ib}
\begin{array}{ccc}
\I_b & \longrightarrow & \E_b \\
p_{b,d} \downarrow & & \downarrow  \\
\I_d & \stackrel{i_{d,a}}{\longrightarrow} & \I_a
\end{array}
\end{eqnarray}


\begin{eqnarray}\label{Id}
\begin{array}{ccc}
\I_d & \longrightarrow & \E_d \\
i_{d,a} \downarrow & & \downarrow  \\
\I_a & \stackrel{id}{\longrightarrow} & \I_a
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{Ia}
\begin{array}{ccc}
\I_a & \longrightarrow & \E_a \\
id \downarrow & & \downarrow  \\
\I_a & \stackrel{id}{\longrightarrow} & \I_a
\end{array}
\end{eqnarray}


На пространстве $\hat \Gamma_{K_{0\circ}}$ определена, в свою очередь,
свободная инволюция $T_{\hat \Gamma_{K_{0\circ}}} : \hat \Gamma_{K_{0\circ}} \to
\hat \Gamma_{K_{0\circ}}$ по формуле $T_{\hat \Gamma_{0\circ}} ([(x,y)]) =
[(T(x),y)]$. (Заметим, что $[(T(x),y)]=[(x,T(y)]$.) Пространства,
полученные из $\hat \Gamma_{K_{0\circ}}$, $\hat K_{0\circ}$, $\bar
\Gamma_{K_{0\circ}}$, $\bar K_{{0\circ}}$
%(также и подпространство
%соответствующего подпространства, см., например, доказательство
%Леммы 24 далее в этом разделе)
после факторизации по инволюции
$T_{\hat \Gamma_{K_{0\circ}}}$ обозначим через $\hat
\Gamma_{K_{0\circ}}^{\downarrow}$, $\hat K_{0\circ}^{\downarrow}$ $\bar
\Gamma_{K_{0\circ}}^{\downarrow}$, $\bar K_{0\circ}^{\downarrow}$
соответственно. Определено 2-листное накрытие $\hat \Gamma_{K_{0\circ}}
\to \hat \Gamma_{K_{0\circ}}^{\downarrow}$, которое индуцирует двулистное
накрытие $\hat K_{0\circ} \to \hat K_{0\circ}^{\downarrow}$.
При этом определена коммутативная диаграмма:
\begin{eqnarray}\label{E-H}
\begin{array}{ccc}
\hat \Gamma_{K_{0\circ}} & \longrightarrow & K(\E,1) \\
\downarrow & & \downarrow  \\
\hat \Gamma_{K_{0\circ}}^{\downarrow} & \longrightarrow & K(\H,1).
\end{array}
\end{eqnarray}
\[  \]

\subsubsection*{Подпространства и факторподпространства пополненного конфигурационного пространства для
$S^{n-2k}/\i$}

В разделе 2 было
определено пространство $\Gamma_1$, его двулистное накрытие $\bar \Gamma_1$
и структурное отображение $\zeta_{\Gamma_1} : \Gamma_1 \to
K(\H,1)$. Пространство $\Gamma_1$ является многообразием с краем. Обозначим внутренность этого многообразия
через $\Gamma_{1\circ}$. Ограничение структурного отображения $\zeta_{\Gamma_1}$ на $\Gamma_{1\circ}$
обозначим через $\zeta_{\Gamma_{1\circ}} : \Gamma_{1\circ} \to
K(\H,1)$.

 Обозначим
через $\Sigma_{1\circ} \subset \Gamma_{1\circ}$ полиэдр двукратных особых точек
отображения $p: S^{n-2k}/\i \to J_1$, определенный формулой
$\{[(x, y)] \in \Gamma_{1\circ}, p(x) = p(y), x\ne y
\}$. Этот полиэдр снабжён структурным отображением
$\zeta_{\Sigma_{1\circ}}: \Sigma_{1\circ} \to K(\H,1)$, которое индуцировано
ограничением структурного отображения $\zeta_{\Gamma_{1\circ}}$ на
$\Sigma_{1\circ}$.



Определена свободная инволюция $T_{S^{n-2k}/\i}: S^{n-2k}/\i \to S^{n-2k}/\i$, переставляющая точки в
каждом слое стандартного двулистного накрытия $S^{n-2k}/\i \to S^{n-2k}/\i$. На пространстве
$\bar \Gamma_{1\circ}$ действует инволюция $T_{\bar \Gamma_{1\circ}}: \bar \Gamma_{1\circ} \to
\bar \Gamma_{1\circ}$, которая определена как ограничение инволюции
на $S^{n-2k} \times S^{n-2k}$, построенной по инволюции $T_{S^{n-2k}/\i}$ на каждом сомножителе,
на подпространство $\bar \Gamma_{1\circ} \subset
S^{n-2k}/\i \times S^{n-2k}/\i$. На факторпространстве $\Gamma_{1\circ}$ инволюции $T'$
определена факторинволюция $T_{\Gamma_{1\circ}}: \Gamma_{1\circ} \to \Gamma_{1\circ}$.


Обозначим через $\Sigma_{antidiag} \subset \Gamma_{1\circ}$
подпространство, называемое антидиагональю, которое образовано
всеми антиподальными парами  $\{[(x, y)] \in \Gamma_{1\circ} : x,y \in
S^{n-2k}/\i, x \ne y, T_{S^{n-2k}}(x)=y \}$. Здесь и далее в обозначении
диагональных и антидиагональных пространств индекс $1$
опускается. Нетрудно проверить, что антидиагональ
$\Sigma_{antidiag} \subset \Gamma_{1\circ}$ является множеством
неподвижных точек для инволюции $T_{\Gamma_{1\circ}}$.
Нормальное расслоение антидиагонали в $\Gamma_{1\circ}$ изоморфно
касательному расслоению $T(\Sigma_{antidiag})$.

Определим пространство $\Gamma_{K_{1\circ}}$ на
котором инволюция $T_{\Gamma_{1\circ}}$ действует свободно. Определим
$\Gamma_{K_{1\circ}} = \Gamma_{1\circ} \setminus \Sigma_{antidiag}$.  Определена свободная инволюция
$T_{\Gamma_{K_{1\circ}}}: \Gamma_{K_{1\circ}} \to \Gamma_{K_{1\circ}}$.
Факторпространство $\Gamma_{K_{1\circ}}/T_{\Gamma_{K_{1\circ}}}$ обозначим через
$\hat \Gamma_{K_{1\circ}}$.


Подполиэдр $\Sigma_{1\circ} \subset \Gamma_{1\circ}$ кратных точек отображения
$p$ представляется в виде объединения $\Sigma_{1\circ} =
\Sigma_{antidiag} \cup K'_{1\circ}$, где   $K'_{1\circ}$--открытый подполиэдр, в
который входят все точки из $\Sigma_{1\circ}$, не попавшие на
антидиагональ.
Подполиэдр $K_{1\circ} \subset \Gamma_{K_{1\circ}}$ инвариантен при инволюции
$T_{\Gamma_{K_{1\circ}}}$. Обозначим $T_{\Gamma_{K_{1\circ}}} \vert_{K_{1\circ}}$ через
$T_{K_{1\circ}}$. Обозначим факторпространство
 $K_{1\circ}/ T_{K_{1\circ}}$ через  $\hat K_{1\circ}$.
Ограничение структурного отображение $\zeta_{\Gamma_{1\circ}}: \Gamma_{1\circ}
\to K(\H,1)$ на $\Gamma_{K_{1\circ}}$ и $K_{1\circ}$ обозначим через
$\zeta_{\Gamma_{1\circ}}$ и $\zeta_{K_{1\circ}}$ соответственно.


Рассмотрим многообразие с особенностями, которое определено в результате замыкания открытого многообразия $\Gamma_{1\circ}$ и получено в результате присоединения
к этому открытому многообразию диагональной и антидиагональной компонент $\Sigma_{diag}$ и $\Sigma_{antidiag}$.
Обозначим замыкание $Cl(K_{1\circ})$ полиэдра $K_{1\circ}$ (соответственно замыкание
$Cl(\hat K_{1\circ})$ полиэдра $\hat K_{1\circ}$) в этом многообразии с особенностями через $K_{(1)}$ (соответственно через $\hat K_{(1)}$).
 Обозначим через
$Q_{antidiag} = \Sigma_{antidiag} \cap K_{(1)}$, $Q_{diag} =
\partial \Gamma_{diag} \cap K_{(1)}$, $Q_{diag}\subset K_{(1)}$,
$Q_{antidiag} \subset K_{(1)}$. Назовем эти подпространства компонентами границы полиэдра $K_{(1)}$.
Аналогично определим $\hat Q_{diag}$, $\hat Q_{antidiag}$ компоненты границы полиэдра $\hat K_{(1)}$.

Заметим, что структурное отображение $\zeta_{K_{1\circ}}$ продолжается с $K_{1\circ}$ на компоненту границы
$Q_{antidiag}$. Обозначим это продолжение через $\zeta_{Q_{antidiag}}: Q_{antidiag} \to K(\H,1)$.
Отображение $\zeta_{Q_{antidiag}}$  представляется в виде композиции отображения
$\zeta_{antidiag}: Q_{antidiag} \to K(\Q_a,1)$ и отображения
включения $i_{\Q_a,\H}: K(\Q_a,1) \subset K(\D_4,1)$.

Cтруктурное
отображение $\zeta_{K_{(1)}}$ на компоненту $Q_{diag}$ не продолжается.
Определено отображение $\zeta_{diag}: Q_{antidiag} \to K(\I_a,1)$.
Обозначим через $U(Q_{diag}) \subset K_{1\circ}$ малую регулярную взрезанную окрестность
открытого конца, примыкающего к $Q_{diag}$. Определена проекция $proj_{diag}:U(Q_{diag}) \to Q_{diag}$
регулярной взрезанной окрестности на центальное подмногообразие.
Ограничение структурного отображения $\zeta_{K_{1\circ}}$ на окрестность $U(Q_{diag})$ представлено композицией
отображения $\zeta_{U(Q_{diag})}: U(Q_{diag}) \to K(\I_a,1)$ и отображения $i_{\I_a,\H}: K(\I_a,1) \to K(\H,1)$.
Гомотопические классы отображений $\zeta_{K_{(1)}}$ и $\zeta_{U(Q_{diag})}$ связаны равенством
$\eta_{diag} \circ proj_{diag} = p_{\H_b,\I_a} \circ \eta_{K_{(1)}}$.



Определим следующую коммутативную диаграмму мономорфизмов групп,
каждая из которых представлена в группе $O(8)$:
\begin{eqnarray}\label{G}
\begin{array}{ccccccccccc}
&&&&&& \E_b &&&&\\
&&&&  && \cap &&&&\\
\I_d &\subset &\I_a & \subset &\Q_a& \subset & \H & \subset & \G & \subset &\G^{\downarrow}. \\
&&&& \searrow && \cap &&&&\\
&&&&&& \H_c &&&&\\
\end{array}
\end{eqnarray}

В этой диаграмме группа $\G^{\downarrow}$ определяется как подгруппа порядка $128$ в группе $O(8)$,
которая порождена  при помощи преобразований, записанных в стандартном базисе
$\{ \e_1, \e_2, \e_3, \e_4, \e_5, \e_6, \e_7, \e_8 \}$, следущего вида:

---1 преобразование в упорядоченной паре подпространств $( \e_1, \e_2, \e_3, \e_4 )$, $( \e_5, \e_6, \e_7, \e_8 )$
произвольной парой элементов из подгруппы $\Q_a \subset O(4)$.

---2  преобразование одновременно переставляющее пары векторов $(\e_1,\e_5)$, $(\e_2,\e_6)$, $(\e_3,\e_7)$,
$(\e_4,\e_8)$.



Подгруппа $\G \subset \G^{\downarrow}$ имеет порядок $64$ и
определяется как группа, порожденная преобразованиями из
$\G^{\downarrow}$, сохраняющими неупорядоченную пару
подпространств $(\e_1,\e_2,\e_5,\e_6)$, $(\e_3,\e_4,\e_7,\e_8)$
(напимер, элемент из $\G^{\downarrow}$, заданный преобразованием
$\j \in \Q_a$ в подпространстве $(\e_1,\e_2,\e_3,\e_4)$  и
тождественным преобразованием в подпространстве
$(\e_5,\e_6,\e_7,\e_8)$ не лежит в подгруппе $\G \subset
\G^{\downarrow}$). Включение $\H \subset \G$ является центральным
квадратичным расширением группы $\H$ посредством элемента
$\d_{\j}$ такого, что $\d_{\j}^2$ совпадает с образующей центра
$\I_d \subset \Q_a \subset \H$. Подгруппа $\Q_a$ представлена
диагональными преобразованиями $SO(4) \subset SO(4) \oplus SO(4)
\subset O(8)$ стандартного вида в каждой паре пространств $(\e_1,
\e_2, \e_5, \e_6)$, $(\e_3, \e_4, \e_7, \e_8)$. Подгруппа $\E_b
\subset \G$ порождена двумя коммутирующими преобразованиями. Первое преобразование имеент порядок $4$
и совпадает с преобразованием $\i \in \I_a \subset \Q_a$. Второе преобразование имеет порядок $2$, оно одновременно переставляюет пары базисных
векторов $(\e_1,\e_5)$, $(\e_2,\e_6)$, $(\e_3,\e_7)$,
$(\e_4,\e_8)$.


Подгруппа $\H_c \subset \G$ порождена собственными
преобразованиями в паре подпространств $(\e_1,\e_2,\e_3,\e_4)$,
$(\e_5,\e_6,\e_7,\e_8)$ на произвольную пару элементов из $\Q_a$.
Остальные подгруппы в диаграмме $(\ref{G})$ были определены ранее
в разделе 2.





Нетрудно проверить, что определено естественное отображение $\hat
\zeta: \hat K_{1\circ} \to K(\G,1)$, которое индуцирует отображение
диаграмм 2-листных накрытий:


\begin{eqnarray}\label{15.1}
\begin{array}{ccccccc}
\bar K_{1\circ} & \stackrel{\bar r}{\longrightarrow} & \tilde K_{1\circ}& &K(\H_c,1)& \longrightarrow & K(\G_c,1)\\
\downarrow & & \downarrow & \longrightarrow & \downarrow & & \downarrow\\
K_{1\circ} & \stackrel{r}{\longrightarrow} & \hat K_{1\circ}& &K(\H,1)& \longrightarrow & K(\G,1),\\
\end{array}
\end{eqnarray}
где подгруппа $\G_c \subset \G$ является  квадратичным расширением
группы $\H_c$. Горизонтальные отображения между соответствующими
пространствами диаграмм мы обозначим через $\bar \zeta, \tilde
\zeta, \zeta, \hat \zeta$ соответственно.

На пространстве $\hat \Gamma_{K_{1\circ}}$ определена, в свою очередь,
свободная инволюция $T_{\hat \Gamma_{K_{1\circ}}} : \hat \Gamma_{K_{1\circ}} \to
\hat \Gamma_{K_{1\circ}}$ по формуле $T_{\hat \Gamma_{K_{1\circ}}} ([(x,y)]) =
[(T_{S/i}(x),y)]$. (Заметим, что
$[(T_{S/i}(x),y)]=[(x,T_{S/i}(y)]$.) Пространства, полученные из
$\hat \Gamma_{K_{1\circ}}$, $\hat K_{1\circ}$, $\bar \Gamma_{K_{1\circ}}$, $\bar K_{1\circ}$
%(также и подпространство соответствующего подпространства, см.,
%например, доказательство Леммы $\ref{lemma25}$ далее в этом
%разделе)
после факторизации по инволюции $T_{\hat \Gamma_{K_{1\circ}}}$
обозначим через $\hat \Gamma_{K_{1\circ}}^{\downarrow}$, $\hat
K_{1\circ}^{\downarrow}$ $\bar \Gamma_{K_{1\circ}}^{\downarrow}$, $\bar
K_{1\circ}^{\downarrow}$ соответственно. Определено 2-листное накрытие
$\hat \Gamma_{K_{1\circ}} \to \hat \Gamma_{K_{1\circ}}^{\downarrow}$, которое
индуцирует двулистное накрытие $\hat K_{1\circ} \to \hat
K_{1\circ}^{\downarrow}$. При этом определена коммутативная диаграмма:
\begin{eqnarray}\label{G-Gdownarrow}
\begin{array}{ccc}
\hat \Gamma_{K_{1\circ}} & \longrightarrow & K(\G,1) \\
\downarrow & & \downarrow  \\
\hat \Gamma_{K_{1\circ}}^{\downarrow} & \longrightarrow & K(\G^{\downarrow},1).
\end{array}
\end{eqnarray}
\[  \]

%\end{document}

\subsubsection*{Полиэдры $K_{0}, \hat K_0$}
Введем обозначение:
\begin{eqnarray}\label{r0max}
r_{min,0}= \frac{n-7}{4}; \quad i_{max,0}=r_0-r_{min,0}.
\end{eqnarray}

Определим подпространство   $\hat K_{0\circ}^{(i)} \subset \hat
K_{0\circ}$ по формуле:
$$
\hat K_{0\circ}^{(i)} = p_{\hat K_{0\circ}}^{-1}(J_0^{(i)} \setminus
J_0^{(i+1)}),
$$
где $p_{\hat K_{0\circ}}: K_{0\circ} \to J_0$--естественная
проекция особенности на свой образ. Определим подпространство
$\hat K_{[0]\circ} \subset K_{0\circ}$ по формуле:
$$
\hat K_{[0]\circ} = p_{\hat K_{0\circ}}^{-1}(J_0 \setminus
J_0^{(i_{max,0})+1}).
$$
При этом справедлива формула:
$$\hat K_{[0]\circ} = \cup_{i=0}^{i=i_{max,0}} \hat K_{0\circ}^{(i)}. $$
Топология на пространстве $\hat K_{[0]\circ}$  индуцирована из
топологии локально-связного пространства в правой части формулы,
полученного при склейке дизъюнктного объединения пространств.
Определено двулистное накрывающее $K_{0\circ}^{(i)}$,
(соответственно $K_{[0]\circ}$) над пространством $\hat
K_{0\circ}^{(i)}$ (соответственно $\hat K_{[0]\circ}$).

Определим пространство $K_0$ (соответственно $\hat K_0$) как
пространство, полученное замыканием пространства $K_{[0]\circ}$
(соответственно $\hat K_{[0]\circ}$). Определим естественные
отображения  $\hat K_{0} \to \hat K_{(0)}$, $K_{0} \to K_{(0)}$.
Эти отображения будут $PL$--вложениями всюду, за исключением
прообразов диагонали и антидиагонали, где имеются особенности.


\subsubsection*{Разрешение особенностей полиэдра $K_{0}$}

 Для каждого $i$, $0 \le i \le i_{max,0}$, мы построим полиэдр $K^{(i)}_0$ и пространство
$RK_0^{(i)}$, которое назовем пространством, разрешающим
особенности полиэдра $K^{(i)}_0$. Параметр $i$ назовем глубиной.
Пространства $K^{(i)}_0$, $RK_0^{(i)}$ кроме того, являются
накрывающими пространствами при 2-листных накрытиях $r: K^{(i)}_0
\to \hat K^{(i)}_0$, $Rr: RK_0^{(i)} \to R\hat K_0^{(i)}$, эти
накрытия включены в следующую коммутативную диаграмму
отображений:

\begin{eqnarray}\label{16.1}
\begin{array}{ccccc}
 &  &  RK_0^{(i)} & \stackrel {pr}{\longrightarrow} & K_0^{(i)}  \\
&&&&\\
  & \phi_0 \swarrow  &  \downarrow Rr & & \downarrow r \\
&&&&\\
K(\I_a,1) &   \stackrel {\hat \phi_0}{\longleftarrow} & R\hat
K_0^{(i)}  &
\stackrel {p\hat r}{\longrightarrow} & \hat K_0^{(i)}.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

%\end{document}

%При этом пространство $R\hat   K_0^{(i)}$ включено в коммутативную
%диаграмму:
%\begin{eqnarray}\label{17.1}
%\begin{array}{ccc}
% R\hat K_0^{(i)} & \stackrel {p\hat r}{\longrightarrow} & \hat K_0^{(i)}  \\
%\downarrow & & \downarrow \\
% R\hat K_0^{(i),\downarrow} & \stackrel {p\hat r^{\downarrow}}{\longrightarrow} & \hat K_0^{(i),\downarrow}.  \\
%\end{array}
%\end{eqnarray}


Введем обозначения $R\hat Q_{diag}^{(i)} = (p \hat r)^{-1}(\hat
Q_{diag}^{(i)})$, $R\hat Q_{antidiag}^{(i)} = (p \hat r)^{-1}(\hat
Q_{antidiag}^{(i)})$. Аналогичные обозначения $RQ_{diag}^{(i)}$,
$RQ_{antidiag}^{(i)}$ введем для соответствующих двулистных
накрывающих. Рассматриваемые пространства включены в следующие
коммутативные диаграммы:

%\end{document}

\begin{eqnarray}\label{18.1}
\begin{array}{ccc}
RQ_{antidiag}^{(i)} & \qquad \stackrel{pr}{\longrightarrow} \qquad & Q_{antidiag}^{(i)} \\
\phi_0 \searrow & & \swarrow \eta_{antidiag} \\
& K(\I_a,1), &
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{18.2}
\begin{array}{ccc}
RQ_{diag}^{(i)} & \qquad \stackrel{pr}{\longrightarrow} \qquad & Q_{diag}^{(i)} \\
\phi_0 \searrow & & \swarrow \eta_{diag} \\
& K(\I_d,1), &
\end{array}
\end{eqnarray}


Для доказательства основного результата раздела нам потребуется
следующая лемма.
%\end{document}

\begin{lemma}\label{lemma28}

--1. Для каждого $i$, $0 \le i \le i_{max,0}$, cуществует
пространство $\hat K_0^{(i)}$, его двулистное накрывающее
$K_0^{(i)}$ и база двулистного накрытия $\hat
K_0^{(i),\downarrow}$. Пространства $\hat K_0^{(i)}$, $K_0^{(i)}$,
$\hat K_0^{(i),\downarrow}$ являются подпространствами пространств
$\hat K_0$, $K_0$, $\hat K_0^{\downarrow}$ соответственно.
Существует пространство $R\hat K_0^{(i)}$ и его двулистное
накрывающее $RK_0^{(i)}$ и база 2-листного накрытия $R\hat
K_0^{(i),\downarrow}$, которые включаются в коммутативную
диаграмму $(\ref{16.1})$. На двулистном накрывающем выполняются
граничные условия, которые определены диаграммами $(\ref{18.1})$,
$(\ref{18.2})$.

--2. Cуществует пространство $R\hat K_0$ и его двулистное
накрывающее $RK_0$ и база 2-листного накрытия $R\hat
K_0^{\downarrow}$, которые включаются в нижеследующую
коммутативную диаграмму   $(\ref{16.2})$, аналогичную диаграмме
$(\ref{16.1})$. На двулистном накрывающем выполняются граничные
условия, которые определены нижеследующими диаграммами
$(\ref{118.1})$, $(\ref{118.2})$, аналогичными диаграммам
$(\ref{18.1})$, $(\ref{18.2})$.



\end{lemma}
%\end{document}

\begin{eqnarray}\label{16.2}
\begin{array}{ccccc}
 &  &  RK_0 & \stackrel {pr}{\longrightarrow} & K_0  \\
&&&&\\
  & \phi_0 \swarrow  &  \downarrow Rr & & \downarrow r \\
&&&&\\
K(\I_a,1) &   \stackrel {\hat \phi_0}{\longleftarrow} & R\hat K_0
&
\stackrel {p\hat r}{\longrightarrow} & \hat K_0.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{118.1}
\begin{array}{ccc}
RQ_{antidiag} & \qquad \stackrel{pr}{\longrightarrow} \qquad & Q_{antidiag} \\
\phi_0 \searrow & & \swarrow \eta_{antidiag} \\
& K(\I_a,1), &
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{118.2}
\begin{array}{ccc}
RQ_{diag} & \qquad \stackrel{pr}{\longrightarrow} \qquad & Q_{diag} \\
\phi_0 \searrow & & \swarrow \eta_{diag} \\
& K(\I_d,1), &
\end{array}
\end{eqnarray}



\subsubsection*{Полиэдры $K_{1}, \hat K_1$}
Введем обозначение:
\begin{eqnarray}\label{r0max}
r_{min,1}= \frac{n-15}{8}; \quad i_{max,1}=r_1-r_{min,1}.
\end{eqnarray}

Определим подпространство   $\hat K_{1\circ}^{(i)} \subset \hat
K_{1\circ}$ по формуле:
$$
\hat K_{1\circ}^{(i)} = p_{\hat K_{1\circ}}^{-1}(J_1^{(i)} \setminus
J_1^{(i+1)}),
$$
где $p_{\hat K_{1\circ}}: K_{1\circ} \to J_1$--естественная
проекция особенности на свой образ. Определим подпространство
$\hat K_{[1]\circ} \subset K_{1\circ}$ по формуле:
$$
\hat K_{[1]\circ} = p_{\hat K_{1\circ}}^{-1}(J_1 \setminus
J_1^{(i_{max,1})+1}).
$$
При этом справедлива формула:
$$\hat K_{[1]\circ} = \cup_{i=0}^{i=i_{max,1}} \hat K_{1\circ}^{(i)}. $$
Топология на пространстве $\hat K_{[1]\circ}$  индуцирована из
топологии локально-связного пространства в правой части формулы,
полученного при склейке дизъюнктного объединения пространств.
Определено двулистное накрывающее $K_{1\circ}^{(i)}$,
(соответственно $K_{[1]\circ}$) над пространством $\hat
K_{1\circ}^{(i)}$ (соответственно $\hat K_{[1]\circ}$).

Определим пространство $K_1$ (соответственно $\hat K_1$) как
пространство, полученное замыканием пространства $K_{[1]\circ}$
(соответственно $\hat K_{[1]\circ}$). Определим естественные
отображения  $\hat K_{1} \to \hat K_{(1)}$, $K_{1} \to K_{(1)}$.
Эти отображения будут $PL$--вложениями всюду, за исключением
прообразов диагонали и антидиагонали, где имеются особенности.


\subsubsection*{Разрешение особенностей полиэдра $K_{1}$}

 Для каждого $i$, $0 \le i \le i_{max,1}$, мы построим полиэдр $K^{(i)}_1$ и пространство
$RK_1^{(i)}$, которое назовем пространством, разрешающим
особенности полиэдра $K^{(i)}_1$. Параметр $i$ назовем глубиной.
Пространства $K^{(i)}_1$, $RK_1^{(i)}$ кроме того, являются
накрывающими пространствами при 2-листных накрытиях $r: K^{(i)}_1
\to \hat K^{(i)}_1$, $Rr: RK_1^{(i)} \to R\hat K_1^{(i)}$, эти
накрытия включены в следующую коммутативную диаграмму
отображений:

\begin{eqnarray}\label{20.1}
\begin{array}{ccccc}
 &  &  RK_1^{(i)} & \stackrel {pr}{\longrightarrow} & K_1^{(i)}  \\
&&&&\\
  & \phi_1 \swarrow  &  \downarrow Rr & & \downarrow r \\
&&&&\\
K(\Q_a,1) &   \stackrel {\hat \phi_1}{\longleftarrow} & R\hat
K_1^{(i)}  &
\stackrel {p\hat r}{\longrightarrow} & \hat K_1^{(i)}.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

%\end{document}

%При этом пространство $R\hat   K_0^{(i)}$ включено в коммутативную
%диаграмму:
%\begin{eqnarray}\label{17.1}
%\begin{array}{ccc}
% R\hat K_0^{(i)} & \stackrel {p\hat r}{\longrightarrow} & \hat K_0^{(i)}  \\
%\downarrow & & \downarrow \\
% R\hat K_0^{(i),\downarrow} & \stackrel {p\hat r^{\downarrow}}{\longrightarrow} & \hat K_0^{(i),\downarrow}.  \\
%\end{array}
%\end{eqnarray}


Введем обозначения $R\hat Q_{diag}^{(i)} = (p \hat r)^{-1}(\hat
Q_{diag}^{(i)})$, $R\hat Q_{antidiag}^{(i)} = (p \hat r)^{-1}(\hat
Q_{antidiag}^{(i)})$. Аналогичные обозначения $RQ_{diag}^{(i)}$,
$RQ_{antidiag}^{(i)}$ введем для соответствующих двулистных
накрывающих. Рассматриваемые пространства включены в следующие
коммутативные диаграммы:

%\end{document}

\begin{eqnarray}\label{22.1}
\begin{array}{ccc}
RQ_{antidiag}^{(i)} & \qquad \stackrel{pr}{\longrightarrow} \qquad & Q_{antidiag}^{(i)} \\
\phi_1 \searrow & & \swarrow \eta_{antidiag} \\
& K(\Q_a,1), &
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{23.1}
\begin{array}{ccc}
RQ_{diag}^{(i)} & \qquad \stackrel{pr}{\longrightarrow} \qquad & Q_{diag}^{(i)} \\
\phi_1 \searrow & & \swarrow \eta_{diag} \\
& K(\I_a,1), &
\end{array}
\end{eqnarray}


Для доказательства основного результата раздела нам потребуется
следующая лемма.
%\end{document}

\begin{lemma}\label{lemma29}

--1. Для каждого $i$, $0 \le i \le i_{max,1}$, cуществует
пространство $\hat K_1^{(i)}$ и его двулистное накрывающее
$K_1^{(i)}$. Пространства $\hat K_1^{(i)}$, $K_1^{(i)}$ являются подпространствами пространств
$\hat K_1$, $K_1$ соответственно.
Существует пространство $R\hat K_1^{(i)}$ и его двулистное
накрывающее $RK_1^{(i)}$, которые включаются в коммутативную
диаграмму $(\ref{20.1})$. На двулистном накрывающем выполняются
граничные условия, которые определены диаграммами $(\ref{22.1})$,
$(\ref{23.1})$.

--2. Cуществует пространство $R\hat K_1$ и его двулистное
накрывающее $RK_1$,
%и база 2-листного накрытия $R\hat
%K_0^{\downarrow}$,
которые включаются в нижеследующую коммутативную диаграмму
$(\ref{16.22})$, аналогичную диаграмме $(\ref{20.1})$. На
двулистном накрывающем выполняются граничные условия, которые
определены нижеследующими диаграммами  $(\ref{122.1})$,
$(\ref{123.1})$, которые аналогичны диаграммам $(\ref{22.1})$,
$(\ref{23.1})$.



\end{lemma}
%\end{document}

\begin{eqnarray}\label{16.22}
\begin{array}{ccccc}
 &  &  RK_1 & \stackrel {pr}{\longrightarrow} & K_1  \\
&&&&\\
  & \phi_1 \swarrow  &  \downarrow Rr & & \downarrow r \\
&&&&\\
K(\Q_a,1) &   \stackrel {\hat \phi_1}{\longleftarrow} & R\hat K_1
&
\stackrel {p\hat r}{\longrightarrow} & \hat K_1.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{122.1}
\begin{array}{ccc}
RQ_{antidiag} & \qquad \stackrel{pr}{\longrightarrow} \qquad & Q_{antidiag} \\
\phi_1 \searrow & & \swarrow \eta_{antidiag} \\
& K(\Q_a,1), &
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{123.1}
\begin{array}{ccc}
RQ_{diag} & \qquad \stackrel{pr}{\longrightarrow} \qquad & Q_{diag} \\
\phi_1 \searrow & & \swarrow \eta_{diag} \\
& K(\I_a,1), &
\end{array}
\end{eqnarray}

%\begin{eqnarray}\label{17.2}
%\begin{array}{ccc}
% R\hat K_0 & \stackrel {p\hat r}{\longrightarrow} & \hat K_0  \\
%\downarrow & & \downarrow \\
% R\hat K_0^{\downarrow} & \stackrel {p\hat r^{\downarrow}}{\longrightarrow} & \hat K_0^{\downarrow}.  \\
%\end{array}
%\end{eqnarray}

\subsubsection*{Полиэдры $K_{1}, \hat K_1$}
Введем обозначение:
\begin{eqnarray}\label{r1max}
r_{min,1}= \frac{n-15}{8}; \quad i_{max,1}=r_1 - r_{min,1}.
\end{eqnarray}

Определим пространство $\hat K_{(1)}^{(i)}$ по формуле:
$$
\hat K_{(1)}^{(i)} = p_{\hat K_{(1)}}^{-1}(J_1^{(i)} \setminus
J_1^{(i+1)}).
$$
Определим пространство $\hat K_{(1)}$ по формуле:
$$
\hat K_{(1)} = p_{\hat K_{(1)}}^{-1}(J_1 \setminus
J_1^{(i_{max,1})+1}) = \cup_{i=0}^{i=i_{max,1}}\hat K_{(1)}^{(i)}.
$$
Определено двулистное накрывающее $K_{(1)}^{(i)}$, (соответственно $K_{(1)}$) над пространством $\hat K_{(1)}^{(i)}$ (соответственно $\hat K_{(1)}$).


Для каждого $i$, $0 \le i \le i_{max,1}$, ниже определим
пространство $\hat K_{1}^{(i)}$ и пространство $\hat K_{1}$.
Определим также естественные отображения  $\hat K_{(1)}^{(i)} \to
\hat K_{1}^{(i)}$, $\hat K_{(1)} \to \hat K_{(1)}$. Эти
отображения будут $PL$--гомеоморфизмами всюду, за исключением
участков раздутой диагонали и антидиагонали, где имеется
вырождение. Аналогично определим двулистные накрывающие
$K_{1}^{(i)}$ и пространство $K_{1}$ и естественные отображения
$K_{(1)}^{(i)} \to K_{1}^{(i)}$, $K_{(1)} \to K_{1}$.



\subsubsection*{Начало доказательства Леммы $\ref{osnlemma1}$}


При определении отображения $d$ определялось также отображение
$\hat g: S^{n-k}/\i \to \R^{n}$, которое получено малой
$PL$-деформацией общего положения калибра $\delta$ из отображения
$i_{J_0} \circ p: S^{n-k}/\i \to J_0 \subset \R^n$. (Сама эта
деформация и её калибр $\delta$ будут явно указаны при
доказательстве Леммы $\ref{lemma30}$). Рассмотрим также
отображение $g
 = \pi \circ \hat d: \RP^{n-k} \to S^{n-k}/\i \to
\R^n$.

Рассмотрим полиэдр $ \hat N_{K_0}^{\downarrow}$ точек
самопересечения отображения $\hat g$ и двулистное накрывающее над
этим полиэдром $\hat N_{K_0}$, определенное в соответствии с
правым нижним пространством в диаграмме $(\ref{14})$.
 Чтобы подчеркнуть аналогию со случаем
гладких отображений, далее все рассматриваемые полиэдры (раздутие
особенностей на диагонали и антидиагонали в полиэдрах не
определяется) точек самопересечения будет называться
PL-многообразием с особенностями. Эти многообразия с особенностями
имеют особый край, состоящий из точек диагонали и антидиагонали.
Полиэдры без точек диагонали и антидиагонали  обозначаются $ \hat
N_{K_0\circ}^{\downarrow}$, $ \hat N_{K_0\circ}$ соответственно.
Каждый такой полиэдр назовем открытым многообразием с
особенностями. Открытое многообразие с особенностями  $ \hat
N_{K_0\circ}$ естественно вложено в открытое многообразие $\hat
\Gamma_{0\circ}$.


 Многообразие с особенностями $\hat
N_{K_0}$, в свою очередь, само служит базой двулистного накрытия
$r: N_{K_0} \to \hat N_{K_0}$. Накрытия определены в соответствии
с обозначениями в диаграмме ($\ref{14}$). Определено открытое
многообразие с особенностями $N_{K_{0\circ}}$ c краем, которое
естественно вкладывается во взрезанный квадрат $\Gamma_0$. При
этом вложении образ $N_{K_{0\circ}}$ лежит в регулярной
окрестности полиэдра $K_{(0)}$ и определена коммутативная
диаграмма отображений

\begin{eqnarray}\label{24}
\begin{array}{ccccc}
N_{K_{0\circ}} & \subset & U_{\varepsilon} & \longrightarrow & K(\D_4,1) \\
\downarrow & &\downarrow && \downarrow \\
\hat N_{K_{0\circ}} &\subset & \hat U_{\varepsilon} & \longrightarrow & K(\E,1), \\
\end{array}
\end{eqnarray}
в которой через $U_{\varepsilon}$, $\hat U_{\varepsilon}$
обозначены регулярные $\varepsilon$-окрестности подполиэдров
$K_{(0)} \subset \Gamma_0$, $\hat K_{(0)} \subset \hat \Gamma_0$
соответственно. Правые горизонтальные стрелки этой диаграммы
являются  продолжениями отображений диаграммы ($\ref{14}$) на
регулярную окрестность $U_{\varepsilon}$ и на факторпространство
$\hat U_{\varepsilon}$ этой окрестности в многообразиях с краем
$\Gamma_0$, $\hat \Gamma_0$ соответственно.

Рассмотрим многообразие с особенностями $N_{K_0}$ и обозначим его
компоненты края через $N_{Q,diag} \cup N_{Q,antidiag}$.
Переобозначим многообразие с особенностями $N_{K_0}$ через
$N_{K_0}^{(0)}$, а его компоненты края через $N^{(0)}_{Q,diag}
\cup N^{(0)}_{Q,antidiag}$. Ниже в доказательстве Леммы
$\ref{lemma30}$ определена стратификация:
\begin{eqnarray}\label{strat0}
N_{K_0}^{i_{max,0}} \subset \dots \subset N_{K_0}^{0},
\end{eqnarray}
(эта стратификация совпадает с каноническим двулистным накрытием
стратификации $(\ref{stra0})$).


Обозначим через
\begin{eqnarray}\label{strat11}
W_{K_0}^{(i)} =  N_{K_0}^{i}  \setminus N_{K_0}^{i+1}.
\end{eqnarray}
открытое многообразие с особенностями, содержащее компоненты края
(ср. $(\ref{stra00})$).

Обозначим компоненты его края $N^{i}_{Q,diag} \setminus
N^{i+1}_{Q,diag}$, $N^{i}_{Q,antidiag} \setminus
N^{i+1}_{Q,antidiag}$ через $W^{i}_{Q,diag}$ и
$W_{Q,antidiag}^{i}$ соответственно. Введем аналогичные
обозначения $\hat N_{K_0}^{i} \setminus \hat N^{i+1}_{K_0} = \hat
W_{K_0}^{(i)}$, $\hat N^{i}_{Q,diag} \setminus \hat
N^{i+1}_{Q,diag} = \hat W^{(i)}_{Q,diag}$, $\hat
N^{i}_{Q,antidiag} \setminus \hat N^{i+1}_{Q,antidiag} = \hat
W^{(i)}_{Q,antidiag}$. При вложении $W_{K_0}^{(i)} \subset
U_{\varepsilon} \subset \Gamma_0$ подмногообразие с осбенностями
$W_{Q,diag}^{(i)}$ вкладывается в компоненту края $\Gamma_{diag}$,
а подмногообразие c особенностями $W_{Q,antidiag}^{(i)}$
вкладывается в $\Gamma_{antidiag}$. Аналогичные утверждения
справедливы для компонент границы $\hat W_{\Gamma_0}^{(i)}$.



Для каждого $i$, $0 \le i \le i_{max,0}$, определена коммутативная
диаграмма ($\ref{25}$) отображений полиэдров с выписанными под
диаграммой граничными условиями. В пространства, стоящие в третьей
строке этой диаграммы, отображаются соответственно пространства
центральной строки коммутативной диаграммы ($\ref{26}$), которая
также определена для произвольного $i$, $0 \le i \le i_{max,0}$,
соответствующего номеру страта полиэдра точек самопересечения в
стратификации ($\ref{strat0}$).



\begin{eqnarray}\label{25}
\begin{array}{ccccccc}
K(\I_a,1) &&&& K(\I_a,1) &&\\
&&&&&&\\
\uparrow \hat \phi & \nwarrow \hat \phi &&& \uparrow \phi & \nwarrow \phi &\\
&&&&&&\\
 R \hat K_0^{(i)} &  \supset & R\hat Q_{diag}^{(i)} \cup R\hat Q_{antidiag}^{(i)} &
 & RK_0^{(i)}  & \longleftarrow & RQ_{diag}^{(i)} \cup RQ_{antidiag}^{(i)} \\
&&&&&&\\
 \downarrow p\hat r  &  & \downarrow& & \downarrow pr & & \downarrow  \\
&&&&&&\\
\hat K_0^{(i)} & \supset &   \hat Q_{diag}^{(i)} \cup \hat
Q_{antidiag}^{(i)} & & K_0^{(i)}
& \supset & Q_{diag}^{(i)} \cup Q_{antidiag}^{(i)} \\
&&&&&&\\
\cup &  & \cup && \cup  &  & \cup \\
&&&&&&\\
\hat K_{0\circ}^{(i)} & \supset &  \emptyset & & K_{0\circ}^{(0)}
& \supset & \emptyset \\
&&&&&&\\
\downarrow \hat \eta & &   & &   \downarrow  \eta & &    \\
&&&&&&\\
K(\E,1) &  &  &  &     K(\D_4,1).&& \\

\end{array}
\end{eqnarray}

Граничные условия в диаграмме ($\ref{25}$) на пространстве
$Q_{antidiag}^{(i)}$ записываются формулой $\phi  = i_a \circ
\eta_{Q_{antidiag}^{(i)}} : Q_{antidiag}^{(i)} \longrightarrow
K(\I_a,1) \stackrel{i_a}{\longrightarrow} K(\D_4,1)$, на
пространстве $Q_{diag}^{(i)}$ записываются формулой $\phi =
i_{d,a} \circ p_{b,d} \circ \eta_{Q_{diag}^{(i)}}: Q_{diag}^{(i)}
\longrightarrow K(\I_b,1) \longrightarrow K(\I_d,1)
\longrightarrow K(\I_a,1)$.


\begin{eqnarray}\label{26}
\begin{array}{ccccccc}
K(\I_a,1) &  &   & & K(\I_a,1)   & &  \\
&&&&&&\\
\uparrow \hat \mu_a  &  & \nwarrow \hat \mu_a & & \uparrow \mu_a & & \nwarrow  \mu_a \\
&&&&&&\\
\hat W_{K_0}^{(i)} & \supset & \hat W_{Q,diag}^{(i)} \cup \hat
W_{Q,antidiag}^{(i)} &
&W_{K_0}^{(i)} & \supset & W_{Q,diag}^{(i)} \cup W_{Q,antidiag}^{(i)} \\
&&&&&&\\
\cup  &  & \cup & & \cup & & \cup  \\
&&&&&&\\
\hat W_{K_{0\circ}}^{(i)} & \supset & \emptyset &
&W_{K_{0\circ}}^{(i)} & \supset & \emptyset \\
&&&&&&\\
\downarrow \hat \eta & &  & &   \downarrow \eta & &  \\
&&&&&&\\
K(\E,1) &  &  &  &     K(\D_4,1).&& \\
\end{array}
\end{eqnarray}


Граничные условия в диаграмме (\ref{26}) на пространстве
$W_{Q,antidiag}^{(i)}$ записываются формулой
 $\phi  = i_a \circ
\eta_{W_{Q,antidiag}^{(i)}} : W_{Q,antidiag}^{(i)} \longrightarrow
K(\I_a,1) \stackrel{i_a}{\longrightarrow} K(\D_4,1)$, на
пространстве $W_{Q,diag}^{(i)}$ записываются формулой $\phi = i_a
\circ p_b \circ \eta_{W_{Q,diag}^{(i)}}: W_{Q,diag}^{(i)}
\longrightarrow K(\I_b,1) \longrightarrow K(\I_d,1)
\longrightarrow K(\I_a,1)$.


Воспользуемся следующей леммой, доказательство которой проводится в конце раздела.

\begin{lemma}\label{lemma30}
Существует малая $PL$-деформация общего положения $(i_{J_0} \circ
\hat p) \mapsto \hat d$ такая, что для каждого кусочно-линейного
страта $W_{K_0}^{(i)}$ полиэдра $N(d)$ в средней строке
коммутативной диаграммы $(\ref{26})$ определены отображения $\hat
t^{(i)}: W^{(i)}_{\hat K_0} \to R\hat K_0^{(i)}$, $ t^{(i)}:
W^{(i)}_{K_0} \to RK_0^{(i)}$, называемые отображениями разрешения
особенностей, в соответствующие пространства второй строки
диаграммы $(\ref{25})$.
 При этом определены отображения
$\hat \mu_a^{(i)}: W_{\hat K_0}^{(i)} \to K(\I_a,1)$,
$\mu_a^{(i)}: W_{K_0}^{(i)} \to K(\I_a,1)$ в диаграмме
$(\ref{26})$ по формулам $\hat \mu_a^{(i)} = \hat \phi \circ \hat
t^{(i)}$, $\mu_a^{(i)} = \phi \circ t^{(i)}$.


Построенные семейства отображений при различных $i$ в
$(\ref{strat0})$ склеиваются до отображений
$\hat t: \hat N_{K_0} \to R\hat K_0$ (соответственно $t: N_{K_0} \to RK_0$)
и определены индуцированные отображения
$\hat \mu_a = \hat \phi \circ \hat t: \hat
N_{K_0} \to K(\I_a,1)$ (соответственно $\mu_a = \phi \circ t: N_{K_0} \to K(\I_a,1)$).
Более того, выполнено соотношение $r \circ \hat
\mu_a = \mu_a: N_{K_0} \to \hat N_{K_0} \to K(\I_a,1)$ и выполнены
граничные условия на компонетах $N_{Q,diag}$, $N_{Q,antidiag}$
границы стратифицированного многообразия с особенностями
$N_{K_0}$, которые аналогичны выписаным под формулой $(\ref{26})$
граничным условиям для компонент $W_{Q,diag}^{(i)}$,
$W_{Q,antidiag}^{(i)}$ соответственно.
\end{lemma}


\subsubsection*{Окончание доказательства Леммы $\ref{osnlemma1}$}
Докажем, что отображение $\mu_a$, определенное из Леммы
$\ref{lemma30}$ на многообразии с особенностями с краем $N_{K_0}$,
продолжается до отображения на всем $N(d)$ и указанное продолжение
определяет циклическую структуру для отображения $d$.


Напомню, что $N(d) = N_{antidiag} \cup N_{K_0}$ по общему краю
$N_{Q,antidiag}$. Полиэдр $N_{K_0}$ является базой 2-листного
накрытия $r: N_{K_0} \to \hat N_{K_0}$ и корректно определена
диаграмма $(\ref{24})$.  На компоненте $N_{K_0}$ циклическая
структура определена в результате продолжения отображения $\mu_a$
с $W_{K_0}$. В силу выполнения граничных условий для отображения
$\phi$ на $RQ_{antidiag}$, $RQ_{diag}$ следует, что отображение
$\mu_a$ имеет правильные граничные условия на $N_{Q,diag}$ и на
$N_{Q,antidiag}$. В частности, на $N_{Q,antidiag}$ отображение
$\mu_a$ совпадает со структурным отображением, которое является
циклическим.

Проверим условие ($\ref{h mu_a}$) в определении циклической
структуры для отображений с особенностью. Воспользуемся Леммой 18,
согласно которой достаточно рассмотреть абсолютный цикл $\mu_{\bar
R}: \bar R^{n-k} \to K(\I_d,1)$ (напомню, что этот цикл получен
при заклейке отображения $\mu_a: N(d) \to K(\I_a,1)$ вдоль границы
 двумя
одинаковыми копиями относительного цикла, которые выбираются произвольными) и проверить, что цикл
$\mu_{\bar R}$ определяет образующую группы гомологий
$H_{n-k}(K(\I_d,1);\Z/2)$. Обозначим эту образующую через $x \in
H_{n-k}(K(\I_d,1);\Z/2)$.

Рассмотрим еще один гомологический класс $p_{c,\ast} \circ \bar
\eta_{\ast}([\bar N(d)]) \in H_{n-k}(K(\I_d,1);\Z/2)$, который
определен циклом, полученным при помощи композиции канонического
накрытия $\bar \eta: \bar N(d) \to K(\I_c,1)$ над структурным
отображением $\eta: N(d) \to K(\D_4,1)$ с отображением $p_c:
K(\I_c,1) \to K(\I_d,1)$. Многообразие с особенностями $\bar N(d)$
рассматривается как замкнутое, т.е. каноническое накрытие берется
разветвленным над краем $\partial N(d)$. Обозначим построенный
класс гомологий через $y \in H_{n-k}(K(\I_d,1);\Z/2)$.


Докажем, что $y$ является образующим классом гомологий. Далее
проверим, что $x=y$. Действительно, класс когомологий $y^{op}$,
двойственный по Пуанкаре классу гомологий $y$, вычисляется
как нормальный характеристический класс $\bar w_{k} \in
H^{k}(\RP^{n-k};\Z/2)=H^{k}(K(\I_d,1);\Z/2)$. (При $n=2^l-1$
когомологический класс $\bar w_{k}$ не равен нулю.)

Вспомним, что $N(d) = N_{antidiag} \cup_{N_{Q,antidiag}} N_{K_0}$.
Поэтому двулистное накрывающее $\bar N(d)$ также представляется в
виде объединения двулистных накрывающих по формуле $\bar N(d) =
\bar N_{antidiag} \cup_{\bar N_{Q,antidiag}} \bar N_{K_0}$.
Справедлива аналогичная формула $\bar R = \bar R_{Q,antidiag} \cup
\bar R_{K_0}$. При этом $\bar R_{Q,antidiag}$ и $\bar
N_{Q,antidiag}$ PL-гомеоморфны как многообразия c особенностями с
краем, а отображения $\bar \mu_a$, $p_c \circ \bar \eta$ на
указанной общей части совпадают.


Нетрудно проверить, что многообразие с особенностями $\bar
R_{K_0}$ является двулистным накрывающим над некоторым
многообразием с особенностями $\tilde R_{K_0}$. Действительно,
многообразие с особенностями $N_{K_0}$ служит двулистным
накрывающим для $\hat N_{K_0}$. Здесь и далее для многообразий с
особенностями используются обозначения, соответствующие
обозначениям групп в диаграмме ($\ref{14}$). При этом отображение
$\bar \mu_{a} \vert_{R_{K_0}} : R_{K_0} \to K(\I_d,1)$
пропускается через двулистное накрытие $\bar R_{K_0} \to \tilde
R_{K_0}$, поскольку само отображение $\mu_a \vert _{N_{K_0}}$
накрывает отображение $\hat \mu_a \vert_{\hat N_{K_0}}$. Также
легко проверить, что многообразие $\bar N_{\Gamma_0}$ является
двулистным накрывающим над $\bar N_{K_0}^{\downarrow}$, при этом
отображение $p_c \circ \bar \eta \vert_{\bar N_{K_0}}$
пропускается через двулистное накрытие $\bar N_{K_0} \to \bar
N_{K_0}^{\downarrow}$. Поэтому каждый из циклов $x$, $y$
гомологичен циклу с носителем на общей части $\bar N_{antidiag}$.


 Лемма $\ref{osnlemma1}$ доказана.




\subsubsection*{Начало доказательства Леммы $\ref{osnlemma2}$}

При определении отображения $c$ определялось также отображение
$\hat h: S^{n-2k}/\Q_a \to \R^{n}$, которое получено малой
$PL$-деформацией общего положения калибра $\delta$ из отображения
$i_{J_1} \circ p: S^{n-2k}/\Q_a \to J_1 \subset \R^n$. (Сама эта
деформация и её калибр $\delta$ будут явно указаны при
доказательстве Леммы $\ref{lemma31}$ которое полностью аналогично
доказательству Леммы $\ref{lemma30}$.) Рассмотрим также
отображение $h
 = \pi \circ \hat c: S^{n-2k}/\i \to S^{n-2k}/\Q_a \to
\R^n$.

Рассмотрим полиэдр $ \hat L_{K_1}^{\downarrow}$ точек
самопересечения отображения $\hat h$ и двулистное накрывающее над
этим полиэдром $\hat L_{K_1}$, определенное в соответствии с
правым нижним пространством в диаграмме $(\ref{15.1})$.
 Чтобы подчеркнуть аналогию со случаем
гладких отображений, далее все рассматриваемые полиэдр (раздутие
особенностей на диагонали и антидиагонали в полиэдрах не
рассматривается) точек самопересечения будет называться
PL-многообразием с особенностями. Эти многообразия с особенностями
имеют особый край, состоящий из точек диагонали и антидиагонали.
Полиэдры без точек диагонали и антидиагонали  обозначаются $ \hat
L_{K_1\circ}^{\downarrow}$, $ \hat L_{K_1\circ}$ соответственно.
Каждый такой полиэдр назовем открытым многообразием с
особенностями. Открытое многообразие с особенностями  $ \hat
L_{K_1\circ}$ естественно вложено в открытое многообразие с краем $\hat
\Gamma_{1\circ}$.

Многообразие с особенностями $\hat L_{K_1}$, в свою очередь, само
служит базой двулистного накрытия $r: L_{K_1} \to \hat L_{K_1}$.
Накрытия определены в соответствии с обозначениями в диаграмме
($\ref{15.1}$). Определено открытое многообразие с особенностями
$L_{K_{1\circ}}$ c краем, которое естественно вкладывается во
взрезанный квадрат $\Gamma_1$. При этом вложении образ
$L_{K_{1\circ}}$ лежит в регулярной окрестности полиэдра $K_{(1)}$
и определена коммутативная диаграмма отображений:


\begin{eqnarray}\label{Q8}
\begin{array}{ccccc}
L_{K_{1\circ}} & \subset & U_{\varepsilon} & \longrightarrow & K(\H,1) \\
\downarrow & &\downarrow && \downarrow \\
\hat L_{K_{1\circ}} &\subset & \hat U_{\varepsilon} & \longrightarrow & K(\G,1), \\
\end{array}
\end{eqnarray}
в которой через $U_{\varepsilon}$, $\hat U_{\varepsilon}$
обозначены регулярные $\varepsilon$-окрестности подполиэдров
$K_{1\circ} \subset \Gamma_1$, $\hat K_{1\circ} \subset \hat
\Gamma_1$ соответственно. Правые горизонтальные стрелки этой
диаграммы являются продолжениями отображений диаграммы
($\ref{Q8}$) на регулярную окрестность $U_{\varepsilon}$ и на
факторпространство $\hat U_{\varepsilon}$ этой окрестности в
многообразиях $\Gamma_1$, $\hat \Gamma_1$ соответственно.

Рассмотрим многообразие с особенностями $L_{K_1}$ и обозначим его
компоненты края через $L_{Q,diag} \cup L_{Q,antidiag}$.
Переобозначим многообразие $L_{K_1}$ через $L_{K_1}^{(0)}$, а его
компоненты края через $L^{(1)}_{Q, diag} \cup L^{(1)}_{Q,
antidiag}$. Ниже в доказательстве Леммы $\ref{lemma30}$ по
аналогии со стратификацией  $(\ref{strat0})$  определена
стратификация
\begin{eqnarray}\label{strat1}
L_{K_1}^{i_{max,1}} \subset \dots \subset L_{K_1}^{0}.
\end{eqnarray}

Обозначим через
\begin{eqnarray}\label{strat11}
W_{K_1}^{(i)} =  L_{K_1}^{i}  \setminus L_{K_1}^{i+1}.
\end{eqnarray}
открытое многообразие с особенностями, содержащее компоненты края.


Обозначим компоненту его края $L^{i}_{Q,diag} \setminus
L^{i+1}_{Q,diag}$ через $W^{(i)}_{Q,diag}$, компоненту
$L^{i}_{Q,antidiag} \setminus L^{i+1}_{Q,antidiag}$ через
 $W_{Q,antidiag}^{(i)}$. Введем
аналогичные обозначения $\hat L_{K_1}^{i} \setminus \hat
L^{i+1}_{K_1} = \hat W_{K_1}^{(i)}$, $\hat L^{i}_{Q,diag}
\setminus \hat L^{i+1}_{Q,diag} = \hat W^{(i)}_{Q,diag}$, $\hat
L^{i}_{Q,antidiag} \setminus \hat L^{i+1}_{Q,antidiag} = \hat
W^{(i)}_{Q,antidiag}$. При вложении $W_{K_1}^{(i)} \subset
U_{\varepsilon} \subset \Gamma_1$ подмногообразие с осбенностями
$W_{Q,diag}^{(i)}$ вкладывается в компоненту края $\Gamma_{diag}$,
а подмногообразие c особенностями $W_{Q,antidiag}^{(i)}$
вкладывается в $\Gamma_{antidiag}$. Аналогичные утверждения
справедливы для компонент границы $\hat W_{\Gamma_1}^{(i)}$.




Обозначим открытое многообразие с особенностями с краем
$L_{K_1}^{(i)} \setminus L^{i+1}_{K_1}$ через $W_{K_1}^{(i)}$.
Обозначим эти компоненты его края через $W^{(i)}_{Q,diag} \cup
W_{Q,antidiag}^{(i)}$. При вложении $W_{K_1}^{(i)} \subset
U_{\varepsilon} \subset \Gamma_1$ подмногообразие
$W_{Q,diag}^{(i)}$ вкладывается в компоненту края $\Gamma_{diag}$,
а подмногообразие $W_{Q,antidiag}^{(i)}$ вкладывается в
$\Gamma_{antidiag}$. Аналогичные утверждения справедливы для
компонент границы $\hat W_{\Gamma_1}^{(i)}$.



Для каждого $i$, $1 \le i \le i_{max,1}$, определена коммутативная
диаграмма ($\ref{25Q}$) отображений полиэдров с выписанными под
диаграммой граничными условиями. В пространства, стоящие в третьей
строке этой диаграммы, отображаются соответственно пространства
центральной строки коммутативной диаграммы ($\ref{26Q}$), которая
также определена для произвольного $i$, $1 \le i \le i_{max,1}$,
соответствующего номеру страта полиэдра точек самопересечения в
стратификации ($\ref{strat1}$):


\begin{eqnarray}\label{25Q}
\begin{array}{ccccccc}
K(\Q_a,1) &&&& K(\Q_a,1) &&\\
&&&&&&\\
\uparrow \hat \phi & \nwarrow \hat \phi &&& \uparrow \phi & \nwarrow \phi &\\
&&&&&&\\
 R \hat K_1^{(i)} &  \supset & R\hat Q_{diag}^{(i)} \cup R\hat Q_{antidiag}^{(i)} &
 & RK_1^{(i)}  & \longleftarrow & RQ_{diag}^{(i)} \cup RQ_{antidiag}^{(i)} \\
&&&&&&\\
 \downarrow p\hat r  &  & \downarrow& & \downarrow pr & & \downarrow  \\
&&&&&&\\
\hat K_1^{(i)} & \supset &   \hat Q_{diag}^{(i)} \cup \hat
Q_{antidiag}^{(i)} & & K_1^{(i)}
& \supset & Q_{diag}^{(i)} \cup Q_{antidiag}^{(i)} \\
&&&&&&\\
\cup &  & \cup && \cup  &  & \cup \\
&&&&&&\\
\hat K_{1\circ}^{(i)} & \supset &  \emptyset & & K_{1\circ}^{(0)}
& \supset & \emptyset \\
&&&&&&\\
\downarrow \hat \zeta & &   & &   \downarrow  \zeta & &   \\
&&&&&&\\
K(\G,1) &  &  &  &     K(\H,1).&& \\
\end{array}
\end{eqnarray}

Граничные условия в диаграмме ($\ref{25Q}$) на пространстве
$Q_{antidiag}^{(i)}$ записываются формулой $\phi  = i_a \circ
\zeta_{Q_{antidiag}^{(i)}} : Q_{antidiag}^{(i)} \longrightarrow
K(\Q_a,1) \stackrel{i_a}{\longrightarrow} K(\H,1)$. Граничные
условия в диаграмме ($\ref{25Q}$) на пространстве $Q_{diag}^{(i)}$
записываются формулой $\phi = i_a \circ p_b \circ
\zeta_{Q_{diag}^{(i)}}: Q_{diag}^{(i)} \longrightarrow K(\H_b,1)
\longrightarrow K(\H_d,1) \longrightarrow K(\Q_a,1)$.

\begin{eqnarray}\label{26Q}
\begin{array}{ccccccc}
K(\Q_a,1) &  &   & & K(\Q_a,1)   & &  \\
&&&&&&\\
\uparrow \hat \lambda_a  &  & \nwarrow \hat \lambda_a & & \uparrow \lambda_a & & \nwarrow \lambda_a \\
&&&&&&\\
\hat W_{K_1}^{(i)} & \supset & \hat W_{Q,diag}^{(i)} \cup \hat
W_{Q,antidiag}^{(i)} &

&W_{K_1}^{(i)} & \supset & W_{Q,diag}^{(i)} \cup W_{Q,antidiag}^{(i)} \\
&&&&&&\\
\cup  &  & \cup & & \cup & & \cup  \\
&&&&&&\\
\hat W_{K_{1\circ}}^{(i)} & \supset & \emptyset &
&W_{K_{1\circ}}^{(i)} & \supset & \emptyset \\
\downarrow \hat \zeta & & & &   \downarrow \zeta & &  \\
&&&&&&\\
K(\G,1) &  &  &  &     K(\H,1)&& \\
\end{array}
\end{eqnarray}


Граничные условия в диаграмме (\ref{26Q}) на пространстве
$W_{Q,antidiag}^{(i)}$ записываются формулой
 $\phi  = i_a \circ
\zeta_{W_{Q,antidiag}^{(i)}} : W_{Q,antidiag}^{(i)}
\longrightarrow K(\Q_a,1) \stackrel{i_a}{\longrightarrow}
K(\H,1)$. Граничные условия в диаграмме (\ref{26Q}) на
пространстве $W_{Q,diag}^{(i)}$ записываются формулой $\phi =
i_{d,a} \circ p_{b,d} \circ \zeta_{W_{Q,diag}^{(i)}}:
W_{Q,diag}^{(i)} \longrightarrow K(\H_b,1) \longrightarrow
K(\H_d,1) \longrightarrow K(\Q_a,1)$.

Воспользуемся следующей леммой, доказательство которой проводится
в конце раздела.

\begin{lemma}\label{lemma31}
Существует малая $PL$-деформация общего положения $(i_{J_1} \circ
\hat p) \mapsto \hat c$ такая, что для каждого кусочно-линейного
страта $W_{K_1}^{(i)}$ полиэдра $L(d)$ в средней строке
коммутативной диаграммы $(\ref{26Q})$ определены отображения $\hat
t^{(i)}: W^{(i)}_{\hat K_1} \to R\hat K_1^{(i)}$, $ t^{(i)}:
W^{(i)}_{K_1} \to RK_1^{(i)}$, называемые отображениями разрешения
особенностей, в соответствующие пространства второй строки
диаграммы $(\ref{25Q})$.
 При этом определены отображения
$\hat \lambda_a^{(i)}: W_{\hat K_1}^{(i)} \to K(\Q_a,1)$,
$\lambda_a^{(i)}: W_{K_1}^{(i)} \to K(\Q_a,1)$ в диаграмме
$(\ref{26Q})$ по формулам $\hat \lambda_a^{(i)} = \hat \phi \circ
\hat t^{(i)}$, $\lambda_a^{(i)} = \phi \circ t^{(i)}$.


Построенные семейства отображений при различных $i$ в
$(\ref{strat1})$ склеиваются до отображений $\hat t: \hat L_{K_1}
\to R\hat K_1$ (соответственно $t: N_{K_1} \to RK_1$) и определены
индуцированные отображения $\hat \lambda_a = \hat \phi \circ \hat
t: \hat L_{K_1} \to K(\Q_a,1)$ (соответственно $\lambda_a = \phi
\circ t: L_{K_1} \to K(\Q_a,1)$). Более того, выполнено
соотношение $r \circ \hat \lambda_a = \lambda_a: L_{K_1} \to \hat
L_{K_1} \to K(\Q_a,1)$ и выполнены граничные условия на компонетах
$L_{Q,diag}$, $L_{Q,antidiag}$ границы стратифицированного
многообразия с особенностями $L_{K_1}$, которые аналогичны
выписаным под формулой $(\ref{26Q})$ граничным условиям для
компонент $W_{Q,diag}^{(i)}$, $W_{Q,antidiag}^{(i)}$
соответственно.
\end{lemma}



\subsubsection*{Окончание доказательства Леммы $\ref{osnlemma2}$}

Доказательство аналогично рассуждениям из окончания доказательства
Леммы $\ref{osnlemma1}$. Лемма $\ref{osnlemma2}$ доказана.

%\end{document}

\subsubsection*{Предварительный этап в доказательстве Леммы $\ref{lemma28}$}

Изложим план доказательства. Мы начнем с того, что явно опишем
полиэдры $K_0$, $\hat K_0$ и структурные отображения $\eta$, $\hat
\eta$ на этих полиэдрах при помощи координат. Затем для каждого
$i$, $0 \le i \le i_{max,0}$, построим пространства $RK_0^{(i)}$,
$R\hat K_0^{(i)}$, снабженные отображениями $pr: RK_0^{(i)} \to
K_0^{(i)}$, $p\hat r: R\hat  K_0^{(i)} \to \hat K_0^{(i)}$ и
отображения $\hat \phi: R\hat K_0^{(i)} \to K(\I_a,1)$, $\phi :
RK_0^{(i)} \to K(\I_a,1)$, которые удовлетворяют требуемым
граничным условиям. Затем построим пространства $RK_0$, $R\hat
K_0$, снабженные отображениями $pr: RK_0 \to K_0$, $p\hat r: R\hat
K_0 \to \hat K_0$ и отображения $\hat \phi: R\hat K_0 \to
K(\I_a,1)$, $\phi : RK_0 \to K(\I_a,1)$, которые удовлетворяют
требуемым граничным условиям.

\subsubsection*{Предварительный этап в доказательстве Леммы $\ref{lemma29}$}

Изложим план доказательства. Мы начнем с того, что явно опишем
полиэдры $K_1$, $\hat K_1$ и структурные отображения $\zeta$,
$\hat \zeta$ на этих полиэдрах при помощи координат. Затем для
каждого $i$, $0 \le i \le i_{max,1}$, построим пространства
$RK_1^{(i)}$, $R\hat K_1^{(i)}$, снабженные отображениями $pr:
RK_1^{(i)} \to K_1^{(i)}$, $p\hat r: R\hat  K_1^{(i)} \to \hat
K_1^{(i)}$ и отображения $\hat \phi: R\hat K_1^{(i)} \to
K(\Q_a,1)$, $\phi : RK_1^{(i)} \to K(\Q_a,1)$, которые
удовлетворяют требуемым граничным условиям. Затем построим
пространства $RK_1$, $R\hat K_1$, снабженные отображениями $pr:
RK_1 \to K_1$, $p\hat r: R\hat K_1 \to \hat K_1$ и отображения
$\hat \phi: R\hat K_1 \to K(\Q_a,1)$, $\phi : RK_1 \to K(\Q_a,1)$,
которые удовлетворяют требуемым граничным условиям.


\subsubsection*{Построение стратификаций полиэдров $J_0$, $K_0$, $\hat K_0$
и отображений $K_{(0)} \to K_0$, $\hat K_{(0)} \to \hat K_0$.}


 Упорядочим линзовые пространства, образующие джойн, числами от 1
до $r_0$ и обозначим через $J_0(k_1, \dots, k_s) \subset J_0$
подджойн, образованный выбранным набором окружностей (одномерных
линзовых пространств $S^1/\i$ с номерами $1 \le k_1 < \dots < k_s
\le r$, $0 \ge s \ge r_0$. Построенная стратификация индуцирована из стандартной
стратификации открытых граней стандартного $r_0$-мерного симплекса
$\delta^r$ при естественной проекции $J_0 \to \delta^r$.
Прообразами вершин симплекса служат линзовые пространства $J_0(j)
\subset J_0$, $J_0(j) \approx S^1/\i$, $1 \le j \le r$,
порождающие джойн.

Определим пространство $J_0^{s}$ как подпространство в $J_0$, полученное в результате объединения
всех подпространств $J_0(k_1, \dots, k_s) \subset J_0$. Определим пространство $J_0^{(i)}$, $i_{max,0} \ge i \ge r_0$
по формуле:
$$
J_0^{(i)} = J_0^{i} \setminus J_0^{r_{min,0}+1}.
$$

Обозначим максимальную открытую клетку пространства $\hat
p^{-1}(J_0(k_1, \dots, k_s))$ через $\hat U(k_1, \dots, k_s)
\subset S^{n-k}/\i$. Такую открытую клетку назовем элементарным
стратом глубины $(r-s)$. Точка на элементарном страте $\hat U(k_1,
\dots, k_s) \subset S^{n-k}/\i$ определяется набором координат
$(\check x_{k_1}, \dots, \check x_{k_s}, l)$, где $\check x_{k_i}$
-- координата на 1-сфере (окружности), накрывающей линзовое
пространство с номером $k_i$, $l$-- координата на соответствующем
$(s-1)$-мерном симплексе джойна. При этом если два набора
координат отождествляются между собой при преобразовании
трансляции циклического $\I_a$-накрытия на образующую, которое
является общим для всего набора координат, то эти наборы
определяют одну и ту же точку на $S^{n-k}/\i$. Точки на
элементарном страте $\hat U(k_1, \dots, k_s)$ лежат в объединении
симплексов c вершинами на линзовых подпространствах джойна с
соответствующими координатами. Каждый элементарный страт $\hat
U(k_1, \dots, k_s)$ служит базой двулистного накрытия $U(k_1,
\dots, k_s) \to \hat U(k_1, \dots, k_s)$, которое индуцировано из
двулистного накрытия $\RP^{n-k} \to S^{n-k}/\i$ при включении
$\hat U(k_1, \dots, k_s) \subset S^{n-k}/\i$.

Полиэдр $\hat K_{(0)} \setminus (\hat Q_{0,diag} \cup \hat Q_{0,antydiag})$
разбивается в объединение
открытых подмножеств (элементарных стратов) $K_0(k_1, \dots,
k_s)$, $1 \le s \le r$ в соответствии со стратификацией
пространства $J_0$. Для рассматриваемого страта число $r-s$
недостающих координат до полного набора назовем глубиной страта.
Определено двулистное накрытие $K_0(k_1, \dots,
k_s) \to \hat K_0(k_1, \dots,
k_s)$,
согласованое с построенной стратификацией базы.

Опишем элементарный страт $K_0(k_1, \dots, k_s)$ при помощи системы координат.
Для простоты обозначений разберем случай $s=r_0$
Пусть для пары точек $(x_1$, $x_2)$, определяющих точку на $K(1, \dots, r_0)$,
 фиксирована пара точек $(\check x_1, \check x_2)$ на накрывающей сфере
 $S^{n-k}$, которая переходит в рассматриваемую пару $(x_1$,
 $x_2)$ при проекции $S^{n-k} \to \RP^{n-k}$.
 В соответствии с проделанным выше построением, обозначим через
 $(\check x_{1,i}, \check x_{2,i})$, $i=1, \dots, r_0$ набор сферических координат
 каждой точки. Каждая такая координата определяет точку на
 1-мерной сфере
 (окружности)
$S^1_i$ с тем же номером $i$,
 которая накрывает  соответствующую окружность
$J_0(i) \subset J_0$ в джойне. Заметим, что пара
координат с общим номером необходимо определяет пару точек в одном
слое стандартного циклического $\I_a$-накрытия $S^1 \to S^1/\i$.


Наборы координат  $(\check x_{1,i}, \check x_{2,i})$
рассматриваются с точностью до независимых замен на антиподальные.
Кроме того, точки в паре $(x_1,x_2)$ не допускают естественного
упорядочивания и поднятие точки с $K_0$ до пары точек $(\bar x_1,
\bar x_2)$, лежащих на сфере $S^{n-k}$, определяется с точностью
до 8 различных возможностей. (Порядок группы $\D_4$ равен 8.)


Аналогичное построение справедливо и для точек более глубоких
элементарных стратов $K_0(k_1, \dots, k_s)$, $1 \le s \le r$. При
этом, если наборы координат элементарного страта получаются друг
из друга действием некоторого элемента $\I_a$--накрытия, то
меньший страт лежит целиком на раздутой диагонали (если действие
задается элементом подгруппы $\I_d \subset \I_a$) или
антидиагонали (если действие задается на элемент смежного класса
$\I_a \setminus \I_d$).


Определим полиэдр $\hat K^{(i)}_0$, $0 \le i \le i_{max,0}$ как
дизъюнктное объединение всех элементарных стратов глубины $i$. При
$i \ge 1$ рассматриваются страты, попавшие на диагональ или
антидиагональ. (При $i=0$ диагональный и антидиагональный страт
отсутствует.) Определим полиэдр $\hat K_0$ в результате склейки
объединения всех полиэдров $\hat K^{(i)}_0$ при $0 \le i \le
i_{max,0}$, причем примыкания граней, определяющие склейку,
согласованны с построенными системами координат. По построению
полиэдр $\hat K^{(0)}_0$ совпадает с определенным ранее полиэдром
$\hat K^{(0)}_{(0)}$. При $1 \le i \le i_{max,0}$ полиэдр $\hat
K^{(i)}_0$ отличается от полиэдра  $\hat K^{(i)}_{(0)}$ лишь в
диагональных и антидиагональных подполиэдрах.

Определены естественные отображения
$$
\hat K_{(0)}^{(i)} \to \hat K_{0}^{(i)}, \qquad 1 \le i \le
i_{max,0},
$$

$$
\hat K_{(0)} \to \hat K_{0},
$$
которые являются $PL$--гомеоморфизмом всюду, за исключением,
диагональных и антидиагональных подполиэдров, на которых эти
отображения совпадают с естественными проекциями части раздутой
диагонали (соответственно, антидиагонали) на диагональ
(соответственно антидиагональ), понижающими размерность. Обозначим
через $\hat K_{0 \circ}^{(i)}$, $\hat K_{0 \circ}$  полиэдры,
полученные из $\hat K_{0}^{(i)}$, $\hat K_{0}$ в результате
удаления точек на диагонали и антидиагонали.


Стандартным способом определяются двулистные накрывающие $K_{0}^{(i)}$, $K_{(0)}$, $K_{0 \circ}^{(i)}$, $K_{0 \circ}$
над построенными полиэдрами и отображения
$$
K_{(0)}^{(i)} \to K_{0}^{(i)}, \qquad 1 \le i \le i_{max,0},
$$

$$
K_{(0)} \to K_{0}.
$$


\subsubsection*{Построение стратификаций полиэдров $J_1$, $K_1$, $\hat K_1$
и построение отображений $K_{(1)} \to K_1$, $\hat K_{(1)} \to \hat K_1$.}


 Упорядочим линзовые пространства, образующие джойн, числами от 1
до $r_1$ и обозначим через $J_1(k_1, \dots, k_s) \subset J_1$
подджойн, образованный выбранным набором кватернионных
линзовых пространств $S^3/\Q_a$ с номерами $1 \le k_1 < \dots < k_s
\le r_1$, $0 \ge s \ge r_1$. Построенная стратификация индуцирована из стандартной
стратификации открытых граней стандартного $r_1$-мерного симплекса
$\delta^{r_1}$ при естественной проекции $J_1 \to \delta^{r_1}$.
Прообразами вершин симплекса служат линзовые пространства $J_1(j)
\subset J_1$, $J_1(j) \approx S^3/\Q_a$, $1 \le j \le r_1$,
порождающие джойн.

Определим пространство $J_1^{s}$ как подпространство в $J_1$, полученное в результате объединения
всех подпространств $J_1(k_1, \dots, k_s) \subset J_1$. Определим пространство $J_1^{(i)}$, $i_{max,1} \ge i \ge r_1$
по формуле:
$$
J_1^{(i)} = J_1^{i} \setminus J_1^{r_{min,1}+1}.
$$

Обозначим максимальную открытую клетку пространства $\hat
p^{-1}(J_1(k_1, \dots, k_s))$ через $\hat U(k_1, \dots, k_s)
\subset S^{n-2k}/\Q_a$. Такую открытую клетку назовем элементарным
стратом глубины $r_1-s$. Точка на элементарном страте $\hat U(k_1,
\dots, k_s) \subset S^{n-2k}/\Q_a$ определяется набором координат
$(\check x_{k_1}, \dots, \check x_{k_s}, l)$, где $\check x_{k_i}$
-- координата на 1-сфере (окружности), накрывающей линзовое
пространство с номером $k_i$, $l$-- координата на соответствующем
$(s-1)$-мерном симплексе джойна. При этом если два набора координат
отождествляются между собой при
преобразовании трансляции циклического $\Q_a$-накрытия на
образующую, которое является общим для всего набора координат,
то эти наборы определяют одну и ту же точку на $S^{n-2k}/\Q_a$.
Точки на элементарном страте $\hat U(k_1, \dots, k_s)$ лежат в
объединении симплексов c вершинами на линзовых подпространствах
джойна с соответствующими координатами. Каждый элементарный страт
$\hat U(k_1, \dots, k_s)$ служит базой двулистного накрытия
$U(k_1, \dots, k_s) \to \hat U(k_1, \dots, k_s)$, которое
индуцировано из двулистного накрытия $S^{n-2k}/\i \to S^{n-2k}/\Q_a$
при включении $\hat U(k_1, \dots, k_s) \subset S^{n-2k}/\Q_a$.

Полиэдр $\hat K_{(1)} \setminus (\hat Q_{1,diag} \cup \hat Q_{1,antydiag})$
разбивается в объединение
открытых подмножеств (элементарных стратов) $K_1(k_1, \dots,
k_s)$, $1 \le s \le r$ в соответствии со стратификацией
пространства $J_1$. Для рассматриваемого страта число $r-s$
недостающих координат до полного набора назовем глубиной страта.
Определено двулистное накрытие $K_1(k_1, \dots,
k_s) \to \hat K_1(k_1, \dots,
k_s)$,
согласованое с построенной стратификацией базы.

Опишем элементарный страт $K_1(k_1, \dots, k_s)$ при помощи системы координат.
Для простоты обозначений разберем случай $s=r_1$
Пусть для пары точек $(x_1$, $x_2)$, определяющих точку на $K(1, \dots, r_1)$,
 фиксирована пара точек $(\check x_1, \check x_2)$ на накрывающей сфере
 $S^{n-2k}$, которая переходит в рассматриваемую пару $(x_1$,
 $x_2)$ при проекции $S^{n-2k} \to S^{n-2k}/\i$.
 В соответствии с проделанным выше построением, обозначим через
 $(\check x_{1,i}, \check x_{2,i})$, $i=1, \dots, r_1$ набор сферических координат
 каждой точки. Каждая такая координата определяет точку на
 3-мерной сфере
$S^3_i$ с тем же номером $i$,
 которая накрывает  соответствующее кватернионное линзовое пространство
$J_1(i) \subset J_1$ в джойне. Заметим, что пара
координат с общим номером необходимо определяет пару точек в одном
слое стандартного циклического $\Q_a$-накрытия $S^3 \to S^3/\Q_a$.


Наборы координат  $(\check x_{1,i}, \check x_{2,i})$
рассматриваются с точностью до независимых замен на антиподальные.
Кроме того, точки в паре $(x_1,x_2)$ не допускают естественного
упорядочивания и поднятие точки с $K_1$ до пары точек $(\bar x_1,
\bar x_2)$, лежащих на сфере $S^{n-2k}$, определяется с точностью
до 32 различных возможностей. (Порядок группы $\H$ равен $32$.)


Аналогичное построение справедливо и для точек более глубоких
элементарных стратов $K_0(k_1, \dots, k_s)$, $1 \le s \le r_1$. При
этом, если наборы координат элементарного страта получаются друг
из друга действием некоторого элемента $\Q_a$--накрытия, то
меньший страт лежит целиком на раздутой диагонали (если действие
задается элементом подгруппы $\I_a \subset \Q_a$) или
антидиагонали (если действие задается на элемент смежного класса
$\Q_a \setminus \I_a$).


Определим полиэдр $\hat K^{(i)}_1$, $0 \le i \le i_{max,1}$ как
дизъюнктное объединение всех стратов глубины $i$. При $i \ge 1$
рассматриваются, в том числе, страты, попавшие на диагональ или
антидиагональ. (При $i=0$ диагональный и антидиагональный страт
отсутствует.) Определим полиэдр $\hat K_1$ в результате склейки
объединения всех полиэдров $\hat K^{(i)}_1$ при $0 \le i \le
i_{max,1}$, причем примыкания граней, определяющие склейку,
согласованны с построенными системами координат. По построению
полиэдр $\hat K^{(0)}_1$ совпадает с определенным ранее полиэдром
$\hat K^{(0)}_{(1)}$. При $1 \le i \le i_{max,1}$ полиэдр $\hat
K^{(i)}_1$ отличается от полиэдра  $\hat K^{(i)}_{(1)}$ лишь на
компонентах, лежащих на диагональных и антидиагональных
подполиэдрах.

Определены естественные отображения
$$
\hat K_{(1)}^{(i)} \to \hat K_{1}^{(i)}, \qquad 1 \le i \le
i_{max,1},
$$

$$
\hat K_{(1)} \to \hat K_{1},
$$
которые являются $PL$--гомеоморфизмом всюду, за исключением,
диагональных и антидиагональных подполиэдров, на которых эти
отображения совпадают с естественными проекциями части раздутой
диагонали (соответственно, антидиагонали) на диагональ
(соответственно антидиагональ), понижающими размерность. Обозначим
через $\hat K_{1,\circ}^{(i)}$, $\hat K_{1,\circ}$  полиэдры,
полученные из $\hat K_1^{(i)}$, $\hat K_1$ в результате удаления
точек на диагонали и антидиагонали.


Стандартным способом определяются двулистные накрывающие $K_{1}^{(i)}$, $K_{(1)}$, $K_{1,\circ}^{(i)}$, $K_{1,\circ}$
над построенными полиэдрами и отображения
$$
K_{(1)}^{(i)} \to K_{1}^{(i)},  \qquad 1 \le i \le i_{max,1},
$$

$$
K_{(1)} \to K_{0}.
$$


\subsubsection*{Координатное описание элементарных стратов пространств
$K_{0,\circ}$, $\hat K_{0,\circ}$}

Пусть $x \in K_{0}(1, \dots, r_0)$ -- точка, лежащая на
максимальном элементарном страте. Рассмотрим наборы сферических
координат $\check x_{1,i}$ и $\check x_{2,i}$, $1 \le i \le r_0$
точки $x$. При каждом $i$ возможны следующие случаи: пара $i$-ых
координат совпадает; антиподальна; вторая координата получается из
первой в результате преобразования на образующую (или минус
образующую) циклического накрытия. Сопоставим упорядоченной паре
координат $\check x_{1,i}, \check x_{2,i}$ вычет $v_i$ со
значением $+1$, $-1$, $+\i$ или $-\i$ соответственно.


При изменении набора координат одной из точек на антиподальный
набор, скажем, набора координат точки $x_2$,  набор значений
вычетов при новом выборе прообраза $\bar x_2$ на сферическом
накрытии получается из первоначального набора изменением знаков.
При перенумерации точек набор вычетов изменится на
комплексно-сопряженный. Очевидно, что набор вычетов не изменится,
если выбрать другую точку на том же элементарном страте
пространства $K_{0 \circ}$. Для пространства $\hat K_{0 \circ}$ справедливы
аналогичные построения, т.к. обе точки слоя накрытия $K_{0 \circ} \to \hat
K_{0 \circ}$ лежат на одном элементарном страте.


Элементарные страты пространства $K_0(1, \dots, r)$ в соответствии
с определенным набором вычетов делятся на 3 типа:
$\I_a,\I_b,\I_d$. Если среди вычетов набора встречаются лишь
вычеты $\{+\i,-\i\}$ (соответственно лишь вычеты$\{+1,-1\}$),
будем говорить об элементарном страте типа $\I_a$ (соответственно
типа $\I_b$). Если среди вычетов встречаются как вычеты из набора
$\{+\i,-\i\}$, так и из набора $\{+1,-1\}$, будем говорить об
элементарном страте типа $\I_d$. Легко проверить, что ограничение
характеристического отображения $\eta : K_{0 \circ} \to K(\D_4,1)$
на элементарный страт типа $\I_a,\I_b,\I_d$ представлено
композицией некоторого отображения в пространство $K(\I_a,1)$
(соответственно в пространство $K(\I_b,1)$ или $K(\I_d,1)$) с
отображением $i_a: K(\I_a,1) \to K(\D_4,1)$ (соответственно с
отображением $i_b: K(\I_b,1) \to K(\D_4,1)$ или $i_d: K(\I_d,1)
\to K(\D_4,1)$). Для стратов первых двух типов редукция
структурного отображения (с точностью до гомотопии) неоднозначна,
но определена лишь с точностью до отображения, соответствующему
гомоморфизму внешнего сопряжения в подгруппах $\I_a$, $\I_b$.

Каждый элементарный страт пространства $K_{0 \circ}(1, \dots, r_0)$
двулистно накрывает  элементарный страт пространства $\hat K_{0,\circ}(1,
\dots, r_0)$. При этом элементарные страты пространства $\hat K_{0,\circ}(1,
\dots, r_0)$ делятся на типы $\E_a$, $\E_b$, $\E_c$ в соответствии с
типом $\I_a, \I_b, \I_d$ накрывающей компоненты. Эта классификация
соответствует редукции структурного отображения в пространство
$K(\E,1)$ к отображению в подпространство $K(\E_a,1)$,
$K(\E_b,1)$, $K(\E_d,1)$ соответственно. Для элементарных стратов
большей глубины построения аналогичны.


\subsubsection*{Координатное описание элементарных стратов пространств $K_{1,\circ}$, $\hat K_{1,\circ}$}

Для каждой точки $x \in K_{1}(1, \dots, r_1)$, лежащей на
максимальном элементарном страте рассмотрим наборы сферических
координат $\check x_{1,i}$ и $\check x_{2,i}$, $1 \le i \le r_1$.
При каждом $i$ возможны восемь случаев, в зависимости от того,
какой из элементов $v_i = (\check x_{2,i})^{-1} \check x_{1,i}$
структурной группы $\Q_a$ переводит при умножении справа
сферическую координату $\check x_{1,i}$ в координау $\check
x_{2,i}$. Сопоставим упорядоченной паре координат $\check x_{1,i},
\check x_{2,i}$ вычет $v_i$ со значением $\{$ $+1$, $-1$, $+\i$,
$-\i$, $+\j$, $-\j$, $+\k$, $-\k$   $\}$ соответственно.


При изменении набора координат точки $x_1$ (соответственно
$x_2$) на преобразование трансляции (правое умножение) на элемент $t$ из группы
$\Q_a$ набор вычетов при новом выборе прообраза $\bar x_2$ на
сферическом накрытии получается из первоначального набора вычетов
умножением справа на $t$ (соответственно умножением слева на $t^{-1}$).
При перенумерации точек набор вычетов
изменится на обратный (т.е. вычет $v_i$ изменится на $v_i^{-1}$). Набор вычетов
не изменится при изменении точки $x$ при преобразовании трансляции в накрывающем при накрытии
$\hat K_{1}(1, \dots, r_1) \to K_{1}(1, \dots, r_1)$.
Поэтому для элементарных стратов пространства $\hat K_{\circ,1}$ справедливы
аналогичные построения.


Элементарные страты пространства $K^{(0)}_1(1, \dots, r_1)$ в
соответствии с построенным выше набором вычетов делятся на 3 типа:
$\Q_a,\E_b,\I_a$. Если среди вычетов набора встречаются лишь
вычеты $\{+\j,-\j,+\k,-\k\}$ из класса смежности $\Q_a \setminus
\I_a$ (соответственно вычеты $\{+\i, -\i, +1, -1 \}$ из подгруппы
$\I_a$), причем только вычеты $+\j$ $-\j$, либо только вычеты
$+\k$ $-\k$, (соответственно  только вычеты $+1$, $-1$, либо
только вычеты $+\i$, $-\i$) будем говорить о страте типа $\Q_a$
(соответвтвенно $\H_b$). В другом случае, например, если среди
вычетов встречаются как вычеты из подгруппы $\I_a$, так и из
класса смежности $\Q_a \setminus \I_a$, будем говорить о
компоненте типа $\I_a$.

Легко проверить, что ограничение характеристического отображения
$\zeta : K_1 \to K(\H,1)$ на элементарный страт типа $\Q_a$,
($\E_b$)  представлено композицией некоторого отображения в
пространство $K(\Q_a,1)$ ($K(\E_b,1)$)  с отображением включения
$i_a: K(\Q_a,1) \to K(\H,1)$ ($i_b: K(\E_b,1) \to K(\H,1)$). Для
стратов этих двух подтипов редукция структурного отображения (с
точностью до гомотопии) неоднозначна, но лишь с точностью до
отображения, соответствующего внешнему сопряжению в подгруппах
$\Q_a$ ($\E_b$) некоторым произвольным элементом из класса
смежности $\H \setminus \Q_a$ ($\H \setminus \E_b$). Для
элементарных  типа $\I_a$ ограничение отображение $\zeta :
K_{1,\circ} \to K(\H,1)$
 представлено
композицией некоторого отображения в пространство $K(\I_a,1)$ с
отображением включения $i_{\I_a}: K(\I_a,1) \to K(\H,1)$.


Каждый элементарный страт пространства $K_{1 \circ}(1, \dots, r)$
двулистно накрывает  элементарный страт пространства $\hat K_{1 \circ}(1,
\dots, r)$. При этом элементарные страты пространства $\hat K_{1 \circ}(1,
\dots, r)$ делятся на типы $\G_a$, $\G_b$, $\G_d$ в
соответствии с группой симметрии компоненты (явное описание этих структурных групп не потребуется). Рассматриваемая классификация соответствует редукции структурного
отображения в пространство $K(\G,1)$ к отображению в
подпространство $K(\G_a,1)$, $K(\G_b,1)$, $K(\G_d,1)$
соответственно. Для элементарных стратов большей глубины все
построения аналогичны.



\subsubsection*{Построение структурных отображений $\eta: K_{0\circ} \to K(\D_4,1)$,
$\hat \eta: \hat K_{0 \circ} \to K(\E,1)$ при помощи координат}


Пусть $x = [(x_1, x_2)]$ -- отмеченная точка на $K_{0,\circ}$,
лежащая на максимальном элементарном страте. Рассмотрим замкнутый
путь $\lambda: S^1 \to K_0$, начинающийся и заканчивающийся в этой
отмеченной точке, пересекающий особые страты глубины 1 в общем
положении по конечному множеству точек. Пусть $(\check x_1, \check
x_2)$-- выбор сферических прообразов точки $x$. Определим другую
пару $(\check x'_1,\check x'_2)$ сферических прообразов точки $x$,
которая будет называться системой координат, полученной в
результате естественного преобразования системы координат $(\check
x_1, \check x_2)$ вдоль пути $\lambda$.

В регулярных точках пути $\lambda$  семейство пар сферических
прообразов в однопараметрическом семействе меняется непрерывно,
что однозначно определяет прообразы в конечной точке пути по
начальным значениям. При пересечении пути со стратом глубины 1
соответствующая пара сферических координат c номером $l$
претерпевает разрыв. Поскольку все остальные координаты остаются
регулярными, их продолжение вдоль пути в критический момент
времени однозначно определено. Но для заданной точки $x$ на
элементарном страте глубины 0 пространства $K_0$ выбор хотябы
одной пары сферических координат с некотором номером однозначно
определяет выбор сферических координат со всеми остальными
номерами. Следовательно, продолжение сферических координат вдоль
пути однозначно определено в окрестности особой точки пути.


Преобразование упорядоченной пары $(\check x_1, \check x_2)$ в
упорядоченную пару $(\check x'_1,\check x'_2)$ определяет элемент
в группе $\D_4$. Этот элемент не зависит от выбора пути $l$ в классе эквивалентных путей, определенных
отношением гомотопности в группе $\pi_1(K_{0 \circ},x)$. Тем самым, определен гомоморфизм
$\pi_1(K_{0 \circ},x) \to \D_4$, причем индуцированное отображение
\begin{eqnarray}\label{eta}
\eta: K_{0 \circ} \to K(\D_4,1)
\end{eqnarray}
совпадает со структурным отображением, которое было определено
ранее. Структурное отображение
\begin{eqnarray}\label{hateta}
\hat \eta: K_{0 \circ} \to K(\E,1)
\end{eqnarray}
определено аналогичной конструкцией. Нетрудно проверить, что
ограничение структурного отображения $\eta$ ($\hat \eta$) на
компоненты связности одного элементарного страта $K_{0 \circ}(1,
\dots, r)$ ($\hat K_{0 \circ}(1, \dots, r)$) гомотопно отображению
в подпространства $K(\I_a,1)$, $K(\I_b,1)$, $K(\I_d,1)$
($K(\E_a,1)$, $K(\E_b,1)$, $K(\E_d,1)$), что соответствует типу и
подтипу элементарного страта.



Рассмотрим элементарный страт $ K_{0}(k_1, \dots, k_s) \subset
K^{(r_0-s)}_{0 \circ}$ (соответственно $\hat K_0(k_1, \dots, k_s)
\subset \hat K^{(r_0-s)}_{0 \circ}$) глубины $(r_0-s)$. Обозначим
через
\begin{eqnarray}\label{pi}
\pi: K_{0}(k_1, \dots, k_s) \to K(\Z/2,1)
\end{eqnarray}
(соответственно через
\begin{eqnarray}\label{hatpi}
\hat \pi: \hat K_{0}(k_1, \dots, k_s) \to K(\Z/2,1))
\end{eqnarray}
 -- классифицирующее отображение, отвечающее за перестановку
точек пары при обходе по замкнутому пути на этом элементарном страте. Отображение $\pi$ (соответственно $\hat \pi$) совпадает с композицией
$$ K_{0}(k_1, \dots, k_s) \stackrel{\eta}{\longrightarrow} K(\D_4,1) \stackrel{p}{\longrightarrow} K(\Z/2,1), $$
(соответственно с композицией
$$ \hat K_{0}(k_1, \dots, k_s) \stackrel{\hat \eta}{\longrightarrow} K(\E,1)
\stackrel{\hat p}{\longrightarrow} K(\Z/2,1),) $$ где $K(\D_4,1)
\stackrel{p}{\longrightarrow} K(\Z/2,1)$ (соответственно $K(\E,1)
\stackrel{\hat p}{\longrightarrow} K(\Z/2,1)$) -- отображение
классифицирующих пространств, которое индуцировано эпиморфизмом
$\D_4 \to \Z/2$ с ядром $\I_c \subset \D_4$ (cоответственно
эпиморфизмом $\E \to \Z/2$ с ядром $\E_c \subset \E$).


\begin{lemma}\label{lemma32}
Ограничение отображения $(\ref{pi})$ $($ соответственно
$(\ref{hatpi})$$)$ на каждый элементарный страт гомотопно
композиции
\begin{eqnarray}\label{pi1}
\pi_0: K_{0}(k_1, \dots, k_s) \to S^1 \subset K(\Z/2,1),
\end{eqnarray}
$($ соответственно композиции
\begin{eqnarray}\label{hatpi1}
\hat \pi_0: \hat K_{0}(k_1, \dots, k_s) \to S^1 \subset
K(\Z/2,1),)
\end{eqnarray}
где $S^1 \subset K(\Z/2,1)$-- вложение 1-мерного остова
классифицирующего пространства, $\pi_0$ $($ cоответственно $\hat
\pi_0$ $)$--некоторое отображение.

\end{lemma}

\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma32}$}
Структурное отображение $\eta$ определяется преобразованием
координат на стратах типов $\I_a$, $\I_b$, $\I_d$. Отображение
$(\ref{pi})$ определяется преобразованием выбранной (произвольной)
пары координат с вычетами $\i$, $-\i$ для страта $\I_a$ и с
вычетами $+1$, $-1$ для страта $\I_b$. Для страта типа $\I_d$
отображение $(\ref{pi})$ нулевое. Преобразование выбранной
координаты на страте данного типа определяется отображением вида
$(\ref{pi1})$, что доказывает требуемое в случае отображения
$(\ref{pi})$. Для отображения $(\ref{hatpi1})$ доказательство
аналогично. Лемма $\ref{lemma32}$ доказана.
\[  \]




Нам также потребуется лемма  о 3-точечном конфигурационном
пространстве, ассоциированном с накрытием $p: U(k_1, \dots, k_s)
\to J_0(k_1, \dots, k_s)$ над элементарным стратом полиэдра $J_0$.
Сформулируем требуемые определения (см. ниже Лемма
$\ref{lemma33}$).

Для накрытия $p: U(k_1, \dots, k_s) \to J_0(k_1, \dots, k_s)$, $1
\le k_1 < \dots < k_s \le r_0$, $r_{0,min} \le s$ над произвольным элементарным стратом
пространства $J_0$ определим конфигурационное пространство $\bar K3_0(k_1, \dots,
k_s)$ по формуле:
$$
\bar K3_0(k_1, \dots, k_s) =
$$
\begin{eqnarray}\label{K3}
\{(x,y,z) \in U^3(k_1, \dots k_s): p(x)=p(y)=p(z), x \ne y, y \ne
z, z \ne x\}.
\end{eqnarray}
На пространстве $U^3(k_1, \dots k_s)$ действует группа $\Sigma_3$:
\begin{eqnarray}\label{sigma}
\sigma: \Sigma_3 \times U^3(k_1, \dots, k_s) \to U^3(k_1, \dots,
k_s).
\end{eqnarray}
Ограничение действия $(\ref{sigma})$ на подпространство
$(\ref{K3})$  является свободным действием, которое мы обозначим
через
\begin{eqnarray}\label{sigma1}
\sigma_{K3_0}: \Sigma_3 \times \bar K3_0(k_1, \dots, k_s) \to \bar
K3_0(k_1, \dots, k_s).
\end{eqnarray}
Определено факторпространство по действию $(\ref{sigma1})$,
которое мы обозначим через $K3_0(k_1, \dots, k_s)$.

На пространстве $\bar K3_0(k_1, \dots, k_s)$ определена свободная
инволюция, индуцированная покоординатной инволюцией  в накрывающем
накрытия $U(k_1, \dots, k_s) \to \hat U(k_1, \dots, k_s)$,
обозначаемая через $\sim$.

Определено свободное действие на факторпространствах
соответствующих инволюций
\begin{eqnarray}\label{sigma2}
\hat \sigma_{K3_0}: \Sigma_3 \times \bar K3_0(k_1, \dots, k_s)/\sim
\to \bar K3_0(k_1, \dots, k_s)/ \sim.
\end{eqnarray}
Определено пространство $\hat K3_0(k_1, \dots k_s)$, которое
является базой 2-листного накрытия $K3_0(k_1, \dots, k_s) \to \hat
K3_0(k_1, \dots k_s)$, определенное как факторпространство по
действию $(\ref{sigma2})$.


Определена коммутативная диаграмма:
\begin{eqnarray}\label{K33}
\begin{array}{ccc}
K3_0(k_1,\dots,k_s)& \stackrel{\sigma_0}{\longrightarrow} & K(\Sigma_3,1)\\
\downarrow & & \| \\
\hat K3_0(k_1, \dots, k_s) & \stackrel{\hat
\sigma_0}{\longrightarrow} & K(\Sigma_3,1),
\end{array}
\end{eqnarray}
в которой через $\sigma_0$ (соответственно $\hat \sigma_0$)
обозначены характеристические отображения накрытий
$(\ref{sigma1})$ (соответственно $(\ref{sigma2})$).



\begin{lemma}\label{lemma33}
Отображения $\sigma_0$, $\hat \sigma_0$ в диаграмме $(\ref{K33})$
тривиальны.
\end{lemma}


\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma33}$}
Поскольку группа накрытия $U(k_1, \dots, k_s) \to J_0(k_1, \dots,
k_s)$
%(соответственно $U(k_1, \dots, k_s) \to J_0(k_1, \dots,
%k_s)$)
не содержит элементов нечетного порядка, то группа накрытия
$(\ref{sigma1})$
%(соответственно $(\ref{sigma2})$)
может содержать лишь нетривиальные элементы порядка степеней $2$. Пусть $l:
S^1 \to \bar K3_0(k_1, \dots, k_s)$-- замкнутый путь, вдоль
которого точка с координатами $(\check{x},\check{y},\check{z}) \in
\bar K3_0(k_1, \dots, k_s)$ преобразуется в точку с координатами
$(\check{x}_1,\check{y}_1, \check{z}') \in \bar K3_0(k_1, \dots,
k_s)$ в том же слое накрытия $(\ref{sigma1})$. Тогда по условию
координаты $\check{z}$ и $\check{z}'$ либо совпадают, либо связаны
преобразованием на образующую из $\I_d$. Но тогда и пары координат
($\check{x},\check{x}_1$), ($\check{y},\check{y}_1$) также связаны
таким же преобразованием, поскольку при переносе вдоль пути каждая из трех соответствующих
координат точек слоя накрытия $(\ref{sigma1})$ меняется
одинаково. Следовательно, три пары точек с соответствующими
координатами совпадают. Доказано, что отображение $\sigma_0$
тривиально. Доказательство для отображения $\hat \sigma_0$
аналогично. Лемма $\ref{lemma33}$ доказана.
\[  \]


\subsubsection*{Построение структурных отображений $\zeta: K_{1\circ} \to K(\H,1)$,
$\hat \eta: \hat K_{1\circ} \to K(\G,1)$ при помощи координат}


Пусть $x = [(x_1, x_2)]$ -- отмеченная точка на $K_{1 \circ}$,
лежащая на максимальном элементарном страте. Рассмотрим замкнутый
путь $\lambda: S^1 \to K_{1 \circ}$, начинающийся и
заканчивающийся в этой отмеченной точке, пересекающий особые
страты глубины 1 в общем положении по конечному множеству точек.
Пусть $(\check x_1, \check x_2)$-- выбор сферических прообразов
точки $x$. Определим другую пару $(\check x'_1,\check x'_2)$
сферических прообразов точки $x$, которая будет называться
системой координат, полученной в результате естественного
преобразования системы координат $(\check x_1, \check x_2)$ вдоль
пути $\lambda$.



В регулярных точках пути $\lambda$  семейство пар сферических
прообразов в однопараметрическом семействе меняется непрерывно,
что однозначно определяет прообразы в конечной точке пути по
начальным значениям. При пересечении пути со стратом глубины 1
соответствующая пара сферических координат претерпевает разрыв.
Поскольку все остальные координаты остаются регулярными, их
продолжение вдоль пути в критический момент времени однозначно
определено. Но для заданной точки $x$ на элементарном страте
глубины 0 пространства $K_{1 \circ}$ выбор хотябы одной пары сферических
координат с некотором номером однозначно определяет выбор
сферических координат со всеми остальными номерами. Следовательно,
продолжение сферических координат вдоль пути однозначно определено
в окрестности особой точки пути.


Преобразование упорядоченной пары $(\check x_1, \check x_2)$ в
упорядоченную пару $(\check x'_1,\check x'_2)$ определяет элемент
в группе $\H$. Этот элемент не зависит от выбора пути $\lambda$ в
группе $\pi_1(K_{1 \circ},x)$. Тем самым, определен гомоморфизм
$\pi_1(K_{1 \circ},x) \to \H$. Индуцированное отображение
\begin{eqnarray}\label{zeta}
\zeta: K_{1 \circ} \to K(\H,1)
\end{eqnarray}
совпадает со структурным отображением. Структурное отображение
\begin{eqnarray}\label{hatzeta}
\hat \zeta: K_{1 \circ} \to K(\G,1)
\end{eqnarray}
 определено аналогичной
конструкцией. Нетрудно проверить, что ограничение структурного
отображения $\zeta$ (соответственно $\hat \zeta$) на один
элементарный страт $K_{1}(1, \dots, r)$ (соответственно $\hat
K_{1}(1, \dots, r)$) гомотопно отображению в подпространства
$K(\Q_a,1)$, $K(\E_b,1)$, $K(\I_a,1)$ (в классифицирующие
пространства, соответствующие квадратичным расширениям групп
$\Q_a$, $\E_b$, $\I_a$).




Рассмотрим элементарный страт $K_1(k_1, \dots, k_s)$
(соответственно $\hat K_1(k_1, \dots, k_s)$) глубины $(r_1-s)$
пространства $K_{1 \circ}$ (соответственно $\hat K_{1 \circ}$).
Обозначим через
\begin{eqnarray}\label{piQ}
\pi: K_{1}(k_1, \dots, k_s) \to K(\Z/2,1)
\end{eqnarray}
(соответственно через
\begin{eqnarray}\label{hatpiQ}
\hat \pi: \hat K_1 (k_1, \dots, k_s) \to K(\Z/2,1))
\end{eqnarray}
 -- классифицирующее отображение, отвечающее за перестановку
точек пары при обходе по замкнутому пути на элементарном страте. Отображение $\pi$
(соответственно $\hat \pi$) совпадает с композицией
$$ K_1(k_1, \dots, k_s) \stackrel{\zeta}{\longrightarrow} K(\H,1) \stackrel{p}{\longrightarrow} K(\Z/2,1), $$
(соответственно с
$$ \hat K_1(k_1, \dots, k_s) \stackrel{\hat \zeta}{\longrightarrow} K(\G,1) \stackrel{\hat p}
{\longrightarrow} K(\Z/2,1),$$ где $K(\H,1)
\stackrel{p}{\longrightarrow} K(\Z/2,1)$ (соответственно $K(\G,1)
\stackrel{\hat p}{\longrightarrow} K(\Z/2,1)$) -- отображение
классифицирующих пространств, которое индуцировано эпиморфизмом
$\H \to \Z/2$ с ядром $\H_c \subset \H$ (cоответственно
эпиморфизмом $\G \to \Z/2$ с ядром $\G_c \subset \G$).


\begin{lemma}\label{lemma34}
Отображение $(\ref{piQ})$ $($ соответственно $(\ref{hatpiQ})$ $)$
гомотопно композиции
\begin{eqnarray}\label{pi1Q}
\pi_1: K_1(k_1, \dots, k_s) \to \RP^2 \subset K(\Z/2,1),
\end{eqnarray}
$($ соответственно
\begin{eqnarray}\label{hatpi1Q}
\hat \pi_1: \hat K_1(k_1, \dots, k_s) \to \RP^2 \subset
K(\Z/2,1),)
\end{eqnarray}
где $\RP^2 \subset K(\Z/2,1)$-- вложение 2-мерного остова
классифицирующего пространства, $\pi_1$ $($ cоответственно $\hat
\pi_1$ $)$--некоторое отображение.
\end{lemma}

\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma34}$}
Структурное отображение $\zeta$ определяется преобразованием
координат на стратах типов $\Q_a$, $\H_b$, $\I_a$. Отображение
$(\ref{pi})$ определяется преобразованием выбранной (произвольной)
пары координат с вычетами $\i$, $-\i$ для страта $\Q_a$ и с
вычетами $+1$, $-1$ для страта $\H_b$. Для страта типа $\I_a$
отображение $(\ref{piQ})$ нулевое. Преобразование выбранной
координаты на страте данного типа определяется отображением вида
$(\ref{pi1Q})$, поскольку как отображение $S^3/\Q_a \to
K(\Z/2,1)$, соответствующее эпиморфизму $\Q_a \to Z/2$ с ядром
$\I_a \subset \Q_a$, так и отображение $S^3/\i \to K(\Z/2,1)$,
соответствующее эпиморфизму $\I_a \to Z/2$ с ядром $\I_d \subset
\I_a$, гомотопны отображениям в 2-мерный остов классифицирующего
пространства. Это доказывает требуемое в случае отображения
$(\ref{piQ})$. Для отображения $(\ref{hatpi1Q})$ доказательство
аналогично. Лемма $\ref{lemma34}$ доказана.
\[  \]



Нам также потребуется лемма, аналогичная Лемме $\ref{lemma33}$.
Сформулируем требуемые определения.

Для накрытия $p: U(k_1, \dots, k_s) \to J_1(k_1, \dots, k_s)$, $1
\le k_1 < \dots < k_s \le r_1$, $r_{1,min} \le s$ над произвольным элементарным стратом
определим конфигурационное пространство $\bar K3_1(k_1, \dots,
k_s)$ по формуле:
$$
\bar K3_1(k_1, \dots, k_s) =
$$
\begin{eqnarray}\label{K3Q}
\{(x,y,z) \in U^3(k_1, \dots k_s): p(x)=p(y)=p(z), x \ne y, y \ne
z, z \ne x\}.
\end{eqnarray}
На пространстве $U^3(k_1, \dots k_s)$ действует группа $\Sigma_3$,
переставляя координаты:
\begin{eqnarray}\label{sigmaQ}
\sigma: \Sigma_3 \times U^3(k_1, \dots, k_s) \to U^3(k_1, \dots,
k_s).
\end{eqnarray}
Ограничение действия $(\ref{sigmaQ})$ на подпространство
$(\ref{K3Q})$  является свободным действием, которое мы обозначим
через
\begin{eqnarray}\label{sigma1Q}
\sigma_{K3_1}: \Sigma_3 \times \bar K3_1(k_1, \dots, k_s) \to \bar
K3_1(k_1, \dots, k_s).
\end{eqnarray}
Определено факторпространство по действию $(\ref{sigma1Q})$,
которое мы обозначим через $K3_1(k_1, \dots, k_s)$.

На пространстве $\bar K3_1(k_1, \dots, k_s)$ определена свободная
инволюция, индуцированная покоординатной инволюцией  в накрывающем
накрытия $U(k_1, \dots, k_s) \to \hat U(k_1, \dots, k_s)$,
обозначаемая ниже снова через $\sim$. Определено свободное
действие на факторпространствах соответствующих инволюций
\begin{eqnarray}\label{sigm2Q}
\hat \sigma_{K3_1}: \Sigma_3 \times \bar K3_1(k_1, \dots, k_s)/\sim
\to \bar K3_1(k_1, \dots, k_s)/\sim.
\end{eqnarray}
Определено пространство $\hat K3_1(k_1, \dots k_s)$, которое
является базой 2-листного накрытия $K3_1(k_1, \dots, k_s) \to \hat
K3_1(k_1, \dots k_s)$, определенное как факторпространство по
действию $(\ref{sigm2Q})$.


Определена коммутативная диаграмма:
\begin{eqnarray}\label{K33Q}
\begin{array}{ccc}
K3_1(k_1,\dots,k_s)& \stackrel{\sigma_1}{\longrightarrow} & K(\Sigma_3,1)\\
\downarrow & & \| \\
\hat K3_1(k_1, \dots, k_s) & \stackrel{\hat
\sigma_1}{\longrightarrow} & K(\Sigma_3,1),
\end{array}
\end{eqnarray}
в которой через $\sigma_1$ (соответственно $\hat \sigma_1$)
обозначены характеристические отображения накрытий
$(\ref{sigma1Q})$ (соответственно $(\ref{sigm2Q})$).



\begin{lemma}\label{lemma33Q}
Отображения $\sigma_1$, $\hat \sigma_1$ в диаграмме $(\ref{K33Q})$
тривиальны.
\end{lemma}


\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma33Q}$}
Доказательство аналогично доказательству Леммы $\ref{lemma33}$.
\[  \]

\subsubsection*{Подпространства $K3_{0 \circ} \subset K3_{0} $, $\hat K3_{0 \circ} \subset \hat K3_{0}$}

Определим пространство $K3_0$ по формуле
$$ [(x,y,z)], (x,y,z) \in (\RP^{n-k})^3 \vert p_{J_0}(x) = p_{J_0}(y) = p_{J_0}(z) \in J_0^{(0)} \setminus J_0^{(r_{min})}, $$
(где $[\quad ]$ означает класс эквивалентности троек при изменении
порядка точек) причем если $x=y=z$, то $p_{J_0}(x)$ не принадлежит
страту пространства $J_0$ максимальной размерности. Определим
подпрстранство $K3_{0 \circ} \subset K3_0$ как простроанство,
полученное из $K3_0$ в результате удаления неупорядоченных троек
точек, попавших на двойную или тройную диагональ, т.е. троек
$[(x,y,z)]$, для которых выполнено хотябы одно из равенств $x=y$,
$y=z$, $z=x$. Подпространство $K3_{0 \circ} \subset K3_0$ является
двулистно накрывающим пространством над подпространством $\hat
K3_{0 \circ} \subset K3_0$. Определения этих накрытий стандартно и
опускается.

Пространства $K3_{0 \circ}$, $\hat K3_{0 \circ}$ можно определить по-другому при помощи склеек элементарных стратов различной
глубины $s$, $0 \le s \le i_{max,0}$. Пространство $K3_{0 \circ}$ (соответственно $\hat K3_{0 \circ}$) склеивается из элементарных стратов  $K3_1(k_1, \dots, k_s)$
(соответственно $\hat K3_1(k_1, \dots, k_s)$) глубины $i$,
$0 \le i \le r_{max,0}$. При этом используются элементарные страты, состоящие из неупорядоченных троек попарно различных точек.


\subsubsection*{Подпространства $K3_{1 \circ} \subset K3_1$, $\hat K3_{1 \circ} \subset \hat K3_1$}
Построение пространств $K3_{1 \circ}$, $\hat K3_{1 \circ}$
полностью аналогично построению пространств $K3_{0 \circ}$, $\hat
K3_{0 \circ}$.

\subsubsection*{Построение пространств $RK_{0\circ}$, $R\hat K_{0\circ}$, $RK_{0}$, $R\hat K_{0}$
для разрешения  особенностей и построение
 3-листных накрытий $p3_{\circ}: RK_{0\circ} \to
K3_{0\circ}$, $\hat p3_{\circ}: R\hat K_{0\circ} \to \hat
K3_{0\circ}$;  $p3: RK_{0} \to K3_{0}$, $\hat p3: R\hat K_{0} \to
\hat K3_{0}$.}

Рассмотрим подполиэдр $K_{0\circ}^{(s)} \subset K_0$, определенный
в результате объединения всех особых стратов глубины $s$,
$0 \le s \le r_{min,0}$, не лежащих целиком на диагонали
или антидиагонали.

Рассмотрим диаграмму ($\ref{14}$) отображений классифицирующих
пространств. Эта диаграмма индуцирует следующую
коммутативную диаграмму:

\begin{eqnarray}\label{pK3s}
\begin{array}{ccc}
RK^{(s)}_{0\circ} & \longrightarrow & R\hat K^{(s)}_{0\circ} \\
&&\\
\downarrow p3^{(s)}_{\circ}& & \downarrow \hat p3^{(s)}_{\circ}\\
&&\\
K3^{(s)}_{0\circ} & \longrightarrow & \hat K3^{(s)}_{0\circ}.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

Пространство $RK^{(s)}_{0\circ}$ (соответственно $R\hat
K^{(s)}_{0\circ}$) в этой диаграмме определим как пространство
упорядоченных троек неупорядоченных пар $\{[x,y],[y,z],[z,x]\}$,
$x,y,z \in p^{-1}(J_0^{(s)}) \subset \RP^{n-k}$, $x \ne y, y \ne
z, z \ne x$, $p(x)=p(y)=p(z)$ (соответственно как
факторпространство указанных троек при умножении на $\i$).
Пространство $RK^{(s)}_{0\circ}$ (соответственно $R\hat
K^{(s)}_{0\circ}$) является накрывающим пространством 3-листного
накрытия $p3^{(s)}_{\circ}$ (соответственно $\hat
p3^{(s)}_{\circ}$) над пространством $K3^{(s)}_{0\circ}$
(соответственно $\hat K3^{(s)}_{\circ}$). Накрытие
$p3^{(s)}_{\circ}$ (соответственно $\hat p3^{(s)}_{\circ}$)  над
каждым элементарным стратом $K3_{0}(k_1, \dots k_s)$
(соответственно $K3_{0}(k_1, \dots k_s)$) определено по формуле
$\{[x,y],[y,z],[z,x]\} \to [x,y,z]$.  Пространства
$RK^{(s)}_{0\circ}$ $R\hat K^{(s)}_{0\circ}$ включены в
коммутативную диаграмму отображений (накрытий):


\begin{eqnarray}\label{piK3s}
\begin{array}{ccc}
RK^{(s)}_{0\circ} & \longrightarrow & R\hat K^{(s)}_{0\circ} \\
&&\\
\downarrow \pi3^{(s)}_{\circ}& & \downarrow \hat \pi3^{(s)}_{\circ}\\
&&\\
K^{(s)}_{0\circ} & \longrightarrow & \hat K^{(s)}_{0\circ}.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

В этой диаграмме отображение (накрытие) $\pi3^{(s)}_{\circ}$
(соответственно $\hat\pi3^{(s)}_{\circ}$) является тавтологическим накрытием,
переводящим первую неупорядоченную пару точек $[x,y]$,
$x,y \in p^{-1}(J_{0}^{(s)}) \subset \RP^{n-k}$, $p(x)=p(y)$
в ту же самую неупорядоченную пару точек (соответственно в класс
эквивалентности той же пары при действии $\i$), которая рассматривается
как точка на $K^{(s)}_{0\circ}$ (соответственно на  $\hat K^{(s)}_{\circ}$).

Пространство $RK^{(s)}_{0}$ (соответственно $R\hat K^{(s)}_{0}$)
получается из $RK^{(s)}_{0\circ}$ (соответственно из $R\hat
K^{(s)}_{0\circ}$) в результате присоединения  всех элементарных
диагональных и антидиагональных стратов. Присоединение
диагональных и антидиагональных стратов происходит так, что
определена следующая диаграмма 3-листных накрытий:

\begin{eqnarray}\label{pK3ss}
\begin{array}{ccc}
RK^{(s)}_{0} & \longrightarrow & R\hat K^{(s)}_{0} \\
&&\\
\downarrow p3^{(s)}& & \downarrow \hat p3^{(s)}\\
&&\\
K3^{(s)}_{0} & \longrightarrow & \hat K3^{(s)}_{0},\\
\end{array}
\end{eqnarray}
которая получается дизъюнктным объединением диаграммы
$(\ref{pK3s})$ с диаграммой тривиальных 3-листных накрытий над
диагональными и антидиагональными стратами.


\begin{lemma}\label{etaK30}

Композиция $\eta^{(s)} \circ \pi3^{(s)}_{\circ}: RK^{(s)}_{0\circ}
\longrightarrow K^{(s)}_{0\circ} \longrightarrow K(\D_4,1)$, где
$\eta^{(s)}$--ограничение структурного отображения $\eta$ $($ см.
$(\ref{eta})$ $)$ на соответствующий элементарный страт глубины
$s$, гомотопна отображению $ i_{\I_d,\D_4} \circ
\eta_{RK^{(s)}_{0\circ}}: RK^{(s)}_{0\circ} \longrightarrow
K(\I_d, 1)  \longrightarrow K(\D_4,1)$, где
$\eta_{RK^{(s)}_{0\circ}}: RK^{(s)}_{0\circ} \longrightarrow
K(\I_d, 1)$ -- корректно определенное отображение, которое назовем
структурным отображением.

Композиция $\hat \eta^{(s)} \circ \hat \pi3^{(s)}_{\circ}: R \hat
K^{(s)}_{0\circ} \longrightarrow \hat K^{(s)}_{0\circ}
\longrightarrow K(\E,1)$, где $\hat \eta^{(s)}$--ограничение
структурного отображения $\hat \eta$ $($ см. $(\ref{hateta})$ $)$
на соответствующий элементарный страт глубины $s$, гомотопна
отображению $ i_{\I_a,\E} \circ \eta_{R \hat K^{(s)}_{0\circ}}: R
\hat K^{(s)}_{0\circ} \longrightarrow K(\I_a, 1) \longrightarrow
K(\E,1)$, где $\hat \eta_{RK^{(s)}_{0\circ}}: R\hat
K^{(s)}_{0\circ} \longrightarrow K(\I_a, 1)$ -- корректно
определенное отображение, которое назовем структурным
отображением.



\end{lemma}


\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{etaK30}$}

Ограничение структурного отображения $\eta$ (соответственно $\hat
\eta$) на элементарный страт гомотопно одному из отображений в
подпространство $K(\I_b,1) \subset K(\D_4,1)$  $K(\I_a,1) \subset
K(\D_4,1)$, $K(\I_d,1) \subset K(\D_4,1)$ (соответственно в
подпространство $K(\E_b,1) \subset K(\E,1)$,  $K(\E_a,1) \subset
K(\E,1)$,   $K(\E_d,1) \subset K(\E,1)$).  Группы $\E_b$, $\E_a$ и
$\E_d$ являются квадратичными расширениями групп $\I_b$, $\I_a$,
$\I_d$ соответственно и определены в диаграммах $(\ref{Ib})$,
$(\ref{Ia})$, $(\ref{Id})$. Доказательство вытекает из Леммы
$\ref{lemma33}$, поскольку отображение $\pi3^{(s)}_{\circ}$
естественно по отношению к каноническому накрытию в образе и
прообразе. Доказательство для отображения $\hat \eta$ аналогично.
Лемма $\ref{etaK30}$ доказана.
\[  \]



Определим коммутативную диаграмму 3-листных накрытий:
\begin{eqnarray}\label{pK3}
\begin{array}{ccc}
RK_{0\circ} & \longrightarrow & R\hat K_{0\circ} \\
&&\\
\downarrow p3_{\circ}& & \downarrow \hat p3_{\circ}\\
&&\\
K3_{0\circ} & \longrightarrow & \hat K3_{0\circ},\\
\end{array}
\end{eqnarray}

и коммутативную диаграмму отображений:

\begin{eqnarray}\label{piK3}
\begin{array}{ccc}
RK_{0\circ} & \longrightarrow & R\hat K_{0\circ}^1 \\
&&\\
\downarrow \pi3_{\circ}& & \downarrow \hat \pi3_{\circ}\\
&&\\
K_{0\circ} & \longrightarrow & \hat K_{0\circ}.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

Диаграмма $(\ref{pK3})$ (соответственно $(\ref{piK3})$) определена
аналогичными формулами как $(\ref{pK3s})$ (соответственно
$(\ref{piK3s})$), вместо элементарного страта в базе накрытия
рассматривается пара пространств $K3_{0\circ} \to \hat
K3_{0\circ}$ (соответственно $K_{0\circ} \to \hat K_{0\circ}$).
Диаграмма $(\ref{piK3})$ также определена аналогично. Диаграммы
$(\ref{pK3})$, $(\ref{piK3})$ можно определить по-другому как
результат склейки семейства диаграмм $(\ref{pK3s})$,
$(\ref{piK3s})$ над всеми элементарными стратами глубины $s$, $0
\le s \le i_{max,0}$.

Определим пространства $RK_0$, $R\hat K_0$ и диаграмму накрытий
(вертикальные стрелки):
\begin{eqnarray}\label{ppK3}
\begin{array}{ccc}
RK_{0} & \longrightarrow & R\hat K_{0} \\
&&\\
\downarrow p3& & \downarrow \hat p3\\
&&\\
K3_{0} & \longrightarrow & \hat K3_{0},\\
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{ppiK3}
\begin{array}{ccc}
RK_{0} & \longrightarrow & R\hat K_{0} \\
&&\\
\downarrow \pi3& & \downarrow \hat \pi3\\
&&\\
K_{0} & \longrightarrow & \hat K_{0}.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

Пространство $RK_{0}$ (соответственно $R\hat K_{0}$) определим как
замыкание пространства $RK_{0\circ}$ (соответственно $R\hat
K_{0\circ}$) т.е. как результат присоединения всех элементарных
диагональных и антидиагональных стратов глубины $i$, $1 \le i \le
i_{max,0}$, лежащих на границе. Присоединение диагональных и
антидиагональных стратов происходит так, что каждый присоединенный
диагональный или антидиагональный элементарный глубины $i$ страт
лежит в границе ровно одного элементарного страта глубины $(i-1)$.
Пространства $RK_{0}$, $R\hat K_{0}$ разрешающие особенности
включены в диаграграмму ($\ref{16.2}$).

Слои над граничными элементарными стратами $K3_{0}\setminus
K3_{0\circ}$ (соответственно $\hat K3_{0}\setminus \hat
K3_{0\circ}$) делятся на следующие типы. Для элементарного страта
первого типа пространства $K3_0 \setminus K3_{0\circ}$
(соответственно $\hat K3_{0}\setminus \hat K3_{0\circ}$)) прообраз
при накрытии  $p3$ (соответственно $\hat p3^{(s)}$ ) состоит из
дизъюнктного объединения элементарного страта, соответствующего
граничному страту полиэдра  $Q_{diag} \subset K_0$ или
$Q_{antidiag} \subset K_0$, (соответственно $\hat Q_{diag} \subset
\hat K_0$ или $\hat Q_{antidiag} \subset \hat K_0$) и пары
одинаковых регулярных элементарных стратов.


Для элементарного страта  второго типа  пространства $K3_0
\setminus K3_{0\circ}$ (соответственно $\hat K3_{0}\setminus \hat
K3_{0\circ}$), прообраз состоит из трех одинаковых экземпляров
элементарного страта, каждый из которых соответствует  граничному
страту $Q_{diag} \subset K_0$ или $Q_{antidiag} \subset K_0$
(соответственно $\hat Q_{diag} \subset \hat K_0$ или $\hat
Q_{antidiag} \subset \hat K_0$).


Определим пространство $RQ_0 = RQ_{diag} \cup RQ_{antydiag}$
(соответственно $R \hat Q_0 = R\hat Q_{diag} \cup R \hat
Q_{antydiag}$), включенное в диаграмму $(\ref{118.1})$
(соответственно в диаграмму $(\ref{118.2})$). Подпространство
$RQ_{diag} \subset RK_0$ (соответственно подпространство
$RQ_{diag} \subset RK_0$) определим как регулярную окрестность
объединения всех диагональных (соответственно антидиагональных)
стратов произвольного типа в подпространстве всех диагональных
стратов. Подпространства $R \hat Q_{diag} \subset R \hat K_0$
(соответственно подпространство $R \hat Q_{diag} \subset R \hat
K_0$) определяются полностью аналогично.



\subsubsection*{Построение пространств $RK_{1\circ}$, $R\hat K_{1\circ}$, $RK_{1}$, $R\hat K_{1}$
для разрешения  особенностей и построение
 3-листных накрытий $p3_{\circ}: RK_{1\circ} \to
K3_{1\circ}$, $\hat p3_{\circ}: R\hat K_{1\circ} \to \hat
K3_{1\circ}$;  $p3: RK_{1} \to K3_{1}$, $\hat p3: R\hat K_{1} \to
\hat K3_{1}$.}



Построения аналогичны предыдущим. Пространства $RK_{1}$, $R\hat
K_{1}$ разрешающие особенности включены в диаграмму
$(\ref{16.22})$.  Сформулируем лемму, аналогичную лемме
$\ref{etaK30}$.

\begin{lemma}\label{etaK31}

Композиция $\zeta^{(s)} \circ \pi3^{(s)}_{\circ}:
RK^{(s)}_{1\circ} \longrightarrow K^{(s)}_{1\circ} \longrightarrow
K(\H,1)$ гомотопна отображению $i_{\I_a,\H} \circ
\zeta_{RK^{(s)}_{1\circ}} : RK^{(s)}_{1\circ} \longrightarrow
K(\I_a, 1)  \longrightarrow K(\H,1)$, где
$\zeta_{RK^{(s)}_{1\circ}}: RK^{(s)}_{1\circ} \longrightarrow
K(\I_a, 1)$ -- корректно определенное отображение, которое назовем
структурным отображением.

Композиция $\hat \zeta^{(s)} \circ \pi3^{(s)}_{\circ}: R \hat
K^{(s)}_{1\circ} \longrightarrow \hat K^{(s)}_{1\circ}
\longrightarrow K(\G,1)$ гомотопна отображению $ i_{\I_a,\G} \circ
\zeta_{R \hat K^{(s)}_{1\circ}}:  R \hat K^{(s)}_{1\circ}
\longrightarrow K(\Q_a, 1)  \longrightarrow K(\G,1)$, где
$\zeta_{R \hat K^{(s)}_{1\circ}}: R \hat K^{(s)}_{1\circ}
\longrightarrow K(\Q_a, 1)$ -- корректно определенное отображение,
которое назовем структурным отображением.
\end{lemma}


\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{etaK31}$}

Доказательство аналогично доказательству Леммы $\ref{etaK30}$ и
вытекает из Леммы $\ref{lemma33Q}$.
\[  \]


Приступим к построению отображений в диаграммах разрешающих
особенности.

\subsubsection*{Отображения $\phi^{(s)}_0$, $\hat \phi^{(s)}_0$ в диаграмме ($\ref{16.1}$)}

Определим  отображение $\phi^{(s)}_0$ при помощи  структурного
отображения $i_{\I_d,\I_a} \circ \eta_{R K^{(s+1)}_{0\circ}}:
RK^{(s+1)}_{0\circ} \to K(\I_d,1)$, построенного в Лемме
$\ref{etaK30}$.


Отображение $\phi^{(s)}_{0\circ}$ продолжается до отображения
$\phi^{(s)}_{0}: RK^{(s)}_{0} \to  K(\I_a,1)$. Для построенного
отображения выполнены граничные условия $(\ref{22.1})$,
$(\ref{23.1})$.

Построение отображения $\hat \phi^{(s)}_0: R\hat K^{(s)}_{0} \to
K(\I_a,1)$ полностью аналогично.


\subsubsection*{Отображения $\phi^{(s)}_1$, $\hat \phi^{(s)}_1$ в диаграмме ($\ref{20.1}$)}

Это построение аналогично предыдущему и опускается.
\[  \]



Для определения отображений $\phi_0$ $\hat \phi_0$ в диаграмме
($\ref{16.2}$) нам потребуются вспомогательные построения.

\subsubsection*{Построение вспомогательных пространств $X^s_{0\circ}$, $X^s_{0}$,  $Y^s_{0\circ}$, $Y^s_{0}$,
$Z^s_{0\circ}$, $Z^s_{0}$ }



Определим пространство $K_{0\circ}^{(s)} \cup K_{0\circ}^{(s+1)}
/\sim$ $\quad$ (соответственно $\hat K_{0\circ}^{(s)} \cup  \hat
K_{0\circ}^{(s+1)}/\sim$), $\quad$ которое обозначим через
$Y^{s}_{0\circ}$ (сооответственно через $\hat Y^{s}_{0\circ}$).
Пространство $Y^{s}_{0\circ}$ получено в результате подклейки
пространства $K_{0\circ}^{(s+1)}$ дизъюнктного объединения
элементарных стратов глубины $(s+1)$ к пространству
$K_{0\circ}^{(s)}$ дизъюнктного объединения элементарных стратов
глубины $s$. Произвольный элементарный страт подклеивается глубины
$(s+1)$ к тем элементарным стратам глубины $s$, на границах
которых он содержится. Таким образом, справедлива формула:
$$Y^{s}_{0\circ} = K_{0\circ}^s \setminus K_{0\circ}^{s+2}.$$
Для пространства $\hat Y^{s}_{0\circ}$ справедлива аналогичная
формула:
$$\hat Y^{s}_{0\circ} = \hat K_{0\circ}^s \setminus \hat K_{0\circ}^{s+2}.$$

Определим пространство $RK_{0\circ}^{(s)} \cup
RK_{0\circ}^{(s+1)}/\sim$   (соответственно $R\hat
K_{0\circ}^{(s)} \cup R\hat K_{0\circ}^{(s+1)}/\sim$), которое
обозначим через $X^{s}_{0\circ}$ (сооответственно через $\hat
X^{s}_{0\circ}$). Это пространство получено в результате подклейки
пространства $RK_{0\circ}^{(s+1)}$ дизъюнктного объединения
элементарных стратов глубины $s+1$ к пространству
$RK_{0\circ}^{(s)}$ дизъюнктного объединения элементарных стратов
глубины $s$. Произвольный элементарный страт подклеивается глубины
$s+1$ к тем элементарным стратам глубины $s$, на границах которых
он содержится. Таким образом, справедлива формула:
$$X^{s}_{0\circ} = RK_{0\circ}^s \setminus RK_{0\circ}^{s+2}.$$
Для пространства $\hat X^{s}_{0\circ}$ справедлива аналогичная
формула:
$$\hat X^{s}_{0\circ} = R\hat K_{0\circ}^{s} \setminus R\hat K_{0\circ}^{s+2}.$$

Определим пространство $RK_{0\circ}^{(s-1)} \cup RK_{0\circ}^{(s)}
\cup RK_{0\circ}^{(s+1)} /\sim$ (соответственно $\hat
RK_{0\circ}^{(s-1)} \cup \hat RK_{0\circ}^{(s)} \cup \hat
RK_{0\circ}^{(s+1)}/\sim$), которое обозначим через
$Z^{s-1}_{0\circ}$ (сооответственно через $\hat
Z^{s-1}_{0\circ}$). Справедлива формула:
$$Z^{s-1}_{0\circ} = RK_{0\circ}^{s-1} \setminus RK_{0\circ}^{s+2}.$$
Для пространства $\hat Z^{s-1}_{0\circ}$ справедлива аналогичная
формула:
$$\hat Z^{s-1}_{0\circ} = R\hat K_{0\circ}^{s} \setminus R\hat K_{0\circ}^{s+2}.$$



Определены естественные включения
\begin{eqnarray}\label{59}
j_{X^{s}_{0\circ}}: X^{s}_{0\circ} \subset Z^{s-1}_{0\circ},
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{59.1}
j_{\hat X^{s}_{0\circ}}: \hat X^{s}_{0\circ} \subset \hat Z^{s-1}_{0\circ},
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{59.2}
j_{Y^{s}_{0\circ}}: Y^{s}_{0\circ} \subset K^{s}_{0\circ},
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{59.3}
j_{\hat Y^{s}_{0\circ}}: \hat Y^{s}_{0\circ} \subset \hat K^{s}_{0\circ}.
\end{eqnarray}

Определены естественные проекции
\begin{eqnarray}\label{60}
p_{X^{s}_{0\circ}}: X^{s}_{0\circ} \to Y^s_{0\circ},
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{61}
p_{\hat X^{s}_{0\circ}}: \hat X^{s}_{0\circ} \to \hat
Y^s_{0\circ}.
\end{eqnarray}

Определено пространство $Y^s_0$ в результате присоединения к
пространству $Y^s_{0\circ}$ всех диагональных и антидиагональных
стратов глубины $s$ и $(s+1)$. Определено пространство $Z^{s-1}_0$
в результате пополнения пространства $Z^{s-1}_{0\circ}$ всеми
диагональными и антидиагональными стратами глубины $(s+1)$ и $s$,
которые лежат на границе какого-нибудь максимального страта
глубины $(s-1)$ пространства $Z^{s-1}_{0\circ}$. Определено
пространство $X^{s}_0$ по формуле $X^{s}_0= Z^{s-1}_0 \setminus
Z^{[s-1]}_0$, где подпространство $Z^{(s-1)}_0 \subset Z^{s-1}_0$
определяется как дизъюнктное объединение максимальных стратов
глубины $(s-1)$. Аналогично определяются пространства $\hat
X^s_0$, $\hat Y^s_0$ и $\hat Z^{s-1}_0$.

Определены естественные включения $i_{X^s_{0\circ}}: X^s_{0\circ}
\subset X^s_0$, $i_{Y^s_{0\circ}}: Y^s_{0\circ} \subset Y^s_0$,
$i_{Z^{s-1}_{0\circ}}: Z^{s-1}_{0\circ} \subset Z^{s-1}_0$, при
этом определена коммутативная диаграмма, горизонтальные стрелки
которой являются естественными вложениями:
\begin{eqnarray}\label{62}
\begin{array}{ccc}
 X^{s}_{0\circ} & \stackrel{i_{X^s_{0\circ}}}{\longrightarrow} & X^s_0\\
 \downarrow p_{X^{s}_{0\circ}}&  &\downarrow p_{X^{s}_0}\\
 Y^s_{0\circ} & \stackrel{i_{Y^s_{0\circ}}}{\longrightarrow} & Y^s_0.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

Аналогично определяется диаграмма
\begin{eqnarray}\label{62hat}
\begin{array}{ccc}
\hat X^{s}_{0\circ} & \stackrel{i_{\hat X^s_{0\circ}}}{\longrightarrow} & \hat X^s_0\\
 \downarrow p_{\hat X^{s}_{0\circ}} &  & \downarrow p_{\hat X^{s}_0}\\
\hat Y^s_{0\circ} & \stackrel{i_{\hat Y^s_{0\circ}}}{\longrightarrow} & \hat Y^s_0.\\
\end{array}
\end{eqnarray}

%Заметим, что, вообще говоря, включение $(\ref{59})$ не
%продолжается до включения $X^{s}_{0} \subset Z^{s-1}_{0}$,
%поскольку, во-первых,  вообще говоря, не каждый диагональный или
%антидиагональный элементарный страт глубины $s$, лежащий в
%$X^{s}_{0}$, является граничным стратом какого-нибудь
%максимального страта глубины $(s-1)$ пространства $Z^{s-1}$,
%во-вторых один и тот же диагональный или антидиагональный
%элементарный страт глубины $s$ пространства  $X^{s}_{0}$
%соответствует, вообще говоря, нескольким диагональным или
%антидиагональным элементарным стратам глубины $s$ пространства
%$Z^{s-1}$, т.к. входит в границу нескольких элементарных стратов
%глубины $s-1$ пространства $Z^{s-1}$. Аналогично, включение
%$(\ref{59.1})$, вообще говоря, не продолжается до включения $\hat
% X^{s}_{0} \subset \hat Z^{s-1}_{0}$.

%Определим подпространство $X^{[s]}_0 \subset Z^{s-1}_0$ как
%объединение подпространства $X^s_{0\circ} \subset Z^{s-1}_0$ со
%всеми элементарными диагональными и антидиагональными стратами
%глубины $s$ и $(s+1)$ пространства $Z^{s-1}_0$.  Определим
%подпространство $\hat X^{[s]}_0 \subset \hat X^s_0$ как
%объединение подпространства $\hat X^s_{0\circ} \subset \hat
%Z^{s-1}_0$ со всеми элементарными диагональными и
%антидиагональными стратами глубины $s$ и $(s+1)$ пространства
%$\hat Z^{s-1}_0$.

 Определены
структурные отображения $\eta_{Y^{s}_{0}}: Y^{s}_{0} \to
K(\D_4,1)$, $\eta_  {\hat Y^{s}_{0}}: \hat Y^{s}_{0} \to K(\E,1)$,
которые являются продолжениями структурных отображений
$\eta_{Y^s_{0\circ}}= \eta_{K_{0\circ}} \vert_{Y^{s}_{0\circ}}$,
$\eta_{\hat Y^s_{0\circ}} = \eta_{\hat K_{0\circ}} \vert _{\hat
Y^{s}_{0\circ}}$ при включениях $Y^{s}_{0\circ} \subset
Y^{s}_{0}$, $\hat Y^{s}_{0\circ} \subset \hat Y^{s}_{0}$.


Обозначим композицию  $\eta_{Y^{s}_{0}} \circ p_{X^{s}_{0}}$ через
$\eta_{X^{s}_{0}}: X^{s}_{0} \to K(\D_4,1)$, композицию
$\eta_{\hat Y^s_{0}} \circ p_{\hat X^{s}_{0}}$ через $\eta_{\hat
X^{s}_{0}}: \hat X^{s}_{0} \to K(\E,1)$. Эти отображения также
назовем структурными.


Определим подпространство $RQ^{s}_0 \subset X^{s}_0$ по формуле
$RQ^{s}_0 = X^{s}_{0} \cap RQ_0$, где  $RQ_0  \subset RK_0$,
$X^{s} \subset Z^{s-1}_0 \subset RK_0$ -- подпространства в
$RK_0$. Заметим, что пространство $RQ^{s}_0$ содержит
подпространства $RQ^{(s)}_0 \subset RQ^{s}_0$, $RQ^{(s-1)}_0
\subset RQ^{s}_0$, где пространства  $RQ^{(s)}_0$, $RQ^{(s-1)}_0$
включены в диаграмму $(\ref{18.1})$, $(\ref{18.2})$. При этом
$RQ^{s}_0 \setminus RQ^{(s)}_0 = RQ^{(s-1)}_0$.

Пространство $RQ^{s}_0$ представляется в виде дизъюнктного
объединения двух подпространств (компонент) $RQ^{s}_0 =
RQ^{s}_{diag} \cup RQ^{s}_{antydiag}$. Компонента $RQ^{s}_{diag}
\subset RQ^{s}_0$ определяется по формуле $RQ^{s}_{diag} =
X^{s}_{0} \cap RQ^s_{diag}$. Компонента $RQ^{s}_{antydiag} \subset
RQ^{s}_0$ определяется по формуле $RQ^{s}_{antydiag} = X^{s}_{0}
\cap RQ^s_{antydiag}$. Аналогично определяется подпространство $R
\hat Q^{s}_0 \subset \hat X^{s}_{0}$ и его представление в виде
объединения двух компонент  $R\hat Q^{s}_0 = R \hat Q^{s}_{diag}
\cup R \hat Q^{s}_{antydiag}$.

Рассмотрим ограничение структурного отображения $\eta_{
X^{s}_{0}}$ на подпространство $RQ^{s}_{diag} \subset RQ^{s}_0$
(соответственно на подпространство  $RQ^{s}_{antydiag} \subset
RQ^{s}_0$). Отображение $\eta_{X^{s}_{0}} \vert_{RQ^{s}_{diag}}$
представлено композицией $\eta_{X^{s}_{0}} \vert_{RQ^{s}_{diag}} =
i_{\I_b,\D_4} \circ \eta_{RQ^{s}_{diag}}$, где
$\eta_{RQ^{s}_{diag}}: RQ^{s}_{diag} \to K(\I_b,1)$ --
соответствующее отображение, $i_{\I_b,\D_4}: K(\I_b,1) \to
K(\D_4,1)$. Отображение $\eta_{X^{s}_{0}}
\vert_{RQ^{s}_{antydiag}}$ представлено композицией
$\eta_{X^{s}_{0}} \vert_{RQ^{s}_{antydiag}} = i_{\I_a,\D_4} \circ
\eta_{RQ^{s}_{antydiag}}$, где $\eta_{RQ^{s}_{antydiag}}:
RQ^{s}_{antydiag} \to K(\I_a,1)$ -- соответствующее отображение,
$i_{\I_a,\D_4}: K(\I_a,1) \to K(\D_4,1)$.

Аналогично рассмотрим ограничение структурного отображения
$\eta_{\hat X^{s}_{0}}$ на подпространство $R \hat Q^{s}_{diag}
\subset R \hat Q^{s}_0$ (соответственно на подпространство $R \hat
Q^{s}_{antydiag} \subset R \hat Q^{s}_0$). Отображение $\eta_{\hat
X^{s}_{0}} \vert_{R \hat Q^{s}_{diag}}$ представлено композицией
$\eta_{\hat X^{s}_{0}} \vert_{R \hat Q^{s}_{diag}} = i_{\E_b,\E}
\circ \eta_{R \hat Q^{s}_{diag}}$, где $\eta_{R \hat
Q^{s}_{diag}}: R \hat Q^{s}_{diag} \to K(\E_b,1)$ -- некоторое
отображение, $i_{\E_b,\H}: K(\E_b,1) \to K(\E,1)$. Отображение
$\eta_{\hat X^{s}_{0}} \vert_{R \hat Q^{s}_{antydiag}}$
представлено композицией $\eta_{\hat X^{s}_{0}} \vert_{R \hat
Q^{s}_{antydiag}} = i_{\E_a,\E} \circ \eta_{R \hat
Q^{s}_{antydiag}}$, где $\eta_{R \hat Q^{s}_{antydiag}}: R \hat
Q^{s}_{antydiag} \to K(\E_a,1)$ -- некоторое отображение,
$i_{\E_a,\E}: K(\E_a,1) \to K(\E,1)$.




%Определено пространство $\bar X^{s}_{0\circ}$, которое называется
%каноническим 2-листным накрывающим над $X^s_{0\circ}$,
%соответствующее 2-листное накрытие индуцированно из накрытия
%$K(\I_b,1) \to K(\D_4,1)$ структурным отображением
%$\eta_{X^s_{0\circ}}$. Обозначим это каноническое 2-листное
%накрытие через $ p_{\bar X^{s}_{0\circ}}: \bar X^{s}_{0\circ} \to
%\bar X^s_{0\circ}$. Аналогично определяется пространство $\tilde
%X^{s}_{0\circ}$ и 2-листное накрытие $ p_{\tilde X^{s}_{0\circ}}:
%\tilde X^{s}_{0\circ} \to \hat X^s_{0\circ}$.


\begin{lemma}\label{barX}
В предположении $s = 1 \pmod{4}$, $s \ge 1$, cуществует
отображение $\phi_{X^s_{0\circ}}: X^s_{0\circ} \to K(\I_a,1)$ $($
соответственно $\phi_{\hat X^s_{0\circ}}: \hat X^s_{0\circ} \to
K(\I_a,1)$ $)$, удовлетворяющее следующему условию:

---  Отображение $\phi_{X^s_{0\circ}}: X^s_{0\circ} \to K(\I_a,1)$
продолжается до отображения $\phi_{Z^{s-1}_0}: Z^{s-1}_0 \to
K(\I_a,1)$; отображение $\phi_{\hat Z^{s-1}_{0\circ}}: \hat
Z^{s-1}_{0\circ} \to K(\I_a,1)$ продолжается до отображения
$\phi_{\hat Z^{s-1}_0}: \hat Z^{s-1}_0 \to K(\I_a,1)$. Для
продолженных отображений выполняются граничные условия:

\begin{eqnarray}\label{diagX}
i_{\I_d,\I_a} \circ p_{\I_b,\I_d} \circ \eta_{RQ^{s}_{diag}} =
\phi_{RQ^{s}_{diag}}: RQ^{s}_{diag} \to K(\I_a,1),
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{antydiagX}
\eta_{RQ^{s}_{antydiag}} =  \phi_{RQ^{s}_{antydiag}}:
RQ^{s}_{antydiag} \to K(\I_a,1),
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{hatdiagX}
p_{\E_b,\I_a} \circ \eta_{R \hat Q^{s}_{diag}} = \phi_{R \hat
Q^{s}_{diag}}: R \hat Q^{s}_{diag} \to K(\I_a,1),
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{hatantydiagX}
p_{\E_a,\I_a} \circ \eta_{R \hat Q^{s}_{antydiag}} = \phi_{R \hat
Q^{s}_{antydiag}}: R \hat Q^{s}_{antydiag} \to K(\I_a,1).
\end{eqnarray}

\end{lemma}

\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{barX}$}

Начнем с построения отображения $\phi_{X^s_{0\circ}}$. Определим
гомоморфизм $\phi_{X^s_{0\circ},\ast}: \pi_1(X^s_{0,\circ}) \to
\I_a$.


 Пусть $l: S^1 \subset X^s_{0,
\circ}$ -- произвольный кусочно-линейный путь, трансверсально
пересекающий подпространство особых стратов $RK^{(s-1)}_{0,\circ}
\subset X^s_{0, \circ}$ в конечном числе критических точек,
которые обозначим через $\{ t_1, \dots, t_j\}$.

На  элементарном страте глубины $s$ полиэдра $\bar X^s_{0 \circ}$,
содержащем точку $pt=l(0)$, $0 \in S^1$--отмеченная точка, выберем
систему координат $(\check{x_1}(0),\check{x_2}(0),\check{x_3}(0))$
(замечу, что первые две координаты произвольной точки на
элементарном страте пространства $RK^{(s)}_{0\circ}$
неупорядочены).




Продолжим естественным способом систему координат
$(\check{x_1}(0),\check{x_2}(0))$ из точки $pt$ вдоль пути, т.е.
согласовывая регулярные координаты в окрестности каждой из точек
$\{ t_1, \dots, t_j\}$ (по поводу естественного продолжения
системы координат см. координатное построение структурного
отображения $\eta$).




Получим преобразование исходной системы координат
$(\check{x}_1(0),\check{x}_2(0),\check{x}_3(0))$ в систему
координат
 $(\check{x}_1(2\pi),\check{x}_2(2\pi),\check{x}_3(2\pi))$. Это
преобразование, которое обозначим через $\aleph(l)$, представлено
прямой суммой двух преобразований $\eta_{1,2} \in \D_4$, $\eta_{3}
\in \I_a$ по первым двум и третьей координате соответственно. По
построению $\eta_{3}$ совпадает с естественным преобразованием
третьей координаты.

Определим значение гомоморфизма $\phi_{X^s_{0\circ}}$ на
гомотопическом классе пути $[l]$ по формуле
$\phi_{X^s_{0,\circ},\ast}([l])= \eta_3$. Очевидно, что
гомоморфизм $\phi_{X^s_{0\circ},\ast}: \pi_1(X^s_{0\circ}) \to
\I_a$ корректно определен. Отображение $\phi_{\hat X^s_{0\circ}}:
\hat X^s_{0\circ} \to K(\I_a,1)$ определяется аналогичным
способом.


Очевидно, что отображение $\phi_{X^s_{0\circ}}: X^s_{0\circ} \to
K(\I_a,1)$ продолжается до отображения $\phi_{Z^{s-1}_0}:
Z^{s-1}_0 \to K(\I_a,1)$. Очевидно, что отображение $\phi_{\hat
X^s_{0\circ}}: \hat X^s_{0\circ} \to K(\I_a,1)$ продолжается до
отображения $\phi_{\hat Z^{s-1}_0}: \hat Z^{s-1}_0 \to K(\I_a,1)$.



Проверим, что отображение $\phi_{Z^{s-1}_0}$ удовлетворяет
граничному условию $(\ref{diagX})$.


Рассмотрим замкнутый путь $l$ на компоненте $RQ^{s}_{diag}$. Пусть
$\aleph(l) = \eta_{1,2}(l) \oplus \eta_3(l)$, $\eta_{1,2} \in
\D_4$, $\eta_3 \in \I_a$ -- естественное преобразование системы
координат вдоль $l$. Заметим, что $\eta_3(l)$ принадлежит
подгруппе $\I_d \subset \I_a$, т.к. преобразование $\eta_3$
определено как естественное преобразование третьей координаты.
Далее в формулах везде будем предполагать, что $\eta_3(l) \in
\I_d$.

Предположим, что $l$ содержится внутри одного элементарного страта
глубины $s$. По Лемме $\ref{etaK30}$ получим,что $\eta_{1,2}(l)
\in \I_d$ и, кроме того, $\eta_{1,2}(l)= \eta_3(l)$.




В общем случае $\eta_{1,2}(l) \in  \I_b$, поскольку $l \subset
RQ_{diag}$. Докажем, что $p_{\I_b,\I_d}(\eta_{1,2}(l)) =
\eta_3(l)$.





Рассмотрим замкнутый путь $l'$, который получен из пути $l$ в
результате малого сдвига c подпространства $RQ^{s}_{diag}$ в
пространство $Z^{s-1}_0$. Cдвиг $l \mapsto l'$ выберем так, что
каждая точка $x \in l$, лежащая внутри максимального страта
глубины $s$ пространства $RQ_{diag}$ сдвигается в точку $x'$,
лежащую в максимальном страте глубины $s-1$ пространства
$Z^{s-1}_0$ с дополнительной парой первых двух координат
$(\check{x'}_{1,j(x')},\check{x'}_{2,j(x')})$ с вычетом
$v(j(x'))=-1$. Третью дополнительную координату точки $x'$
обозначим через $\check{x'}_{3,j(x')}$. Остальные координаты точек
пути, соответствующие координатам максимальных стратов
пространства $RQ_{diag}$ назовем основными координатами. Поскольку
$x \in RQ_{diag}$, первые две координаты в одной паре основных
координат точки $x'$ совпадают:
$(\check{x'}_{1,j(x')}=\check{x'}_{2,j(x')})$, в то время как пара
первых двух дополнительных координат точки $x'$ различается.



Обозначим через $\{x_1, \dots, x_{s}\}$ конечное множество
критических значений пути $l$, в которых путь пересекает страты
глубины $(s+1)$. Каждое критическое значение $x_i$ пути $l$
определяет пару близких критических значений $y_i, z_i$ пути $l'$.

Выберем сдвинутый путь $l'$ в окрестностях критических точек так,
что:

--- в точках $y_i$, $z_i$ набор первых и вторых критических координат
меняется непрерывно;

---в точке $y_i$ набор третьих координат меняется непрерывно,


---в точке $z_i$ одна критическая третья координата с номером
$j(i)$ при $z_i-0$ и с номером $j(i+1)$ при $z_i+0$ изменяется
скачком на элемент $\theta(x_i) \in \I_a$ в соответствии с
предписанным значением скачка пары соответствующих третьих
координат вдоль $l$.



Рассмотрим путь $m$, $m: S^1 \to Z^{s}_0$, который при каждом $i$
вне отрезка $[y_i,z_i]$ имеет все нулевые координаты, за
исключением одной координаты $\check{x}_{j(i)}$ (эта координата
является дополнительной координатой на отрезке $[z_{i-1},y_i]$),
на коротком отрезке $[y_i,z_i]$ имеет две нулевые
$S^1$--координаты с номерами $j(i)$ и $j(i+1)$. Координаты выбраны
так, что в левом конце отрезка $y_i$ ненулевая координата $j(i)$,
в правом конце отрезка $z_i$ ненулевая координата $j(i+1)$, во
внутренней точке отрезка $S^1$--координаты не изменяются и полный
набор координат продолжается по линейности парой соответствующих
координат на соответствующей грани симплекса коразмерности $s$
джойна.

Значение $\eta_3(l) \in \I_a$ принадлежит подгруппе $\I_d \subset
\I_a$ и его можно вычислить по формуле:
\begin{eqnarray}\label{formula}
\eta_3(l) = p_{\I_b,\I_d}(\eta_{1,2}(l))\prod_i \theta(x_i).
\end{eqnarray}
Действительно, путь $l'$ гомотопен пути $m$ в классе свободных
путей. Гомотопия является постоянной вдоль набора $S^1$--координат
и не является постоянной вдоль координат симплекса соответствующей
грани джойна. В результате этой гомотопии путь $m$ на отрезке
$[z_{i-1},y_i]$ проектируется в точку, соответствующую вершине с
номером $j(i)$, а на коротком отрезке $[y_i,z_i]$ путь $m$
проектируется в отрезок симплекса, соединяющий вершины с номерами
$j(i)$ и $j(i+1)$.

Определим путь $m_0$, задав изменение первой соответствующей
координаты вдоль $m$. Для пути $m_0$ имеем $\theta(x_i)=1$ при
каждом $i$, и формула $(\ref{formula})$ справедлива. С другой
стороны, гомологический класс пути $m$ отличается от
гомологического класса пути $m_0$ на значение $\prod_i
\theta(x_i)$, что доказывает формулу $(\ref{formula})$ для $m$.


Для пути $l'$ (следовательно, и для $m$) справедливо равенство:
$$\prod_i \theta(x_i) = 1, $$
поскольку число координат пространства $Z^s_0$ кратно 4. Поскольку
путь $l'$ замкнут, то произведение скачков каждой координаты
одинаково.

 Граничные условия
$(\ref{diagX})$ доказаны.






Проверим, что отображение $\phi_{Z^{s-1}_0}$ удовлетворяет
граничному условию $(\ref{antydiagX})$.



Рассмотрим замкнутый путь $l'$, который получен из пути $l$ в
результате малого сдвига c подпространства $RQ^{s}_{antydiag}$ в
пространство $Z^{s-1}_0$. Cдвиг $l \mapsto l'$ выберем так, что
каждая точка $x \in l$, лежащая внутри максимального страта
глубины $s$ пространства $RQ_{antydiag}$ сдвигается в точку $x'$,
лежащую в максимальном страте глубины $s-1$ пространства
$Z^{s-1}_0$ с дополнительной парой первых двух координат
$(\check{x'}_{1,j(x')},\check{x'}_{2,j(x')})$ с вычетом
$v(j(x'))=-\i$. Третью дополнительную координату точки $x'$
обозначим через $\check{x'}_{3,j(x')}$. Остальные координаты точек
пути, соответствующие координатам максимальных стратов
пространства $RQ_{antydiag}$ назовем основными координатами.
Поскольку $x \in RQ_{antydiag}$, первые две координаты в одной
паре основных координат точки $x'$ совпадают:
$(\check{x'}_{1,j(x')}=\check{x'}_{2,j(x')})$, в то время как
первая пара  дополнительных координат точки $x'$ различается.



Обозначим через $\{x_1, \dots, x_{s}\}$ конечное множество
критических значений пути $l$, в которых путь пересекает страты
глубины $(s+1)$. Каждое критическое значение $x_i$ пути $l$
определяет пару близких критических значений $y_i, z_i$ пути $l'$.
Выберем сдвинутый путь $l'$ в окрестностях критических точек так,
что выполняются условия, аналогичные сформулированным выше
условиям для диагональной компоненты.

Значение $i_{\I_d,\I_a}(\eta_3(l)) \in \I_a$  можно вычислить по
формуле
$$i_{\I_d,\I_a}(\eta_3(l)) = \eta_{1,2}(l)\prod_i \theta(x_i), $$
где $\eta_{1,2} \in \I_a$. С другой стороны, очевидно
$$\prod_i \theta(x_i) = 1, $$
поскольку число координат пространства $Z^s_0$ кратно 4, а
поскольку путь $l'$ по условию замкнут, то произведение скачков
каждой координаты одинаково. В частности, поскольку $\eta_3(l) \in
\I_d$, $\eta_{1,2}(l)$ принадлежит подгруппе $\I_d \subset \I_a$.

 Граничные условия
$(\ref{antydiagX})$ доказаны.



Граничные условия $(\ref{hatdiagX})$, $(\ref{hatantydiagX})$
 проверяются аналогично.

Лемма $\ref{barX}$ доказана.
\[  \]
%ниже все для K_1


  Сформулируем и докажем
следующую Лемму $\ref{barXQ}$, которая аналогична Лемме
$\ref{barX}$. Эта лемма будет использована для построения
отображений $\phi_1$, $\hat \phi_1$ в диаграмме $(\ref{16.22})$.


\subsubsection*{Построение вспомогательных пространств $X^s_{1\circ}$, $X^s_{1}$,  $Y^s_{1\circ}$, $Y^s_{1}$,
$Z^s_{1\circ}$, $Z^s_{1}$ }


Это построение полностью аналогично и опускается.


Определено структурные отображения $\zeta_{Y^s_{1\circ}}: Y^s_{1\circ} \to K(\H,1)$,
$\zeta_{\hat Y^{s}_{1\circ}}: \hat Y^{s}_{1\circ} \to K(\G,1)$,
которые получается в результате ограничения структурных отображений
$\zeta_{K_1}$, $\zeta_{\hat K_1}$ при включениях $j_{Y^{s}_{1\circ}}$, $j_{\hat Y^{s}_{1\circ}}$.


Обозначим композицию $p_{X^s_{1\circ}} \circ \zeta_{Y^s_{1\circ}}$
через $\zeta_{\hat X^s_{1\circ}}: X^s_{1\circ} \to K(\H,1)$,
композицию $p_{\hat X^s_{1\circ}} \circ \zeta_{\hat Y^s_{1\circ}}$
через $\zeta_{\hat X^{s}_{1\circ}}: \hat X^{s}_{1\circ} \to
K(\G,1)$. Эти отображения назовем структурными.

Определим подпространство $X^{[s]}_1 \subset Z^{s-1}_1$ как
объединение подпространства $X^s_{1\circ} \subset Z^{s-1}_1$ со
всеми элементарными диагональными и антидиагональными стратами
глубины $s$ и $s+1$ пространства $Z^{s-1}_1$.  Определим
подпространство $\hat X^{[s]}_1 \subset \hat X^s_1$ как
объединение подпространства $\hat X^s_{1\circ} \subset \hat
Z^{s-1}_1$ со всеми элементарными диагональными и
антидиагональными стратами глубины $s$ и $s+1$ пространства $\hat
Z^{s-1}_1$.

Определены структурные отображения $\zeta_{X^{[s]}_{1}}:
X^{[s]}_{1} \to K(\H,1)$, $\zeta_{\hat X^{[s]}_{1}}: \hat
X^{[s]}_{1} \to K(\H,1)$, которые являются продолжениями
структурных отображений $\zeta_{X^{s}_{1\circ}}$, $\zeta_{\hat
X^{s}_{1\circ}}$ при включениях $X^{s}_{1\circ} \subset
X^{[s]}_{1}$, $\hat X^{s}_{1\circ} \subset \hat X^{[s]}_{1}$.


Обозначим композицию $p_{X^{[s]}_{1}} \circ \zeta_{Y^{[s]}_{1}}$
через $\zeta_{\hat X^{[s]}_{1}}: X^{[s]}_{1} \to K(\H,1)$,
композицию $p_{\hat X^{[s]}_{1}} \circ \zeta_{\hat Y^s_{1}}$ через
$\zeta_{\hat X^{[s]}_{1}}: \hat X^{[s]}_{1} \to K(\G,1)$. Эти
отображения также назовем структурными.



Определим подпространство $RQ^{[s]}_1 \subset X^{[s]}_1$ по
формуле $RQ^{[s]}_1 = X^{[s]}_{1} \cap RQ_1$, где  $RQ_1  \subset
RK_1$, $X^{[s]} \subset Z^{s-1}_1 \subset RK_1$ -- подпространства
в $RK_1$. Пространство $RQ^{[s]}_1$ представляется в виде
дизъюнктного объединения двух подпространств $RQ^{[s]}_1 =
RQ^{[s]}_{diag} \cup RQ^{[s]}_{antydiag}$ аналогично случаю
пространства $RQ^{[s]}_0$.

\begin{lemma}\label{barXQ}
В предположении $s = 1 \pmod{4}$, $s \ge 1$, cуществует
отображение $\phi_{X^s_{1\circ}}: X^s_{1\circ} \to K(\Q_a,1)$ $($
соответственно $\phi_{\hat X^s_{1\circ}}: \hat X^s_{1\circ} \to
K(\Q_a,1)$ $)$, удовлетворяющее следующему условию:

---  Отображение $\phi_{X^s_{1\circ}}: X^s_{1\circ} \to K(\Q_a,1)$
продолжается до отображения $\phi_{Z^{s-1}_1}: Z^{s-1}_1 \to
K(\Q_a,1)$ $($отображение $\phi_{\hat X^{s-1}_{1\circ}}: \hat
X^{s-1}_{1\circ} \to K(\Q_a,1)$ продолжается до отображения
$\phi_{\hat Z^{s-1}_1}: \hat Z^{s-1}_1 \to K(\Q_a,1)$$)$. Для
продолженных отображений выполняются граничные условия:

\begin{eqnarray}\label{diagXQ}
i_{\I_a,\Q_a} \circ p_{\H_b,\I_a} \circ \eta_{RQ^{s}_{diag}} =
\phi_{RQ^{s}_{diag}}: RQ^{s}_{diag} \to K(\Q_a,1),
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{antydiagXQ}
\eta_{RQ^{s}_{antydiag}} =  \phi_{RQ^{s}_{antydiag}}:
RQ^{s}_{antydiag} \to K(\Q_a,1),
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{hatdiagXQ}
p_{\H_b,\Q_a} \circ \eta_{R \hat Q^{s}_{diag}} = \phi_{R \hat
Q^{s}_{diag}}: R \hat Q^{s}_{diag} \to K(\Q_a,1),
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{hatantydiagXQ}
p_{\H_a,\Q_a} \circ \eta_{R \hat Q^{s}_{antydiag}} = \phi_{R \hat
Q^{s}_{antydiag}}: R \hat Q^{s}_{antydiag} \to K(\Q_a,1).
\end{eqnarray}




\end{lemma}

\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{barXQ}$}



Начнем с построения отображения $\phi_{X^s_{1\circ}}$.

Определим гомоморфизм $\phi_{X^s_{1\circ},\ast}:
\pi_1(X^s_{1,\circ}) \to \Q_a$.


 Пусть $l: S^1 \subset X^s_{1,
\circ}$ -- произвольный кусочно-линейный путь, трансверсально
пересекающий подпространство особых стратов $RK^{(s-1)}_{1,\circ}
\subset X^s_{1, \circ}$ в конечном числе точек, которые обозначим
через $\{ t_1, \dots, t_j\}$.

На  элементарном страте глубины $s$ полиэдра $\bar X^s_{0 \circ}$,
содержащем точку $pt=l(0)$, $0 \in S^1$--отмеченная точка, выберем
систему координат $(\check{x_1}(0),\check{x_2}(0),\check{x_3}(0))$
(замечу, что первые две координаты произвольной точки на
элементарном страте пространства $RK^{(s)}_{1\circ}$
неупорядочены).




Продолжим естественным способом систему координат
$(\check{x_1}(0),\check{x_2}(0))$ из точки $pt$ вдоль пути, т.е.
согласовывая регулярные координаты в окрестности каждой из точек
$\{ t_1, \dots, t_j\}$ (по поводу естественного продолжения
системы координат см. координатное построение структурного
отображения $\eta$).




Получим преобразование исходной системы координат
$(\check{x}_1(0),\check{x}_2(0),\check{x}_3(0))$ в систему
координат
 $(\check{x}_1(2\pi),\check{x}_2(2\pi),\check{x}_3(2\pi))$. Это
преобразование, которое обозначим через $\aleph(l)$, представлено
прямой суммой двух преобразований $\eta_{1,2} \in \H$, $\eta_{3}
\in \Q_a$ по первым двум и третьей координате соответственно. По
построению $\eta_{3}$ совпадает с естественным преобразованием
третьей координаты.

Определим значение гомоморфизма $\phi_{X^s_{1\circ}}$ на
гомотопическом классе пути $[l]$ по формуле
$\phi_{X^s_{1,\circ},\ast}([l])= \eta_3$. Очевидно, что
гомоморфизм $\phi_{X^s_{1\circ},\ast}: \pi_1(X^s_{1\circ}) \to
\Q_a$ корректно определен. Отображение $\phi_{\hat X^s_{1\circ}}:
\hat X^s_{1\circ} \to K(\Q_a,1)$ определяется аналогичным
способом.


Очевидно, что отображение $\phi_{X^s_{1\circ}}: X^s_{1\circ} \to
K(\Q_a,1)$ продолжается до отображения $\phi_{Z^{s-1}_1}:
Z^{s-1}_1 \to K(\Q_a,1)$. Очевидно, что отображение $\phi_{\hat
X^s_{1\circ}}: \hat X^s_{1\circ} \to K(\Q_a,1)$ продолжается до
отображения $\phi_{\hat Z^{s-1}_1}: \hat Z^{s-1}_1 \to K(\Q_a,1)$.

Проверим, что отображение $\phi_{Z^{s-1}_1}$ удовлетворяет
граничному условию $(\ref{diagXQ})$.


Рассмотрим замкнутый путь $l$ на компоненте $RQ^{s}_{diag}$. Пусть
$\aleph(l) = \zeta_{1,2}(l) \oplus \zeta_3(l)$, $\zeta_{1,2} \in
\H$, $\eta_3 \in \Q_a$ -- естественное преобразование системы
координат вдоль $l$. Заметим, что $\zeta_3(l)$ принадлежит
подгруппе $\I_a \subset \Q_a$, т.к. преобразование $\zeta_3$
определено как естественное преобразование третьей координаты.
Далее везде будем предполагать, что $\zeta_3(l) \in \I_a$.

Предположим, что $l$ содержится внутри одного элементарного страта
глубины $s$. По Лемме $\ref{etaK30}$ получим,что $\zeta_{1,2}(l)
\in \I_a$ и, кроме того, $\eta_{1,2}(l)= \eta_3(l)$.




В общем случае $\zeta_{1,2}(l) \in  \H_b$, поскольку $l \subset
RQ_{diag}$. Докажем, что $p_{\H_b,\I_a}(\zeta_{1,2}(l)) =
\zeta_3(l)$.





Рассмотрим замкнутый путь $l'$, который получен из пути $l$ в
результате малого сдвига c подпространства $RQ^{s}_{diag}$ в
пространство $Z^{s-1}_1$. Cдвиг $l \mapsto l'$ выберем так, что
каждая точка $x \in l$, лежащая внутри максимального страта
глубины $s$ пространства $RQ_{diag}$ сдвигается в точку $x'$,
лежащую в максимальном страте глубины $s-1$ пространства
$Z^{s-1}_1$ с дополнительной парой первых двух координат
$(\check{x'}_{1,j(x')},\check{x'}_{2,j(x')})$ с вычетом
$v(j(x'))=-1$. Третью дополнительную координату точки $x'$
обозначим через $\check{x'}_{3,j(x')}$. Остальные координаты точек
пути, соответствующие координатам максимальных стратов
пространства $RQ_{diag}$ назовем основными координатами. Поскольку
$x \in RQ_{diag}$, первые две координаты в одной паре основных
координат точки $x'$ совпадают:
$(\check{x'}_{1,j(x')}=\check{x'}_{2,j(x')})$, в то время как пара
первых двух дополнительных координат точки $x'$ различается.



Обозначим через $\{x_1, \dots, x_{s}\}$ конечное множество
критических точек пути $l$, в которых путь пересекает страты
глубины $s+1$. Каждая критическая точка $x_i$ пути $l$ определяет
пару близких критических точек $y_i, z_i$ пути $l'$.

Выберем сдвинутый путь $l'$ в окрестностях критических точек так,
что:

--- в точках $y_i$, $z_i$ набор первых и вторых критических координат
изменяется непрерывно;

---в точке $y_i$ набор третьих координат изменяется непрерывно;

---в точке $z_i$ третья критическая координата изменяется скачком
на элемент из $\Q_a$ в соответствии с предписанным значением
$\theta(x_i)$ скачка соответствующей координаты вдоль $l$.

Значение $\zeta_3(l) \in \I_a$  вычисляется по формуле
$$\zeta_3(l) = p_{\H_b,\I_a}(\eta_{1,2}(l)\prod_i \theta(x_i). $$
С другой стороны, очевидно,
$$\prod_i \theta(x_i) \in \I_d, $$
поскольку число координат пространства $Z^s_1$ кратно 4,  $l'$
замкнут и произведение скачков каждой координаты одинаково.

Построим в гомотопическом классе пути $l'$ путь $m$,  для которого
\begin{eqnarray}\label{skachok}
 \theta(v_i) \in \I_a \subset   \Q_a, \quad 1 \le i \le s.
\end{eqnarray}
 В
предыдущей формуле критические точки пути $m$ обозначены через
$\{v_1, \dots, v_s \}$.

Путь $m$ определим следующим образом. Для каждой координаты с
фиксированным номером $i_0$ рассмотрим отрезок $\alpha_{i_0}
=[\alpha_{i_0}(0),\alpha_{i_0}(1)]$ пути
 $l'$, для точек $x \in \alpha_{i_0}$ которого координата $i_0$ регулярна, причем третья координата
 $\check{x}_{3;i_0}$, $x \in \alpha_{i_0}$ с номером $i_0$ и
  первая координата $\check{x}_{1;i_0}$ с тем же
 номером $i_0$ лежат в
 разных классах смежности $\Q_a /\I_a$. Определим гомотопию пути $l'$
 при помощи композиции отображения параметризации пути с семейством
 вращений вдоль орбиты действия кватерниона $\j$ на $S^3$ на уголы  $[0,t\frac{\pi}{2}]$.

 Для каждого отрезка $\alpha_{i_0}(t)$
 с левым концом $\alpha_{i_0}(0)$ и правым концом $\alpha_{i_0}(0) + (\alpha_{i_0}(1)-\alpha_{i_0}(0))t$
 зададим вращение вдоль
 $i_0$-ой координаты. Для построения непрерывной гомотопии предполагается, что на
 коротком отрезке $[\alpha_{i_0}(t),\alpha_{i_0}(t)+\varepsilon]$,
 $\varepsilon \to 0$ при $t \to 1+$,
 вращение продолжено по линейности в обратном направлении так, что сдвинутый правый конец
 $\alpha_{i_0}(t)+\varepsilon$ отрезка в каждый момент времени $t$ остается неподвижен.
 В левом конце семейства отрезков $\alpha_{i_0}(t)$ и в семействе правых концов  при $t \to 1-$
гомотопия неподвижна, поскольку координата с номером $i_0$ в
граничных точках отрезка $\alpha_{i_0}$ является особой.

 В результате композиции последовательности гомотопий, построенной для каждой координаты описанным выше способом,
 получим путь $m$, гомотопный пути $l'$, который имеет по каждой
 критической координате скачек, удовлетворяющей формуле
 $(\ref{skachok})$.


Определена последовательность скачков $\{\theta_m(v_i)\}$ третьей
кординаты в критических точках пути $m$. Для пути $m$, очевидно,
$$\prod_i \theta_m(v_i) = 1, $$
поскольку число координат пространства $Z^s_1$ кратно 4 и
поскольку путь $m$ замкнут  (произведение скачков каждой
координаты вдоль $m$ одинаково).

Поскольку $\zeta_3(l') = \zeta_3(m)$ и
$\zeta_{1,2}(l')=\zeta_{1,2}(m)$, вдоль пути $l'$ граничные
условия $(\ref{diagXQ})$ также выполняются.
 Граничные условия
$(\ref{diagXQ})$ доказаны.



Проверим, что отображение $\phi_{Z^{s-1}_1}$ удовлетворяет
граничному условию $(\ref{antydiagXQ})$.



Рассмотрим замкнутый путь $l'$, который получен из пути $l$ в
результате малого сдвига c подпространства $RQ^{s}_{antydiag}$ в
пространство $Z^{s-1}_1$. Cдвиг $l \mapsto l'$ выберем так, что
каждая точка $x \in l$, лежащая внутри максимального страта
глубины $s$ пространства $RQ_{antydiag}$ сдвигается в точку $x'$,
лежащую на максимальном страте глубины $(s-1)$ пространства
$Z^{s-1}_1$ с дополнительной парой первых двух координат
$(\check{x'}_{1,j(x')},\check{x'}_{2,j(x')})$ с вычетом
$v(j(x'))=-\j$. Третью дополнительную координату точки $x'$
обозначим через $\check{x'}_{3,j(x')}$. Остальные координаты точек
пути, соответствующие координатам максимальных стратов
пространства $RQ_{antydiag}$ назовем основными координатами.
Поскольку $x \in RQ_{antydiag}$, первые две координаты в одной
паре основных координат точки $x'$ совпадают:
$(\check{x'}_{1,j(x')}=\check{x'}_{2,j(x')})$, в то время как
первая пара двух дополнительных координат точки $x'$ различается.



Обозначим через $\{x_1, \dots, x_{s}\}$ конечное множество
критических точек пути $l$, в которых путь пересекает страты
глубины $s+1$. Каждая критическая точка $x_i$ пути $l$ определяет
пару близких критических точек $y_i, z_i$ пути $l'$.

Обозначим через $\{x_1, \dots, x_{s}\}$ конечное множество
критических точек пути $l$, в которых путь пересекает страты
глубины $s+1$. Каждая критическая точка $x_i$ пути $l$ определяет
пару близких критических точек $y_i, z_i$ пути $l'$. Выберем
сдвинутый путь $l'$ в окрестностях критических точек так, что
выполняются условия, аналогичные соответствующим условиям для пути
на диагональной компоненте.

Значение $i_{\I_a,\Q_a}(\zeta_3(l)) \in \Q_a/\I_d$  можно
вычислить по формуле
$$i_{\I_a,\Q_a}(\zeta_3(l)) = \zeta_{1,2}(l)\prod_i \theta(x_i) \pmod{\I_d}, $$
где $\zeta_{1,2} \in \Q_a$. С другой стороны, очевидно
$$\prod_i \theta(x_i) = 1, $$
поскольку число координат пространства $Z^s_0$ кратно 4, а
поскольку путь $l'$ по условию замкнут, то произведение скачков
каждой координаты одинаково. В частности, поскольку $\zeta_3(l)
\in \I_a$, $\zeta_{1,2}(l)$ принадлежит подгруппе $\I_a \subset
\Q_a$. Номера координат вдоль $l'$ сохраняются.

Построим гомотопный пути $l'$ путь $m$, такой, что скачки
критических координат вдоль $m$ удовлетворяют условию
$(\ref{skachok})$. Очевидно
$$\prod_i \theta(x_i) = 1, $$
поскольку число координат пространства $Z^s_1$ кратно 4. Поскольку
$m$ по условию замкнут, то произведение скачков  третьей
координаты произвольного номера вдоль $m$ одинаково.
Следовательно, вдоль $m$ граничные условия $(\ref{diagXQ})$
выполняются.

Следовательно,  для путей $l'$, $l$ граничные условия
$(\ref{diagXQ})$ также выполняются. Граничные условия
$(\ref{antydiagXQ})$ доказаны.




Граничные условия $(\ref{hatdiagXQ})$, $(\ref{hatantydiagXQ})$
 проверяются аналогично.


Лемма $\ref{barXQ}$ доказана.





\subsubsection*{Отображения $\phi_0$, $\hat \phi_0$ в диаграмме $(\ref{16.2})$}

Построим отображение $\phi_0$ в диаграмме $(\ref{16.2})$.  В
пространстве $RK_{0\circ}$ определим подпространство
$RK^{[2]}_{0\circ} \subset RK_{0\circ}$. Для этого рассмотрим
следующую пару полиэдров (верхняя диаграмма) в вкложение в эту
другой пары полиэдров  (нижняя диаграмма):


\begin{eqnarray}\label{117}
\begin{array}{ccc}
RK_{0}^1 & \subset & RK_{0}^0  \\
%&&&&&&\\
%&& \uparrow \pi_{R \bar K_{0}^1} &&&& \\
%&&&&&&\\
%&& R \bar K_{0}^1 & \stackrel{p_{\bar K^1_{0}}}{\longrightarrow} & \bar K_{0}^1 & = & \bar K_{0}^1, \\
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{118}
\begin{array}{ccc}
X^{[1]}_{0} & \subset & Z^0_{0}  \\
%&&&&&&\\
%&& \uparrow \pi_{\bar X^1_{0}} &&&& \\
%&&&&&&\\
%&& \bar X_{0}^1 & \stackrel{p_{\bar X^1_{0}}}{\longrightarrow} & \bar Y^1_{0} & \subset & \bar K_{0}^1. \\
\end{array}
\end{eqnarray}

Пространство $RK^{[2]}_{0}$ определено как образ пространства
$Z^0_{0}$ из диаграммы $(\ref{118})$ при включении.  Нам
потребуется следующая лемма.

\begin{lemma}\label{RK[2]}
Произвольное $PL$--отображение двумерного диска $f: D^2 \to RK_{0}$ вытесняется в отображение
$f': D^2 \to RK^{[2]}_{0} \subset RK_{0}$ с образом в подпространстве
$RK^{[2]}_{0} \subset RK_{0}$ в результате сколь угодно малой $PL$--деформации
$f \to f'$.
\end{lemma}

\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{RK[2]}$}

Пространство $RK_{0}$ снабжено естественным отображением в пространство $\delta^{r_0} \times I$
прямого произведение $r_0$--мерного симплекса на отрезок, причем стандартная триангуляция
пространства-образа, задающая стратификацию пространства--образа по коразмерности остовов триангуляции  согласована
при этом отображении со стратификацией пространства-прообраза. Подпространство $RK^{[2]}_{0} \subset RK_{0}$
содержит все страты пространства $RK_{0}$ глубины 0,1,2. Отображение $f: D^2 \to RK_{0}$ можно перевести
сколь угодно малой деформацией в отображение $f': D^2 \to RK^{[2]}_{0}$ так, что проекция образа отображения
$f'$ в пространство
$\delta^{r_0} \times I$ трансверсально к симплексам разбиения и, в частности, не содержит остова коразмерности 3.
Лемма  $\ref{RK[2]}$ доказана.
\[  \]

Определим на подпространстве $RK^{[2]}_{0} \subset RK_{0}$ отображение
\begin{eqnarray}\label{phi[2]}
\phi^{[2]}_0: RK^{[2]}_{0} \to K(\I_a,1).
\end{eqnarray}



По Лемме $\ref{RK[2]}$ отображение $(\ref{phi[2]})$ продолжается
до отображения $\phi'_0: RK_0 \to K(\I_a,1)$. По Лемме
$\ref{barX}$ отображение $(\ref{phi[2]})$ удовлетворяет
сформулированным в этой лемме граничным условиям. Определим
искомое отображение $\phi_0: RK_0 \to K(\I_a,1)$ по формуле
$$ \phi_0 = \phi'_0. $$



Отображение $\phi_0: RK_0 \to K(\I_a,1)$ удовлетворяет граничным
условиям, коорые следут из диаграмм $(\ref{18.1})$,
$(\ref{18.2})$. Построение отображения $\hat \phi_0: R\hat K_0 \to
K(\I_a,1)$ полностью аналогично.


\subsubsection*{Отображения $\phi_1$, $\hat \phi_1$ в диаграмме
($\ref{16.22}$)}

Это построение аналогично предыдущему и опускается.
\[  \]

\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma30}$ }

Рассмотрим отображение $\hat p: S^{n-k}/\i \to J_0$ и обозначим
через $\hat C_{p}$ цилиндр этого отображения. Определены
отображения проекций $\hat p_I: \hat C_{p} \to [0,1]$, $\hat p_J:
\hat C_{p} \to J_0$ и декартово произведение этих отображений,
которое обозначим через $\hat F:  \hat C_{ p} \to J_0 \times
[0,1]$.

Аналогично рассмотрим отображение $p: \RP^{n-k} \to J_0$ и
обозначим через $C_p$ цилиндр этого отображения. Определены
отображения проекций $p_I: C_p \to [0,1]$, $p_J: C_p \to J_0$ и
декартово произведение этих отображений, которое обозначим через
$F: C_{ p} \to J_0 \times [0,1]$.

Определено отображение $r: C_p \to \hat C_{p}$, причем следующие
диаграммы коммутативны:


\begin{eqnarray}
\begin{array}{ccc}
C_p & \longrightarrow & \hat C_{ p} \\
p_I \searrow & & \swarrow \hat  p_I  \\
& I,  & \\
\end{array}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\begin{array}{ccc}
C_p & \longrightarrow & \hat C_{p} \\
p_J \searrow & & \swarrow \hat p_J  \\
& J_0. & \\
\end{array}
\end{eqnarray}

Рассмотрим вложение $I_J: J_0 \times [0,1] \subset \R^n \times
[0,1]$ и определим отображения $I_J \circ \hat F: \hat C_{ p} \to
\R^n \times [0,1]$, $I_J \circ F: C_{p} \to \R^n \times [0,1]$.
Ниже определим отображение $\hat f: \hat C_{p} \to \R^n \times
[0,1]$, которое получено в результате $C^1$--малого возмущения общего
положения отображения $I_J \circ \hat F$. Такое возмущение будем ниже называть деформацией
гомотопии $I_J \circ \hat F$ в гомотопию $\hat f$. При этом гомотопию
$\hat f$ выберем совпадающей на нижнем основании цилиндра $J_0
\subset \hat C_{p}$ с вложением $I_J: J_0 \subset \R^n \times
\{0\}$. Кроме того, потребуем, чтобы композиция $p_{[0,1]} \circ
\hat f : \hat C_{p} \to [0,1]$ совпадала с $\hat p_{I}$, где
$p_{[0,1]}: \R^n \times [0,1] \to [0,1]$ -- проекция на второй
сомножитель. Определено также отображение $f: C_p \to \R^n \times
[0,1]$ как композиция $f = \hat f \circ r$.

Обозначим через $\bar Q \subset \hat C_p$ -- каноническое
накрывающее над полиэдром точек самопересечения гомотопии $\hat
f$, определенное как замыкание по формуле
$$ \bar Q = Cl\{ x \in \hat C_p : \exists y \in \hat C_p, x \ne y, \hat
f(x) = \hat f(y) \}. $$  Определена инволюция $T_{\bar Q}: \bar Q
\to \bar Q$, переставляющая прообразы точек самопересечения.
Инволюция $T_{\bar Q}$ сохраняет значения отображения $p_I$.
Факторпространство полиэдра $\bar Q$ при этой инволции обозначим
через $\hat Q$.


Рассмотрим стратификацию
\begin{eqnarray}
J^{r_0}_0 \subset \dots \subset J^{2}_0 \subset J^{1}_0 \subset
J^{0}_0 \label{strat}
\end{eqnarray}
 пространства джойна $J^{0}_0=J_0$.
Стратификация ($\ref{strat}$) определяет стратификацию цилиндра по
формуле
 \begin{eqnarray}
\hat C_p^{i} = \hat p_J^{-1}(J^{i}_0)
\end{eqnarray}
и стратификацию многообразия $S^{n-k}/\i$ по формуле
 \begin{eqnarray}
(S^{n-k}/\i)^{i} = \hat p^{-1}(J^{i}_0)
\end{eqnarray}


Определена стратификация
\begin{eqnarray}\bar Q^{r_0} \subset
\dots \subset \bar Q^{1} \subset \bar Q^{0} \label{strat barQ}
\end{eqnarray}
полиэдра $\bar Q^{0} = \bar Q$ по формуле $\bar Q^{i} = (\bar Q
\cap \hat C_p^{i}) \cap T_{\bar Q}(\bar Q \cap \hat C_p^{i})$.
Фактор стратификации $(\ref{strat barQ})$ при инволюции $T_{\bar
Q}$ определяет стратификацию
\begin{eqnarray}
\hat Q^{r_0} \subset \dots \subset \hat Q^{1} \subset \hat Q^{0}
\label{stratQ}
\end{eqnarray}
полиэдра $\hat Q$. Обозначим через  $QJ^{i}_0$ пересечение $\bar
Q^{i} \cap J_0$. При условии, что отображение $\hat f$ общего
положения, стратифицированный полиэдр $QJ^{i}_0$ находится в общем
положении со стратами ($\ref{strat}$) полиэдра $J_0$  и,  кроме
того, все страты глубины большей $r_{0,max}$ стратификации
$(\ref{stratQ})$ являются пустыми.
%\footnote{При помощи этого соображения можно немного упростить нижеследующее
%доказательство, если дополнительно воспользоваться тем, что
%Произвольный 2-диск в полиэдре $\hat Q$ снимается с подполиэдра
%$\hat Q^{3} \subset \hat Q$ сколь угодно малым шевелением, поэтому
%фундаментальная группа пространств $\hat Q$ и $\hat Q \setminus
%\hat Q^{3}$ совпадает.


Зафиксируем произвольное $t \in (0,+\delta]$, где положительное
число $\delta$ будет определено в процессе построения $\hat f$.
Ограничение отображения $ \hat f: \hat C_{p} \to \R^n \times
[0,1]$ на $S^{n-k}/\i \times \{t\}$ обозначим через $\hat d = \hat
d(t): S^{n-k}/\i \to \R^n$. Отображение $d$ двулистно накрывает
отображение $\hat d$. Рассмотрим многообразие $\hat N_{K_0}$  с
краем точек самопересечения отображения $\hat d$. Многообразие
$\hat N_{K_0}$ определяется по формуле $\hat N_{K_0} = \hat Q \cap
\R^n \times \{t\}$. Это многообразие снабжено естественной
стратификацией
\begin{eqnarray}\label{stra0}
\hat N_{K_0}^{r_{0}} \subset \dots \subset \hat N_{K_0}^{0},
\label{strathat}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{stra00}
\hat W_{K_0}^{(i)} = \hat N_{K_0}^{i} \setminus \hat
N_{K_0}^{i+1},
\end{eqnarray}
которая определяется как подстратификация стратификации
($\ref{stratQ}$). Определено двулистное накрытие $N_{K_0} \to \hat
N_{K_0}$ и стратификация ($\ref{strat0}$) двулистного
накрывающего.  В предположении, что отображение $\hat f$ является
$PL$--отображением общего  положения, стратификации
$(\ref{stra0})$, $(\ref{stra00})$ состоят из стратов  глубины не
превышающей $r_{max,0}$.



(Естественно высказать следующуюгипотезу: применяя теорему
$PL$--трансверсальности можно показать, что произвольный 2-диск в
полиэдре $\hat N_{K_0}^{0}$ снимается с подполиэдра $ \hat
N_{K_0}^{3} \subset \hat N_{K_0}^{0}$ сколь угодно малым
шевелением, поэтому фундаментальные группы пространств $ \hat
N_{K_0}^{0}$ и $ \hat N_{K_0}^{0} \setminus \hat N_{K_0}^{3}$
совпадают (ср. с Леммой $\ref{RK[2]}$).)


Теперь определим гомотопию $\hat f$ \footnote{Конструкция была
получена на семинаре С.А.Богатого}. Рассмотрим нормальное
расслоение $\nu_{J_0}: E(\nu) \to J_0$ вложения $i_{J_0}: J_0
\subset \R^n$. Вложение $i_{J_0}$ определено как стандартное
вложение $(n-k)$--мерной сферы в евклидово пространство $\R^n$ с
коразмерностью $k$. Расслоение  $\nu_{J_0}$ является тривиальным
$k$--мерным расслоением, причем по условию леммы $k \ge 8$.
Представим расслоение  $\nu_{J_0}$ в виде суммы Уитни тривиального
4-мерного расслоения $\varepsilon_1: E(\varepsilon_1) \to J_0$,
тривиального 2-мерного расслоения $\varepsilon_2: E(\varepsilon_2)
\to J_0$ и
 дополнительного к $\varepsilon_1 \oplus \varepsilon_2$ тривиального расслоения
 $\varepsilon_3: E(\varepsilon_3) \to J_0$
 неотрицательной размерности размерности $(k-6)$, которое содержит
 сумму Уитни  $\varepsilon_{3;1} \oplus \varepsilon_{3;2} \subset
 \varepsilon_3$ двух линейных тривиальных расслоений
 $\varepsilon_{3;1} \subset  \varepsilon_3$,  $\varepsilon_{3;2} \subset
 \varepsilon_3$.

Переобозначим отображение $(I_J \circ \hat F)$ через $\hat
f_{-2}$. Выберем последовательность бесконечно-малых чисел
$\delta_{-1}, \delta_0, \dots, \delta_{r_0+1}, \delta_{r_0+2} $
  такую, что $\delta_{i+1} = o(\delta_i)$ и построим
последовательность $C^1$--малых $PL$--деформаций
\begin{eqnarray}
\hat f_{-2} \mapsto \hat f_{-1} \mapsto \hat f_{0} \mapsto \dots
\mapsto \hat f_{r_0} \mapsto \hat f_{r_0+1} \label{fi},
\end{eqnarray}
задавая $C^1$--калибр деформации $\hat f_{i-1} \mapsto \hat f_i$
бесконечно-малым числом $\delta_i$. Указанную последовательность
бесконечно-малых чисел можно представлять как убывающую
последовательность положительных чисел, каждое последующее число
выбирается настолько малым, что указанные в построении свойства
аппроксимирующей гомотопии, достигнутые на предыдущем шаге,
сохраняются. Выбор числа $\delta_i$ возможен, поскольку свойства,
отображения $\hat f_{i-1}$, достигнутые на текущем этапе
построения, сохраняются при произвольной $C^1$--малой деформации
достаточного малого калибра.

Последнюю гомотопию $\hat f_{r_0+1}$ в этой последовательности
преобразуем дополнительной деформацией калибра $\delta_{r_0+2}$,
$\delta_{r_0+2} << \delta_{r_0+1}$ в $PL$--отображение общего
положения. При произвольном достаточно малом $t$, $0 < t <
\delta_{r_0+2}$, гомотопия $\hat f_{r_0+2}$ определяет искомое
отображение $\hat d = \hat f_{r_0+2}(t)$.

%При этом вид
%деформации $\hat f_{i-1} \to \hat f_i$ при значении шага
%конструкции с номером, превышающим $i_{max,0}$ не существенен.
%Действительно, по соображениям размерности деформация $\hat f_i$
%переводит каждый элементарный страт глубины $i$ с $r-i$
%координатами во вложенный. Следовательно, с учетом неравенства
%$i_{max,0} <  \frac{n-7}{4} < \frac{n+1}{4}$, каждый страт глубины
%больше $i_{max,0}$ при деформации общего положения переходит во
%вложенный.
На предворительном шаге деформация $\hat f_{-2} \mapsto \hat
f_{-1}$ строится вертикальной вдоль подрасслоения $\varepsilon_1$
в нормальном расслоении $\nu_{J_0}$. Калибр рассматриваемой
деформации равен $\delta_{-1}$. Деформация $\hat f_{-2} \mapsto
\hat f_{-1}$ строится такой, что прообраз
$p^{-1}_{J_0}(\alpha^{(s)})$ каждого элементарного страта
$\alpha^{(s)} \subset J_0$ глубины $s$ самопересекается в
тотальном пространстве $E(\varepsilon_1)_{\alpha^{(s)}}$
расслоения $\varepsilon_1$ над $\alpha^{(s)}$ в общем положении
(как погружения общего положения замкнутого $PL$--многообразия).



На нулевом шаге деформация $\hat f_{-1} \mapsto \hat f_0$ строится вертикальной вдоль слоев расслоения
$\varepsilon_2$, неподвижной на страте  $\hat C_p^{(1)}$. Калибр рассматриваемой деформации равен $\delta_0$.
Деформация $\hat f_{-1} \mapsto \hat f_0$ строится такой, что ограничение отображения $\hat f_{0}$
на прообраз элементарного страта $\alpha^{(0)}$ глубины $0$ является погружением открытого многообразия,
множество точек самопересечения которого совпадает с множеством точек тройного самопересечения погружения
$\hat f_{-1}$, ограниченного на $\alpha^{(0)}$ и не содержит точек двойного самопересечения.

Чтобы определить деформацию $\hat f_{-1} \mapsto \hat f_0$ с
указанными свойствами достаточно воспользоваться Леммой
$\ref{lemma32}$, согласно которой, структурная группа накрытия над
многообразием двойных точек самопересечения на каждом элементарном
страте редуцируется к целочисленной. Это означает, что особенность
двойных точек самопересечения вне можества тройных точек
самопересечения распроектируется во вложение в коразмерности 2
вдоль слоев расслоения $\varepsilon_2$.


На  шаге с номером $i$ деформация $\hat f_{i-1} \mapsto \hat f_i$
строится сначала с носителем на $\hat C_p^{(i)}$.
Предварительная деформация, которую обозначим через $\hat f_{i-1}
\to \hat f'_i$, является неподвижной на $\hat C_p^{(i+1)}$. Далее
построенная гомотопия $\hat f'_i$ продолжается до гомотопии
$\hat f_i$ на всем $\hat C_p$ так, что она
совпадает с уже построеным ранее отображением $\hat f_{i-1}$ вне
малой регулярной окрестности (конечного радиуса) $\hat C_p^{(i)}$
и продолжает отображение  $\hat f_{i-1}$ в эту окрестность на все
пространство $\hat C_p$ по общему положению с константой $C^1$--аппроксимации $\delta_i$.



Построение деформации $\hat f_{i-1} \mapsto \hat f'_i$, $i \ge 1$,
осуществляется следующим образом. Рассмотрим произвольный
элементарный страт $\alpha^{(i)}$ глубины $i$ из $J^{(i)}_0
\setminus J^{(i+1)}_0$ и рассмотрим регулярную окрестность
$U_{\alpha^{(i)}}$ страта $\alpha^{(i)}$ в объединении стратов
$J_0^{(i-1)} \setminus J^{(i)}_0$ глубины $(i-1)$, примыкающем к
страту $\alpha^{(i)}$.
 Окрестность $U_{\alpha^{(i)}}$ представлена как объединение окрестностей $U_{\beta^{i-1}_j, \alpha^{(i)}}$
по окрестностям страта $\alpha^{(i)}$ во всевозможных примыкающих
стратах $\beta^{(i-1)}_j$ глубины $(i-1)$. Каждый страт
$U_{\beta^{(i-1)}_j, \alpha^{(i)}}$ представляет собой прямое
произведение $\alpha^{(i)} \times D^2$. Прообраз $\hat
p^{-1}(U_{\beta^{(i-1)}_j, \alpha^{(i)}})$ окрестности
$U_{\beta^{(i-1)}_j, \alpha^{(i)}}$ при отображении $\hat p:
(S^{n-k}/\i)^{(i-1)} \setminus  (S^{n-k}/\i)^{(i)} \to J_0^{(i-1)}
\setminus J_0^{(i)}$ обозначим через $\hat V_{b_j, a}$.
Объединение $\hat V_{b_j, a}$ по всем $b_j$ обозначим через $\hat
V_{a}$. Это объединение является прообразом $U_{\alpha^{(i)}}$ при
отображении $\hat p$.

Прообраз $\hat V_{b_j, a}$ представляет собой прямое произведение
$4^{r-i-1}$-листного накрывающего $\hat a$ над $\alpha^{(i)}$ на открытый
2-диск $D^2$. Снова воспользуемся координатным описанием
отображения $\hat p$, откуда вытекает, что ограниченное $\hat p$
на $\hat V_{b_j, a}$, является прямым произведением стандартного
разветвленного 4-листного над $D^2$ и параметризующего отображения
$\hat b_j \to \beta_j$.


По предположению индукции гомотопия $\hat f_{i-1}$, ограниченная на $\hat V_{a}$ неподвижна на
$\hat a$, причем  для каждого $\hat b_j$ деформация $\hat f_{i-2} \mapsto \hat f_{i-1}$
направлена в трансверсальном направлении к $U_{\beta_j,\alpha}$
и ее $C^1$--калибр существенно превышает $\delta_i$.

Определим гомотопию $\hat f'_i$
  окрестности $\hat V_{\beta} \to
\R^n$, как результат $\delta_i$--малой $C^1$--деформации на каждой
окрестности $\hat V_{a}$ вдоль  касательного пространства к
произвольно выбранному страту $\beta$ глубины $i-1$, примыкающему
к $\alpha$. Гомотопия $\hat f'_i$ строится также как при $i=0$. В
результате точки самопересечения элементарного страта
$\alpha^{(i)}$ совпадают с точками тройного самопересечения этого
элементарного страта при гомотопии $f_{-1}$. При этом ограничение
гомотопии $\hat f'_i$ на границу окрестности $\hat V_{\alpha}$, в
частности, на границу $\partial (\hat a)^{cl}$ центрального
подмногообразия $\hat a \subset \hat V_{b, a}$ страта $\hat a$
неподвижно.

Определим гомотопию $\hat f_i$ в результате продолжения гомотопии
$\hat f'_i$ по общему положению, близкой к гомотопии $\hat
f_{i-1}$  с константой $C^1$--аппроксимации $\delta_i$.
Результатом гомотопии является отображение, которое определенно
как ограничение гомотопии $\hat f_i$ при $t_0 = \delta_{i}$.
Ограничение отображения $\hat f_i$  на каждый элементарный страт
глубины $j$, $0 \le j < i$, пространства $S^{n-k}/\i^{(1)}$ имеет
точки самопересечения, которые получены малой деформацией точек
тройного самопересечения отображения $f_{j}(t_0)$. Отображение
$f_{j}(t_0)$ было определено на предварительном шаге конструкции.
Точки, лежащие на стратах глубины $(i+1)$ (и выше) имеют структуру
точек самопересечения общего вида. При этом точки самопересечения
стратов разной глубины, у отображения, определенного  в результате
гомотопии $\hat f_i$, вообще говоря, могут присутствовать.
Деформация  $\hat f_{i-1} \to \hat f_i$ и, тем самым,
последовательность деформаций ($\ref{fi}$), за исключением
последней деформации  $\hat f_{r_0} \mapsto \hat f_{r_0+1}$
построена.

Приступим к описанию  деформации $\hat f_{r_0} \mapsto \hat
f_{r_0+1}$.
%Деформация $\hat f_{r_0} \mapsto \hat f_{r_0+1}$
%устраняет точки двойного самопересечения, которые лежат на границе
%полиэдра точек тройного самопересечения вне полиэдра точек
%самопересечения большей кратности. При этом предполагается, что
%один из прообразов точки самопересечения лежит на границе полиэдра
%точек самопересечения гомотопии $\hat f_{r_0}$, а другой прообраз
%не лежит на границе этого полиэдра.  Таким образом, особые точки
%рассматриваемого типа возникают при пересечении границы полиэдра
%двойных точек самопересечения $\hat f_{r_0}$ с образом третьего
%листа $\RP^{n-k} \times (0,\delta_{r_0}]$ при отображении $\hat
%f_{r_0}$. Накрытие над указанным особым полиэдром является
%тривиальным, т.к. точки двойного самопересечения естественно
%упорядочены (одна из точек самопересечения является особой точкой,
%а вторая регулярной). Деформация $\hat f_{r_0} \mapsto \hat
%f_{r_0+1}$ строится вдоль слоев расслоения $\varepsilon_{3;1}$ и
%имеет калибр $\delta_{r_0+1}$. Точки границы полиэдра двойного
%самопересечения и точки третьего листа вертикально
%распроектируются вдоль слоев этого линейного расслоения везде, за
%исключением точек, принадлежащих замыканию множества точек
%самопересечения кратности $4$ и выше. Деформация продолжается до
%вертикальной $C^1$--малой деформации общего положения всего
%многообразия $\RP^{n-k} \times (0,\delta_{r_0}]$ с калибром
%$\delta_{r_0+1}$. На этом этапе построения деформации достигается
%то, что полиэдр точек тройного самопересечения (быть может, вне
%полиэдра точек самопересечения большей кратности) имеет граничные
%особенности, в которых прообразы всех трех точек самопересечения
%совпадают.
%На предпоследнем шаге $r_0+2$ конструкции гомотопия $\hat
%f_{r_0+1}$ переводится в гомотопию $\hat f_{r_0+2}$ посредством
%$C^1$--малой деформации, причем калибр $\delta_{r_0+2}$ этой
%деформации выбирается существенно меньше, чем $\delta_{r_0+1}$.
Полиэдр точек двойного самопересечения вне полиэдра точек тройного
самопересечения гомотопии $f_{r_0+1}$ вертикально распроектируется
вдоль слоя расслоения $\varepsilon_{3;1}$. Указанное
распроектирование вне точек тройного самопересечения корректно
определено, поскольку каноническое двулистное накрытие над
полиэдром точек самопересечения, который содержит только точки
пересечения стратов разной глубины, очевидно, тривиально (пара
точек в накрывающем полиэдре естественно упорядочена  значением
глубины стратов).

Отображение $\hat f$, полученное при последней деформации $\hat
f_{r_0+2} \mapsto f_{r_0+3}$,
 определяет
искомое отображение $\hat d$ ($d$) как ограничение  на $S^{n-k}/\i
\times \{\delta_{r_0+3}\}$ ($\RP^{n-k} \times
\{\delta_{r_{0}+3}\}$). Отображение $\hat d$ имеет лишь точки
самопересечения кратности не ниже 3.



Обратимся к построению отображения   $(\ref{QQQ})$ (см. формулу
ниже). Рассмотрим полиэдр точек самопересечения отображения $\hat
f_{r_0}(\delta_{r_0})$ и обозначим этот полиэдр для краткости
через $\hat N_{K_0}(r_0)$. Будем использовать аналогичные
обозначения $\hat N_{K_0}(r_0+1)$, $\hat N_{K_0}(r_0+2)$. Полиэдр
самопересечения отображения $\hat d=\hat
f_{r_0+3}(\delta_{r_0+3})$ обозначим через $\hat N_{K_0} \subset
\hat K_0$.

Полиэдр $\hat N_{K_0}(r_0)$ содержит цепочку вложенных
подполиэдров:
\begin{eqnarray}\label{hat234}
\hat N_{K_0}(4;r_0) \subset  \hat N_{K_0}(3;r_0) \subset \hat
N_{K_0}(2;r_0) \subset \hat N_{K_0}(r_0) \subset \hat K_0.
\end{eqnarray}
Дополнительный индекс $2,3,4$ обозначает подполиэдр в полиэдре
точек самопересечения, состоящий из замыкания прообраза множества
точек кратностей не менее $2,3,4$ соответственно. Определена также
цепочка вложенных подполиэдров:
\begin{eqnarray}\label{234}
\hat N_{K_0}(4;r_0) \subset  \hat N_{K_0}(3;r_0) \subset \hat
N_{K_0}(2;r_0) \subset \hat N_{K_0}(r_0) \subset \hat K_0,
\end{eqnarray}
двулистных накрывающих.



По условию общего положения, подполиэдр  $\hat N_{K_{ 0}}(4;r_0)
\subset \hat N_{K_{0}}(3;r_0)$ в диаграмме $(\ref{234})$ точек
самопересечения кратности не менее $4$, внутри полиэдра точек
самопересечения кратности не менее $3$, имеет коразмерность 4. В
частности, фундаментальная группа полиэдра $\hat N_{K_0}(3;r_0)
\setminus \hat N_{K_0}(4;r_0)$ изоморфна фундаментальной группе
полиэдра $\hat N_{K_0}(3;r_0)$.

Определено естественное вложение
\begin{eqnarray}\label{hatQQQQ}
\hat t: (\hat N_{K_0}(3;r_0) \setminus \hat N_{K_0}(4;r_0)) \to
R\hat K_0,
\end{eqnarray}
поскольку каждой точке двойного самопересечения полиэдра $\hat
N_{K_0}(3;r_0)$ соответствует единственная третья точка на
$\RP^{n-k} \times \delta_{t_0}$ с тем же образом при отображении
$\hat f_{r_0}(\delta_{r_0})$. Отображение $(\ref{hatQQQQ})$
продолжается по непрерывности до отображения
\begin{eqnarray}\label{hatRRRR}
\hat t: \hat N_{K_0}(3;r_0)  \to R\hat K_0.
\end{eqnarray}


Аналогично определено отображение
\begin{eqnarray}\label{RRRR}
t: N_{K_0}(3;r_0)  \to R\hat K_0.
\end{eqnarray}


%Полиэдр самопересечения отображения $\hat f_{r_0}(\delta_{r_0})$
%определяет стратификации ($\ref{strat0}$), ($\ref{strathat}$). Вне
%точек двойного самопересечения определено семейство отображений
%$\hat t^{(i)}: W^{(i)}_{\hat K_0} \to R\hat K_0^{(i)}$, ($
%t^{(i)}: W^{(i)}_{K_0} \to RK_0^{(i)}$), $0 \le i \le i_{max,0}$ в
%пространства разрешения особенностей. Более того, построенное
%семейство отображений $\hat t^{(i)}$ ($ t^{(i)}$) склеивается в
%одно отображение
%\begin{eqnarray}\label{QQQ}
%\hat t: \hat N_{K_0} \to R\hat K_0 \quad (t: N_{K_0} \to RK_0).
%\end{eqnarray}

На этапе построения деформации $\hat f_{r_0} \mapsto \hat
f_{r_0+1}$ полиэдр $\hat N_{K_0}(3;r_0+1)$ точек самопересечения
отображения $\hat f_{r_0+1}( \delta_{r_0+1})$ $PL$--гомеоморфен
полиэдру $\hat N_{K_0}(3;r_0)$ точек самопересечения отображения
$\hat f_{r_0}(\delta_{r_0})$ (последний полиэдр в этом случае
рассматривается при меньшем значении параметра гомотопии
$t=\delta_{r_0+1}$). Поэтому для полиэдра $\hat N_{K_0}(3;r_0+1)$
также определено вложение, аналогичное $(\ref{hatQQQQ})$, которое
получено ограничением $(\ref{hatQQQQ})$ на этот подполиэдр.

Проверим, что для полиэдра $\hat N_{K_0}(3;r_0+1)$ выполняются
граничные условия, предусмотренные в диаграмме $(\ref{118.1})$,
(см. Лемму $\ref{lemma28}$) т.е. проверим, что образ подполиэдра
$\hat N_{diag} \cap  \hat N_{K_0}(3;r_0+1) \subset \hat
N_{K_0}(3;r_0+1)$ при отображении $\hat t$ лежит в подполиэдре $R
\hat Q_{diag} \subset \hat K_0$, а образ подполиэдра $\hat
N_{antidiag} \cap  \hat N_{K_0}(3;r_0+1) \subset \hat
N_{K_0}(3;r_0+1)$ при отображении $\hat t$ лежит в подполиэдре $R
\hat Q_{antidiag} \subset \hat K_0$.

Для доказательства достаточно заметить, что указанное свойство для
полиэдра $\hat N_{K_0}(3;r_0+1) \setminus \hat N_{K_0}(4;r_0+1)$
выполняется по построению деформации $\hat f_{\delta_{r_0}}
\mapsto \hat f_{\delta_{r_0}}$. Следовательно, поскольку
отображение $(\ref{hatRRRR})$ строилось как продолжение
отображения $(\ref{hatQQQQ})$ на замыкание прообраза, граничные
условия будут выполняться и для отображения $(\ref{hatRRRR})$.

На предпоследнем этапе построения деформации $\hat f_{r_0} \mapsto
\hat f_{r_0+1}$ отображение $\hat f_{r_0+1}(\delta_{r_0+1})$ имеет
точек самопересечения кратности не менее $3$, поскольку все точки
самопересечения, которые не являются точками самопересечения
кратности 3 и более устраняются вертикальным распроектированием.
Поэтому полиэдр $\hat N_{K_0}(r_0+2)$ совпадает с полилиэдром
$\hat N_{K_0}(3;r_0+1)$, а значит отображение $\hat t$ определено
на всем полиэдре $\hat N_{K_0}(r_0+2)$ и удовлетворяет тем же
граничным условиям, что и отображение на $\hat N_{K_0}(3;r_0+1)$.

Наконец, на последнем этапе для полиэдра точек самопересечения
отображения $\hat h$ справедливо включение $\hat N_{K_0} \subset
\hat N_{K_0}(r_0+2)$ и тем, самым, отображение
\begin{eqnarray}\label{QQQ}
\hat t: \hat N_{K_0} \to R\hat K_0,\quad  t: N_{K_0} \to RK_0
\end{eqnarray}
c требуемыми граничными условиями построено.


Лемма $\ref{lemma30}$ доказана.


\subsubsection*{Доказательство Леммы $\ref{lemma31}$}

Доказательство аналогично доказательству Леммы $\ref{lemma30}$.
Лемма $\ref{lemma31}$ доказана.



\section{Многообразия с кватернионным оснащением}



Рассмотрим группу $\Q_a$ кватернионов порядка 8.  Определено
представление $\chi_+: \Q_a \to SO(4)$, которое переводит
единичные кватернионы $\i,\j,\k$ в матрицы $(\ref{Q a1}), (\ref{Q
a2}), (\ref{Q a3})$ соответственно.

Представление $\chi_-$ переводит единичные кватернионы $\i,\j,\k$
в матрицы

\begin{eqnarray}\label{Q-1}
 \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right),
\end{eqnarray}


\begin{eqnarray}\label{Q-2}
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right),
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{Q-3}
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right).
\end{eqnarray}

Образ группы кватернионов при представлениях $\chi_+$ и $\chi_-$
определяют также подгруппы в группе $\Z/2^{[3]} \subset O(4)$.
Заметить, что внешнее сопряжение подгруппы $\H \subset \Z/2^{[3]}$
на элемент из $\Z/2^{[3]} \setminus \H$, заданный преобразованием
$\e_1 \to -\e_1$, $\e_i \to \e_i$, $2 \le i \le 4$, определяет
автоморфизм $\H \to \H$, при котором подгруппа $Im \chi_+$
переходит подгруппу $Im \chi_-$ единичных кватернионов в $\H$,
представление которой задается матрицами
($\ref{Q-1}$),($\ref{Q-2}$),($\ref{Q-3}$).


Определена прямая сумма представлений $\chi_+ \oplus \chi_-: \Q_a
\to SO(4) \oplus SO(4) \to SO(8)$, это представление обозначим
через $\psi_{+,-}$. Определено представление $\chi_+ \oplus
\chi_+: \Q_a \to SO(4) \oplus SO(4) \to SO(8)$, которое обозначим
через $\psi_{+,+}$.

Определены свободные действия
%$p_{15}: \Q_a \times S^{15} \to S^{15}$,
$p_7: \Q_a \times S^7 \to S^7$, $p_3: \Q_a \times S^3 \to
S^3$, построенные по представлениям
%$\psi_{+,+} \oplus \psi_{+,+}$,
$\psi_{+,+}$, $\chi_{+}$. Соответствующее факторпространства будем
обозначать через
%$S^{15}/Q$,
$S^{7}/\Q_a$, $S^{3}/\Q_a$.


Рассмотрим однородные пространства $S^7/\Q_a$, $S^3/\Q_a$,
определенные как факторпространства действий $p_7$, $p_3$.
Определены пара векторных $8$- и пара векторных $4$-х мерных
расслоения $\zeta_{+,+}: E(\zeta_{+,+}) \to S^7/\Q_a$,
$\zeta_{+,-}: E(\zeta_{+,-}) \to S^7/\Q_a$, $\eta_{+}: E(\eta_{+})
\to S^7/\Q_a$, $\eta_{-}: E(\eta_{-}) \to S^7/\Q_a$ со структурной
группой $\Q_a$. При этом 8-мерное расслоения $\zeta_{+,+}$,
$\zeta_{+,-}$ ассоциированы с представлениями $\psi_{+,+}$,
$\psi_{+,-}$ расслоения $\eta_+$, $\eta_-$ ассоциированы с
представлениями $\chi_+$, $\chi_-$ соответственно.



Рассматривая клеточное разбиение пространства $S^7/\Q_a$,
заключаем, что $H^4(S^7/\Q_a;\Z)=H_3(S^7/\Q_a;\Z)=\Z/8$. При этом
образующая $t$ указанной группы определена как образ
фундаментального класса $[S^3/\Q_a]$ при вложении $S^3/\Q_a
\subset S^7/\Q_a$, которое параметризует 3-остов $K^3 \subset
S^7/\Q_a$.
%Рассмотрим 4-мерный остов клеточного разбиения пространства  $S^7/Q$, обозначаемый через $K^4 \subset S^7/Q$.
%Остов $K^4$ получен из $K^3$ в результате приклеивания стандартного 4-диска по отображению границы
%$e_4: S^3 \to K^3$, которое совпадает с отображением стандартного 8-листного накрытия $S^3 \to S^3/Q=K^3$.
%Нам потребуется следующая лемма.

%\begin{lemma}
%Расслоения $\eta_+$, $\eta_-$, ограниченные на
%3-остов $K^3=S^3/Q \subset S^7/Q$, допускают стандартную
%тривиализацию над этим остовом. Указанные стандартные
%тривиализации определяют стандартные тривиализации расслоений
%$\zeta_{+,-}$, $\zeta_{+,+}$ над этим же остовом $S^3/Q \subset
%S^7/Q$, причем эти тривиализации продолжаются до тривиализаций
%указанных расслоений над остовом $K^4 \subset S^7/Q$.
%\end{lemma}

%\subsubsection*{Доказательство Леммы 1}

%Рассмотрим точку $x \in S^3$ и преобразование сферы $\xi_x: S^3 \to S^3$, состоящее в умножении единичного
%вектора на сфере на единичный
%кватернион $x$. Определим послойный автоморфизм $\bar \Xi: \R^4 \times S^3 \to \R^4 \times S^3$
%тривиального расслоения
%над $S^3$
%семейством преобразований $\xi_x$. При факторизации этого тривиального расслоения до расслоения $\eta_+$ автоморфизм
%$\bar \Xi$ факторизуется до послойного изоморфизма $\Xi_{\eta_+}$ расслоения $\eta_+$ и тривиального.
%Послойный изоморфизм $\Xi_{\zeta_{+,+}}$ расслоения $\zeta_{+,+} \vert S^3/Q$ и тривиального расслоения
%определен прямой суммой двух послойных изоморфизмов $\Xi_{\eta_+}$.

%Теперь докажем, что построеный послойный изоморфизм $\Xi_{\zeta_{+,+}}$ над $S^3/Q=K^3 \subset S^7/Q$
%продолжается до послойного изоморфизма расслоения $\zeta_{+,+}$ над $K^4 \subset S^7/Q$. Достаточно доказать,
%что расслоение $\zeta_{+,+}$, индуцированное на 4-листное накрытие $\RP^3$ продолжается до послойного изоморфизма
%с тривиальным расслоением над $\RP^4$. Это доказывается стандартным вычислением с использованием чисел Кэли.

%Поскольку расслоения $\eta_-$, $\zeta_{+,-}$ изоморфны расслоениям $\eta_+$, $\zeta_{+,+}$ соответственно
%как неориентированные расслоения, то эти расслоения удовлетворяют тем же свойствам. Лемма доказана.

\begin{proposition}\label{prop32}

Пусть $K^7$ -- произвольное ориентированное замкнутое
многообразие, стабильное нормальное расслоение которого изоморфно
расслоению $f^{\ast}(k\zeta_{+,+})$,
 $f: K^7 \to S^7/\Q_a$, $s = 1 \pmod{2}$. Тогда $\deg(f)=0 \pmod{2}$.
\end{proposition}

\subsubsection*{Доказательство Предложения $\ref{prop32}$}


Заметим, что расслоение над $S^7/\Q_a$, полученное из
$k\zeta_{+,+}$ обращением ориентации, совпадает с $k\zeta_{+,-}$.
Рассмотрим ориентированное (несвязное) многообразие $K^7 \cup
-K^7$, с нормальным расслоением $f^{\ast}k\zeta_{+,+} \cup
f^{\ast}k\zeta_{+,-}$.




 Докажем, что  в группе  $H_3(S^7/\Q_a;\Z)$ c образующей, обозначенной через
 $t$,
справедливы равенства:
\begin{eqnarray}\label{p++}
[p_1(k\zeta_{+,+})]^{op}=4t,
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\label{p+-}
[p_1(k\zeta_{+,-})]^{op}=0.
\end{eqnarray}

Сначала докажем равенство ($\ref{p++}$) при $k=1$. Расслоение
$\zeta_{+,+}$ является комплексным, следовательно, согласно
Следствию 15.5 из книги [M-S] справедливо равенство:
\begin{eqnarray}\label{p1zeta+}
p_1(\zeta_{+,+})=c^2_1(\zeta_{+,+})-2c_2(\zeta_{+,+}).
\end{eqnarray}
 Поскольку
$\zeta_{+,+}=\eta_+ \oplus \eta_+$, то согласно формуле (14.7)
$c_2(\zeta_{+,+})=c_2(\eta_+ \oplus \eta_+) = c^2_1(\eta_+) +
2c_2(\eta_+)$. Поскольку комплексная размерность расслоения
$\eta_+$ равна $2$, $c_2(\eta_+)$ совпадает с классом Эйлера и
равен $t$. Далее $c_1^2(\eta_+ \oplus \eta_+)=4c_1^2(\eta_+)$.
Суммируя доказанные равенства, c учетом $8t=0$, получим $
p_1(\zeta_{+,+})=2c^2_1(\eta_+) + 4t$.


Осталось доказать, что
\begin{eqnarray}\label{eta+}
c^2_1(\eta_+)=0.
\end{eqnarray}

Справедливо равенство $i^{\ast}(c_1(\eta_+))=0$,
где $i: S^3/\Q_a \subset S^7/\Q_a$ естественное вложение, поскольку расслоение
$i^{\ast}(\eta_+)$ тривиально. Гомоморфизм
$$H^2(S^7/\Q_a;\Z)  \stackrel{i^{\ast}}{\longrightarrow} H^2(S^3/\Q_a;\Z)$$
является мономорфизмом, поэтому $c_1(\eta_+)=0$.  Равенство
($\ref{eta+}$) и равенство ($\ref{p++}$) при $k=1$ доказаны.


Докажем равенство ($\ref{p+-}$) при $k=1$. Расслоение
$\zeta_{+,-}$ является комплексным, следовательно, по аналогичным
вычислениям:
\begin{eqnarray}\label{p1zeta-}
p_1(\zeta_{+,-})=c^2_1(\zeta_{+,-})-2c_2(\zeta_{+,-}).
\end{eqnarray}
Поскольку $\zeta_{+,-}=\eta_+ \oplus \eta_-$, то
$c_2(\eta_+ \oplus \eta_-) = c_1(\eta_+)c_1(\eta_-) + c_2(\eta_+)
+ c_2(\eta_-)$. В последней формуле второе и третье слагаемые
сокращаются, поскольку эйлеровы классы расслоений $\eta_+$,
$\eta_-$ противоположны по знаку. Аналогично предыдущему
вычислению, имеем $c_1^2(\eta_+ \oplus \eta_-)=c_1^2(\eta_+) +
c^2_1(\eta_-) + 2c_1(\eta_+)c_1(\eta_-)$. Суммируя доказанные
равенства, получим $p_1(\zeta_{+,-})=c_1^2(\eta_+) +
c_1^2(\eta_-)$. Остается заметить, что  $c_1^2(\eta_-)=0$ по
аналогичным с ($\ref{eta+}$) вычислениям.
 Равенство ($\ref{p+-}$)
при $k=1$ доказано.

Докажем ($\ref{p++}$), ($\ref{p+-}$) при произвольном нечетном
$k$. Сначала докажем, что у комплексных расслоений
$2l\zeta_{+,+}$, $2l\zeta_{+,-}$ характеристический класс $c_1$
равен нулю, а $c_2(2l\zeta_{+,+})= c_2(2l\zeta_{+,+})=4lt$.
Поскольку $2l\zeta_{+,+}=4l\eta_+$, то согласно формуле (14.7) c
учетом равенства ($\ref{eta+}$), получим:
$c_2(2l\zeta_{+,+})=c_2(4l\eta_+) = 4lc_2(\eta_+)=4lt$. Аналогично
получим $c_2(2l\zeta_{+,-})=4lt$. Равенства ($\ref{p++}$),
($\ref{p+-}$) вытекают из уравнений $(\ref{p1zeta+})$,
$(\ref{p1zeta-})$.



Рассмотрим отображение $F=f \cup f: K^7 \cup -K^7 \to S^7/\Q_a$
ориентированного (несвязного многообразия). По построению
отображение $F$ ориентированно бордантно нулю. С другой стороны,
характеристическое число
$$ F_{\ast}([p_1(k\zeta_{+,+})]^{op} + [p_1(k\zeta_{+,+})]^{op}) \in H_3(S^7/Q_a)$$
сохраняется при кобордизме. Это число равно нулю, при $def(f) = 0
\pmod{2}$, и равно 0,  при $deg(f)=1 \pmod{2}$.
 Предложение $\ref{prop32}$ доказано.
\[   \]

При доказательстве Теоремы 5 было использовано следующее
Предложение.

Обозначим через $\Z/2^{[s]}$   группу, полученную в результате
$s$-кратного сплетения элементарной группы $\Z/2$, которая
определяется аналогично случаю $s=3$. Обозначим через $\omega:
E(\omega) \to K(\Z/2^{[s]},1)$ -- универсальное $2^{s-1}$--мерное
расслоение со структурной группой $\Z/2^{[s]}$.

\begin{proposition}\label{prop33}
Пусть $K$ -- произвольный полиэдр размерности $dim(K)=7$,
снабженный отображением $\varphi: K \to K(\Z/2^{[s]},1)$ и пусть
$\varphi^{\ast}(\omega)$ -- обратный образ расслоения $\omega$ при
отображении $\varphi$. Тогда для любого натурального числа $l$, $l
\equiv 0 \pmod{8}$ расслоение $l \varphi^{\ast}(\omega)$ изоморфно
тривиальному.
\end{proposition}

\subsubsection*{Доказательство Предложения $\ref{prop33}$}
Обозначим расслоение $l \varphi^{\ast}(\omega)$ через $\psi_s$.
Докажем утверждение по индукции. При $s=1$ утверждение хорошо
известно.

Воспользуемся тем, что расслоение $\psi_{s-1}$, $s>1$, тривиально.
Докажем, что расслоение $\psi_s$ тривиально. Рассмотрим двулистное
накрытие $\bar K \to K$, индуцированное подгруппой индекса 2
$\Z/2^{[s-1]} \oplus \Z/2^{[s-1]} \subset \Z/2^{[s]}$. Рассмотрим
расслоение $\psi_s^!$ над $\bar K$, определенное как трансфер
расслоения $\Z/2^{[s]}$. Справедлива формула $\psi_s^! =
\psi_{s-1,1} \oplus \psi_{s-1,2}$, где прямые слагаемые
$\psi_{s-1,1}$, $\psi_{s-1,2}$ суть расслоения над $\bar K$ с
меньшими структурными группами. Эти расслоения изоморфны между
собой, причем изоморфизм осуществляется инволюцией накрытия $\bar
K$. По предположению индукции расслоения $\psi_{s-1,1}$,
$\psi_{s-1,2}$ тривиальны. Следовательно, для расслоений над $K$
справедливо равенство $\psi_s = l2^{s-2}\kappa \oplus l2^{s-2}
\varepsilon$, где $\kappa$ -- линейное расслоение, класифицирующее
накрытие $\bar K \to K$, $\varepsilon$ -- тривиальное расслоение.
Расслоение $l\kappa$ и, тем более, расслоение $l2^{s-2}\kappa$,
тривиально, следовательно, расслоение $\psi_s$ тривиально.
Предложение $\ref{prop33}$ доказано.

В заключении сформулируем следующуюгипотезу.

\subsubsection*{Гипотеза (С.А.Мелихов)}

Для доказательства Основной Теоремы построения раздела $3$ не
нужны. Теорему 9  можно доказать методами настоящей работы без
использования Предложений $\ref{prop22}$, $\ref{prop23}$  в
предположении $l \ge 4$ (т.е. при $n \ge 15$).



\begin{thebibliography}{99}

\bibitem[Ad]{Ad}
J.Adem, {\it The iteration of the Steenrod squares in algebraic
topology}, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952) 720-726.

\bibitem[A]{A}

 J.F.Adams, {\it On the non-existence of Elements of Hopf-Invariant
One}, Ann Math., Ser.2,  Vol 72 (1960) 20-104. Перевод: Mатематика
5:4  (1961) 3-86.

\bibitem[A-A]{A-A}
J.F.Adams, M.F. Atiyah, {\it K-theory and the Hopf invariant},
Quart. J. Math., 17 (1966) 31-38.

\bibitem[Akh]{Akh}
П.М.Ахметьев, {\it Геометрический подход к стабильным
гомотопическим группам сфер. Инварианты Адамса-Хопфа},
Фундаментальная и прикладная математика, том 13, вып. 8, (2007)
3-15.



%\bibitem[A1]{A1}
%П.М.Ахметьев, {\it Решение задачи реализации отображения $n$-сферы
%в евклидовом $2n$-пространстве}, Труды МИАН им. В.А.Стеклова,
%т.212 (1996) 37-45.



%\bibitem[A2]{A2}
%P.M.Akhmetiev, {\it Pontrjagin-Thom construction for approximation
%of mappings by embeddings}, Topology and Applications 140 (2004)
%133-149.

%\bibitem[A-C-R]{A-C-R}
%П.М.Ахметьев, Д.Реповш, М. Ценцель, {\it О некоторых
%алгебраических свойствах диаграмм Серфа однопараметрических
%семейств функций}, Функциональный Анализ и его Приложения (2005)
%т.34, вып.3, с 1-13.
\bibitem[Ada]{Ada}
M. Adachi, {\it Embeddings and Immersions}, Transl. Math. Monographs, 124) Amer. Math. Soc., Providence, RI (1993).


\bibitem[A-M]{A-M}
A. Adem and R.J. Milgram, {\it Cohomology of Finite Groups}, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1994).


\bibitem[A-E]{A-E}
P.M.Akhmet'ev and P.J.Eccles, {\it The relationship between framed
bordism and skew-framed bordism}, Bull. London Math. Soc., vol 39
(2007) 473-481.

\bibitem[A-Sz]{A-Sz}
P.M.Akhmet'ev and A.Szucs, {\it Geometric proof of the easy part
of the Hopf invariant one theorem}, Math.Slovaca, 49 (1999) N1
71-74.




%\bibitem[Arn]{Arn}
%В.И.Арнольд,  {\it Задачи Арнольда}, Фазис, Москва, 2000.

%\bibitem[A-Kh]{A-Kh} V.I.Arnold and B.A.Khesin,  Topological methods in
%Hydrodynamics, Applied Mathematical Sciences, Vol. 125, Springer
%(1998).

%\bibitem[B-Ecc]{B-Ecc}
%M.G.Barratt and P.J.Eccles, $\Gamma^+$-structures III: The stable structure
%of $\Omega^{\infty}\Sigma^{\infty}A$. Topology 13 (1974) 199-207

\bibitem[B]{B}
В.М.Бухштабер, {\it Модули дифференциалов спектральной
последовательности Атья-Хирцебруха II}, Мат. Сборник (1970) т.83
(125) N1 307-320.

\bibitem[B-M]{B-M}
Bott R. - Milnor J.: {\it On the parallelizability of the spheres}
Bull. Amer. Math. Soc. 1958, 64, pp. 87-89.




\bibitem[E1]{E1}
 P.J.Eccles, {\it Codimension One Immersions and the Kervaire
Invariant One Problem}. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. vol 90
(1981) 483- 493.


\bibitem[E2]{E2}
P.J.Eccles, {\it Representing framed bordism classes by manifolds
embedded in low codimension. Geometric applications of homotopy
theory} (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), I, pp. 150--155,
Lecture Notes in Math., 657, Springer, Berlin, 1978.

\bibitem[E-G]{E-G} P.J.Eccles  amd M. Grant  {\it Bordism groups of immersions and classes represented by self-intersections},
Algebraic and Geometric Topology 7 (2007) 1081–1097.



\bibitem[Gr]{Gr}
 M.Gromov, {\it Partial differential relations}. Ergebnisse der
Mathematik und
ihrer  Grenzgebiete 3, Springer-Verlag, Berlin 1986.
Перевод: Дифференциальные соотношения с частными производными.
Москва Мир 1990.

\bibitem[F]{F}
К.Э.Фельдман, {\it Новое доказательство гипотезы Фробениуса о
размерностях вещественных алгебр без делителей нуля}, Вестник МГУ,
сер. 1, N1 (2000) 61-63.


\bibitem[He]{He}
R.J.Herbert, {\it Multiple points of immersed manifolds}, Mem.
Amer. Math. Soc. 250 (1981).


\bibitem[Hi]{Hi}
M.W.Hirsch, {\it Immersions of manifolds}, Trans.Amer.Math.Soc., 93,
(1960) 242-276.


%\bibitem[H]{H}
%Husemoller D., {\it Fiber bundles}, (1966) Mc Graw-Hill Book
%Company.


\bibitem[K-S1]{K-S1}
U.Koschorke, B.Sanderson, {\it Geometric interpretations of
generalized Hopf invariant}, Math.Scand.41 (1977), 199-217.



\bibitem[K-S2]{K-S2}
 U. Koschorke and B.Sanderson, {\it Self-intersections and higher Hopf
invariants}, Topology 17 (1978) 283-290.

\bibitem[K1]{K1}
U.Koschorke, {\it Vector Fields and Other Vector Bundle Morphisms
-- A Singularity Approach}, Lect. Notes. Math. 847 (1981).


\bibitem[K2]{K2}
 U.Koschorke, {\it Multiple points of immersions and the Kаhn-Priddy
theorem}, Math.Z., 169 (1979) 223-236.


\bibitem[La]{La}
 J.Lannes, {\it Sur les immersions de Boy}, Lecture Notes in
Mathematics, 1051, Springer-Verlag (1984) 263-270.


\bibitem[L-S]{L-S}
R.Lashof and S.Smale, {\it On the immersion of manifolds in
euclidean space}, Ann.Math. vol 68, N3 (1958) 562-583.


%\bibitem[L-S]{L-S}
%R.Lashof and S.Smale, On the immersion of manifolds in euclidean
%space, Ann.Math. vol 68, N3 (1958) 562-583.


%\bibitem[L-R]{L-R}
% P.Loffler and N.Ray,
%A Geometrical proof of a theorem of Kahn and Priddy.
%J.London Math.Soc. (2), 24, (1981), 329-334.

%\bibitem[L-Sz]{L-Sz} G. Lippner and A. Szucs,
%{\it A new proof of Herbert’s multiple-point formula}, Труды
%конференции к 100-летию Л.В.Келдыш.
\bibitem[Ma]{Ma} W.S.Massey,
{\it Imbeddings of projective planes and related manifolds in spheres},
Indiane Univ. Math. Journal, Vol. 23, N9 (1974) 791-812.

\bibitem[Me]{Me} S.A.Melikhov,
{\it Sphere eversions and the realization of mappings}, Труды
Математического Института им. В.А.Стеклова, т.247, 159-181.
Геометрическая топология и теория множеств, сборник статей к
100-летию Л.В.Келдыш, English transl.:  Geom. Topol. i Teor.
Mnozh., Proc. Steklov Inst. Math. 2004, no. 4 (247), 143--163.
arXiv math/0305158

\bibitem[Me2]{Me2} S.A.Melikhov,
{\it Изотопическая и непрерывная реализуемость отображений в метастабильном ранге},
Матем. сб., 2004, том 195, номер 7, страницы 71–104 (Mi msb835)


\bibitem[M-S]{M-S}
J.Milnor and J.Stasheff, {\it Characteristic classes} Annals of
Mathematics Studies, N76, Princeton, New Jersey, 1974. Перевод:
Характеристические классы. Москва, Мир (1979).


%\bibitem[Me2]{Me2} С.А.Мелихов, Матсборник.
\bibitem[M]{M}
 Minami,N., {\it On the Kervaire invariant problem}, Homotopy theory via
algebraic geometry and group representations (Evanston, Indiana, IL, 1997),
229--253, Contemp. Math., 220, Amer. Math. Soc., Providence, RI,
1998.


\bibitem[M-T]{M-T}
Mosher R.S. Tangora M.C., {\it Cohomology operations and their
applications in homotopy theory}, N.Y. Harper and Row, Publishers,
1968. Перевод Мир 1970.


%\bibitem[Mo]{Mo}
%М.И.Монастырский, {\it Топология калибровочных преобразований и
%конденсированных сред}, Москва Наука 1993.

\bibitem[N]{N}
С.П.Новиков, {\it Топология-1}, Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ) $\qquad$
Т 12 Москва (1986) 5-252.


\bibitem[P]{P}
 Л.С.Понтрягин, {\it Гладкие многообразия и их применение в теории
гомотопий}, Москва, Наука, 1976.
L.S.Pontryagin, {\it Smooth manifolds and their applications to
homotopy theory}, 2-nd ed., Nauka, Moscow (1976), English transl.:
Amer. Math. Soc. Transl. (2) 11 (1959) 1-114; reprinted (1964).


\bibitem[Por]{Por}
I. R. Porteous
{\it Simple singularities of maps},
Proc. Liverpool Singularities: Symposium I, Lecture Notes in Math., vol 192, Springer, Berlin,
(1971) 286--307.

\bibitem[Po]{Po}
М.М.Постников, {\it Гуппы и алгебpы Ли}, Москва, Наука 1982.

\bibitem[Sz]{Sz}
 A.Szucs,  {\it Geometrical proof of a theorem on suspension in
homotopy groups of spheres}, Colloquia Mathematica Soc. Janos
Bolyai 55 Topology Pecs (Hungary) (1989) 501-505.

\bibitem[Sz2]{Sz2}
A.Szucs, {\it Cobordism of immersions and singular maps, loop
spaces and multiple points}, Geometric and Algebraic Topology,
Banach Center Publ., 18 PWN, Warsaw (1986) 239-253.


%\bibitem[T]{T}
% H.Toda, {\it Composition methods in the homotopy groups of
%spheres}, Ann.Math.Studies 49 Princeton 1962 рус. пер. Мир Москва
%1982.

\bibitem[V]{V}
В.А.Васильев, {\it Топология дополнений к дискриминантам}, Фазис, Москва, 1997.

%\bibitem[V-G]{V-G}
%G. Vranceanu and T. Ganea, {\it Topological embeddings of lens spaces}
%Proc. Cambridge Philos. Soc. 57 (1961), 688-690.
%\bibitem[We]{We}
% R.Wells, Cobordism groups of immersions. Topology 5 (1966) 281-
%294.

\bibitem[We]{We}
R.Wells, {\it Cobordism groups of immersions} Topology 5 (1966) 281-
294.


\bibitem[W]{W}
G.Whitehead, {\it Elements of Homotopy Theory} Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin
(1978).

\end{thebibliography}
 \[  \]
 Московская обл. г.Троицк 142190
ИЗМИРАН

 pmakhmet@izmiran.ru
\[  \]


\end{document}
\subsubsection*{Построение пространств
$R\hat K_0^{(i)}$, $RK_0^{(i)}$ в диаграммах $(\ref{16.1})$,
$(\ref{17.1})$. Построение пространств $R\hat K_0$, $RK_0$.}


Обозначим через $K_0^s = \cup_{i=s}^{i=i_{max,0}} \bar K_0^{(i)} \subset \bar K_0$ (соответственно $\tilde K_0^{s} \cup_{i=s}^{i=i_{max,0}} \tilde K_0^{i} \subset \tilde K_0$)
подполиэдр, определенный
как объединения всех особых стратов глубины $i$,
$s \le i \le i_{min,0}$ (Таким образом, полиэдры $\bar K_0$ и $\bar K_0^{0}$ совпадают. По поводу пространств $\bar K_0$, $\tilde K_0$ см. диаграмму $(\ref{14})$.)
Обозначим $\bar K_{0}^{i} \cap \bar Q_{antidiag}$ через
$\bar Q_{antidiag}^{i}$, обозначим $\bar K_{0}^{i} \cap \bar Q_{diag}$ через
$\bar Q_{diag}^{i}$. Введем аналогичные обозначения $\tilde Q_{antidiag}^{i}$, $\tilde Q_{diag}^{i}$.

%\subsubsection*{Правило согласованного примыкания элементарных стратов}
%Пусть элементарный страт $\alpha$ (соответственно $\hat \alpha$) пространства $K_0$ (соответственно $\hat K_0$) четной %глубины $i-1$, $i-1 = 0 \pmod{2}$ $0 \le i \le \i_{max,0}-1$
%примыкает к страту $\beta$ (соответственно $\hat \beta$) нечетной глубины $i$, $i=1 \pmod{1}$ по координате $l$, $1 %\le l \le r_0$.  Выберем систему координат на страте $\alpha$ (соответственно $\hat \alpha$) произвольной, а систему %координат на страте $\beta$ (соответственно $\hat \beta$)
%выберем такой, что она совпадает с выбранной системой координат на $\alpha$ (соответственно $\hat \alpha$) при %забывании координаты с номером $l$.  Скажем, что страт $\alpha$ (соответственно $\hat \alpha$) примыкает к $\beta$
%(соответственно $\hat \beta$) согласовано, если значение вычета координаты $l$ равно
%значению вычета координаты страта $\alpha$ (соответственно $\hat \alpha$) c наименьшим номером.
%Очевидно, что условие согласованного примыкания пары элементарных стратов не зависит от выбора соответствующих друг %другу систем координат на рассматриваемой паре стратов.
%\[  \]

Рассмотрим отображение $\pi3^{(i+1)}: PK^{(i+1)}_0 \to K^{(i+1)}_0$ (соответственно $\hat \pi3^{(i+1)}: P\hat K^{(i+1)}_0 \to \hat K^{(i+1)}_0$) из диаграммы $(\ref{piK3})$. Определено каноническое двулистное накрывающее $\bar K^{(i+1)}_0$ над $K^{(i+1)}_0$ соответственно $\tilde K^{(i+1)}_0$ над $\hat K^{(i+1)}_0$, которое естественно вложено в пространство  $\bar K^{i+1}_0$ (соответственно  $\tilde K^{i+1}_0$) как дизъюнктное объединение элементарных стратов максимальной глубины $i+1$.
Определено двузначное отображение $\bar \pi3^{(i+1)}: PK^{(i+1)}_0 \to \bar K^{(i+1)}_0$ (соответственно $\tilde \pi3^{(i+1)}: P\hat K^{(i+1)}_0 \to \bar \tilde K^{(i+1)}_0$).
Рассмотрим пространство $PK^{(i)}_0$ (соответственно $P\hat K^{(i)}_0$, определенное как дизъюнктное объединение элементарных стратов глубины $i$. Определим пространство $PK^{(i+1)}_0 \cup PK^{(i)}_0$ (соответственно $P\hat K^{(i+1)}_0 \cup P\hat K^{(i)}_0$) как пространство,
полученное в результате присоединения к $P\hat K^{(i)}_0$ (соответственно $P\hat K^{(i)}_0$) пространства $P\hat K^{(i+1)}_0$ (соответственно $P\hat K^{(i+1)}_0$) всех элементарных стратов глубины $i+1$, лежащих на границе
пространства $P\hat K^{(i)}_0$ (соответственно $P\hat K^{(i)}_0$).

Определим пространство $RK_0^{(i)}$ (соответственно $R\hat K_0^{(i)}$) как цилиндр двузначного отображения
$PK^{(i+1)}_0 \cup PK^{(i)}_0 \supset PK^{(i+1)}_0 \stackrel{\bar \pi3^{(i+1)}}{\longrightarrow} \bar K^{i+1}_0$
(соответственно $P\hat K^{(i)}_0 \cup P\hat K^{i+1)} \supset P\hat K^{(i+1)}_0 \stackrel{\bar \hat \pi3^{(i+1)}}{\longrightarrow} \tilde K^{i+1}_0$), определенного на подпространстве $PK^{(i+1)}_0 \subset PK^{(i)}_0 \cup PK^{(i+1)}$ (соответственно $P\hat K^{(i+1)}_0 \subset P\hat K^{(i)}_0 \cup P\hat K^{(i+1)}$).

%Определим пространство $PK^{(0)}_0 \cup PK_{0,reg}^{(1)}$ (соответственно
%$P\hat K^{(0)}_0 \cup P \hat K_{0,reg}^{(1)}$),
%полученное в результате присоединения к $P\hat K^{(0)}_0$  (соответственно
%к $P\hat K^{(0)}_0$) подпространства $PK_{0,reg}^{(1)}$ (соответственно $P \hat K_{0,reg}^{(1)}$) всех элементарных %стратов пространства $PK_0^{(1)}$ (соответственно $P\hat K_0^{(1)}$)
%глубины $1$ для каждого из которых существует система координат, для которой сумма вычетов по всем координатам равна %$0$.

%Определим пространство $(PK^{(0)}_0 \cup PK_{0,reg}^{(1)}) \cup_{i=2}^{i_{max,0}} PK_0^{(i)}$ (соответственно
%$(P\hat K^{(0)}_0 \cup P \hat K_{0,reg}^{(1)}) \cup_{i=2}^{i_{max,0}} P \hat K_0^{(i)} $), полученное в результате %присоединения к
%$PK^{(0)}_0 \cup PK_{0,reg}^{(1)}$
%(соответственно
%к $P\hat K^{(0)}_0 \cup P \hat K_{0,reg}^{(1)}$) всех элементарных стратов пространства глубины $2 \le i \le %i_{max,0}$.


Обозначим пространство $\cup_{i=s}^{i_{max,0}} PK_0^{(s)}$ через $PK_0^s$ (соответственно $ \cup_{i=s}^{i_{max,0}} P \hat K_0^{(i)}$ через $P \hat K_0^s$).
Определено вложение $RK_0^1 \subset RK_0$ (соответственно $R \hat K_0^1 \subset R \hat K_0$).
Определено естественное отображение (тавтологическое на каждом элементарном страте) $\pi3: RK_0^1 \to K^1_0$ (соответственно $\hat \pi3: R \hat K_0^1 \to \hat K_0^1$).

Определим пространство $RK_0$ (соответственно $R\hat K_0$) как цилиндр двузначного отображения
$PK_0 \supset PK_0^1 \stackrel{\bar \pi3}{\longrightarrow} \bar K_0^1$
(соответственно $P\hat K_0 \supset P \hat K_0^1 \stackrel{\tilde \pi3}{\longrightarrow} \tilde K_0^1$), определенного на подпространстве $PK_0^1 \subset PK_0$ (соответственно $\hat PK_0^1 \subset P\hat K_0$).



\subsubsection*{Построение пространств
$R\hat K_1^{(i)}$, $RK_1^{(i)}$ в диаграммах $(\ref{20.2})$,
$(\ref{21.2})$. Построение пространств $R\hat K_1$, $RK_1$.}

Построения аналогичны предыдущим.
\[  \]
