
\documentstyle{article}
\begin{document}
\language=1
\title{� ���襬 ������� �����樥�� ��楯����� ���� �������ࣥ����
������� �����}
\author{�.�.�嬥�쥢}
\date{����� ����ᠭ� ��
䨭��ᮢ�� �����প� �࠭⮢ ���� NN 02-01-00014, 00-05-64015.}
\maketitle
\newcommand{\R}{\bf {R}}
\newcommand{\A}{\aleph}
\newcommand{\C}{\bf {C}}
\newcommand{\L}{\bf {L}}
\newcommand{\grad} {\rm {grad}}
\newcommand{\rot} {\rm {rot}}




\section{�᭮��� ��।������ � १�����}

����� $B, \tilde B$ -- ��� �������ࣥ���� ������� ���� � ��嬥୮�
���������� ����࠭�⢥, ����騥 �������� ���⥫�. �������, �� ���
$(B_1, \tilde B_1)$ ���������⭠ ��� $(B_2, \tilde B_2)$, �᫨ �������
���䥮���䨧� $D: \R^3 \to \R^3$ ⠪��, �� $D(B_1)=B_2$, $D(\tilde B_1)=
\tilde B_2$,
�� �⮬ $D$ ��࠭�� �ਥ��஢���� ��ꥬ (������稬 �� �१ $(B_1, \tilde B_1)
\simeq (B_2, \tilde B_2)$, $D \in SDiff$) �
����� �������� ���⥫�, �.�. ���������� ��� �����ண� ��,
ࠧ���� ���ண� �� 䨪�������.

\subsection*{��।������}

������, �� ����⢥������筠� �㭪�� $I(B, \tilde B)$ ����
����ਠ�⮬ ���� ������� �����, �᫨ �� ���祭��
�� ���� ������������ ���� ����� ᮢ������, �.�.
$I(B_1, \tilde B_1) = I(B_2, \tilde B_2)$, �᫨
$(B_1, \tilde B_1) \simeq (B_2, \tilde B_2)$.


��� ���� ����ᮢ��� ���� ����ਠ���, ����ᠭ�� � ���� ����� ��⥣ࠫ��
�� ᠬ�� ����� � �� ������� ��⥭樠���.
����� ����஥��� �������� ��⥣ࠫ��� ��ࠦ���� ���㫨஢���
� [A], ����� 1990-16. "����� �� ����ਠ�⮢ 㧫�� ����� ����
"ࠧ������" �� ����ਠ�⮢ �������ࣥ���� ������� �����?"
�� �� ����� �뫠 ��⨢�஢��� �冷� �ਫ������ ����ਠ�� ��४��⭮�
c��ࠫ쭮��, �. [S-F]. � ࠡ�� [��] �뫠 �।������ �訡�筠� ���������
��� �襭�� �⮩ �����.
� �����饩 ࠡ�� �।������ ��
�襭��, ����஥���� ������ �ਬ�� ����ਠ�� $M(B, \tilde B)$.
������祭�� �।������ � ���� ���ਪ��᪨� ��⥬�⨪�� ������ � ����.
��筥� � �����⭮�� �ਬ��.



\subsection*{�ਬ�� 1. ��⥣ࠫ ᯨࠫ쭮��.}

��।���� �㭪�� $$h(x, x'; B(x), \tilde B(x')) =
\frac{\langle B(x),  \tilde B( x'), (x - x') \rangle}{\vert \vert
x - x' \vert \vert^3}, \eqno (1)$$ ��� $\langle a,b,c \rangle$
-- �ਥ��஢����
��ꥬ ��ࠫ����������, ����஥����� �� 㯮�冷祭���
�ன�� ����஢. ��।���� ��⥣ࠫ ᯨࠫ쭮��
$I_1(B, \tilde B) = H(B, \tilde B)$ ��
��㫥 $H(B, \tilde B) = \int h(x, x'; B(x), \tilde B(x'))
dx dx'$.

\[  \]

����ਠ�⭮��� ��⥣ࠫ� ᯨࠫ쭮�� �뫠, 䠪��᪨, ��⠭������
����ᮬ ��室� �� ⮯������᪨� ᮮ�ࠦ����. �� ᮢ६����� �몥
�� ᮮ�ࠦ���� ����� ���㫨஢��� ⠪. �᫨ ��� �����
$(B, \tilde B)$ ��������� ��楯����� $L=L_1 \cup \tilde L_1$
( �� ������ �⮣� �. ࠧ���� 4,5), �
���祭�� $H(B,\tilde B)$ �ய��樮���쭮 �����樥��� ��楯�����
$lk(L,\tilde L)$ (c �����樥�⮬ $F \tilde F$,
��� $F$ � $\tilde F$ -- ��⮪� ����஢ $B$ � $\tilde B$ �१
�࠭ᢥ�ᠫ쭮� �祭�� ᮮ⢥�����饩 ���������� ���⥫� ����).
�� ⮯������᪮�
���室� ��砩 �ந����쭮�
���� ����� ᫮���, ����室��� ����� ⮭��� ���㦤����
�� �ᨬ����᪮� ��।�����,
����� �뫨 �஢����� �.�.�୮�줮� ��� �������� ᫮����� ����
$\tilde B = B$,  �. [Arn],[A-Kh]. �������᪮� ������⥫��⢮ ⮣�,

�� $H$ ���� ����ਠ�⮬ ����⥫쭮 ���, �. [M],[A-Kh].


\section{�।���⥫�� ����஥���}


� �⮬ ࠧ���� �� �।��������, �� ������ ���� $B$, $\tilde B$
䨪�஢���. ���� ������� ᥬ���⢠ ����஢ $T(x,y;B)$,  $T(x,y;\tilde B)$,
$A(x,y; B)$, $A(x,y; \tilde B)$, ������騥 �� �窨 $x \in R^3$ �
��ࠬ��ਧ������ �窮� $y \in R^3$. ������
�⮦���⢨�� ����࠭�⢮ ��ࠬ��஢ � ������� ��।������ ����஢,
��᪮��� �� �⮬ ����뢠����, �� ᮮ⢥�����騩 �����
����� �ᮡ������� � �窥 $x$, ࠢ��� ���祭�� ��ࠬ��� $y$
�� �⮦���⢫����. ��ࠬ��� ������ �㤥� 㤮��� ���������
⮩ �� �㪢��, �� � ��६����� �� ������ ���祭��, ������ ��
�⮬ ��ࠬ��� ������ �����ᮬ � ������ "⨫줠".
���� ⠪�� ��।�����  ᥬ���⢠ ᪠����� �㭪権 $\varphi(x,y; B)$,
$ \varphi(x,y; \tilde B)$.

����� ��� ���ॡ���� � ����� ��騩 ��砩, ����� ����
$B$ �� ������, � ����� ���� ����� $\xi$, �ਫ������ � �窥 $x$.
� �⮬ ��砥 �㤥� �ᯮ�짮���� ������祭�� $\varphi(x,y;\xi)$ � ���������.
� �⮬ ࠧ���� ��� ᮪�饭�� ������祭�� �᫮����� �����
$B$ ���᪠��, �����뢠� $T(x,y)$ �����
$T(x,y;B)$ � �������筮 ��� ��⠫��� ������祭��.



��।���� ᥬ���⢮ �����-�㭪権 $T(x;x_i)$,
������ �窠 $x_i$, $i=1,2$ ��ࠥ� ஫� ��ࠬ���.
$$ T(x;x_i) = \frac{-1}{4 \pi \vert \vert x-x_i \vert \vert}B(x_i). $$
��।���� ᥬ���⢮ �����-�㭪権 $A(x;x_i)$ � ᥬ���⢮
�㭪権 $\varphi(x;x_i)$, �������� �� �窨 $x$
����࠭�⢠.
$$ A(x;x_i) = \frac{B(x_i) \times (x - x_i)}
{4 \pi \vert \vert x - x_i \vert \vert^3}. $$

��묨 ᫮����, ��।���� �����-�㭪�� $A(x;x_i)$ ��� ������
��⥭樠� ������ � 業�஬ � �窥 $x_i$, ��� � ��⥭ᨢ����� ���ண�
��।������� ���祭��� ���� $B$ � �⮩ �窥.


$$\varphi(x;x_i) =\frac{-1}{4 \pi}
(B(x_i), \grad\ (\frac{1}{\vert \vert x - x_i \vert \vert)})). $$

�㭪�� $\varphi(x;x_i)$
���뢠���� ᪠���� ��⥭樠��� ⮣� �� ������. �믮����� ࠢ���⢠

$$ \rot\ T(x;x_i) =  -A(x;x_i), $$
$$ div\ T(x;x_i) = \varphi(x;x_i), $$
$$ \rot\ A(x;x_i) = -\grad \ \varphi (x;x_i). $$

�� ࠢ���⢠ �ࠢ������ �� ��� �窠� ����࠭�⢠,
�� �᪫�祭��� �ᮡ�� �窨 $x_i$, �.�. �� $x \in {\R}^3 \setminus x_i$.
������ ����� ��������� ������祭�� $\tilde T(x;\tilde x_i)$,
$\tilde A(x;\tilde x_i)$,
$\tilde \varphi(x; \tilde x_i)$ ��� ᥬ���⢠ ������� � ᪠�����
��⥭樠��� �������, �易���� � ����� $\tilde B$.

\subsection{������祭��}

����筮� c।��� ���祭��
(�.�. �।��� ���祭�� �� ��ࠬ���� � ������ �窥 ����࠭�⢠)
⮣� ��� ����� ᥬ���⢠ ����஢ ��� ᪠��஢
�㤥� ��������� �१ $m$, 㪠�뢠� �� �⮬ ��ࠬ���� �� �����
�ந�室�� ��।����� (��⥣�஢����).
���ਬ��,
$$ [m_{x_i} \varphi](x) = \int \varphi(x;x_i) d x_i. $$
����� 㤮��� ����� ᮪�饭�� ������祭��
$$ [m_{x_i} A](x)=A(x), \qquad [m_{\tilde x_i} \tilde A](x)=\tilde A(x).$$


\section{����஥��� ���襣� ������� ����ਠ�� ᯨࠫ쭮��}

��� ���ॡ���� ��।������ ������������ �㭪樨 $\mu$, �����
�㤥� �㦨�� ��⥣ࠫ�� �஬ ��� �᪮���� ��⥣ࠫ�.

\subsection{��।������ ��� $\mu$}

����� $(x_1, x_2, \tilde x_1, \tilde x_2)$ -- 㯮�冷祭��� �⢥ઠ
��ᮢ������� �祪, $\xi_1, \xi_2, \tilde \xi_1, \tilde \xi_2$ --
�⢥ઠ ����஢, �ਫ������� � ᮮ⢥������� �窠�.
������稬 �१ $\psi_1$ -- ����୮� ���� � ${\R}^3$ �
�ᮡ�������� � �窥 $x_1$, ������饥 ⮫쪮 �� �롮� �⮩ �窨 �
����� $\xi_1$, ��।������� �� ��㫥
$\psi_1 = \grad \varphi(x,x_1;\xi)$. �������筮 ������ ������祭��
$\psi_2$, $\tilde \psi_1$, $\tilde \psi_2$.


 ��।���� �o�� $\mu$ �� ��㫥
$$ \mu(x_1, x_2; \tilde x_1, \tilde x_2;
\xi_1, \xi_2, \tilde \xi_1, \tilde \xi_2) =
H(\psi_1 \times \tilde \psi_1 , \psi_2 \times \tilde \psi_2), \eqno (2) $$
��� $H(\quad,\quad)$ -- ��⥣ࠫ ᯨࠫ쭮��, �������
��⥣�஢����� �㭪樨 $h(x, x'; \psi_1(x) \times \tilde \psi_1(x),
\psi_2(x) \times \tilde \psi_2(x'))$  �� ��㫥
(1), ��祬 ��⥣�஢���� �ந�室�� �� ��६���� $x,x'$
�� ������ ${\R}^3 \setminus \{x_1, x_2, \tilde x_1, \tilde x_2 \}$
� ��� ��⥣ࠫ ���������� � ��᫥ �������� ���祭��
� ����⭮�� �ᮡ�� �祪.
����� ��� ��饭�� ������祭�� ������ ��㬥���
�㭪樨 $\mu$ ���� ���᪠����, �� �㤥� ����뢠�� ��࠭��.


�� �㤥� �ਬ����� ���������, ��� ���� $\xi_1 = A(x_1)$,
$\xi_2=A(x_2)$,
$\tilde \xi_1=\tilde A(\tilde x_1)$, $\tilde \xi_2 = \tilde A(\tilde x_2)$.
�� �⮬ ������ ����
$A(x)$, $\tilde A(x)$ ��।����� �� ��室�� ������ ����
$B(x)$, $\tilde B(x)$ ᮣ��᭮ ������祭�� 2.1.

\subsection{��।������}

��।����
$$
M(B, \tilde B)= \int \mu(x_1,x_2,\tilde x_1, \tilde x_2)
dx_1 dx_2 d\tilde x_1 d \tilde x_2  \eqno(3)
$$


\subsection{����砭��}

����� $\psi_i(x,x_i)$, ($\tilde \psi_i(x, \tilde x_i)$) $i=1,2$ �室����
� ��᫥
�������� ��⥣ࠫ쭮�� ���祭�� � ᢮�� �।��� ��  ��ࠬ��ࠬ $x_i$ ($\tilde x_i$).
(����� ��������, �� $m_{x_i} \psi_i(x,x_i)=\frac{1}{3}A_i(x)$).
�� ����� �室���� �� ��᮫�⭮, ���⮬� ����⠢���� �।���
��⥣�஢���� �� $x$ � $x_i$ � ��।������ $M$ ����� ������, �������⨬�.


\subsection{�����}
��⥣ࠫ쭮� ��ࠦ���� (3) ���� ��᮫�⭮ �室�騬��.

\subsection*{������⥫��⢮}

�஡���� � �室������� � ����⭮�� ��᪮��筮�� �� ���������, �஢�ਬ
�室������ � ����⭮�� ��������� $x_1 = \tilde x_1$.
��� �⮣� �।�������, �� ���� $\psi_1 \times \tilde \psi_1$
�� ����� �ᮡ�����⥩ ����� �� $D$ �����筮�� ࠤ���.
��䥪⠬� �ਢ���� ��⥣ࠫ��� ����� ����� �७����� �
�� �।�������, �� ����� $\xi_1$, $\tilde \xi_1, \xi_2,
\tilde \xi_2$
����ﭭ� � ������ $D$.


�⮡� �᪫���� ��室������, �易���� � �����४⭮����
��� ������� ���祭�� � �ᮡ�� �窠�, �।�������, ��
��६���� $x_1, \tilde x_1$ �������� � ����襬 ���業���᪮�
�� ࠤ��� $\frac{1}{2}$.





��ᯮ��㥬�� �ਭ樯�� ������� � ������� ����⠡ � ������
��⥣�஢����  �� ��६����� $x$ � $\varepsilon$-ࠧ.
�����ﭨ� ����� �窠�� $x_1, \tilde x_1$ (�����
�� �� ������� �� ��८�����砥�) ��������� � $\varepsilon$ ࠧ,
����� $\psi_1 \times \tilde \psi_1$ � ᮮ⢥�������
�窠� ��������� � $\varepsilon^{-5}$ ࠧ, ������� ��ꥬ�
�� �⮬ ��������� � $\varepsilon^3$ ࠧ. ������� ��⥣�஢����
�� $x$ ����� ���� $\varepsilon^{-1}$ � ��䥪⠬� �� ��᪮��筮��
����� �७�����, �������� ������� ��⥣�஢���� �� ������� ����࠭�⢠.
�� ��६����� $x'$ ᫥��� ��३� � ��⥭樠��
����� $\psi_2 \times \tilde \psi_2$ (�. ����  ���᫥��� $\mu$),
���⮬� ��⥣ࠫ �������� ��� ᪠��୮� �ந��������
$\int (\psi_1 \times \psi_2, C(x) dx)$.



�⠪, ���祭�� ��⥣ࠫ쭮�� �� $\mu$ �業������� ����稭��,
�ய��樮���쭮� $\varepsilon^{-2}$, ��� $\varepsilon$--
����ﭨ� ����� �ᮡ묨 �窠�� $x_1, x_2$.
��������� $x_1 = \tilde x_1$ ����� ��ࠧ��୮���
3 � �ᮡ������� ��⥣������ ��᮫�⭮.
��������� ���㦤���� ����� �஢��� ��� ��㣨� ����������, ᪠��� ���
$x_1 = x_2$. ����� �� ��᮫�⭮� �室����� ��������.

\[  \]

������ ��ᬮ�ਬ ����� � ���᫥��� ��⥣ࠫ쭮�� �� $\mu$.
������稬 �१ $C(x,x_1,\tilde x_1)$ -- ����୮� ����
� �ᮡ������ﬨ � $x_1$, $\tilde x_1$, 㤮���⢮���饥 ᫥���騬
�६ �᫮���:

(i) $\rot C(x,x_1, \tilde x_1) = \psi_1(x,x_1) \times \tilde
\psi_1(x,\tilde x_1)$.

(ii) $div C(x, x_1, \tilde x_1) = 0 $ (� ��⮬
ࠢ���⢠ ��� ����ࣥ�樨 � �ᮡ�� ������ � �� ��᪮��筮��).

(iii) ����� $C$ ����� �������쭮 �������� �ᮡ������ �
�ᮡ�� �窠�  � �ᨬ����᪮� ��६����� � 0 �
��᪮��筮�� (���浪�� �� �ॢ����� $O(r^{-2}$).

����㤭� �஢����, �� �����, 㤮���⢮���騩 �᫮��� (i-iii)
������� (� ��⭮��, �᫮��� (i) �ॡ�� ࠢ���⢠ ���
����ࣥ�樨 � ������ $x_1, \tilde x_1$ ����୮�� ����
$\psi_1 \times \tilde \psi_2$, �� ��⠭���������� �����।�⢥���)
� �����⢥���.

\subsection{�����}

���祭�� $\mu(x_1, x_2, \tilde x_1, \tilde x_2)$ �������� �� ��㫥
$$ \int (C(x, x_1, \tilde x_1), \psi_2(x, x_2) \times \tilde \psi_2(x,
\tilde x_2)) dx, \eqno(4)  $$
��祬 ��⥣�஢���� ������� �� ������ ${\R}^3 \setminus \{x_1, x_2,
\tilde x_1, \tilde x_2 \} $ �
��⥣ࠫ ���������� � ��᫥ �������� ���祭�� � �窠�
$x_2, \tilde x_2$.


\subsection*{������⥫��⢮}

������⥫��⢮ ���᪠����. ����⨬, �� �⢥ত���� ����� �����
�ਭ��� �� ������ᨬ�� ��।������ ��� $\mu$.

\[  \]

����㯨� � ������⥫���� �����஢�筮� ����ਠ�⭮�� $M$.
�ᯮ���� �⠭����� ���㦤����, 㤠���� ��������, ��
�஢�ઠ ����ਠ�⭮�� ᢮����� � ������⥫���� ⮣�, ��
᫥���騩 ��⥣ࠫ ���頥��� � ���:
$$  \int \mu(x_1, x_2, \tilde x_1, \tilde x_2, \grad f(y_1) \times
\tilde A(\tilde x_1), A(x_2) \times \tilde A(\tilde x_2) dx_1 dx_2
d\tilde x_1 d \tilde x_2.  \eqno(5)  $$
�� 㪠���� ���� ���� �� ��⥣ࠫ��, ����室���
��ᬮ���� �����, � ������ ��⥭樠���
童� �⮨� �� ����� �� ����� ��㬥�⮢ ����.
�㭪�� $f$ ��।������ �� ��ਠ樨 ��⥣ࠫ� $M$
�� �ந����쭮�� ������ �������ࣥ�⭮�� ����୮�� ���� ᪮���,
����� ��।���� ��᪮��筮 ���� ���䥮���䨧� ����࠭�⢠,
��࠭��騩 ��ꥬ.

��ᯮ��㥬�� ������ 3.6  � ���᫥��� ��⥣ࠫ쭮�� �� $\mu$.
��।���� ����୮� ����
$\Gamma(x,x_1,\tilde x_1, \grad f(x_1), \tilde A(\tilde x_1))
= \psi(x,x_1) \tilde (\varphi_{\tilde A_1}(x,\tilde x_1)-
\varphi_{\tilde A_1}(x_1, \tilde x_1))$.
����� $\psi(x,x_1)=\grad \varphi_f(x,x_1)$  -- �ࠤ���� ᪠��୮��
��⥭樠�� ������, ���樨஢������ � ����஬ $\grad f(x_1)$
� �窥 $x_1$, $\varphi_{\tilde A_1}(x, \tilde x_1)$ -- ᪠���� ��⥭樠�
������, ���樨஢������ � ����஬ $\tilde A_1(\tilde x_1)$,
$\varphi_{\tilde A_1}(x_1, \tilde x_1)$ -- ����ﭭ�� �㭪��,
ࠢ��� ���祭�� ��⥭樠�� � �窥 $x_1$.

��� ᮪�饭�� �� ����� ��८�����稬 $(\varphi_{\tilde A_1}(x,\tilde x_1)
-\varphi_{\tilde A_1}(x_1, \tilde x_1)$
�१ $\tilde \varphi(x,x_1, \tilde x_1)$. ������稬 �१
$\gamma(x, x_1, \tilde x_1)$ ⠪�� �㭪��, �� �����
$\Gamma(x, x_1, \tilde x_1)-
\grad \gamma(x, x_1, \tilde x_1)$ ᮢ������ � $C(x, x_1, \tilde x_1)$.

����� �窨 $x_2$, $\tilde x_2$ -- 䨪�஢���. ���ᬮ�ਬ
��� ����� ��ࠬ��� $\varepsilon$, $\delta$, �易����
����� ᮡ�� ᮮ⭮襭��� $0 < \varepsilon << \delta << 1$.
���ᬮ�ਬ
�ᯮ����⥫쭮� ��ࠦ����
$$\mu^{\varepsilon, \delta}(x_2, \tilde x_2) =
\int (\Gamma(x, x_1, \tilde x_1), \psi_2(x,x_2)
\times \tilde \psi_2(x, \tilde x_2)) dx dx_1 d\tilde x_1, $$
��� ��⥣�஢���� ������� �� ������ $dist(x,x_1) > \delta$,
$dist(x,\tilde x_1) > \delta$, $dist(x_1, \tilde x_1) > \varepsilon$
�, �஬� ⮣�, ��� $\varepsilon$-����⭮�� ����ᮢ $x_2$, $\tilde x_2$
����஢ $\psi_2$, $\tilde \psi_2$.
� ����୮� �।���
$\lim_{\delta \to 0} (\lim_{\varepsilon \to 0} \mu^{\delta, \varepsilon})$
�������� ��ࠦ���� $[m_{x_1, \tilde x_1} \mu](x_2, \tilde x_2)$.
� ��㣮� ��஭�, ᠬ� ���।��쭮� ��ࠦ���� $\mu^{\varepsilon, \delta}$
����  ��᮫�⭮ �室�騬�� � ����� ��३� � ����୮�� ��⥣ࠫ�,
᭠砫� �� $x_1, \tilde x_1$, ��⥬ �� $x$. � १����
�� ���譥� �।��� $\delta \to 0$ ��⥣ࠫ �室���� � ���祭��
$\int ( [m_{x_1, \tilde x_1} C](x), \psi_2(x,x_2) \times
\tilde \psi_2(x, \tilde x_2) d {\R}^3 \setminus \{x_2, \tilde x_2\}$,
��� ��⥣�஢���� ������� �� $x$.

������ �����筮 ��������, �� $[m_{x_1, \tilde x_1}]C(x)=0$.
�� ���᫥��� ����� �஢����� �⤥�쭮 ��� $\Gamma$ � $\grad \gamma$.
������ �����뢠��, �� ���祭�� $div (\Gamma(x, x_1, \tilde x_1)$
(� ��⮬ ���祭�� ����ࣥ�樨 � ������)
�室���� � ��᫥ �������� ���祭�� � �㫥��� �㭪樨.
���᭨� �� ���᫥���.

����� �।���� ���祭�� $[m_{x_1, \tilde x_1} div
\Gamma](x)$  ��⠢���
$([m_{x_1} \grad \varphi_f](x), [m_{\tilde x_1} \grad
\varphi_{\tilde A_1}](x)) = \frac{2}{3} (\grad f(x),\tilde A_1(x)))$.
����� ����ࣥ�樨 � �ᮡ�������� $x_1$ ��⠢���
$\frac{1}{9} (\grad f(x), \tilde A_1(x))$. �������, �����
����ࣥ�樨 � �ᮡ�������� $\tilde x_1$ ��⠢���
$-\frac{1}{3} (\grad f(x), \tilde A(x))$. �த������ ���᫥���
�����뢠��, �� $[m_{x_1, \tilde x_1} \gamma](x)=0$.
����ਠ�⭮��� ��⥣ࠫ� $M$ ��������.

\subsection{����砭��}

��� �ந������� ��⥭樠��� $A(x)$ � $\tilde A(x)$
� ᥬ���⢠ �������� ����� $\psi(x,x_1)$, $\tilde \psi(x,\tilde x_1)$
� ���� ���樨஢�����, ����� ⠪�� ��।�����
ᥬ���⢮ ������� ����� $\Gamma(x,x_1,\tilde x_1)=
\grad \varphi_{A}(x,x_1) \varphi_{\tilde A}(x, \tilde x_1)$.
������ � �⮬ ��砥 �।��� ���祭�� ����ࣥ�樨 $[m_{x_1,\tilde x_1}
\Gamma](x)$ �� ���頥��� � ���. ��᪮��� ����୮� ����
$\psi_2(x, x_2) \times  \tilde \psi_2(x, \tilde x_2)$ ����� �ᮡ������
���浪� $O(r^{-3})$
� �窠� $x_2$, $\tilde x_2$, � ���祭�� ��ࠦ����
$H(\psi_2 \times \tilde \psi_2, \grad f)$,
������ �� �롮� $f$ (��।������ ���祭��� $\grad f$
� �ᮡ�� �窠� $x_1, \tilde x_1$.
� ᫥���饬 ࠧ���� �� �������,
��室� �� ⮯������᪨� ᮮ�ࠦ����,
�� ����ਠ�� $M$ ����஦���.





\section{���������᪮� ������⥫��⢮
����஦������� ��⥣ࠫ� $M$}

����� $(B, \tilde B)$ -- ��� �������ࣥ���� ������� �����,
����� ��������� ��楯����� $L \cup \tilde L$ (�. �� ������
��।������ [Fr]).
�� ����砥�, �� �뤥���� ��� �������� $U_L$, $U_{\tilde L}$
� ���� $B$, $\tilde B$ ����� � ����⢥ ���⥫��
ᮮ⢥�����騥 ��������. ��-�� �᫮��� $div(B) = div(\tilde B)=0$,
���� �ࠪ�ਧ���� ���祭�ﬨ ��⮪�� $�, \tilde �$
�१ �࠭ᢥ�ᠫ��
�祭�� ᮮ⢥������� ������ਥ�.

����஥���
����� �������� ��⥣ࠫ� ᯨࠫ쭮�� �஢������, ��� �ࠢ���,
��� ����
������� �����, ����������� ��楯�����.
�� �⮬ ��� �।��������, �� ����� ��楯����� ��� ������
��।���� ���訩 ������ ��⥣ࠫ� ᯨࠫ쭮�� 㤮���⢮��� ⥬
��� ��� �������⥫�� �।���������, �.�. ��楯�����,
�������㥬�� �����, �� ���� �ந������ (�., ���ਬ��,
[M-S], [E-B], [M-R]).

� �⮬ ࠧ���� ��
�।�������, ��
���� $B$, $\tilde B$ ��������� ��楯����� ����奤�
� ������묨 ��⮪���.
�� ��楯����� �ࠪ�ਧ���� �᫮����
$$lk(L,\tilde L)=0, \eqno(6)$$
����� ⮣�, ��� ���������� ��楯����� ����㧫���
(��㭮� �., ���ਬ��, � [A-M-R]).

�� �������, �� � �⮬ ��砥
�ࠢ������ $M(B;\tilde B) \ne 0$.
��� ���㦤���� �᭮���� �� �ࠢ����� ��⥣ࠫ쭮�
���� ��� $M$ � ��⥣ࠫ��
$W$, ����஥��� �
ࠡ�� [A-R], ��᫥���� ����
��⥣ࠫ�� ��ࠦ����� ��� ����ਠ��  ���-������ (�. [S-L]),
����饭�� � [K-L], [P-V], [Akh], [A-R].


�ᯮ����⥫�� ���䥮���䨧��� ����࠭�⢠ ����� ��������
⮣�, �⮡� ��楯����� ����奤� �뫮 �ᯮ������ �
����࠭�⢥ ⠪, �� ��࠭�祭�� ��⥭樠�� $A(x)$
�� ��������� ���⥫� ���� $\tilde B$,
� ���祭�� ��⥭樠�� $\tilde A$  �� ��������� ���⥫� $B$
(����� �� �� �ᯮ������� ��楯����� � ����࠭�⢥
ᮢ������ � �ࠤ���⮬ �����ன �������筮� �㭪樨 ��-��
�᫮��� (6)), �業������� �� �� ���祭�� ᪮�� 㣮��� ����
������⥫�� �᫮�
$\varepsilon$. ��� �⮣�, ���ਬ��, ����� �ᯮ������
���� �� ��������� ��楯����� � ���� �⠭���⭮� ���㦭��� ࠤ���
$\varepsilon^{-1}$, � ����� ���������� �ᯮ������ � ����⭮��
��᪮��筮�� ⠪, �� ����ﭨ� ����� ��������⠬� �뫮
�� �� ����� $\varepsilon^{-1}$.
����� $\aleph$ -- ॣ��୮� ᫮���� ����࠭�⢠
(�� �᪫�祭��� ����⭮�� $Q_{sing}$,
������ �� ����� ��।����)
�� �������� �ਢ�, ��।������� ᫥���饩  �������樥�.

����� $S_{\tau}$, $S_{\tilde \tau}$ -- ᥬ���⢠ �����孮�⥩
������, ��।������� ����ﬨ �஢�� �����������
(楫��᫥����) �� $\phi$, $\tilde \phi$ ��⥭樠���
$A$, $\tilde A$. ������ �� �����孮�⥩ ᥬ���⢠ �����
�࠭��� �� ᮮ⢥�����饩 ��������� (����� ��� ������ �������樨
㤮��� �।�⠢���� ᥡ� ��� �ਢ��, � ����⭮�� ���ன
ᮮ⢥�����騩 ��⥭樠� ����� �ᮡ�������
���浪� $O(r^{-1}$) � ॣ��ୠ �� ��� ��ࠬ��ਧ���� ���祭���,
�� �᪫�祭��� �� ����筮�� �᫠. ���ᬮ�ਬ ���� � �����孮��
ᥬ���⢠ $\tau$ ($\tilde \tau$), ����� �� ���ᥪ���
�ਢ�� $\tilde L$ ($L$). ����祭�� �����孮�⥩ ��
��� ���ᥬ���� ��ࠧ��� ��ᬠ�ਢ�����  ������� $Q_{reg}$,
� ���������� � �⮩ ������ $Q_{sing}$ �।�⠢���� � ���� ��ꥤ������
���� ������� $U \cup \tilde U$, �
ᮮ⢥��⢨� � ᥬ���⢠�� 㤠������ �����孮�⥩.
������� $\aleph$ ��।����� ⠪�� � ��� ������ $Q_{sing}$, �� ��� 㦥
�� ���� ॣ����, �.�. ����� �ᮡ������ �� ����������
���⥫� �����.


���᫥��� ��⥣ࠫ� $M$ 㤠���� ᢥ�� � ���᫥���
��⥣ࠫ� ᯨࠫ쭮�� ��� ����⭮�� ��⥣ࠫ� ��
ॣ��୮� ������ $Q_{reg} \times Q_{reg} \subset {\R}^3 \times {\R}^3$
�� ���� �������ࣥ���� ����� ��� �ᮡ�����⥩.
� ॣ��୮� ������ ���� $A \times \tilde A$ ����
�������ࣥ��� � �।�⠢����� � ���� ��㯠ࠬ����᪮��
ᥬ���⢠ �������ࣥ���� ������� �����. (������ �������� ⠪��
ᥬ���⢮ ��� ����筮� ��ꥤ������ ��㡮� ������ �������,
���������� ������� $Q_{reg}$. ����ࠫ쭮� ������ ������ ��㡪�
�㦨� ᫮� $\aleph$.)
�� �������, �� � ��ᬠ�ਢ����� ��砥 ����� ����⠢���
�।��� ��⥣�஢���� �� ��६���� $x,x'$
� ��⥣ࠫ쭮�� �� (2) �
��⥣ࠫ� (3) �� ��६����
$x_1, x_2, \tilde x_1, \tilde x_2$.

���ᬮ�ਬ ��⥣ࠫ $M$ ��� ���� ��⥣ࠫ �� ��६����
$x,x',x_1,x_2,\tilde x_1, \tilde x_2$ �� ���������
$Q^2_{reg} \times (R^3)^4$.
������ � ����� ॣ��୮� ����⭮�� �࠭��� ������ $\partial Q_{reg}$ 
ᥬ���⢠ ����� $\psi_i \times \tilde \psi_i$, $i=1,2$ �������� �� 
���� $A \times \tilde A$, �⮡� �������� �孨�᪨� ��㤭��⥩,
�易���� � �業��� ������� ���祭�� �� �࠭�� ������. 
�롥६ ���� ������⥫�� �᫠ $\varepsilon_1 >> \varepsilon_2 > 0$
� ���பᨬ��㥬 ������� $Q^2_{reg} \times (R^3)^4$
��६����� ��⥣�஢����
ॣ��୮� ����������� $P(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$. ����� �� ��३��� � ᮡ�⢥����� ��⭮�� ��⥣ࠫ�
$M_{\varepsilon_1, \varepsilon_2}$, ����� ����� �८�ࠧ�����
� ��� �������
$M1(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$,
$M2(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$,
ࠧ��� ��६���� �� ��� ��㯯� $(x,x') \in Q^2_{reg}$,
$(x_1,x_2,\tilde x_1, \tilde x_2) \in (R^3)^4$.

�� �������, �� � �।����
$$ \lim_{\varepsilon_1 \to 0} \lim_{\varepsilon_2 \to 0} M1(\varepsilon_1,
\varepsilon_2) = 3^{-4}
H(A \times \tilde A, A \times \tilde A) dQ^2_{reg},
\eqno(7) $$

$$ \lim_{\varepsilon_1 \to 0} \lim_{\varepsilon_2 \to 0} M2(\varepsilon_1,
\varepsilon_2) = M_{reg}(B,\tilde B), \eqno(8) $$

��祬 $M(B, \tilde B) - M_{reg}(B, \tilde B) = I_1$
�� �業�� ����� ��᪮��筮 ����� ����稭��,
����� ��६����� � 0, �᫨ ����ﭨ� ����� ��������⠬�
$L$, $\tilde L$ ��६���� � ��᪮��筮�� �� ������ࠬ����᪮�
ᥬ���⢥ ���䥮���䨧��� ����࠭�⢠.

� ��㫥 (8) �१
$H(A \times \tilde A, A \times \tilde A) dQ^2_{reg}$
������祭 ��⥣ࠫ ᯨࠫ쭮�� �� �������ࣥ�⭮�� ����
$A \times \tilde A$ �� ������ $Q^2_{reg}$.
(������, �� ����� $A \times \tilde A$ ���⥫�� � �࠭�� $\partial Q_{reg}$,
���⮬� ��⥣ࠫ ��ࠦ��� ������ ᯨࠫ쭮��� ���� � ��ᬠ�ਢ�����
������.

��।���� ������� $P(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$ ᫥���騬
��ࠧ��. �᫮��� 1: �窨 $x,x'$ ����� �� ᫮�� $\aleph$, ����ﭨ�
����� ����묨 �ॢ�蠥� $\varepsilon_1$. �᫮��� 2:
�窨 $x_1, \tilde x_1$
($x_2, \tilde x_2$) ������ �� �窨 $x$ ($x'$) �� ����ﭨ�,
�ॢ���饥 $\varepsilon_2$.
������� $P(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$ ��।�����.

������� ࠢ���⢮ (7). �� �᫮��� $\varepsilon_2 > 0$
����� ��३� � �।��� ��  ��६���� $x_1, \tilde x_1 $
� �窥 $x$ � � �।��� �� $x_2, \tilde x_2$ � �窥 $x'$.
����� �� $\varepsilon_2 \to 0$ ���祭�� ��⥣ࠫ� $\lim_{x_2 \to 0}
M1(\varepsilon_1, \varepsilon_2)$
�㤥� �ய��樮���쭮 ��⥣ࠫ쭮�� �।���� ������� �����樥�⮢
��楯����� ᫮�� $\aleph$ -- 業�ࠫ��� ����� ��㡮� (��� ��� �� ����࠭�⢥
᫮�� ������ ����稭�� ��⮪� ����� $A \times \tilde A$
� ॣ��୮� ����⭮�� ������� ᫮�, ����饩 �� �ᥤ���
᫮��), �� �᫮���, ��  ᫮� ����ﭨ� ����� ᫮ﬨ �ॢ�蠥�
$\varepsilon_1$. �����樥�� �ய��樮���쭮�� ࠢ�� $3^{-4}$,
�� ��।������ ���祭��� $[m_{x_1}\psi_1](x) = \frac{1}{3}A(x)$
� ��������묨 ��ࠦ���ﬨ. �� ��ࠦ���� �� $\varepsilon_1 \to 0$
��६����� � �ࠢ�� ��� ���� (7). ���㫠 (7) ��������.

������� ࠢ���⢮ (8).

��� ���ॡ���� ��㣮� ���������⭮� ���ᠭ�� ������ ��⥣�஢����
$P_{\varepsilon_1, \varepsilon_2}$.
��� 䨪�஢����� �祪
$x_1, x_2, \tilde x_1, \tilde x_2$ ��ᬮਬ ����������
$W1_{\varepsilon_2} \subset Q^2_{reg}$,
$W2_{\varepsilon_2} \subset Q^2_{reg}$,
������ �� ������ ��⮨� �� ��ꥤ������
���業���᪨� �஢ ࠤ��� $\varepsilon_2$, ���㦠���
���� �祪 $x_1, \tilde x_1$ � $x_2, \tilde x_2$.
���ᬮ�ਬ ����������
$PW_{\varepsilon_2} \subset Q^2_{reg} \times (R^3)^4$, ������� ��
⠪�� ���ப �祪 $x,x',x_1, x_2, \tilde x_1, \tilde x_2$,
��� ������ $x \ne W1_{\varepsilon_2}$, $x' \ne W2_{\varepsilon_2}$.

��।���� ⠪�� ����������
$PV_{\varepsilon_1} \subset (Q^2_{reg})^2 \times (R^3)^4$,
������� ��
�� ⠪�� ���䨣��権 �祪, ��� ������ $(x,x')$
�ᯮ������ �� ᫮�� $\aleph$, 㤠������ ��� �� ��㣠 ����� 祬
�� $\varepsilon_1$. ������� $P_{\varepsilon_1,\varepsilon_2}$
��।����� ��� ����祭�� ��������⥩
$PW_{\varepsilon_2} \cap PV_{\varepsilon_1}$.


�������,  �� �᫨ �窨 $x_1, x_2, \tilde x_1,
\tilde x_2$ 䨪�஢���, �
��⥣ࠫ�� ����� � $M2$
���䨣��権 �祪, ��
������ � ������ $P_{\varepsilon_1,
\varepsilon_2}$ �⠭������ �७��०��� ���, �᫨ $\varepsilon_1,
\varepsilon_2$ �����筮 ����.




����� ����ﭨ� $d$ ����� �窠�� $x_1, \tilde x_1$
����� $\varepsilon_2$. �������� ᮮ�ࠦ���ﬨ �������
(�. ������⥫��⢮ ����� 3.4) ����� ��������, ��
���祭�� ��⥣ࠫ� �� ��ꥤ������ �஢��
$\varepsilon_2$-����⭮�⥩, ���㦠��� �窨
$x_1, \tilde x_1$ ���� �� ����॥ $O(d^{-2})$.
� ��㣮� ��஭�, �ᮡ������� ����� ��ࠧ��୮��� 3,
���⮬� ��⥣������ ��᮫�⭮.

�ந������ �業�� ���浪� �ᮡ������, �� ���ன
��� ᫮� $\aleph$, �� � ����� ����� �窨 $x,x'$ �� ������
��⥣�஢���� ᮢ������.
������稬 ��騩 ᫮� ᫮���� �१ $\alpha$.
���������� ���� ᫮�� �ந�室��
� ��ࠧ��୮�� 2, �� �⮬ ���祭�� ��� $\mu$
����� �ᮡ�������, �᫨ �窨 $x$ � $x'$ �� ��饬 ᫮�
ᮢ������, �.�. � ��ࠧ��୮�� 3. �� �ᮡ������� �����
���冷� $O(r^{-2})$ � ��⥣������ ��᮫�⭮.
����� ⥯��� �窠 $x_1$ ����� �� $\alpha$.
�ᮡ������� $\mu$, �易���� � �⮩ �窮�, ���������
� ��ࠧ��୮�� 6 (��� �窨 $x,x'$ ᮢ������ �
$x_1$) � ����� ���冷� $O(r^{-5})$. �� �ᮡ�������
��⥣������ ��᮫�⭮. �� ���쭥�襬 ��஦�����
���冷� � ��ࠧ��୮��� �ᮡ������ ���������� ���������.
�������⥫쭮, ���祭�� ����୮�� ��⥣ࠫ� $M2$ �� ��ᬠ�ਢ�����
������ ᮢ������ � $M_{reg}(B,\tilde B)$
� ��㫠 (8) ��������.





������ ��ᬮ�ਬ �ᮡ� ��砩,
����� ���� �� �祪 $(x,x')$
��������  � ������� $Q_{sing}$.
��⥣ࠫ�� ����� ⠪�� �⢥ப ������稬 �१ $I_1$.
����室��� �業��� ��⥣ࠫ�� ����� ��ࠦ���� $I_1$ � $M$.

��� �業�� $I_1$ ��ᯮ��㥬�� �ਭ樯�� �������, ���६��
���祭�� ��ࠬ��� $\varepsilon$ � ���.
��⥭樠�� $\phi$ $\tilde \phi$ ��࠭�祭��
�� ����� $\tilde B$, $B$ ᮮ⢥��⢥��� ��६�����
� �㫥���� ���祭�� �ய��樮���쭮 $\varepsilon^{-2}$.
������� ����� 㢥��稢����� �ய��樮���쭮 $\varepsilon^{-1}$.
���⮬�, ��� ᨭ������ �����孮�⥩ ������,
�業����� �⭮�⥫쭮 ���ࠧ��୮�� ��ࠬ��� $\tau$
㬥��蠥���, �ய��樮���쭮 $\varepsilon$. �������⥫쭮,
⮫騭� �����⥩ $V$ � $\tilde V$ ��⠥��� ����ﭭ��,
� ��ꥬ 㢥��稢����� �ய��樮���쭮 $\varepsilon^{-2}$.
��ꥬ ॣ��୮� ������ 㢥��稢����� �� �⮬ �ய��樮���쭮
$\varepsilon^{-3}$. �業�� ����⥣ࠫ��� ��ࠦ����
��� �祪 �� ॣ��୮� � ᨭ������ �����⥩ ���������.
��⥣ࠫ쭮� ��ࠦ���� ��⠥��� ����ﭭ�.
�������⥫쭮, ������� � ��⥣ࠫ (7) �� ����� $\varepsilon$
�祪 $(x,x')$ �� ������ $Q_{sing}$ ����� �७�����.


������⥫��⢮ ����஦������� $M$ �����祭�.

\[  \]



����� �।�⠢��� ᮡ�� ���ᯥ�� ������� �� ����७樨 �� ⥮ਨ
�ᮡ�����⥩ � �� �ਫ������, ��室��襩 � �����㫥 � 16 �� 21 �������
2000. ���� ��������� �.�.�୮�줠, �.�. ��������,
�. �����, �. ��୨��, �.�.������, �.�.�������⮢�,
�.����客�, �.��堩����
�� ���㦤����, ��������訥 ���� �訡�� � �।���⥫쭮�
�������樨 ��⥣ࠫ�, ��㡫��������� � [5]. ���� ��������� �.�.���
�� �।��⠢������ �����������
�த㬠�� ���� ������⥫��⢠ �� �६� ����筮�� ����� � ���������
�. ���ᠫ� � ���� 2001.





\section*{���᮪ ��������}

1. [Arn] Arnold V.I.; The asymptotic Hopf invariant and its applications,
Selecta Math. Sovietica 5 (1986), 327-345.


2. [A] �୮�� �.�.; ����� �୮�줠; ��᪢�, ����� (2000).

%2. [A-Kh] Arnold V.I. and Khesin B.A.;  Topological methods in
%Hydrodynamics, Applied Mathematical Sciences, Vol. 125, Springer (1998).


3. [A-M-R1] �嬥�쥢 �.�., ������ �, ������ �.; ���㫠 ��� ����饭����
����ਠ�� ���-������, ���. ���୨� N1 (2001) 1-10.

4. [A-M-R] �嬥�쥢 �.�., ������ �, ������ �.; �� ����ਠ��� ������
����� 3 ��� ���㮣࠭�稢���� ��楯�����. ��⥬���᪨� ����⪨, �
���� (2001).

5. [A�] �嬥�쥢 �.�.;
� ���襬 ������� �����樥�� ��楯����� ���� �������ࣥ����
������� �����. ���� ������ ������஢ ���� (2000) N6.


6. [A-Re] �嬥�쥢 �.�., ������ �.; ����饭�� ����ਠ�� ���-������.

���� ��⥬���᪮�� ������� ��. �.�.�⥪����, (1998), �.221, 69-80.


7. [Akh] Akhmet'ev P. M.; On a Higher Analog of the Linkig
Number of Two Curves. Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 185 (1998) 113-127.

8. [A-R] Akhmet'ev P.M., Ruzmaikin A.; A forth-order invariant for
magnetic and vortex lines, J. Geom. Phys., 15 (1995), 95-101.


9. [E-B] Evans N.W. and Berger M.A.; A hierarchy of linking integrals.
H.K.Moffatt at al. (eds.), Topological Aspect of the Dynamics of Fluids and Plasmas, 237-248 (1992) Kluwer Academic Publishers. The Netherlands.

10. [Fr] Freedman M.; A note on topology and magnetic energy in noncompressible
perfectly conducting fluids, J. Fluid Mech. 194 (1988) 549-551.

11. [F-C]  Frick P., Sokoloff D., Cascade and dynamo action in shell model
of magnetohydrodynamic turbulence.  Physical Review E. Vol 57, N 4 (1998)




12. [K-L] Kirk P. and C. Livingston, Vassil'ev invariants of two component links
and the Casson-Walker invariant, Topology 36 (1997) 1333-1353.


13. [M-S] Monastyrskii M.U. and Sasorov P.V.; Topological invariants in
magnetic hydrodynamics, Sov.Phys.JETP 93 (1987) 1210-1220.

14. [M]  ����� �.�. ����㦤���� �����⭮�� ���� � �஢���饩
�।�, ���. ��᪢�, ���, (1980).

15. [M-R]  Moffatt H.K. and Ricca R. Helicity and the Calugareanu invariant,
Topological Aspects of Dynamics of Fluids and Plasma, H.K.Moffatt at al.

(eds.), Kluwer, Dordrecht, the Netherlands, (1992), 257-270.

16. [P-V] Polyak M. and Viro O., Gauss diagram formulas for Vassiliev
invariants,
Internat. Math. Res. Notices (1994) N 11, 8pp. (electronic).



\end{document}


