%This is LaTeX2e
\documentclass[11pt]{article}

\author{�.�. �������\\\em kazarian@mccme.ru}
\title{��������� � ����������� �������� � ����������� ���������
�������������� ������}
\def\today{\relax}


\usepackage{russcorr}
\usepackage{amssymb}
\def\le{\leqslant} \def\ge{\geqslant}
\def\emptyset{\varnothing}


%  papersize     ��� �������� ���������� ���� �� ����� ��������
\newdimen\margn \margn=1in
%                      ~~~
\headheight=0pt    \headsep=0pt   \topskip=1em
\oddsidemargin=-1in                 \advance\oddsidemargin\margn
\topmargin=-1in                     \advance\topmargin\margn
\textwidth=210mm                    \advance\textwidth-2\margn
\textheight=297mm                   \advance\textheight-2\margn
\advance\textheight-\headheight     \advance\textheight-\headsep
\advance\textheight-\topskip        \evensidemargin=\oddsidemargin



%             s e p a r a t e
\def\spa#1{{\kern-.3ex\def\?##1{\kern.3ex##1\?}\?#1{\let\?=\relax}}}
%
%  \th          - �������, �����, �����������, ��������
%  \ex          - ������, �����������, ���������, ����������
%  \QED         - ����� ��������������

\def\mdskip{\vskip-\lastskip\vskip\medskipamount}
\long\def\ex#1#2{\mdskip{\sc#1}.~#2\mdskip}
\long\def\th#1#2{\ex{#1}{{\em#2}}}
\def\QED{{\parfillskip0pt\hfil$\square$\par}\mdskip}
%
%
%
%             some letters

\def\R{{\mathbb R}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\H{{\mathbb H}}

\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\l{\lambda}
\def\L{\Lambda}
\def\S{\Sigma}

\def\:{\colon\,}
\def\<{\langle}
\def\>{\rangle}
\def\D{\partial}
\def\({\left(}
\def\){\right)}

\def\U{\rm U}
\def\End{\mathop{\rm End}}
\def\dt{\mathop{\rm dt}\nolimits}
\def\det{\mathop{\rm det}\nolimits}
\def\Sp{\rm Sp}
\def\O{\rm O}
\def\T{{\rm T}}
\def\Re{\rm Re}
\def\Im{\rm Im}
\def\^#1{{}^{#1}\!\!}


\sloppy
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract} � ���� ������� �� ��������� ������������� ������
������� �.�.��������� �������� ��������� ������������ ��������� ������,
���������� �� ��������� ������ �����, � �������� �������������� ������
����������������� ������������ �������� ���������.
\end{abstract}

     ���� �� ���������� $\R{-}\C{-}\H$ �������������� � ����������,
������� ���������������� �.�.~���������, ��������� � ��������� �������.
     $$\begin{array}{ccc}
\R&\C&\H\\[2ex]
\hbox{������ �������-����� $w_i$}&
\hbox{������ ����� $c_i$}&
\hbox{������ ���������� $p_i$}\\[2ex]
\multicolumn{3}{c}{\hbox{��������������� ��������� ���������� ��� $P^1$}}\\
\begin{array}{ccc}
L_\R\\ \downarrow\\ \R P^1&\cong&S^1
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
L_\C\\ \downarrow\\ \C P^1&\cong&S^2
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
L_\H\\ \downarrow\\ \H P^1&\cong&S^4
\end{array}\\
\hbox{���������� ������������}&
\hbox{���������� �����������}&
\hbox{���������� �������������}\\
\hbox{(�������)}&
\hbox{(�����)}&
\hbox{(������������� ������������)}\\
w_1(L_\R)=1&c_1(L_\C)=\pm1&p_1(L_\H)=\pm1\\[2ex]
\multicolumn{3}{c}{\hbox{���������� �������� ��������� �����}}\\
\begin{array}[b]{ccc}
\O(1){\cong}S^0&\hookrightarrow&S^1\\ &&\downarrow\\ &&S^1
\end{array}&
\begin{array}[b]{ccc}
\U(1){\cong}S^1&\hookrightarrow&S^3\\ &&\downarrow\\ &&S^2
\end{array}&
\begin{array}[b]{ccc}
\Sp(1){\cong}S^3&\hookrightarrow&S^7\\ &&\downarrow\\ &&S^4
\end{array}\\[2ex]
\hbox{�������������� �������}&
\hbox{�������� �������}&
\hbox{������������� �������}
\end{array}$$

     ���� �������~--- ��������� ������ ������ ���� �������, ������
�������������� ������.

     \ex{���������}{���� ������������������� ����� ���������� �����
�������� �����������, �������� � ����������� ������� �����. �
�������������� ��������� ��, ��� �������, ���������� �������������; �
��������� ����� ������������ ��������������� ����������, � �������
$c_1(L_\C)=1$. ����������� ��������� ����� ����� ��� ������� ����������.}

     \section*{�������� � ������������ �������}\indent

     �������� �� ���������� �.�.~�������� �� ������ ������������ �
��������� ������ (\cite{1},~\cite{2}), ������� �� ���������� �������� ��
������������� ������.

     ���������� ������������ $\C^n$ �� ����������� ��������� ����������
     $$\<x,y\>=\sum x_i \overline y_i,\qquad
          x=(x_1,\dots,x_n),\quad y=(y_1,\dots,y_n).$$

     \ex{�����������}{�������� �������� $A\in\End(\C^n)$ ���������� {\em
���������\/} ������������ ������ ��������� ���������, ���� ��� ����
$x,y\in\C^n$ ����������� ��������� $\<Ax,y\>=\<x,Ay\>$.}

     ������� �������� ��������� � ����������� ������ �������������
��������� $A^*=A$, ��� $A^*=\overline A^\T$. �� ����� �������� �������
������ ��������, ��� ����������� �������� �������� ��������� �����������, �
����������� ������������, ���������� ��������� ����������� ���������,
������������. ����� �������, ������ ������� �������� ����������������� �
(��������) ������������� ������.

     ��������� ����� $M=M(n)\cong \R^{n^2}$ ������������ ���� ���������
����������. {\em ��������������\/} $\S\subset M$ ���������� ���������
����������, ������� ������� ����������� ��������. ��� �����������
$M^0=M\subset\S$ ������� $n$ ������������ ���������� ����������
$L_1,\dots,L_n$, ������ ������� ��� ������ $A\in M^0$ ��������
���������� ����������� ��������������� $L_i(A)\subset \C^n$
(�������������� � ������� ����������� ����������� ��������).

     \ex{���������}{������������ $M^0$ ������������� ������������
������������ ������ $F_n$. ������, ������� ������������ ����������
$M^0\to F_n$ �� ������������ ������ ($n$-������� ��������). ���������
$A$ �������������� ���� $L_1\subset L_1{\oplus}L_2\subset \cdots\subset
L_1{\oplus}\cdots{\oplus}L_n=\C^n$. ������ $u_i=c_1(L_i)\in H^2(M^0)$
��������� ����������� ����� ������������. �� ������� �����
   $$(1+u_1)\cdots(1+u_n)=c(L_1\oplus\cdots\oplus L_n)=c(\C^n)=1$$
     ��������, ��� ��� �������������� ������� �� $u_i$ ���������� �
����. � ����������������, ������ ����������� ����� $u_i$ ���, �� ����
$H^*(M^0)\cong \Z[u_1,\dots, u_n]/{\rm Sym}$, ��� ����� ${\rm Sym}$
���������� ������������ �������������� ������� �� ���������� $u_i$.}

     ���� �� �������� ������ ������~\cite{2} ��������� �������������
���������� ������ �������������. ��� ������� �������� ��������������
����������� ���������� ������� �����, �������������� ��������
���������������� (\cite{6}).

     \th{�������~{\rm(\cite{2})}}{������������ � ������������ ���������
���������� �������� ������ ���������������� ������������ �������������
���. ���������� ��������� ��������� ����� $S^2$, ����������� �
��������������, ������ ��� ����� $A$ �����, ��� �������� $A$ ����� ����
����������� ����������� ��������
  $$\l_1<\dots<\l_k=\l_{k+1}<\dots<\l_n$$
{\rm(}����� ����������� ���������� ������������ � �������������
� ����� $A$ � �� ��� ����� ���������� ������� � ������� � �����
$A${\rm)}. ����� ����������� �� $S^2$ ���������� $L_i$ ���������� ���
$i\ne k,k+1$, � ������������������ ����� $c_1(S^2,L_k)$ �
$c_1(S^2,L_{k+1})$ �������������� � ����� $\pm1$.}

     ����� ����� $\pm1$ ������������ ������� ���������� ����� $S^2$.

     \ex{������}{����� $n=2$. ������������ ��������� $(2\times
2)$-������
   $$A=\(\begin{array}{cc}a&w\\\overline w&b\end{array}\),\qquad
  a,b\in\R,\quad w\in\C$$
������������. ����������� ��������� ������� �� ������ �����������
�����������, ������� � ����������� ��������� ������ ���������� $L_1$ �
$L_2$ ����������, � ��� �������� ���� ���������� ���������� ������������
���������� ���������������� ������ �� ������ ����, �� ���� �����
�������, ��� $b=-a$. ����������, ��������� ������� �� ������������
��������� �� ������ ����������� �����������, ������� ��������� ����
���������� ������������ �� ������������ �� ��������� ����� $S^2$,
�������� ���������� $a^2+|w|^2=1$. �������, ��� $a^2+|w|^2=-\det(A)$,
������� ����� $S^2$ ��������� � ���������� ��������� ������ �
������������ ���������� $\l_{1,2}=\pm1$.

���������� ����������� $S^2\to\C P^1$, �������������� �������
����������� ����������� � ����������� ��������� $-1$. ��� �����������
������� ����������. �������������, �� ������ ������������ �����������
������ ����������������� ���������� ��� �������������. � ���������
����������� �������� ������, �� ���� �������� $A$ ��������� ������������.
�� ����������, ��� ���� �������������� $S^2=\C P^1$ {\em �����������
���������� $L_1$ �� ����� $S^2$ ��������� � ��������������� �����������
��� $\C P^1$, �� ���� ��� ��������� �������� ���������� �����\/} �
������������������ ������ $\pm1$ (���� ������� �� ����, ��������� ���
��� ��������� ���������� ����� $S^2$ � ����������� ����������� �� $\C
P^1$). ����������� ����������� ����������� � ��� ������� ����������
$L_2$. �������, ��� ��������� $c_1(S^2,L_1)+c_1(S^2,L_2)=0$ � ������
��������� �������� � �����������, ��� ������������� $\C P^1\to\C P^1$,
�������������� ����������� ������ � $\C^2$ �� �������� �������������
����������, �������� ����������.}

     \spa{��������������~�������}. ����������� ���� �����������
���������� ������� ��� ������ $n=2$. �������������� ������ ������ �����
�������� � ��������������. �������������, ����� ������� $A=A^*$ �����,
��� � ������� �������. �� ����, ��� ����������� �������� $\l_i$ �� ��������
�������� ��� $i\ne k,k+1$ ��������, ��� ���������� $L_i$ ���������
���������� � ��������� ����������� $U\subset M$ ����� $A$. � ���������,
�� ����������� �� $M^0\cap U$ ����������. ������ ��������, ��� ���������
���������� $\L^2=(L_1{\oplus}\cdots{\oplus}L_{k-1}{\oplus}L_{k+2}
{\oplus}\cdots{\oplus}L_n)^\bot$ ����� ������������ �� ��� $U$ �, �
���������, ����������. ����� ����, ��� �������������
������� ���������� $\L^2=L_k{\oplus}L_{k+1}$. ���������� �����-������
�������� ������������� ����� ���������� ����������. ����������� ��������
��������� $B\in U$ �� ��������� ������������ ��������������� $\L^2(B)$
������ ������������ ����������� $U\to M(2)$ ����������� $U$ ��
����������� ������ ��������� � ������������ ��������� $(2\times
2)$-������. ������������ � ���������� $L_k$, $L_{k+1}$ ��������
��������� �������� ��� ���� ����������� ������������� � ���������������
���������� �� ������������ ��������� ��������� ������. �� ������� �
������� ������� ��������������� $\S\cap U$ �������, � ��� �������������
����� ������������� ������������� � $M(2)$, �� ���� ����. ����� ����,
������ ���������� ������������ � ������������� � $U$ ������������
������������ �� ������������ � ������������� � ������������ $M(2)$. ���
����������� ������ ������ ������������� $n$ � ��� �������������� ������
$n=2$.\QED

     ����������� ������� ����� ����� � � ������������ ������ (\cite{1}).

     \th{�������~{\rm(\cite{1})}}{� $n(n+1)/2$-������ ������������ ������������
������������ ������ ������������, ������������ ��������� � ��������
������������ ����������, �������� ������ ���������������� �������������
���. ��� ������ ������ ������������� � ����������� ������� �
������������ ����������
  $$\l_1<\dots<\l_k=\l_{k+1}<\dots<\l_n$$
������������ ������ $L_i$ ����������� �������� ��������� ����������� ���
$i\ne k,k+1$ � ������ ����������� ��� $i=k,k+1$. ����� �������,
����������� ���������� $L_i$ �� �����, ��������� ������������,
���������� ��� $i\ne k,k+1$ � ��������� �������������� ����������
������� ��� $i=k,k+1$.}

     �������������� ���� ������� ���������� �������������� ����������.
����� ������ $n=2$ ���� ����� ��������, ��������� ������������ ���������
��������� ������������ ����� ���� \�� �������\��.

     \section*{������������� �������}\indent

     �\'������ ����� �������� ������� ����������� �� ������ �������������
���������������� ����.

     ��������, ��� ����������� �������� ��������� �����������
(������������� ������������) ������������ $\H$ ��������� ���� $w=a+j b$,
��� $a,b\in\C$. ��������� � �������� ���������� �������� ���������
     $$j^2=-1,\quad bj=j\overline b,\quad,
                    \overline {a+jb}=\overline a-jb.$$
     ��� ���� $|w|^2=w\overline w=\overline w w=|a|^2+|b|^2$, �����
��������� ���� ������� ������������ ���������.

     ��������� ������������ ������������, �� �� ������������. �������
������ � �������� ���������� � $n$-������ ������������� ������������,
����� ��������, ����� �������� ������������ ������� �����, �����, ���
������. �� ����� ������ ������������ {\em ������\/} ��������. ���
���������� ������ ���, ��� �������� ��������� $A$, $x\mapsto Ax$,
������������ ����� ������� ���������� ������� $A$ �� ������-������� $x$,
� ������� $\H$-���������� ������������ � ���� $A(x\l)=(Ax)\l$,
$x\in\H^n$, $\l\in\H$.

     ������ �������� �������������� ����� ����������� �������.
�������������, ��� ������ ����������� ���������, �� ���� ��������
$i\in\H$, ������ ��� $i^2=-1$ (����� �������� �������� ����� $S^2$)
�������� $A\:\H^n=\C^{2n}\to \H^n=\C^{2n}$ �������� �����������, �
������� �������� ������ $x\in\H^n$ �����, ��� $Ax=x\l$ ��� ����������
����������� $\l$ (������������ ������������ ��������� �����������
���������). ����������������� ��������� � $\H$ ������ ���������
���������� �������. ���������
     $$A(x\mu)=x\l\mu=(x\mu)\mu^{-1}\l\mu,$$
�� ��� ��������� ������������ ����������� �������
��������� � ����������� �������, ������ ����������� �������� ��� ����
����� ����������!

     \th{���������}{���� ���������� $\l$ ������������, �� ���������
����������� �������� � ����������� ��������� $\l$ ��������
������������ ��������  ����������������.}

� ����� ������ ������������ ���������� $\l\mapsto\mu^{-1}\l\mu$ ��������
������������ ����� ����������� $\l$ � ������ ��� ������ �����. ���� ���
��������� $A$ ���������� ����� �� ����������� ��������, �� ���� �����
����� ������� ���, ����� ��������������� ����������� ��������
$\l_1,\dots,\l_n$ ���� ������������ ������������ ��������� �����������
���������. ����� \�� ���������������������\��\ $\^\C A$ ��������� $A$
(�� ���� ��� �� �������� $A$, ��������������� ��� ����������� ��������
$\C^{2n}\to \C^{2n}$) ����� ����� ����� �� ����������� ��������, �
��������������� ����������� �������� �����
$\l_1,\overline\l_1,\dots,\l_n,\overline\l_n$.

     \ex{�����������}{{\em {\rm(}�����{\rm)}��������� ������������
������\/} �� ������������� $n$-������ ������������ $\H^n$ ����������
{\em ������������\/} ������������ ����� $Q$, ������������ ������������
�������� ������ $\Sp(1)$ ������������ ����� $1$. ����� �������,
$Q(x\l)=|\l|^2 Q(x)$ ��� ���� $x\in\H^n$ � $\l\in\H$.}

     \ex{�����������}{{\em {\rm(}�����{\rm)}��������� ����������������
������\/} ���������� ����������� ���������� ����������� $\H^n\times
\H^n\to\H\:(x,y)\mapsto B(x,y)$ �����, ��� ����������� ���������
$B(y,x)=\overline{B(x,y)}$, $B(x\l,y\mu)=\overline\l B(x,y)\mu$ ��� ����
$x,y\in\H^n$, $\l,\mu\in\H$.}

     \ex{�����������}{�������� �������� $A$ ���������� {\em
{\rm(}�����{\rm)}���������\/} ������������ ����������� ����� $\<x,y\>=\sum x_i
\overline y_i$, ���� ��� ���� $x,y\in\H^n$ ����������� ���������
$\<Ax,y\>=\<x,Ay\>$. ������� ������������� ��������� � �����������
������ (�����)��������, $A^*=A$, ��� $A^*=\overline A^\T$.}

     ��� ��� ����������� ������ ���������� �������: �����������
���������������� ��������� ����� �� ��������� �������� ������������
��������� ������; � ������ ��������� ������������ ����� �������
�����������, �� ���� ��������������� �� ���������������� �����; �����
����, ������ ���������������� �������� ����� ����� ���
$B(x,y)=\<x,Ay\>$, ��� $A$~--- ������� ��������.

     \th{�����}{��� ����������� �������� �������� ���������
�����������, � ����������� ���������������, ���������� ���������
����������� ���������, ������������ {\rm(}������������ �����
$\<\cdot,\cdot\>${\rm)}.}

     �������������� ���������� ������������ ������ � �������� �������
�����������.

     ��������� ����� ����������� ��������
$\l_1\le\cdots\le \l_n$
�������� ��������� $A$, ������� ��������� ������� ������������ ��������
������ ����������� (��� $\H$) ���������������� ������������
���������������. ����� ������ ����� $\l_i$ ������ � ����� �����������
�������� ��������������������� $\^\C A\:\C^{2n}\to\C^{2n}$ � ����������
$2$, � � ����� ����������� �������� ������������� $\^\R
A\:\R^{4n}\to\R^{4n}$ � ���������� $4$.

     ��������� ����� $M=M(n)\cong\R^{2n^2-n}$ ������������ ����
�������������� $(n\times n)$-������, �� ���� ��������� ���������� �
������������ $\H^n$. ���������� ����� $\S\subset M$ ������������,
��������� �� ���������� � �������� ������������ ����������, � �����
$M^0=M\setminus\S$~--- ���������� � �������������. ��� $M^0$ ������� $n$
������������� (����������� �������������) ��������� ����������
$L_1,\dots,L_n$ ����������� ��������. ��� ���� ����������
$L_1\oplus\cdots\oplus L_n=\H^n$~--- ����������� �����������
$4n$-������. ��������� ������� �������� ������������� �������
\�� ���������� ������� �����\��.

     \th{�������}{������������ � ������������ �������������� ����������
�������� ������ ���������������� ������������ ������������� ����.
���������� ��������� $4$-������ ����� $S^4$, ����������� �
��������������, ������ ��� ����� $A$ �����, ��� �������� $A$ ����� ����
����������� ����������� ��������
  $$\l_1<\dots<\l_k=\l_{k+1}<\dots<\l_n$$
{\rm(}����� ����������� ���������� ������������ � �������������
� ����� $A$ � �� ��� ����� ���������� ������� � ������� � �����
$A${\rm)}. ����� ����������� �� $S^4$ ���������� $L_i$ ���������� ���
$i\ne k,k+1$, � ������������������ ����� $p_1(S^4,L_k)$ �
$p_1(S^4,L_{k+1})$ �������������� � ����� $\pm1$.}

     ��� � � ����������� ������, ����� ����� $\pm1$ ������������ �������
���������� ����� $S^4$.

     �������������� ����� � ����� ��������� �������������� �����������
������� � ����������� ������. ��� $n=2$ ������������ ��������������
$(2\times 2)$-������
   $$A=\(\begin{array}{cc}a&w\\\overline w&b\end{array}\),\qquad
  a,b\in\R,\quad w\in\H$$
����������. ��������� ����� $S^4$ � ������������ ����� ������ �� ������
���� �������� ����������� $b=-a$, $a^2+|w|^2=1$. ������� $A\in S^4$
����������� ������� ����, ��� �������� $A$ ����� ����������� ��������
$\l_{1,2}=\pm1$ (��.\ ����). ������� ������������ $S^4\to \H P^1$,
�������������� ��������� ����������� ��� ����������� ��������������,
���������� ����������� ��������� $\l_1=-1$ � $\l_2=1$, �������� �������
������������. �������������, ����������� ���������� $L_1$ � $L_2$ ��
����� $S^4$ ��������� ���������������� ���������� ��� $\H P^1$, � ��
������������������ ����� ����� $p_1(S^4,L_1)=-p_1(S^4,L_2)=\pm1$ �
����������� �� ������ ���������� �����.

     ������ ������������� $n$ �������� � ������ $n=2$ ���������� ����,
��� ��� ������� � ����������� ������.


\section*{������������� ������������}\indent

     ������ ��������, ��� ������������ $\det_\R(A)=\det(\^\R A)$
������������� $\^\R A$ ������������ ��������� $A\:\C^n\to\C^n$ �����
�������� ������ ������������ ������������, $\det_\R(A)=|\det_\C(A)|^2$. �
������ �������, ��������������������� $\^\C A$ �������������� ���������
$A\:\H^n\to\H^n$ ������ � ����������� ��������� $\l$ �������� �
����������� �������� $\overline\l$, ������� ������������ $\det_\C(A)=\det
(\^\C A)$ ������ ������������ � �������������. �.�.������� �����������,
��� � ������� $\det_\R(A)=|\det_\C(A)|^2$ ������ ������������
������������� ������. �� ���������������� ��� �������� � ������� ������
�������������� ����������.

     \ex{�����������}{����� $A$~--- ������������ ��������. �����
$\l_1,\dots,\l_n\in\R$~--- ����������� �������� ��������� $A$ (������ �
������ ����������). {\em ������������� �������������}, ��� {\em
������������������\/} ��������� $A$ ���������� ������������ �����,
������ ������������ ��� ����������� ��������,
   $$\det_\H(A)=\prod_{i=1}^n \l_i\in\R.$$}

     \th{��������� \rm(�����������)}{$\det_\C(A)=(\det_\H (A))^2$,
$\det_\R (A)=(\det_\C(A))^2=(\det_\H(A))^4$.}

     \ex{������}{����� $n=1$. ����� $(1\times1)$-������� $A=(a)$
�����������, � $\det_\H(A)=a$, $\det_\C(A)=a^2$, $\det_\R(A)=a^4$.}

     \ex{������}{����� $n=2$,
   $$A=\(\begin{array}{cc}a&u\\v&b\end{array}\).\qquad
{\rm �����}\quad
   \(\begin{array}{cc}a&u\\v&b\end{array}\)
\(\begin{array}{cc}1&-a^{-1}u\\0&1\end{array}\)=
\(\begin{array}{cc}a&0\\v&b-va^{-1}u\end{array}\).$$

     ��������� �� ����������������� ������� �� ������ �� (������������)
������������, � �� �������� ������� ��� ������������ �������������
$(2\times 2)$-�������:
  $$\det_\C A=|a|^2\,|\,b-va^{-1}u\,|^2=
               |v|^2\,|\,av^{-1}b-u\,|^2=\dots=
     |ab|^2+|uv|^2-2{\rm Re}\,(\overline u a\overline v b).$$

     � ���������, ���� ������� $A$ �������������, �� ���� ���� $a,b\in\R$,
$v=\overline u\in\H$, ��
     $$\det_\C(A)=(ab-uv)^2,\qquad{\rm ������}
                                \quad\det_\H(A)=ab-uv.$$

� ����������� �������� ������� $a\ne0$, �������, �������������.
������������ �������� ��, ��� ����� $a$ � $a^{-1}$ ��� ��������������
������� �����������, � ������ ����������� �� ����� �������������.}

     \ex{���������}{��� ����� ������������� $2\times2$ ������� $A$
������������ $\det_\C(A)$ �������� ���������� ����������� ���������
������� �� $16$ ������������ ������������� �������, ������� �����
�����������. ������ �� �� �������������� ���� � ���� ����� ���������, �
������ ����������� ����������� $\det_\H(A)$ ��������������� �� ������
������������ ������ �� ����������. ��������, ��� ��� ����������� ��
��������������� ������ ���� $a=a_1+i a_2$, $b=b_1+i b_2$, $u=u_1+j u_2$,
$v=v_1+j v_2$, ��� $a_1,a_2,\dots\in\R$, � $i,j,k$~--- �����������
������ �������, �� ��������
   $$\det_\C \(\begin{array}{cc}a_1+ia_2&u_1+j u_2\\[2ex]
                          v_1+jv_2&b_1+ib_2\end{array}\)
  {=a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2+
      u_1^2v_1^2+v_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2+u_2^2v_2^2-
       \atop\qquad\qquad\qquad
     2a_1b_1u_1v_1+2a_1b_1u_2v_2+2a_2b_2u_1v_1+2a_2b_2u_2v_2.}$$
�������� ��������, ��� ���� ��������� �� �������������� � ���� �����
��������� (��-�� ����, ��� � ��������� ������� ��������� ���� ����� �
��� �����).

�������, ��� �� ����������� ���� ������ �������, ��� ������������
$\det_\C(A)$ �� ������� ������ ������ �������� ������� $A$ ���
�������������� � ���� ����� ���������, �, ����� ����, �������������� ���
������� ������ ���������� �����������. ��������,
$|a|^2\det_\C(A)=|\overline aad-v\overline au|^2$.}

     \ex{������}{����� $n=3$. ����������� �������� ����� ��������
�������
 $$\det_\H \(\begin{array}{ccc}a&w&\overline v\\
        \overline w&b&u\\v&\overline u&c\end{array}\)
{{}=abc-au\overline u-bv\overline v-cw\overline w+
              uvw+\overline w\,\overline v\,\overline u.}$$
��� � � ������ $n=2$, ��� ��������� ��������� � ������� �������� ���
������������. ������ $4$ ��������� ����������� � � ��� �������
������������ �������������. � ��������� ���� ��������� �������
������������, ������ ������, ������ ������.

�������, ��� ��� ����� ���� ������������ $u$
� $v$ �������� $uv+\overline v\,\overline u=2\Re(uv)$
����������� � ����������� ������������ $u$ � $v$,
     $$uv+\overline v\,\overline u=vu+\overline u\,\overline v.\eqno(*)$$
������� � ���� ��������� ��������� � ����������� ������� ���
������������ ����� $u,v,w$ ����� ������������ ����������.}

     \th{�������}{�������� $\det_\H(A)$ ������������� ������� ��
������������� ��������� ������� $A=\{a_{ij}\}$. ����� ����, ����� �����
�������
  $$\det_\H(A)=\sum_\s(-1)^\s\prod_{i=1}^n a_{i\s(i)},$$
��� ������������ ������������ �� ���� ������������� ���������
$\{1,\dots,n\}$, $(-1)^\s$~--- ���� ������������, � �������, � �������
������������� ��������, ������� �� ����� ���������, ��������
������������� ��������, ����������� ����.}

     �������, �������� ������� ��������� ���������, ������� � ���������.
����������� ������, ��� ������������ $\s$~--- �����������. �����
������������ $\s^{-1}$~--- ����� �����������, �
$(-1)^\s=(-1)^{\s^{-1}}=(-1)^{n-1}$. ������� ����� ��������� �
��������� ��� ������������, ���������� ������������� $\s$ � $\s^{-1}$,
������
     $$(-1)^{n-1}(a_{i_1i_2}a_{i_2i_3}\cdots a_{i_ni_1}+
          a_{i_1i_n}a_{i_ni_{n-1}}\cdots a_{i_2i_1}),$$
��� ������������ ����� ��� $\s(i_k)=i_{k+1}$ ��� $k<n$, � $\s(i_n)=i_1$.
�� ����������� ������� $A$ ��������, ��� ��� ����� ����������� (���
����� ���� ����������� �����), � �� ��������� $(*)$ ��������, ��� ���
����� �� ������� �� ���� �����, � ������� �� ��������� ����.

������� {\em ��������� �������������\/} �����
     $$\dt_\H(A)=\sum_{\s\rm~ ����.}
                 (-1)^{n-1}\prod_{i=1}^n a_{i\s(i)},$$
��� ������������ ������������ �� ���� {\em �����������\/} �������������, �
��������, ������� �� ����� ���������, ������������� �������� ������������
���� �������.

     ����� ����������� �������� ������������� ����������� ������.
�������
     $$\det_\H(A) =\sum_{I_1,\dots,I_m}
               \dt_\H(A_{I_1})\cdot\dots\cdot\dt_\H (A_{I_m}).$$
     ����� ������������ ������������ �� ���� ���������� ���������
$\{1,\dots,n\}$ �� ���������������� ������������ $I_1,\dots,I_m$.
�������� ������� $A_I$ �������� ������� �����������, ������������
������������ ����� � ��������, ������ ������� ����������� ���������
$I$. �������, � ������� ������������� ��������� ������������,
�������������, ��������� ��� ��� ������������. ����, ��� ����� ���������
���� ������ � ����������� ���������, ���������� ����� ������ ����, ��� �
������������ �������.

     \ex{���������}{�� ����������� ���� �������� ��������, ���
���� ����������� $\det_\H(A)$ �������� ������� �������
����������������� ���������-������~\cite{4,5}, ��������� ����� ��
(�������������) ����������� ����������� ����
   $$\det_\H(A)=\det_\H(A_k')\,\det_\H(A_{n-k}''),\qquad 1\le k<n,$$
��� $A$~--- ������������� �������, $A'_k$~--- �� 
$(k\times k)$-����������, ������������ ������� $k$ �������� � ���������,
� $A''_{n-k}$~--- $(n-k)\times(n-k)$-�������, �������� ������� ����� ���
$a''_{pq}=a_{pq}-\sum_{i,j=1}^k a_{pj}b_{ji}a_{iq}$, $k+1\le p,q\le n$,
��� $b_{ji}$~--- �������� ������� $(A'_k)^{-1}$. �� ������ �����������,
������, �� �����, ������ � �������������� ������ $\det_\H$ ��������� ���
������ ������� � �������� �����������.}

     ��� �������������� ������������ ������� ������� ���������� ��
������ ��� �������, ����������� ��������������� �������� ��������������
������.

�����������, ��� ������ ������� $A$ � ����� $k,l$, �����, ��� �����
������������ $k$-� ������ � $l$-�� ������� �������� �������� �������.
������� � ���� ������ ������� $A$ {\em ����� ���������\/} (������������
$k$-� ������ � $l$-�� �������). ��������, �������, ���������� ��
��������� ������������� ������������ ������ � �������, ����� ��������.
����������, ���� �� ����� ��������� (������������ $k$-� ������ � $l$-��
�������) ������� ���������� $k$-� ������ � ������������ �������, ���
$l$-� ������� � ������������ ������, �� ��������� ����� �������� �������
�� ������� �������� �������. ������ �������� ������� ����� ��������
������������ $k$-� ������ � $k$-�� ������� ��� ������������� $k\le n$.

     \ex{���������}{����� ������ � ����� �������, ������� ����������
�����������, ������ � ����������� ����� ��������� �������. ��������,
����� �������� ������� $\(\begin{array}{cc}a&w\\ v&b\end{array}\)$,
$a,b\in\R$, $v,w\in\H$ ������������ ������ ������ � ������� �������, �
�� �� ����� �������� ������� ������������ ������ ������ � �������
�������, ��������� ����������, � ��� $w\ne\overline v$ ������������ ����
������������� ������������ ��� ���, ������ ������, �����������.}

     \ex{�����������}{����� ������� $A$ ������� $n\times n$ �����
�������� ������������ $k$-� ������ � $l$-�� �������. �������
{\em ������������ ����� ��������� �������\/} $A$ ��������
  $$\det_\H(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{k+i} a_{ki} M_{ki}=
            \sum_{i=1}^n (-1)^{i+l} M_{il} a_{il},$$
��� {\em ������\/} $M_{ki}$, $M_{il}$~--- ������������ ����� ���������
������, ������������ �� ������� $A$ ������������� ��������������� ������
� �������.}

     \th{�������}{����������� ����������� ����������� ������������ �����
��������� ������� ����� ������������ ����� ��������� ������ �������
������������ ���������. � ���������, ���� ������� $A$ ��������, ��
����������� ������� ����������� ��� �����  $k$ � $l$.}

     \th{���������}{�������, �������� � ��������� ������� $A$, ��������
��������
   $$\{A^{-1}\}_{ij}=\frac1{\det_\H(A)}(-1)^{i+j} M_{ji}.$$}

     ����� ����, ��� ��� ������� ��������������, �� �������������� ��
���������� ����� � ����������� ��������.

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{1} ������� �.�., ���� � ���������, ���, 6 (1972), 94-101.

\bibitem{2} Arnold V.I., Remarks on eigenvalues and eigenvectors of
Hermitian matrces, Berry phases, adiabatic connections and quantum Hall
effect, Selecta Math., 1995, V.1, p.1--19.

\bibitem{3} Arnold V.I., Relatives of the quotient of the complex
projective plane by complex conjugation, preprint (1998).

\bibitem{4} �������� �.�., ����� �., ������������ ������ ���
���������������� ��������, �����. ������ � ��� ����., {\bf 26} (1991),
���.2, 91--102.

\bibitem{5} I. Gelfand, V. Retakh, Quasideterminants, I, ??

\bibitem{6} Y. Collin de Verdi\`er, Effect quantique de Hall, S\'eminare
de Th\'eorie Spectrale et G\'eom\'etrie, nr.11 (1992--1993). Institut
Foirier, Grenoble.

\end{thebibliography}






\end{document}
