%\documentclass[12pt]{article}
\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\textheight=23.7cm
\textwidth=16cm
\topmargin=0pt
\oddsidemargin=0pt
\evensidemargin=0pt
\frenchspacing
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{example}{Пример}
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{conjecture}{Гипотеза}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newcommand*{\sm}{\setminus}
\newcommand*{\rra}{\rightrightarrows}
\newcommand*{\rla}{\rightleftarrows}
\newcommand*{\ua}{\uparrow}
\newcommand*{\da}{\downarrow}
\newcommand*{\CC}{{\mathfrak C}}
\newcommand*{\LL}{{\mathcal L}}
\newcommand*{\K}{{\mathcal K}}
\newcommand*{\B}{{\mathcal B}}
\newcommand*{\F}{{\mathcal F}}
\newcommand*{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand*{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand*{\RP}{{\mathbb {RP}}}
\newcommand*{\bnm}[2]{\binom{#1}{#2}}
%\newcommand*{\bnm}[2]{{#1}\choose{#2}}
\renewcommand*{\refname}{Литература}
\renewcommand*{\abstractname}{Аннотация}
\renewcommand*{\indexname}{Предметный указатель}
\renewcommand*{\figurename}{Рис.}
\renewcommand*{\tablename}{Таблица}
\begin{document}

\title[Инварианты самопересекающихся кривых]{Инварианты
и когомологии первого порядка для пространств
вложений самопересекающихся кривых в $\R^n$}
%\title{Инварианты и когомологии первого порядка для пространств
%вложений самопересекающихся кривых в $\R^n$}
\author{В.А.~Васильев}
\thanks{Частично поддержано грантом Президента России НШ-1972.2003.01,
программой ``Современные проблемы теоретической математики'' ОМН РАН
и грантом ACI-NIM-2004-243 (Noeuds et tresses)}
\date{}

%\maketitle

\begin{abstract}
В работе вычислена группа инвариантов первого порядка для
типичных иммерсий $\R^1 \to \R^3$ с любым фиксированным
конечным набором трансверсальных самопересечений.
Доказан гомологический критерий
существования целочисленных комбинаторных формул
гауссова типа для таких инвариантов, в частности построено гомологическое
препятствие к целочисленности формул Поляка-Виро для
инвариантов узлов. Вычислены
младшие группы когомологий пространства иммерсий
$\R^1 \to \R^n$ с фиксированным типом самопересечения для
произвольного $n>3$. Доказан простой гомологический критерий
планарности уникурсальной кривой с фиксированным типом самопересечений.
\end{abstract}

\maketitle


\section{Введение}

Эта работа мотивирована теорией инвариантов узлов. Всякий инвариант
$k$-го порядка для узлов в $\R^3$ (см. \cite{knsp})
определяет инвариант 1-го
порядка для типичных $k-1$ раз самопересекающихся иммерсированных
кривых, инвариант 2-го порядка для $k-2$ раз самопересекающихся кривых,
и т.д. Явное {\em интегрирование весовой системы},
т.е. построение инварианта с данной главной частью (а заодно и
комбинаторной формулы этого инварианта) удобнее всего проводить
обратной индукцией по числу пересечений, последовательно строя комбинаторные
формулы для этих инвариантов самопересекающихся кривых
в указанном порядке,
см. \cite{tt}, \cite{bryden}, \cite{combcomp}.
В частности, комбинаторные формулы
Поляка--Виро \cite{PV} легче всего строить при помощи последовательности
таких комбинаторных формул специального вида. В настоящей работе мы
разберем первый шаг этого индуктивного процесса для
самопересекающихся кривых
$\varphi : \R^1 \to \R^3$ с фиксированным поведением
на бесконечности.
А именно, мы вычислим группу инвариантов 1-го порядка для
таких самопересекающихся кривых (не решая вопроса о том,
какие из них соответствуют инвариантам узлов) и, более того,
вычислим младшие группы когомологий пространств типичных самопересекающихся
кривых в $\R^n$ для всех $n >3$. Также мы докажем, что все эти инварианты
реализуются комбинаторными формулами, подобными формуле Гаусса
для индекса зацепления, с полуцелыми коэффициентами, и построим
характеристические классы, тривиальность которых эквивалентна существованию
целочисленных комбинаторных формул.

Как и в теории узлов, инварианты 1-го
порядка для типичных $m$ раз самопересекающихся
кривых в $\R^3$ можно выделить тем условием, что
скачок их значений при простейшей перестройке
(возникающей при мгновенном дополнительном самопересечении
кривой) зависит только от поведения нашей
особой кривой вблизи этого дополнительного самопересечения (и расположения
точек прообраза этого самопересечения
на нашей кривой между остальными особыми точками). Это условие выражается
также стандартным уравнением
Рис. \ref{cret} (ср. \cite{bw}, \cite{BN}) в
терминах {\em плоской диаграммы} кривой, т.е. ее проекции на плоскость
$\R^2$, снабженной информацией о том, какая ветвь находится выше в точках
перекрестия этой проекции, не возникающих из самопересечений сам\'ой
пространственной кривой.

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(124.00,32.00)
\put(10.00,19.00){\line(1,1){9.00}}
\put(10.00,28.00){\line(1,-1){4.00}}
\put(19.00,19.00){\line(-1,1){4.00}}
\put(10.00,4.00){\line(1,1){9.00}}
\put(10.00,13.00){\line(1,-1){4.00}}
\put(19.00,4.00){\line(-1,1){4.00}}
\put(43.00,28.00){\line(1,-1){9.00}}
\put(52.00,28.00){\line(-1,-1){4.00}}
\put(43.00,19.00){\line(1,1){4.00}}
\put(43.00,4.00){\line(1,1){9.00}}
\put(43.00,13.00){\line(1,-1){4.00}}
\put(52.00,4.00){\line(-1,1){4.00}}
\put(76.00,19.00){\line(1,1){9.00}}
\put(76.00,28.00){\line(1,-1){4.00}}
\put(85.00,19.00){\line(-1,1){4.00}}
\put(76.00,13.00){\line(1,-1){9.00}}
\put(85.00,13.00){\line(-1,-1){4.00}}
\put(76.00,4.00){\line(1,1){4.00}}
\put(109.00,28.00){\line(1,-1){9.00}}
\put(109.00,19.00){\line(1,1){4.00}}
\put(118.00,28.00){\line(-1,-1){4.00}}
\put(109.00,13.00){\line(1,-1){9.00}}
\put(109.00,4.00){\line(1,1){4.00}}
\put(118.00,13.00){\line(-1,-1){4.00}}
\put(2.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{{\Large $F($}}}
\put(25.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{\Large $)$}}
\put(29.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{\Large $-$}}
\put(35.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{{\Large $F($}}}
\put(58.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{\Large $)$}}
\put(62.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{\Large =}}
\put(68.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{{\Large $F($}}}
\put(91.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{\Large $)$}}
\put(95.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{\Large $-$}}
\put(101.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{{\Large $F($}}}
\put(124.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{\Large $)$}}
\put(7.00,0.00){\line(0,1){32.00}}
\put(22.00,32.00){\line(0,-1){32.00}}
\put(40.00,0.00){\line(0,1){32.00}}
\put(73.00,0.00){\line(0,1){32.00}}
\put(106.00,0.00){\line(0,1){32.00}}
\put(55.00,32.00){\line(0,-1){32.00}}
\put(88.00,32.00){\line(0,-1){32.00}}
\put(121.00,32.00){\line(0,-1){32.00}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Характеризация инвариантов первого порядка}
\label{cret}
\end{figure}

Аналогично индексам зацепления, всякий такой инвариант выражается
линейной комбинацией {\em ломаных $($гауссовых$)$ хорд}, то есть ломаных
линий, соединяющих неособые (не содержащие прообразов точек самопересечения)
интервалы прямой $\R^1$, параметризующей эту особую кривую.
Значение инварианта,
соответствующего такой линейной комбинации, при замене прохода на переход
в паре неособых точек увеличивается на число $w c,$ где
$c$ --- коэффициент при ломаной хорде,
соединяющей интервалы, содержащие эти точки, а $w$ --- локальная
закрученность (writhe) плоской диаграммы начальной кривой вблизи этого
перекрестия.
Такая линейная комбинация задает инвариант только если она удовлетворяет
естественным гомологическим условиям.

Для любого $m$ и любого топологического типа $m$-кратного
самопересечения $\Theta$ (т.е. способа чередования $2m$ прообразов
точек самопересечения в $\R^1$) мы
построим два коротких цепных комплекса, $\CC_*(\Theta,\mbox{odd})$ и
$\CC_*(\Theta,\mbox{even})$, такие что

\begin{enumerate}
\item Старшая группа гомологий комплекса $\CC_*(\Theta,\mbox{odd})$
совпадает с группой инвариантов 1-го порядка типичных иммерсий
$\R^1 \to \R^3$ с фиксированным поведением на бесконечности и
самопересечениями по типу $\Theta$;

\item
\label{it2}
Препятствия к существованию целочисленных комбинаторных формул
типа Гаусса (-Поляка-Виро) для этих инвариантов лежат в группе вице-старших
гомологий комплекса $\CC_*(\Theta,\mbox{even})$;

\item Гомологии обоих комплексов дают (разные) препятствия
к планарности и амфихеральности кривой с ровно $m$ самопересечениями
по типу $\Theta$; в частности, иммерсия $\R^1 \to \R^2$ со стандартным
поведением на бесконечности и ровно $m$ самопересечениями по типу
$\Theta$ существует тогда и только тогда, когда группа вице-старших
гомологий комплекса $\CC_*(\Theta,\mbox{even})$ не имеет 2-кручения;

\item Группа старших гомологий комплекса $\CC_*(\Theta,\mbox{odd})$
(соответственно, $\CC_*(\Theta,\mbox{even})$) канонически изоморфна
группе младших ($(n-3)$-мерных) когомологий пространства иммерсий
$\R^1 \to \R^n$ с самопересечениями по типу $\Theta$ при любом
нечетном (соответственно, четном) $n>3$.

\item Группа вице-старших гомологий того же комплекса канонически
изоморфна группе $(n-2)$-мерных когомологий того же пространства
при $n>4$ и некоторой подгруппе этой группы при $n=4$.
\end{enumerate}

Мы явно вычислим гомологии обоих этих комплексов в терминах
{\em графа пересечений хордовой диаграммы} $\Theta$
(см. \cite{CDL}) и дадим явную
характеризацию препятствий из п. \ref{it2} в терминах степени
некоторых гауссовых отображений в $\RP^1$ и $\RP^2$.


\begin{remark} \rm
Известные гомологические инварианты (соответственно, препятствия)
{\em взрезанного квадрата}
для вложений в $\R^3$ (соответственно, в $\R^2$) произвольных графов,
см. \cite{sar}, также являются в определенном смысле инвариантами
и препятствиями
первого порядка (о понятии порядка для вложений графов см. например
\cite{stan}). Наши комплексы напоминают комплексы,
вычисляющие эти инварианты и препятствия, но имеют много
дополнительных членов, отвечающих за ``дифференцируемые'' эффекты
типа запрещенных самокасаний в точках самопересечения. Эти слагаемые
возникают в окрестности диагонали конфигурационного пространства
(которую в методе взрезанного квадрата выкидывают);
поэтому естественно назвать результат наших вычислений
инвариантами и препятствиями {\em сложенного квадрата}.
\end{remark}

Дадим точную постановку задачи.

\subsection{Основное пространство}

Мы фиксируем линейное вложение $\R^1 \to \R^n$ и всюду ниже рассматриваем
только бесконечно дифференцируемые
отображения $\R^1 \to \R^n$, совпадающие с этим фиксированным всюду
вне некоторого компакта в $\R^1$. В частности, (длинной)
кривой в $\R^n$ будет называться образ $\R^1$ при таком отображении.
Образ стандартного линейного вложения прямой называется
{\em осью} пространства $\R^n$.

Допустим, что
на прямой $\R^1$ имеется $m$-хордовая диаграмма $\Theta$, то есть
набор из $2m$ попарно различных точек, некоторым образом
разбитый на пары. Такой набор традиционно изображается набором из
$m$ дуг, соединяющих точки из каждой пары,
см. Рис. \ref{trivex} и \ref{cross} на стр. \pageref{trivex},
\pageref{cross}.
В параллельной теории
компактных кривых $S^1 \to \R^n$ такие пары точек окружности
изображаются соединяющими их хордами,
что и объясняет термин ``хордовая диаграмма''.
С диаграммой $\Theta$ связано аффинное пространство
$\K(\Theta,n)$
всех гладких отображений $f:\R^1 \to \R^n,$ совпадающих со стандартным
вложением вне некоторого компакта и склеивающих вместе точки из каждой пары.
{\em Дискриминантом} $\Sigma(\Theta,n)$
в этом пространстве назовем множество
отображений, имеющих дополнительные самопересечения или особые
точки, или имеющих самокасание в какой-нибудь из этих $m$ точек
самопересечения. Если $n>2$, то дополнение к дискриминанту всюду плотно
в $\K(\Theta,n)$. Аналогично \cite{b94}, \cite{fasis}, вычисление когомологий
дополнительного пространства $\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta, n)$
{\em типичных кривых} с данным типом самопересечений
сводится к вычислению {\em гомологий Бореля--Мура конечной
коразмерности} самого пространства $\Sigma(\Theta,n)$ при помощи
своеобразной двойственности Александера
\begin{equation}
H^i(\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta, n))
\simeq \bar H_{\omega-i-1}(\Sigma(\Theta,n)).
\label{evr}
\end{equation}
Здесь $\omega$ символизирует размерность пространства
$\K(\Theta,n),$ через $\bar H_*$ обозначаются
гомологии Бореля--Мура, то есть гомологии одноточечной компактификации,
приведенные по модулю точки,
а всей группе в правой части придается смысл при помощи
конечных аппроксимаций пространства $\K(\Theta,n)$, ср.
\cite{b94}, \cite{fasis}, и комментарий к формуле
(\ref{finap}) на стр. \pageref{finap}\footnote{В случае обычных
конечномерных дискриминантов, то есть множеств полиномов с кратными корнями,
подобную редукцию впервые применил В.И.Арнольд \cite{ar70}}.
В частности, при $n=3$ инвариантам кривых (то есть классам нульмерных
когомологий) соответствуют элементы группы
$ \bar H_{\omega-1}(\Sigma(\Theta,n))$.
Группы (\ref{evr}) вычисляются при помощи спектральной последовательности,
аналогичной случаю узлов (т.е. случаю $m=0$),
см. \cite{knsp}, \cite{b94}, \cite{fasis}.

Мы вычислим здесь только такие гомологии первого порядка,
то есть гомологии {\em тавтологического разрешения} дискриминанта,
которое соответствует первому столбцу этой спектральной последовательности
(см. \S \ref{tavtol} ниже).

Эти вычисления по существу совпадают
для всех $n \ge 3$ одной и той же четности; при четном
(соответственно, нечетном)
$n$ искомые гомологии совпадают (после подходящего
преобразования размерностей) с гомологиями обещанного комплекса
$\CC_*(\Theta,\mbox{even})$ (соответственно, $\CC_*(\Theta,\mbox{odd})$).

Эти вычисления осмысленны и при $n=2$: в этом случае
они дают препятствия к планарности кривой с такими самопересечениями.

Наши комплексы $\CC_*(\Theta,\mbox{even})$ и $\CC_*(\Theta,\mbox{odd})$
являются супераналогами друг друга.
Для увеличения путаницы, основу комплекса
$\CC_*(\Theta,\mbox{odd})$ составляет некоторая коммутативная алгебра,
а основу $\CC_*(\Theta,\mbox{even})$ --- косокоммутативная.

\begin{remark} \rm
Нам потребуются хорды и хордовые диаграммы двух разных типов,
см. например Рис. \ref{easiest0}, \ref{selftan0} на стр. \pageref{selftan0}.
Хордовые диаграммы первого типа
(всюду ниже обозначаемые $\Theta$) задают порядок самопересечения
всех наших кривых $f(\R^1) \subset \R^n$ из пространства $\K(\Theta,n);$
они изображаются гладкими дугами (``хордами''), соединяющими точки, склеиваемые
всяким отображением из этого пространства.
Хорды второго типа участвуют в определении стратов
дискриминанта $\Sigma(\Theta,n)$ в этом пространстве и
символизируют дополнительные самопересечения этих кривых;
они изображаются ломаными линиями, соединяющими некоторые точки
прямой $\R^1$, не являющиеся концами никакой гладкой хорды. В настоящей
работе
мы будем рассматривать только диаграммы, содержащие не более одной
ломаной хорды: в более общей задаче число этих хорд равно порядку
исследуемых инвариантов или классов когомологий пространства
$\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n)$.
\end{remark}

\subsection{Диаграммы Гаусса (--Поляка--Виро) для самопересекающихся
кривых}
\label{dg}

Аналогично \cite{PV}, диаграмма
Гаусса (первого порядка) над хордовой диаграммой $\Theta$
--- это произвольная ориентированная ломаная линия, соединяющая две
неособые (то есть не совпадающие с концами гладких хорд из $\Theta$)
точки в $\R^1$,
см. например левые части Рис. \ref{easiest}, \ref{selftan} на стр.
\pageref{easiest}.
Такие диаграммы рассматриваются с точностью до эквивалентности, т.е. до
гомеоморфизмов $\R^1 \to \R^1$, сохраняющих $\Theta$ и ориентацию.

{\em Значение} такой диаграммы на
произвольном типичном отображении $f \in \K(\Theta,3)$
определяется по плоской диаграмме этого отображения как {\em взвешенное}
число пар точек $\{u,v\} \subset \R^1$ таких, что

а) $u$ принадлежит неособому интервалу, из которого выходит ломаная стрелка,
а $v$ --- интервалу, в который она направлена;

б) проекции точек
$f(u)$ и $f(v)$ в ``плоскость стола'' $\R^2$ совпадают, и

в) $f(v)$ лежит ``выше'', чем $f(u)$, то есть
проекция $f(v)$ на ``вертикальную'' ось, перпендикулярную плоскости стола,
имеет б\'ольшую координату, чем проекция $f(u)$.\footnote{В оригинальной
работе Поляка и Виро \cite{PV} принято
противоположное правило: конец стрелки соответствует той точке,
которая ниже. Это правило очень сбивает с толка при вычислении
дифференциалов в наших комплексах, поэтому мы его
изменяем на противоположное: в нашем случае конец смотрит вверх.}

``Взвешенность'' означает, что такая пара точек учитывается с коэффициентом
$1$ или $-1$ в зависимости от знака локальной закрученности (writhe)
диаграммы сингулярной кривой $f(\R^1)$
вблизи проекции точек $f(u), f(v)$. Как правило,
одна диаграмма Гаусса не задает инварианта самопересекающихся кривых
(т.е. ее значения на изотопных кривых могут отличаться), однако, как
мы увидим ниже, подбирая подходящие линейные комбинации диаграмм, можно
реализовать все инварианты первого порядка.

В терминах пространства $\K(\Theta,3)$ диаграмму Гаусса следует
рассматривать как сингулярную цепь полной размерности в этом
пространстве (точный смысл этого понятия также использует
конечномерные аппроксимации, см. стр. \pageref{finap}),
причем определенное выше значение диаграммы на типичном отображении
$f \in \K(\Theta,3)$ --- это кратность, с которой окрестность
точки $f$ входит в эту цепь. Линейная комбинация гауссовых диаграмм
задает комбинаторную формулу инварианта тогда и только тогда,
когда соответствующая линейная комбинация сингулярных цепей
является относительным циклом в
$\K(\Theta,3) \mbox{ mod } \Sigma(\Theta,3),$
причем его граница является циклом, задающим этот инвариант в силу
изоморфизма (\ref{evr}). Аналогично, при любом $n \ge 3$ гауссовы диаграммы
определяют цепи коразмерности $n-3$ в $\K(\Theta,n).$ Из
этих цепей можно пытаться составить относительные циклы, затягивающие
те или иные циклы в $\Sigma(\Theta,n)$, а следовательно реализующие
соответствующие им в силу (\ref{evr}) классы $(n-3)$-мерных когомологий
в $\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n).$

Согласно теореме М.Н.Гусарова \cite{GPV}, у любого инварианта узла
конечного порядка имеется комбинаторная формула типа Поляка--Виро
(обобщающая формулу Гаусса для индекса зацепления)
с рациональными коэффициентами.
Для существования {\em целочисленной} формулы Поляка--Виро у инварианта
узла $(m+1)$-го порядка необходимо существование целочисленной
формулы Гаусса у соответствующего инварианта первого порядка
для $m$ раз самопересекающихся кривых.
В частности, вычисляемое в настоящей работе
препятствие к существованию целочисленной формулы
типа Гаусса для инвариантов самопересекающихся кривых
является первым препятствием к целочисленности формулы Поляка--Виро
для инварианта узлов. В \S \ref{obstcof} мы опишем это препятствие и докажем,
что оно нетривиально для одного из базисных целочисленных инвариантов
узлов 4-го порядка.

\section{Гомологическое вычисление}

\subsection{Тавтологическое разрешение дискриминанта}
\label{tavtol}

Дискриминант $\Sigma(\Theta, n) \subset \K(\Theta,n)$
является замыканием множества таких отображений
$f \in \K(\Theta,n),$ что существует пара неособых (т.е. не
принадлежащих хордам из $\Theta$) различных точек $u,v \in \R^1$ такая, что
$f(u)=f(v)$. Конструкция тавтологического разрешения $\sigma_1(\Theta,n)$
дискриминанта получается из этого определения
устранением квантора существования: мы берем множество
всех пар $((u,v);f)$, удовлетворяющих тем же условиям, и замыкаем
его в некотором естественном пространстве, которое сейчас опишем.

Рассмотрим векторное
пространство $F(\Theta)$ всевозможных гладких функций
$\R^1 \to \R^1,$ принимающих одинаковые значения
в концах каждой хорды из $\Theta$,
и обозначим через $I(\Theta)$ грассманово
многообразие всевозможных подпространств коразмерности 1 в $F(\Theta)$.
Пространство $B(\R^1 \sm \Theta,2)$ неупорядоченных пар
различных точек в $\R^1 \sm \Theta$ естественно вложено в
в $I(\Theta)$: каждой 2-конфигурации соответствует
множество функций, принимающих одинаковые значения в ее точках.
Пополненное конфигурационное пространство $B_2(\Theta)$ определяется
как замыкание подмногообразия $B(\R^1 \sm \Theta,2)$ в $I(\Theta)$.
Наконец,
тавтологическое разрешение $\sigma_1(\Theta,n)$ дискриминанта
$\Sigma(\Theta,n)$ определяется как некоторое подмножество в прямом
произведении
\begin{equation}
\label{taut}
B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n),
\end{equation}
а именно как замыкание в нем множества пар
$((u,v); f)$ таких, что $\{u \ne v\} \subset \R^1 \sm \Theta$ и
$f(u) = f(v)$. Ограничение на него проекции
$B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n) \to B_2(\Theta)$
является аффинным расслоением, слой которого --- подпространство
коразмерности $n$ в $\K(\Theta,n)$.
Максимальные страты этого множества $\sigma_1(\Theta,n)$ (то есть
связные компоненты описанного чуть выше незамкнутого
подмножества в $B(\R^1 \sm \Theta,2) \times \K(\Theta,n)$)
находятся во взаимно однозначном соответствии с неупорядоченными парами
компонент множества $\R^1 \sm \Theta$; они изображаются
ломаными хордами (или попросту {\em ломаными}), соединяющими точку
одного такого интервала с точкой другого. Остальные страты перечисляются
ниже, см. диаграмму \ref{complex} на стр. \pageref{complex}
и комментарий к ней.

Проекция $\sigma_1(\Theta,n) \to \Sigma(\Theta,n),$ индуцированная
очевидной проекцией
$B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n) \to \K(\Theta,n), $
задает гомоморфизм ``групп гомологий Бореля--Мура конечной коразмерности''
\begin{equation}
\label{finap}
\bar H_{\omega -*}(\sigma_1(\Theta,n)) \to \bar
H_{\omega-*}(\Sigma(\Theta,n)) .
\end{equation}
Точный смысл этой формулы состоит в следующем, ср.
\cite{b94}, \cite{fasis}. Мы аппроксимируем бесконечномерное пространство
$\K(\Theta,n)$ возрастающей последовательностью конечномерных пространств
$T^{N_1} \subset T^{N_2} \subset \cdots$,
$N_i \to \infty$, находящихся в общем положении по отношению к
дискриминанту $\Sigma(\Theta,n) \subset \K(\Theta,n).$ Для любого
$i=1,2, \dots,$ определим $\sigma_1^{(i)}$ как
$\sigma_1(\Theta,n) \cap (B_2(\Theta) \times T^{N_i}).$
Легко видеть, что при достаточно больших $i<j$ имеется естественный
гомеоморфизм
\begin{equation}
\sigma_1^{(j)} \simeq \sigma_1^{(i)} \times \R^{N_j - N_i},
\end{equation}
в частности изоморфизм групп гомологий Бореля--Мура
\begin{equation}
\label{stabil}
\bar H_{N_j-*}(\sigma_1^{(j)}) \simeq \bar H_{N_i-*}(\sigma_1^{(i)}).
\end{equation}
Для любого $i$, композиция
\begin{equation}
\label{alnestab}
\bar H_{N_i-*}(\sigma_1^{(i)}) \to
\bar H_{N_i-*}(\Sigma(\Theta,n) \cap T^{N_i})
\to H^{*-1}(\K(\Theta,n) \cap T^{N_i} \sm \Sigma(\Theta,n))
\end{equation}
проекции и двойственности Александера в $T^{N_i}$
переводит любой элемент левой группы $\bar H_{N_i-*}(\sigma_1^{(i)})$
в некоторый класс когомологий пространства
$\K(\Theta,n) \cap T^{N_i} \sm \Sigma(\Theta,n)$. При этом классы гомологий
пространств $\sigma_1^{(i)}, \sigma_1^{(j)},$ соответствующие друг другу при
изоморфизме (\ref{stabil}), определяют классы когомологий одинаковой
размерности, переходящие друг в друга при тождественном вложении $T^{N_i} \sm
\Sigma(\Theta,n) \subset T^{N_j} \sm \Sigma(\Theta,n),$ а следовательно
стабилизирующиеся к корректно определенному классу когомологий всего
пространства $\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n).$

По определению, любой элемент левой группы в (\ref{finap}) ---
это последовательность элементов во всех группах
$\bar H_{N_i-*}(\sigma_1^{(i)})$ с достаточно большими $i$, соответствующих
друг другу в силу изоморфизмов (\ref{stabil}), а следовательно
определяющих некоторый класс когомологий пространства
$\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n).$ Легко видеть,
что это определение не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности
$\{T^{N_i}\}.$


Когомологии первого порядка пространства $\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n)$
--- это по определению классы когомологий, получающиеся в пределе из
правых частей (\ref{alnestab}). В частном случае $n=3$ и когомологий
размерности 0, то есть инвариантов, это определение согласуется с данным
во введении.

\begin{proposition}
Любой инвариант первого порядка для кривых из $\K(\Theta,3)$
$($то есть инвариант, удовлетворяющий характеристическому условию
Рис. \ref{cret}$)$ задается $($с точностью до прибавления константы$)$
индексом зацепления с образом некоторого
цикла старшей размерности в $\sigma_1(\Theta,3)$.
\end{proposition}

Действительно, такой инвариант задается подходящей линейной комбинацией
ломаных хорд; в качестве искомого цикла надо взять линейную
комбинацию (с теми же коэффициентами)
соответствующих этим хордам максимальных стратов в
$\sigma_1(\Theta,3)$, снабженных некоторыми ориентациями,
см. \S \ref{coors}.
\hfill $\square$ \medskip

Опишем пространство $\sigma_1(\Theta,n).$
Это пространство (равно как и его база $B_2(\Theta)$)
состоит из
стратов трех соседних (ко)размерностей. Эти страты
перечисляются в диаграмме
(\ref{complex}). При этом числа, указанные в этих обозначениях
в скобках, означают число стратов того или иного типа, а сами выражения
$A({\bnm{2m+1}{2}})$, $B(m(2m+1))$ и т.д. --- соответствующие группы
клеточных цепей, то есть свободные абелевы группы, образующими которых
являются фундаментальные циклы стратов этого типа.

\begin{equation}
\begin{array}{c}
\unitlength 1mm
\linethickness{0.4pt}
\mbox{
\begin{picture}(90.00,55.00)
\put(10.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$A({\bnm{2m+1}{2}})$}}
\put(50.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$B(m(2m+1))$}}
\put(90.00,50.00){\makebox(0,0)[cc]{$E({\bnm{m}{2}})$}}
\put(50.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$C(2m)$}}
\put(90.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{$F(2m)$}}
\put(10.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$A'(2m+1)$}}
\put(50.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$D(2m+1)$}}
\put(23.00,50.00){\vector(1,0){13.00}}
\put(64.00,50.00){\vector(1,0){13.00}}
\put(22.00,45.00){\vector(2,-1){18.00}}
\put(63.00,45.00){\vector(2,-1){17.00}}
\put(64.00,30.00){\vector(1,0){13.00}}
\put(23.00,10.00){\vector(1,0){13.00}}
\put(22.00,15.00){\vector(2,1){18.00}}
\put(19.00,18.00){\vector(1,1){24.00}}
\put(63.00,15.00){\vector(2,1){17.00}}
\end{picture}
}
\end{array}
\label{complex}
\end{equation}

А именно, страты максимальной размерности состоят из пар вида
(пара различных точек на проколотой прямой $\R^1 \sm \Theta$; отображение $f$,
склеивающее эти точки).
Каждый такой страт определяется выбором каких-то двух из
$2m+1$ интервалов, на которые $\R^1$ делится точками хордовой
диаграммы $\Theta$.
Нам удобно выделить те из этих стратов, для которых эти два
интервала совпадают. Соответствующая группа обозначается через $A'(2m+1)$, а
группа, связанная с несовпадающими интервалами --- $A({\bnm{2m+1}{2}})$.

Страты вице-максимальной размерности --- трех типов.
Страты, порождающие группу $B(m(2m+1))$, индексируются
выбором одной из $m$ хорд
и одного из $2m+1$ неособых интервалов. Их точки --- это пары вида
(точка выбранного интервала; отображение
$f \in \K(\Theta,n)$, склеивающее эту точку
с обоими концами выбранной хорды).
Страты, порождающие $C(2m)$, нумеруются выбором одной хорды и одного из
символов $\rra$ или $\rla$. Они состоят соответственно
из таких отображений,
производные которых в концах выбранной хорды сонаправлены
или противонаправлены.
Страты, порождающие $D(2m+1)$,
нумеруются выбором одного из $2m+1$ неособых интервалов
и состоят из пар вида (точка выбранного интервала; отображение $f$,
производная которого обращается в нуль в этой точке).

Страты коразмерности 2 --- еще двух типов.
Страты, порождающие $E({\bnm{m}{2}})$, нумеруются парами различных хорд
и состоят из отображений, склеивающих все концы двух хорд вместе.
Страты, порождающие $F(2m)$, нумеруются концами хорд и состоят из
отображений, имеющих особенность (нуль производной) в соответствующей точке; это условие
изображается звездочкой в этой точке.

Легко видеть, что все перечисленные страты
являются пространствами аффинных расслоений
бесконечной размерности, но конечной (равной $n$) коразмерности
в $\K(\Theta,n)$ над открытыми
клетками размерности 2, 1 или 0. Например, образующая
$\alpha_\rra$ или $\alpha_\rla$ группы $C(2m)$
расслоена над одной или другой компонентой проколотой проективной прямой
$\RP^1 \sm \{0,\infty\}$: слой над точкой $\rho$ состоит из
отображений $f \in \K(\Theta,n)$ таких, что производная
$f$ в правом конце хорды $\alpha$ равна производной в левом конце,
растянутой в $\rho$ раз.

Мы рассматриваем трехчленный цепной комплекс
\begin{equation}
0 \to \CC_2(\Theta,n) \to \CC_1(\Theta,n) \to \CC_0(\Theta,n) \to 0
\label{short}
\end{equation}
с группами
$\CC_2(\Theta,n)=A({\bnm{2m+1}{2}})\oplus A'(2m+1),$
$\CC_1(\Theta,n)=B(m(2m+1))\oplus C(2m)\oplus D(2m+1)$ и
$\CC_0(\Theta,n)=E({\bnm{m}{2}})\oplus F(2m)$,
образующие которого --- это (подходящим образом ориентированные)
фундаментальные циклы соответствующих стратов, а
граничные операторы, изображаемые стрелками в
(\ref{complex}), отражают коэффициенты инцидентности стратов соседних
размерностей. Эти инцидентности соответствуют
вырождениям условий, определяющих б\'ольший страт. В случае, когда
этот страт --- максимальный, эти вырождения изображены на Рис. \ref{rmx}.
Хотя имеется очевидное взаимно однозначное соответствие между
стратами, соответствующими случаям произвольных $n$,
эти коэффициенты инцидентности
(и гомологии комплекса) сильно зависят от четности $n$
(влияющей на учет ориентаций стратов).
По существу, комплекс (\ref{short}) является клеточным комплексом,
вычисляющим гомологии Бореля--Мура
пространства $B_2(\Theta)$ с коэффициентами
в локальной системе, следящей за ориентацией аффинного расслоения
$\sigma_1(\Theta) \to B_2(\Theta),$ и эта ориентация по-разному
ведет себя для $n$ разной четности.
В частности, номера двух интервалов, определяющих образующую группы
$A({\bnm{2m+1}{2}})$, при нечетном $n$ удобно рассматривать как
коммутирующие индексы, а при четном $n$ --- как антикоммутирующие.
Соответствующее обозначение для образующей, связанной, скажем,
с первым и четвертым интервалом в первом случае будет
$1 \cdot 4,$ а во втором --- $1 \wedge 4$, причем, как обычно,
$1 \cdot 4 = 4\cdot 1$ и $1\wedge 4 =- 4 \wedge 1$.

Очевидно, эйлерова характеристика комплекса (\ref{short})
равна ${\bnm{m}{2}}.$
\medskip

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(119.67,86.00)
\bezier{96}(2.00,84.00)(12.00,74.00)(12.00,64.00)
\put(9.00,64.00){\oval(6.00,8.00)[b]}
\bezier{104}(2.00,34.00)(9.00,24.00)(9.00,10.00)
\bezier{104}(9.00,10.00)(9.00,24.00)(16.00,34.00)
\put(9.00,52.00){\vector(0,-1){10.00}}
\put(9.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{\bf \u R1}}
\put(84.00,85.00){\line(-5,-4){16.00}}
\put(92.00,85.00){\line(5,-4){27.00}}
\put(110.67,71.00){\line(4,3){9.00}}
\put(92.00,57.00){\line(4,3){17.00}}
\put(89.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{\bf \u R3}}
\put(79.00,53.00){\vector(1,-4){3.00}}
\put(97.00,53.00){\vector(-1,-3){4.00}}
\bezier{96}(6.00,64.00)(7.00,76.00)(16.00,84.00)
\put(74.00,86.00){\line(0,-1){31.00}}
\put(102.00,86.00){\line(0,-1){31.00}}
\put(84.00,85.00){\line(-5,-4){27.00}}
\put(84.00,57.00){\line(-6,5){16.00}}
\put(66.00,72.00){\line(-5,4){9.00}}
\put(88.00,37.00){\line(0,-1){24.00}}
\put(83.00,22.00){\line(5,-3){25.00}}
\put(93.00,22.00){\line(-5,-3){25.00}}
\put(9.00,75.00){\circle*{1.00}}
\put(74.00,77.00){\circle*{1.00}}
\put(102.00,77.00){\circle*{1.00}}
\put(102.00,64.33){\circle*{1.00}}
\put(74.00,65.33){\circle*{1.00}}
\put(88.00,19.00){\circle*{1.00}}
\bezier{172}(31.00,84.00)(47.00,70.00)(31.00,56.00)
\bezier{172}(41.00,84.00)(25.00,70.00)(41.00,56.00)
\bezier{136}(30.00,34.00)(42.00,20.00)(30.00,6.00)
\bezier{144}(42.00,34.00)(30.00,20.00)(42.00,6.00)
\put(36.00,20.00){\circle*{1.00}}
\put(36.00,78.50){\circle*{1.00}}
\put(36.00,61.50){\circle*{1.00}}
\put(36.00,52.00){\vector(0,-1){11.00}}
\put(36.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{\bf \u R2}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Примыкания стратов дискриминанта}
\label{rmx}
\end{figure}

Вот первое приложение этого комплекса.

\begin{theorem}
Для любого $n>3$, группа $H^{i}(\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n))$
тривиальна при $i<n-3$, а при $i=n-3$ она канонически изоморфна группе
$H_2(\CC_*(\Theta,n))$.
Группа $H^{n-2}(\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n))$
при любом $n>4$
канонически изоморфна группе $H_1(\CC_*(\Theta,n))$, а при $n=4$
содержит подгруппу, изоморфную $H_1(\CC_*(\Theta,4))$.
\end{theorem}

{\em Доказательство} стандартно (см. \cite{b94}, \cite{fasis}) и
здесь не приводится: оно
основано на конструкции симплициального разрешения
дискриминанта $\Sigma(\Theta,n)$, совершенно
аналогичной данной в \cite{knsp}, \cite{b94}
для дискриминанта в пространстве узлов.
$\sigma_1(\Theta,n)$ является первым членом естественной
фильтрации этого разрешения,
которая определяет спектральную последовательность,
сходящуюся к $H^*(\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n)).$
Носитель этой спектральной последовательности лежит во втором квадранте
в клине
$\{p \le -1, (n-2)p+q \ge 0\},$ ``острие'' этого клина, то есть
клетка $E^1_{-1, n-2},$ канонически изоморфна группе
$H_2(\CC_*(\Theta,n))$, а клетка $E^1_{-1, n-1}$ изоморфна
$H_1(\CC_*(\Theta,n))$. Утверждения теоремы сразу следуют из
существования такой спектральной последовательности.
\hfill $\square$
\medskip

В наиболее интересном случае $n=3$ группа
$H_2(\CC_*(\Theta,3))$
дает лишь некоторую подгруппу группы
$H^0(\K(\Theta,3) \sm \Sigma(\Theta,3))$
инвариантов типичных самопересекающихся кривых.

Для описания групп гомологий комплексов
$\CC_*(\Theta,n)$ нам потребуются еще два понятия.

\begin{definition} \rm
{\em Граф пересечений}, связанный с хордовой диаграммой $\Theta$
(см. \cite{CDL}) --- это граф, вершины которого соответствуют
хордам диаграммы $\Theta$, причем две вершины соединены ребром
тогда и только тогда, когда концы соответствующих
хорд перемежаются в $\R^1$ (т.е. два конца каждой из них разделены
каким-то концом другой).
Хордовая диаграмма $\Theta$ с $m$ хордами {\em планарна},
если существует длинная иммерсия $\R^1 \to \R^2$,
имеющая ровно $m$ точек трансверсального самопересечения,
причем прообразы каждой из этих точек соединяются хордой из
$\Theta$.

Далее мы будем обозначать группу $H_*(\CC_*(\Theta,n))$
просто через $H_*(\Theta,n)$.
\end{definition}

Мы будем использовать следующие две леммы, легко вытекающие из определений.

\begin{lemma}
\label{alt2}
Для любой пары связных компонент графа пересечений
либо найдется неособая точка в $\R^1$ такая, что все
концы хорд из одной компоненты лежат справа от ней,
а из другой --- слева, либо найдется пара неособых точек
такая, что все концы хорд из одной компоненты лежат в интервале между ними,
а из другой --- вне этого интервала. \hfill $\square$
\end{lemma}

На множестве этих компонент имеется частичный порядок: одна компонента
{\em подчинена} другой, если все концы всех хорд из первой компоненты
находятся в $\R^1$ между концами любой хорды из второй.

\begin{lemma}
\label{rballs}
Для любого $n \ge 3$ и любой хордовой диаграммы $\Theta$
существует иммерсия $\varphi: \R^1 \to \R^n$ класса
$\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n)$
и набор шаров с непересекающимися границами в $\R^n$,
находящихся во взаимно однозначном соответствии
со связными компонентами графа пересечений, такие что

1$)$ центры всех этих шаров лежат на {\em оси}
пространства $\R^n$, то есть на
образе стандартного линейного вложения $\R^1 \to \R^n$, участвующего в
определении пространства $\K(\Theta,n)$,

2$)$ кривая $\varphi(\R^1)$ пересекает границу
$S^{n-1}$ любого из этих шаров ровно в двух антиподальных точках,
лежащих на этой оси, и совпадает с этой осью вблизи этих
точек пересечения;

3$)$ внутри шара
лежат те и только те точки самопересечения $\varphi(\R^1),$
которые изображаются хордами из компоненты, соответствующей
этому шару и из подчиненных ей компонент;

4$)$ если некоторая компонента связности графа пересечений
$\Theta$ планарна, то в пересечении с соответствующим шаром,
из которого выкинуты все его подчиненные шары, кривая
$\varphi(\R^1)$ лежит в некоторой двумерной плоскости.
\hfill $\square$
\end{lemma}

Теперь сформулируем основные гомологические результаты работы.

\begin{theorem}
\label{homodd}
Если $n$ нечетно, то группа $H_0(\Theta,n)$ тривиальна,
ранг группы $H_2(\Theta,n)$ равен ${\bnm{m}{2}}$
плюс число компонент связности графа пересечений,
а группа $H_1(\Theta,n)$ не содержит 2-кручения, и ее
ранг равен этому же числу связных компонент.
\end{theorem}

\begin{theorem}
\label{homeven}
Пусть $n$ четно. Тогда группа $H_0(\Theta,n)$ комплекса $($\ref{complex}$)$
тривиальна, а группа $H_1(\Theta,n)$
является прямой суммой слагаемых $\Z$,
соответствующих всем планарным
связным компонентам графа пересечений, и слагаемых $\Z_2$, соответствующих
всем непланарным компонентам.
В качестве образующей любого такого слагаемого, соответствующего
той или иной компоненте этого графа, можно взять цикл
$\alpha_{\rra}+\alpha_{\rla} \in C(2m)$, где $\alpha$ ---
любая хорда из этой компоненты.
Группа $H_2(\Theta,n)$ --- свободная абелева,
ранг ее равен ${\bnm{m}{2}}$ плюс ранг группы $H_1(\Theta,n)$
$($т.е. число планарных связных компонент графа пересечений$)$.
\end{theorem}

\begin{example} \rm
Пусть наша хордовая диаграмма $\Theta$
максимально несвязна и, более того,
концы любой ее хорды не разделены в $\R^1$ концами других хорд,
см. Рис. \ref{trivex}.
\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(78.00,9.00)
\put(13.00,5.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(31.00,5.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(66.00,5.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(2.00,5.00){\line(1,0){40.00}}
\put(55.00,5.00){\line(1,0){26.00}}
\put(48.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$\dots$}}
\put(5.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{$1$}}
\put(13.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{$2$}}
\put(22.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{$3$}}
\put(31.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{$4$}}
\put(66.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{$2m$}}
\put(79.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{$2m+1$}}
\end{picture}
\caption{Простейшая $m$-хордовая диаграмма}
\label{trivex}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(125.00,14.00)
\bezier{116}(0.00,0.00)(19.00,0.00)(19.00,10.00)
\bezier{40}(19.00,10.00)(19.00,14.00)(14.00,14.00)
\bezier{44}(14.00,14.00)(9.00,14.00)(9.00,10.00)
\bezier{100}(9.00,10.00)(9.00,0.00)(29.00,0.00)
\bezier{116}(29.00,0.00)(49.00,0.00)(49.00,10.00)
\bezier{40}(49.00,10.00)(49.00,14.00)(44.00,14.00)
\bezier{44}(44.00,14.00)(39.00,14.00)(39.00,10.00)
\bezier{100}(39.00,10.00)(39.00,0.00)(58.00,0.00)
\bezier{52}(67.00,0.00)(72.00,0.00)(76.00,1.00)
\bezier{52}(76.00,1.00)(79.00,2.00)(81.00,2.00)
\bezier{52}(81.00,2.00)(83.00,2.00)(86.00,1.00)
\bezier{52}(86.00,1.00)(90.00,0.00)(96.00,0.00)
\put(81.00,8.50){\oval(10.00,11.00)[]}
\bezier{52}(96.00,0.00)(102.00,0.00)(106.00,1.00)
\bezier{52}(106.00,1.00)(109.00,2.00)(111.00,2.00)
\bezier{52}(111.00,2.00)(113.00,2.00)(116.00,1.00)
\bezier{52}(116.00,1.00)(120.00,0.00)(125.00,0.00)
\put(111.00,8.50){\oval(10.00,11.00)[]}
\put(62.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{$\Longrightarrow$}}
\end{picture}
\caption{Сглаживание уголков}
\label{ugol}
\end{center}
\end{figure}

Тогда ранг группы $H_2(\Theta,3)$ равен ${\bnm{m+1}{2}}$. Определяемые ею
инварианты особых иммерсий, уважающих эту хордовую диаграмму,
имеют следующий смысл. Для любой типичной иммерсии
с таким типом самопересечений, см. Рис. \ref{ugol} слева,
мы можем сгладить
ее образ вблизи каждой точки самопересечения так, чтобы он рассыпался
на $m$ колечек, происходящих из интервалов с номерами
2, 4, \dots, $2m$, и один неособый длинный узел, составленный
из (чуть пошевеленных) образов интервалов 1, 3, \dots, $2m-1$, $2m+1$.
Для каждых двух из этих $m+1$ кривых определен их (симметричный)
индекс зацепления, который, конечно, является инвариантом особой
иммерсии.

Все эти инварианты реализуются линейными комбинациями диаграмм Гаусса.
Формула,
соответствующая индексу зацепления двух колечек, состоит из одной
диаграммы с ломаной стрелкой, соединяющей центры интервалов в $\R^1$,
из которых получились эти колечки: она считает (с подходящими знаками)
количество образов точек одного интервала, оказавшихся выше
точек другого интервала. Индекс зацепления колечка с длинным узлом
задается суммой $m+1$ диаграмм Гаусса.
\end{example}

Обсудим, как в случае несвязного графа пересечений группа
$H_2(\Theta,3)$ сводится к аналогичным группам для его
связных компонент.

\begin{proposition}
\label{decom}
Пусть граф пересечений диаграммы $\Theta$ состоит из $r$ связных
компонент $\Theta_1, \dots, \Theta_r,$ содержащих соответственно
по $m_1, \dots, m_r$ вершин, $m_1 + \dots + m_r=m.$
Тогда ранг группы $H_2(\Theta,3)$ не меньше числа
\begin{equation}
\sum_{k=1}^r \mbox{\rm rank } H_2(\Theta_k,3) + \sum_{i<j}^r m_i m_j
\end{equation}
\end{proposition}

{\em Доказательство}.
Реализуем вначале второе слагаемое, то есть
каждой паре хорд из разных компонент
связности поставим в соответствие независимую образующую
группы $H_2(\Theta,3)$.

Если для этой пары компонент выполнена первая возможность
из леммы \ref{alt2}, то
для любой хорды из одной компоненты и любой хорды из второй
рассмотрим петлю кривой $\varphi(\R^1),$ образованную образом отрезка
между концами первой хорды, и аналогичную петлю для второй хорды.
Индекс зацепления этих двух петель корректно определен и
задается циклом комплекса $\CC_*(\Theta,3),$ состоящим из
всевозможных произведений $a \cdot b$ где $a$ --- один из неособых
интервалов между концами первой хорды, а $b$ --- между концами второй.
Если же имеет место вторая возможность из леммы \ref{alt2}, то
берем индекс зацепления петли, образованной
образом отрезка между концами ``внутренней'' хорды, и уходящей
на бесконечность замкнутой кривой, образованной дополнением
к аналогичному отрезку для ``внешней''.

Теперь реализуем первое слагаемое.
Для $i$-й связной компоненты $\Theta_i$ графа пересечений
диаграммы $\Theta$ определим вложение
$\CC_2(\Theta_i,3) \to \CC_2(\Theta,3).$
А именно, любому неособому интервалу, ограниченному
концами хорд из $\Theta_i$, поставим в соответствие сумму всех
покрываемых им неособых интервалов, ограниченных концами
хорд из $\Theta$. Продолжим это сопоставление по
мультипликативности на всевозможные произведения
$a \cdot b$ таких интервалов, т.е. образующие группы
$\CC_2(\Theta_i,3)$, и по линейности на всю эту группу.
Легко видеть, что при этом циклу соответствует цикл,
и все полученные таким образом циклы линейно независимы в
$\CC_2(\Theta,3).$ \hfill $\square$ \medskip

В \S \ref{prhomodd} мы докажем обратное неравенство на ранг группы
$H_2(\Theta,3).$ Чуть ниже мы увидим, что все комплексы
$\CC_*(\Theta,n)$, соответствующие числам $n$ одной четности,
канонически изоморфны друг другу.

Доказательство теорем \ref{homodd}, \ref{homeven}
основано на следующем вычислении.


\subsection{Дифференциалы в комплексе (\ref{complex})}

Нижняя стрелка $A'(2m+1) \to D(2m+1)$ нашего комплекса
соответствует вырождению
{\bf \u R1} с Рис. \ref{rmx}, стрелка
$A({\bnm{2m+1}{2}}) \to C(2m)$ ---
вырождению {\bf \u R2}, и стрелка
$A({\bnm{2m+1}{2}}) \to B(m(2m+1))$ ---
вырождению {\bf \u R3}. При этом в верхних частях
второго и третьего столбцов Рис. \ref{rmx} две жирные точки,
соответствующие пересечениям, имеют разный статус: одно из
этих пересечений (и участвующие в нем точки прямой $\R^1$)
фиксировано для всех точек пространства $\K(\Theta,n)$ и задается одной из
гладких хорд диаграммы $\Theta$, второе же зависит от точки
дискриминанта, а участвующие в нем точки (или одна из них)
тем или иным способом стремятся к концам предыдущей хорды;
это самопересечение задается ломаной хордой.

Легко видеть, что при любом $n$ нижняя стрелка в
(\ref{complex}) является изоморфизмом, а следовательно при вычислении
гомологий комплекса (\ref{short}) можно вместо комплекса (\ref{complex})
рассматривать комплекс (\ref{compred}), полученный из него
выбрасыванием нижней строки и всех исходящих из нее стрелок.

\begin{equation}
\begin{array}{c}
\unitlength 1mm
\linethickness{0.4pt}
\mbox{
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(90.00,26.00)
\put(10.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$A({\bnm{2m+1}{2}})$}}
\put(50.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$B(m(2m+1))$}}
\put(90.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$E({\bnm{m}{2}})$}}
\put(50.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{$C(2m)$}}
\put(90.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{$F(2m)$}}
\put(23.00,23.00){\vector(1,0){13.00}}
\put(64.00,23.00){\vector(1,0){13.00}}
\put(22.00,18.00){\vector(2,-1){18.00}}
\put(63.00,18.00){\vector(2,-1){17.00}}
\put(64.00,3.00){\vector(1,0){13.00}}
\put(29.00,26.00){\makebox(0,0)[cc]{$\beta$}}
\put(32.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{$\zeta$}}
\put(71.00,26.00){\makebox(0,0)[cc]{$\epsilon$}}
\put(72.00,16.00){\makebox(0,0)[cc]{$\phi$}}
\put(71.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{$\psi$}}
\end{picture}
}
\end{array}
\label{compred}
\end{equation}

\begin{proposition}
\label{diffs}
При некотором естественном выборе ориентаций стратов, соответствующих
образующим комплекса $($\ref{compred}$)$, составные части граничных
операторов, определяющие пять стрелок в
$($\ref{compred}$)$, задаются следующими рисунками.

\begin{enumerate}

\item Стрелки
$\beta:A({\bnm{2m+1}{2}}) \to B(m(2m+1))$ и
$\zeta: A({\bnm{2m+1}{2}}) \to C(2m)$ --- рисунками
\ref{easiest0} и \ref{selftan0} соответственно,
на этих рисунках маленькими овалами
окружены концы хорд, стягивающиеся вместе при этом вырождении.

\item Стрелка $\psi: C(2m) \to F(2m)$ --- рисунком \ref{difc};

\item Стрелка $\phi: B(m(2m+1)) \to F(2m)$ --- рисунком \ref{bf};

\item Стрелка $\epsilon: B(m(2m+1)) \to E({\bnm{m}{2}})$ ---
рисунком \ref{bevar}. Строго говоря,
имеется очень много $($а именно 24$)$ возможных
взаимных расположений двух гладких
хорд и ломаной, выходящей из одной из них и сливающейся при этом
вырождении с другой хордой. Однако имеется лишь четыре существенно
различных варианта, представители которых изображены на
Рис. \ref{bevar}: они отличаются тем, у какой гладкой
хорды --- несущей конец
ломаной или нет --- левый конец
левее чем у другой, и тем, с какой стороны конец ломаной хорды
стремится к концу гладкой хорды.
 Для всех представителей каждого из этих четырех классов
коэффициент инцидентности будет таким же, как для его представителя,
указанного на этом рисунке.
\end{enumerate}
\end{proposition}

Выбор ориентаций стратов и доказательство этого предложения будут даны в \S
\ref{coors}.

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(128.67,10.33)
\put(0.00,5.20){\makebox(0,0)[cc]{$\beta$}}
\put(8.33,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(17.33,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(19.33,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(21.67,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(26.00,5.20){\makebox(0,0)[cc]{$- \beta$}}
\put(53.00,5.20){\makebox(0,0)[cc]{$- \beta$}}
\put(79.00,5.20){\makebox(0,0)[cc]{$\beta$}}
\put(36.34,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(62.33,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(86.33,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(117.67,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(44.34,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(71.33,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(96.33,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(126.67,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(46.34,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(73.33,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(128.67,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(48.67,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(75.67,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(100.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(3.33,5.00){\line(0,1){5.00}}
\put(3.33,10.00){\line(1,0){14.00}}
\put(67.33,5.00){\line(0,1){5.00}}
\put(67.33,10.00){\line(1,0){4.00}}
\put(89.83,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(66.83,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(32.84,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(3.83,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(117.66,8.00){\line(0,1){2.00}}
\put(117.66,10.00){\line(1,0){9.00}}
\put(44.34,10.00){\line(-1,0){11.00}}
\put(33.34,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(96.33,10.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(89.33,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(107.00,5.67){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^n$}}
\put(81.00,5.00){\line(1,0){16.33}}
\end{picture}


\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(122.33,10.00)
\put(26.67,5.20){\makebox(0,0)[cc]{$- \beta$}}
\put(41.00,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(44.00,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(47.00,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(102.33,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(44.50,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(1.00,5.20){\makebox(0,0)[cc]{$\beta$}}
\put(13.00,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(18.00,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(20.00,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(22.33,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(4.00,5.00){\line(0,1){5.00}}
\put(4.00,10.00){\line(1,0){14.00}}
\put(17.50,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(122.33,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(116.33,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(107.33,5.00){\line(0,1){5.00}}
\put(107.33,10.00){\line(1,0){9.00}}
\put(116.33,10.00){\line(0,-1){2.00}}
\put(53.67,5.20){\makebox(0,0)[cc]{$- \beta$}}
\put(68.00,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(74.00,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(63.83,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(80.33,5.20){\makebox(0,0)[cc]{$\beta$}}
\put(92.33,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(99.33,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(77.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(88.83,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(44.00,10.00){\line(-1,0){12.00}}
\put(32.00,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(49.33,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(83.33,5.00){\line(0,1){5.00}}
\put(83.33,10.00){\line(1,0){6.00}}
\put(89.33,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(58.00,5.00){\line(0,1){5.00}}
\put(58.00,10.00){\line(1,0){5.00}}
\put(63.00,10.00){\line(0,-1){5.00}}
\end{picture}


\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(130.00,9.00)
\put(0.00,5.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^n \beta$}}
\put(24.00,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(27.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(37.00,5.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^{n-1} \beta$}}
\put(68.00,5.50){\makebox(0,0)[cc]{$- \beta$}}
\put(93.33,5.50){\makebox(0,0)[cc]{$\beta$}}
\put(88.33,5.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(63.67,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(90.33,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(114.33,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(109.83,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(86.16,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(48.33,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(8.50,5.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(16.00,5.00){\oval(14.00,8.00)[t]}
\put(54.33,5.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(80.00,5.00){\oval(14.00,8.00)[t]}
\put(103.00,5.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(123.66,5.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(123.66,5.00){\line(0,1){4.00}}
\put(8.00,5.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(8.00,1.00){\line(1,0){8.00}}
\put(16.00,1.00){\line(0,1){4.00}}
\put(49.33,5.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(49.33,1.00){\line(1,0){5.00}}
\put(54.33,1.00){\line(0,1){4.00}}
\put(80.00,5.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(80.00,1.00){\line(1,0){6.00}}
\put(86.00,1.00){\line(0,1){4.00}}
\put(103.00,5.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(103.00,1.00){\line(1,0){8.00}}
\put(111.00,1.00){\line(0,1){4.00}}
\put(112.00,5.00){\line(-1,0){16.33}}
\put(130.00,5.00){\line(-1,0){12.67}}
\put(46.00,5.00){\line(1,0){15.33}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Граничный оператор при простейшем вырождении}
\label{easiest0}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(84.00,13.00)
\put(42.00,9.00){\line(1,0){18.00}}
\put(25.00,9.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(0.50,9.50){\makebox(0,0)[cc]{$\zeta$}}
\put(34.00,9.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^n \zeta$}}
\put(3.00,9.00){\line(1,0){18.00}}
\put(64.00,9.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(76.00,9.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(84.00,9.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(6.00,9.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(18.00,9.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(45.00,9.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(57.00,9.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(11.00,9.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(7.00,9.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(7.00,5.00){\line(1,0){12.00}}
\put(19.00,5.00){\line(0,1){4.00}}
\put(52.00,9.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(56.00,9.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(56.00,5.00){\line(-1,0){12.00}}
\put(44.00,5.00){\line(0,1){4.00}}
\put(73.00,5.00){\vector(1,0){6.00}}
\put(73.00,3.00){\vector(1,0){6.00}}
\put(82.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(82.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\end{picture}

\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(85.00,11.00)
\put(3.00,7.00){\line(1,0){18.00}}
\put(24.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(0.50,7.50){\makebox(0,0)[cc]{$\zeta$}}
\put(33.00,7.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^n \zeta$}}
\put(41.00,7.00){\line(1,0){18.00}}
\put(64.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(77.00,7.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(85.00,7.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(50.00,7.00){\oval(14.00,8.00)[t]}
\put(45.00,7.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(45.00,3.00){\line(1,0){10.00}}
\put(55.00,3.00){\line(0,1){4.00}}
\put(12.00,7.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(19.00,7.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(19.00,3.00){\line(-1,0){14.00}}
\put(5.00,3.00){\line(0,1){4.00}}
\put(74.00,4.00){\vector(1,0){6.00}}
\put(80.00,2.00){\vector(-1,0){6.00}}
\put(82.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(82.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\put(44.00,7.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(56.00,7.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(6.00,7.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(18.00,7.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Рождение самокасания}
\label{selftan0}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(100.00,28.00)
\put(1.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{$\psi$ }}
\put(4.00,6.00){\line(1,0){22.00}}
\put(14.00,6.00){\oval(14.00,10.00)[t]}
\put(10.00,3.00){\vector(1,0){8.00}}
\put(18.00,1.00){\vector(-1,0){8.00}}
\put(32.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(38.00,6.00){\line(1,0){22.00}}
\put(76.00,6.00){\line(1,0){22.00}}
\put(48.00,6.00){\oval(14.00,10.00)[t]}
\put(86.00,6.00){\oval(14.00,10.00)[t]}
\put(55.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{{\large $\star$}}}
\put(79.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{{\large $\star$}}}
\put(68.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{$-$}}
\put(1.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$\psi$ }}
\put(4.00,23.00){\line(1,0){22.00}}
\put(14.00,23.00){\oval(14.00,10.00)[t]}
\put(10.00,20.00){\vector(1,0){8.00}}
\put(32.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$= \ -$}}
\put(40.00,23.00){\line(1,0){22.00}}
\put(78.00,23.00){\line(1,0){22.00}}
\put(50.00,23.00){\oval(14.00,10.00)[t]}
\put(88.00,23.00){\oval(14.00,10.00)[t]}
\put(57.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{{\large $\star$}}}
\put(81.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{{\large $\star$}}}
\put(70.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$+ \ (-1)^n$}}
\put(10.00,18.00){\vector(1,0){8.00}}
\end{picture}
\caption{Граница самокасания}
\label{difc}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(125.00,19.00)
\put(1.00,13.50){\makebox(0,0)[cc]{$\phi$}}
\put(13.00,13.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(13.00,17.00){\line(0,1){2.00}}
\put(13.00,19.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(6.00,19.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(7.00,13.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(4.00,13.00){\line(1,0){16.00}}
\put(23.00,13.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(26.50,13.50){\makebox(0,0)[cc]{$-$}}
\put(41.00,13.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(41.00,17.00){\line(-1,-1){4.00}}
\put(36.00,13.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(33.00,13.00){\line(1,0){16.00}}
\put(52.00,13.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(63.00,13.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(57.00,13.00){\makebox(0,0)[cc]{{\large $\star$}}}
\put(55.00,13.00){\line(1,0){16.00}}
\put(1.00,1.50){\makebox(0,0)[cc]{$\phi$}}
\put(40.00,1.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(40.00,5.00){\line(0,1){2.00}}
\put(40.00,7.00){\line(1,0){7.00}}
\put(47.00,7.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(46.00,1.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(49.00,1.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(23.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(26.50,1.50){\makebox(0,0)[cc]{$-$}}
\put(12.00,1.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(12.00,5.00){\line(1,-1){4.00}}
\put(17.00,1.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(20.00,1.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(52.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(63.00,1.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(69.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{{\large $\star$}}}
\put(55.00,1.00){\line(1,0){16.00}}
\bezier{116}(93.00,0.00)(103.00,10.00)(118.00,10.00)
\bezier{36}(118.00,10.00)(125.00,10.00)(125.00,7.00)
\bezier{32}(125.00,7.00)(125.00,4.00)(119.00,4.00)
\bezier{112}(119.00,4.00)(103.00,4.00)(93.00,14.00)
\put(93.50,13.50){\vector(-1,1){1.00}}
\put(30.00,13.50){\makebox(0,0)[cc]{$\phi$}}
\put(30.00,1.50){\makebox(0,0)[cc]{$\phi$}}
\end{picture}
\caption{Исчезающая петля}
\label{bf}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(93.00,31.00)
\put(1.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{$\epsilon$ }}
\put(6.00,25.00){\line(0,1){6.00}}
\put(6.00,31.00){\line(1,0){12.00}}
\put(18.00,31.00){\line(0,-1){2.00}}
\put(18.00,25.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(24.00,25.00){\line(-1,0){20.00}}
\put(13.00,25.00){\oval(10.00,8.00)[b]}
\put(7.00,25.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(34.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{$-\epsilon$ }}
\put(51.00,31.00){\line(0,-1){2.00}}
\put(51.00,25.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(57.00,25.00){\line(-1,0){20.00}}
\put(40.00,25.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(45.00,25.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(41.00,25.00){\line(0,1){6.00}}
\put(41.00,31.00){\line(1,0){10.00}}
\put(28.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(61.00,25.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(74.00,25.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(78.00,25.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(78.00,29.00){\line(-1,-2){4.00}}
\put(66.00,25.00){\line(1,0){20.00}}
\put(10.00,5.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(10.00,9.00){\line(0,1){2.00}}
\put(10.00,11.00){\line(1,0){12.00}}
\put(22.00,11.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(15.00,5.00){\oval(10.00,8.00)[b]}
\put(21.00,5.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(4.00,5.00){\line(1,0){20.00}}
\put(43.00,5.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(43.00,9.00){\line(0,1){2.00}}
\put(54.00,5.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(37.00,5.00){\line(1,0){20.00}}
\put(49.00,5.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(43.00,11.00){\line(1,0){10.00}}
\put(53.00,11.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(1.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$\epsilon$}}
\put(34.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$-\epsilon$ }}
\put(28.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(61.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(68.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^n$}}
\put(85.00,5.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(81.00,5.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(81.00,9.00){\line(3,-5){4.80}}
\put(93.00,5.00){\line(-1,0){20.00}}
\end{picture}
\caption{Слияние хорд}
\label{bevar}
\end{center}
\end{figure}

\begin{corollary}
1. Для любого $\Theta,$ все комплексы $\CC_*(\Theta,n),$ соответствующие
числам $n \ge 3$ одной четности, изоморфны между собой. В частности, имеют
смысл обозначения $\CC_*(\Theta,\mbox{\rm even}),$
$\CC_*(\Theta,\mbox{\rm odd}),$
$H_*(\Theta,\mbox{\rm even}),$ $H_*(\Theta,\mbox{\rm odd}).$

2. Для любого $\Theta,$ все комплексы $\CC_*(\Theta,n) \otimes \Z_2,$
соответствующие всем возможным $n \ge 3,$ изоморфны между собой.
\hfill $\square$
\end{corollary}

Вот другое описание оператора $A({\bnm{2m+1}{2}}) \to B(m(2m+1))$
из верхней строки в (\ref{complex}).

Для всякого $a=1, \dots, 2m+1,$ то есть номера какого-либо интервала,
ограниченного концами гладких хорд, обозначим через $a^{\ua}$ (соответственно,
$a^{\da}$) такую хорду,
конец которой ограничивает $a$-й интервал
справа (соответственно, слева) в $\R^1$ (если такая хорда есть, т.е.
если этот интервал не уходит на бесконечность).
Конечно, $a^{\ua} \equiv (a+1)^{\da}$. Тогда
горизонтальная стрелка $A({\bnm{2m+1}{2}}) \to B(m(2m+1))$ переводит всякую
образующую $a \cdot b,$ $a<b$, ``нечетного'' (то есть коммутативного) комплекса
в сумму
\begin{equation}
-a\cdot b^{\ua} +a\cdot b^{\da} - b\cdot a^{\ua}+b\cdot a^{\da},
\label{altodd}
\end{equation}
и переводит
образующую $a \wedge b$ антикоммутативного комплекса в
\begin{equation}
- a \wedge b^{\ua} +a \wedge b^{\da} +b\wedge a^{\ua}-b\wedge a^{\da}.
\label{altev}
\end{equation}
Аналогично, косая стрелка $A'(2m+1) \to B(m(2m+1))$ переводит образующую,
соответствующую интервалу $a$, в
$-a \cdot a^{\ua}+a \cdot a^{\da}$ или
$-a \wedge a^{\ua}-a \wedge a^{\da}$, в зависимости от четности $n$.


Оператор, задаваемый горизонтальной стрелкой
$C(2m) \to F(2m),$ очевидным образом распадается в сумму
$m$ одинаковых операторов $\Z^2 \to \Z^2,$ соответствующих всем хордам.
Каждый такой оператор описывается рисунком \ref{difc}.
Отсюда сразу следует

\begin{lemma}
\label{lemone}
В случае нечетного $n$ старшая группа гомологий
$H_2(\Theta,n)$ комплекса $($\ref{short}$)$ совпадает с ядром оператора
$A({\bnm{2m+1}{2}}) \to B(m(2m+1))$.
\end{lemma}

Действительно, если бы ограничение стрелки
$A({\bnm{2m+1}{2}}) \to C(2m)$
на ядро стрелки
$A({\bnm{2m+1}{2}}) \to B(m(2m+1))$
было нетривиально, то образ этого
ограничения содержал бы нетривиальные элементы ядра стрелки
$C(2m) \to F(2m)$, каковых не существует, поскольку при нечетном $n$
матрица коэффициентов в правой части рисунка \ref{difc} невырождена.
\hfill $\square$


\begin{example} \rm
\label{exnont}
Рассмотрим теперь простейшую нетривиальную хордовую диаграмму $\Theta$
с Рис. \ref{cross} и пространство
$\K(\Theta,3) \sm \Sigma(\Theta,n)$
типичных уважающих ее иммерсий $\R^1 \to \R^3$.
\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(110.00,13.00)
\put(43.00,6.00){\vector(1,0){14.00}}
\put(0.00,6.00){\line(1,0){35.00}}
\put(14.00,6.00){\oval(14.00,12.00)[t]}
\put(21.00,6.00){\oval(14.00,12.00)[b]}
\put(3.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $1$}}
\put(10.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $2$}}
\put(17.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $3$}}
\put(25.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $4$}}
\put(32.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $5$}}
\put(67.00,6.00){\line(1,0){16.50}}
\bezier{92}(83.50,6.00)(91.50,6.00)(91.50,9.00)
\bezier{80}(91.50,9.00)(91.50,11.50)(84.50,11.50)
\bezier{100}(84.50,11.50)(76.50,11.00)(76.50,6.00)
\bezier{84}(76.50,6.00)(77.00,1.00)(81.50,5.00)
\bezier{88}(81.50,5.00)(85.00,8.50)(90.75,8.50)
\bezier{32}(92.25,8.50)(94.00,8.50)(95.50,7.00)
\bezier{40}(95.50,7.00)(96.50,6.00)(100.00,6.00)
\put(100.00,6.00){\line(1,0){10.00}}
\put(76.60,6.00){\circle*{1.00}}
\put(82.80,6.00){\circle*{1.00}}
\put(71.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $1$}}
\put(85.00,13.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $3$}}
\put(79.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $4$}}
\put(104.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $5$}}
\put(80.00,7.40){\makebox(0,0)[cc]{\small $2$}}
\end{picture}
\caption{Нетривиальная хордовая диаграмма и иммерсия}
\label{cross}
\end{center}
\end{figure}

В силу теоремы \ref{homodd} группа инвариантов первого порядка
таких иммерсий двумерна;
ее образующие легко вычисляются и равны
\begin{equation}
(1+4+5)\cdot (2+3) \mbox{\qquad и \qquad} (1+2+5)\cdot (3+4).
\label{basinv}
\end{equation}

Вновь, эти образующие легко сводятся к индексам зацепления.
Сделаем это для образующей $(1+4+5)\cdot(2+3)$. Для
любой типичной иммерсии класса $\K(\Theta,3)$, слабо
пошевелим ее образ так, чтобы она распалась на пару непересекающихся
кривых, одна из которых близка к образу объединения
интервалов с номерами 1, 4 и 5, а другая --- к образу
объединения интервалов 2 и 3. Однако если вблизи
первой точки самопересечения (в которой эти кривые соприкасаются
``уголками'') такое шевеление канонично, то во второй мы должны договориться
о способе разведения двух гладких ветвей.

Ниже мы увидим, что ни одна из двух образующих (\ref{basinv})
{\em не задается} никакой целочисленной формулой Поляка-Виро,
более того, даже соответствующие $\Z_2$-значные инварианты не задаются
такими формулами с коэффициентами в $\Z_2$.

Один из признаков, позволяющих доказать это, можно сформулировать
в терминах диаграммы особого узла.
А именно, любой инвариант первого порядка
(то есть двумерный цикл комплекса (\ref{complex}))
является линейной комбинацией вида
\begin{equation}
\label{licom}
\sum_{a<b} \lambda_{a,b} a\cdot b,
\end{equation}
где $a, b $ --- номера некоторых интервалов, ограниченных концами
гладких хорд.
Рассмотрим какую-нибудь иммерсию $f: \R^1 \to \R^3$
с $m$ самопересечениями данного типа и без прочих особенностей.
Пусть $f_1: \R^1 \to \R^2$ --- композиция иммерсии $f$
и проекции $\R^3 \to \R^2$. Если иммерсия $f$ --- общего положения
в классе $\K(\Theta,3)$, а направление проектирования не совпадает
с осью в $\R^3$,
то $f_1$ --- также иммерсия общего положения, в частности не имеет
тройных точек и самокасаний. Однако $f_1$ может иметь больше
двойных точек, чем $f$. Просуммируем по всем двойным точкам
кривой $f_1(\R^1)$, не являющимся образами двойных точек
кривой $f(\R^1)$, коэффициенты $\lambda_{a,b}$ из (\ref{licom}),
где $a,b$ --- номера интервалов прямой $\R^1$, образы которых
пересекаются в этих точках.

\begin{theorem}
1. Вычет mod 2 полученной суммы не зависит от выбора типичной иммерсии
$f$ $($а зависит только от $\Theta$ и нашего цикла$)$.

2. Если эта сумма нечетна для какой-нибудь типичной иммерсии $f$,
то наш цикл не реализуется целочисленной формулой Гаусса.
\label{neccon}
\end{theorem}

{\em Доказательство} будет дано в \S \ref{obstcof}
на стр. \pageref{prneccon}.
\medskip


Легко видеть, что для обеих образующих (\ref{basinv})
такой вычет, определенный иммерсией с Рис. \ref{cross}, нечетен.
К счастью, инвариант, соответствующий единственному целочисленному
инварианту узлов третьего порядка, равен сумме
этих двух образующих, то есть
$$(1+3+5)\cdot(2+4) + 2(1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 5), $$
и целочисленная формула Гаусса у него все-таки есть
(более того, есть целочисленная формула Поляка--Виро у
самого этого инварианта узлов, см. \cite{tyurina}).
Однако один из базисных инвариантов 4-го порядка определяет
инвариант первого порядка для иммерсий кривых с тремя
самопересечениями, у которого вычет, рассматриваемый в теореме
\ref{neccon}, нечетен. В частности, у
этого инварианта узлов заведомо не существует целочисленной формулы
Поляка--Виро, см. \S \ref{obstcof}. Более того, даже если мы хотим построить
$\Z_2$-значную комбинаторную формулу для этого инварианта, приведенного mod 2,
то нам потребуются члены другого вида, например предложенные в
\cite{combcomp}.
\end{example}

\subsection{Доказательство теоремы \ref{homeven}}
\label{prhomeven}

Вначале докажем, что $H_0(\Theta,\mbox{even})=0$.

Любая образующая $(\alpha, \beta)$ группы $E({\bnm{m}{2}})$,
у которой левый конец хорды $\alpha$ левее левого конца $\beta$,
является границей цепи
$(1, \beta) + (2,\beta)+ \dots + (a,\beta),$
где $a$ --- интервал, ограниченный справа левым концом хорды $\alpha$,
см. верхнюю строку Рис. \ref{bevar}.

Аналогично, любая образующая $(f'(u)=0)$ группы $F(2m)$, где
$u$ --- {\em левый} конец хорды $\alpha$,
является границей цепи
$(1, \alpha) + (2,\alpha)+ \dots + (a,\alpha),$
см. верхние строки Рис. \ref{bf} и \ref{bevar}. Такая же образующая для
правого конца сводится к левой посредством любой из строк Рис.
\ref{difc}.

\begin{lemma}
\label{lem1chet}
Любой 1-мерный цикл
комплекса
$($\ref{short}$)$ или, эквивалентно,
$($\ref{compred}$)$ с четным $n$
гомологичен циклу, лежащему в подгруппе
$C(2m)$, то есть линейной комбинации нескольких циклов
вида $\alpha_\rra + \alpha_\rla$, где $\alpha$ --- некоторая хорда
нашей диаграммы.
\end{lemma}

{\em Доказательство.}
Упорядочим все хорды, образующие диаграмму $\Theta,$
в соответствии с положением их левой концевой точки
на прямой $\R^1$. Упорядочим лексикографически все образующие
$a \wedge \alpha$
группы $B(m(2m+1))$: сначала мы смотрим, у какой образующей больше номер
интервала $a$,
а если эти номера совпадают --- то у какой больше порядок хорды.
Рассмотрим 1-мерный
цикл комплекса (\ref{compred}) и выберем наибольшую (то есть
наиболее правую) в смысле этого порядка образующую $a \wedge \alpha$ группы
$B(m(2m+1))$, входящую в этот цикл с ненулевым коэффициентом (так что у всех
других таких образующих либо номер интервала меньше, чем $a$,
либо этот номер такой же, но левый конец хорды левее, чем у хорды $\alpha$).

Тогда $a$-й интервал не может быть ограничен справа {\em левым}
концом хорды $\alpha$. Действительно, если бы это случилось, то в
границу образующей $a \wedge \alpha$ входил бы элемент группы
$F(2m)$, соответствующий условию $f'=0$ в этом левом конце хорды.
Это противоречит тому, что мы рассматриваем
{\em цикл} комплекса (\ref{compred}).
Действительно, это слагаемое его границы должно быть скомпенсировано,
то есть входить с противоположным знаком в границу каких-нибудь
других слагаемых этого цикла. Такое слагаемое не может быть
образующей группы $B(m(2m+1))$ в силу предположения о максимальности
$a \wedge \alpha$. Среди образующих $C(2m)$ такими слагаемыми могли бы
быть только $\alpha_\rra$ и $\alpha_\rla$, причем эти два слагаемых
должны входить в наш цикл с разными коэффициентами.
Но тогда в их границу входит одновременно и с ненулевым коэффициентом
элемент группы $F(2m)$, заданный условием $f'=0$ в {\em правом} конце этой же
хорды $\alpha$. Его уже нечем скомпенсировать, опять-таки
поскольку класс $a \wedge \alpha$ лексикографически максимален.

Рассмотрим теперь образующую
$a \wedge b$ группы $A({\bnm{2m+1}{2}})$, где $b$ --- интервал,
ограниченный справа левым концом хорды $\alpha$. Граница
этой образующей состоит из элемента $- a \wedge \alpha$,
образующих меньшего порядка в группе $B(m(2m+1))$
и, быть может, одной или двух образующих
группы $C(2m)$. Поэтому лемма доказывается индукцией по порядку
образующих $a \wedge \alpha$.
\hfill $\square$
\medskip

\begin{lemma}
\label{lem2chet}
Если связная компонента $\Theta_i$ графа пересечений хордовой диаграммы
$\Theta$ непланарна, то для одной из хорд $\alpha$ из этой связной компоненты
цикл $\alpha_\rra + \alpha_\rla \in C(2m)$
задает элемент не более чем
второго порядка в группе $H_1(\Theta,\mbox{\rm even})$.
\end{lemma}

{\em Доказательство.}
Рассмотрим произвольную типичную иммерсию $f: \R^1 \to \R^n,$
$n \ge 3$, класса
$\K(\Theta,n)$. Ее образ $f(\R^1)$ является
4-валентным графом с двумя свободными концами. Циклом этого графа назовем
любую последовательность ориентированных ребер без повторений, у которой конец
каждого очередного ребра совпадает с началом следующего, причем либо
конец последнего совпадает с началом первого, либо первое и последнее
ребра уходят на бесконечность. Для любых двух таких циклов без
общих ребер, их точками пересечения назовем только такие их
общие вершины, в которых они не имеют изломов. Например, для циклов
$1+4+5$ и $2+3$ из примера \ref{exnont} на стр. \pageref{exnont}
первая точка самопересечения
кривой $f(\R^1)$ не считается пересечением, а вторая --- считается.
Теперь воспользуемся следующей теоремой В.О.Мантурова.

\begin{theorem}[см. \cite{vasya}]
\label{vassya}
Если хордовая диаграмма $\Theta$ непланарна, то в $f(\R^1)$ найдутся
два цикла без общих ребер и
с ровно одним пересечением $($в предыдущем смысле$)$.
\hfill $\square$ \end{theorem}

Легко проверяется, что для такой пары циклов граница цепи $\sum a \wedge b$,
где $a$ пробегает ребра из первого цикла, а $b$ --- из второго,
в точности равна $\pm 2 (\alpha_\rra+\alpha_\rla),$ где
$\alpha$ --- хорда, соответствующая этой точке пересечения.
Поскольку предыдущую теорему можно применять к каждой связной
компоненте графа пересечений, получаем, что в каждой такой
непланарной компоненте найдется хорда $\alpha$
такая, что цикл $\alpha_\rra+\alpha_\rla$ определяет класс гомологий
не более чем второго порядка.
\hfill $\square$ \medskip

\begin{lemma}
\label{lem3chet}
Если хорды $\alpha$ и $\beta$ принадлежат одной компоненте связности
графа пересечений, то класс цикла
$(\alpha_\rra + \alpha_\rla)$ в группе $H_1(\Theta,\mbox{\rm even})$
равен классу цикла
$(\beta_\rra + \beta_\rla)$ или
$-(\beta_\rra + \beta_\rla)$.
\end{lemma}

{\em Доказательство.}
Пусть хорды $\alpha$, $\beta$ зацеплены (то есть соответствующие вершины
графа пересечений соединены ребром). Пусть $p,q$ --- номера концов
хорды $\alpha$ среди всех $2m$ концов гладких хорд, а $r,s$ --- номера
концов $\beta$, причем $p<r<q<s$. Обозначим через $R(\alpha,\beta)$ сумму
образующих $a \wedge b$ группы $A({\bnm{2m+1}{2}})$, где $a,b$ --- номера
всех таких интервалов, что $a$ левее $b$ в $\R^1$, $a$ расположен между
концами хорды $\alpha$ (т.е. $p+1 \le a \le q$),
$b$ расположен между концами хорды $\beta$ (т.е. $r+1 \le b \le s$),
но они не расположены одновременно между концами как $\alpha$ так и
$\beta$ (т.е. не выполнено условие $r+1 \le a < b \le q$).

Легко проверяется, что в комплексе $\CC_*(\Theta,even)$
\begin{equation}
\label{film}
\partial R(\alpha, \beta) = (\alpha_\rra + \alpha_\rla) +
 (\beta_\rra + \beta_\rla) + 2\sum (\gamma^i_\rra + \gamma^i_\rla),
\end{equation}
где $\gamma^i$ --- всевозможные хорды, оба конца которых лежат между
крайними концами $p$ и $s$ хорд $\alpha, \beta$, но не лежат
одновременно в одном и том же из трех интервалов, на которые
точки $r, q$ делят интервал $[p,s]$. Утверждение леммы сводится к
этой формуле индукцией по $s-p$.
\hfill $\square$ \medskip

Из этих трех лемм вытекает верхняя оценка на группу $H_1(\Theta,\mbox{even})$:
любая непланарная компонента графа пересечений дает не более чем
слагаемое $\Z_2$ в эту группу, а планарная компонента --- не более
чем циклическое слагаемое. Нам осталось доказать, что эти оценки точны,
в частности что последние циклические слагаемые свободны.
Это будет сделано соответственно в \S \ref{prhomodd} и в следующей лемме
\ref{lem4chet}. Однако доказанного уже достаточно для следующего
утверждения.

\begin{corollary}
\label{coreu}
Ни размерность группы $H_2(\CC_*(\Theta,n) \otimes \Z_2)$,
ни ранг группы $H_2(\Theta,n)$ при любом $n$
не больше, чем ${\bnm{m}{2}}$ плюс число связных компонент графа пересечений
диаграммы $\Theta$.
\end{corollary}

Это следует из предыдущих трех лемм и соображений эйлеровой
характеристики. \hfill $\square$ \medskip

\begin{lemma}
\label{lem4chet}
Пусть некоторая связная компонента графа пересечений
хордовой диаграммы $\Theta$ планарна и $\alpha$ --- произвольная
ее хорда. Тогда цикл $\alpha_\rra + \alpha_\rla$ определяет
свободный элемент группы $H_1(\Theta,\mbox{\rm even})$, причем
такие свободные элементы, соответствующие разным планарным
компонентам графа пересечений, линейно независимы в этой группе.
\end{lemma}

{\em Доказательство.} Элементу $\alpha_\rra + \alpha_\rla$
соответствует цикл в дискриминанте
$\Sigma(\Theta,2k)$, состоящий из отображений $f: \R^1 \to \R^{2k}$,
имеющих самокасание в точке самопересечения, изображаемой хордой $\alpha$.
Нам достаточно доказать, что индекс зацепления с этим циклом
определяет свободный элемент группы
$H^{2k-2}(\K(\Theta,2k) \sm \Sigma(\Theta,2k))$, причем
такие элементы, соответствующие разным компонентам, линейно независимы.
Сделаем это. Выберем в $\R^{2k}$ направление ``вверх'', не совпадающее
с направлением оси, и обозначим через $\R^{2k-1}$ факторпространство
$\R^{2k}$ по этому направлению.
Пусть $x<y$ --- концы хорды $\alpha$.
В качестве пленки, затягивающей наш цикл в $\K(\Theta,2k)$,
можно взять множество всех отображений $f: \R^1 \to \R^{2k}$
класса $\K(\Theta,2k)$ таких, что проекции векторов
$f'(x)$ и $f'(y)$ в $\R^{2k-1}$ параллельны, причем в плоскости,
натянутой на эти два вектора, совпадают ориентации
$(f'(x),f'(y))$ и $(f'(x), \mbox{направление ``вверх''})$.

Зафиксируем иммерсию $f_0: \R^1 \to \R^{2k}$ класса
$\K(\Theta,2k) \sm \Sigma(\Theta,2)$, описанную в лемме
\ref{rballs}. Это означает в частности, что
внутри соответствующего нашей компоненте шара,
из которого выкинуты все подчиненные шары, кривая
$f_0(\R^1)$ лежит в некоторой двумерной плоскости $L_0$.
Множество всех ориентированных двумерных плоскостей,
содержащих ось пространства $\R^{2k}$, диффеоморфно $S^{2k-2}$.
Пользуясь евклидовой структурой в $\R^{2k}$, отождествим все эти
плоскости с $L_0$; эти отождествления переводят друг в друга
пересечения этих плоскостей с $r$ шарами, описанными в лемме
\ref{rballs}. Любое такое отождествление определяет новую
иммерсию $f: \R^1 \to \R^{2k}$, совпадающую с $f_0$ вне шара,
соответствующего нашей компоненте или внутри подчиненных ему шаров,
в оставшейся же части этого шара получающуюся из $f_0$ посредством
этого отождествления. Множество таких иммерсий также диффеоморфно
$S^{2k-2}$. Легко видеть, что матрица индексов пересечения
полученных сфер $S^{2k-2} \subset \K(\Theta,2k) \sm \Sigma(\Theta,2k),$
соответствующих всем планарным компонентам графа пересечений,
с построенными выше пленками диагональна с $\pm 1$ на диагонали.
\hfill $\square$ \medskip

Этим доказано утверждение
теоремы \ref{homeven} о ранге группы $H_1(\Theta,\mbox{even})$,
а утверждение о $H_2(\Theta,n)$
следует из него, из доказанной выше тривиальности группы $H_0(\Theta,n)$
и из соображений эйлеровой характеристики.

Нам осталось лишь доказать, что элементы
$(\alpha_\rra + \alpha_\rla)$, соответствующие хордам $\alpha$ из разных
непланарных
связных компонент графа пересечений, дают независимые
образующие второго порядка в группе $H_1(\Theta,\mbox{even})$.
Это будет сделано в следующем разделе.

\subsection{Доказательство теоремы \ref{homodd}}
\label{prhomodd}

Тривиальность группы $H_0(\Theta,n)$ с нечетным $n$
доказывается точно так же, как с четным.

Чтобы разобраться с $H_2(\Theta,\mbox{odd})$ и $H_1(\Theta,\mbox{odd})$, вначале допустим,
что граф пересечений связен. В силу леммы \ref{lemone}, группа
$H_2(\Theta,\mbox{odd})$ совпадает с группой 2-мерных
гомологий комплекса, заданного верхней строкой в (\ref{complex}).
Изучим этот комплекс.

\begin{lemma}
Ранг 1-мерной группы гомологий
этой строки не меньше 1.
\end{lemma}

Действительно, элемент $a_1 \cdot \alpha_1$ очевидно является
1-циклом этой строки. Однако никакое его кратное не гомологично нулю,
поскольку в границу любого элемента $a_i \cdot a_j$
элементы вида $a_1 \cdot \alpha_p$ и $a_{2m+1} \cdot \alpha_q$
входят с нулевой суммарной кратностью, см. (\ref{altodd}).
\hfill $\square$
\medskip

Отсюда и из соображений эйлеровой характеристики следует,
что ранг группы $H_2(\Theta,\mbox{odd})$ не меньше чем
${\bnm{m}{2}}+1$. Но он и не больше этого числа
в силу следствия \ref{coreu}.

Из этих же соображений теперь вытекает, что
в случае связного графа пересечений ранг группы
$H_1(\Theta,\mbox{odd})$ равен 1 и эта группа не содержит 2-кручения.

В случае произвольного (быть может несвязного)
графа пересечений у нас есть совпадающие
верхняя и нижняя оценки на ранг группы $H_2(\Theta,\mbox{odd})$: верхняя
следует из следствия \ref{coreu}, а нижняя --- из предложения
\ref{decom} (стр. \pageref{decom})
и только что доказанного утверждения про случай
связного графа.

Теперь из соображений эйлеровой характеристики
следует, что ранг группы $H_1(\Theta,\mbox{odd})$ равен числу
$r$ связных компонент графа пересечений.
В \S \ref{prhomeven} мы доказали, что размерность группы
$H_1(\Theta, \mbox{even}) \otimes \Z_2$ не превосходит числа
$r$ связных компонент графа пересечений.
Поскольку оба наши комплекса после приведения по
модулю двойки совпадают, из формулы универсальных коэффициентов получаем, что
$H_1(\Theta,\mbox{odd})$ не имеет 2-кручения, а
$H_1(\Theta,\mbox{even}) \otimes \Z_2 \simeq \Z_2^r$.
Это завершает доказательство теорем \ref{homodd} и \ref{homeven}
(по модулю доказательства предложения \ref{diffs} о дифференциалах
в наших комплексах).
\hfill $\square$


\subsection{Характеризация нетривиальных 1-циклов
комплекса $\CC_*(\Theta,\mbox{\rm even}) \otimes \Z_2$}

Как мы увидим ниже, препятствия к построению целочисленной
комбинаторной формулы гауссова типа для инвариантов,
получающихся из элементов группы $H_2(\Theta,3)$, лежат в
2-кручении группы $H_1(\Theta,2)$ и тривиальны, если граф $\Theta$ планарен.
Поэтому нам
важно уметь определять по любому 1-мерному циклу комплекса
$\CC_*(\Theta,\mbox{even})$, равен он нулю в этой группе
кручения или нет. Эту задачу можно
решать по отдельности для каждой компоненты связности графа пересечений,
поэтому без ограничения общности будем считать, что этот граф связен
и непланарен.

Всякой типичной иммерсии
$\varphi : \R^1 \to \R^2$ класса $\K(\Theta,2)$
мы поставим в соответствие некоторый гомоморфизм из группы
$(B(m(2m+1)) \oplus C(2m)) \otimes \Z_2$ в группу сингулярных 1-цепей
проективной прямой с коэффициентами в $\Z_2$.
Определим его действие на образующих.
Для этого зафиксируем какие-нибудь
отождествления всех $2m+1$ неособых интервалов прямой
$\R^1$ со стандартным (незамкнутым) 1-симплексом. Каждой стандартной
образующей $a \wedge \alpha$ группы $B(m(2m+1)$
соответствует гауссово отображение $a \to \RP^1$,
сопоставляющее всякой точке $x \in a$ направление из
$\varphi(x)$ в $\varphi(\alpha)$. Каждой образующей
$\alpha_{\rla}$ (соответственно, $\alpha_{\rra}$)
группы $C(2m)$ соответствует сингулярный отрезок
в $\RP^1$, заметающий направления всех лучей, лежащих
в угле между производными отображения $\varphi$ в двух концах
хорды $\alpha$ (соответственно, в угле между производной в
одном из этих концов и минус производной в другой).

\begin{proposition}
Пусть граф пересечений хордовой диаграммы $\Theta$ связен. Тогда

1. Описанный только что гомоморфизм переводит
1-мерные циклы комплекса $($\ref{compred}$)$ с коэффициентами
в $\Z_2$ в циклы.

2. Для любого 1-мерного цикла комплекса $($\ref{compred}$)$ mod 2,
класс его образа в $H_1(\RP^1, \Z_2)$
при этом гомоморфизме не зависит от выбора иммерсии
$\varphi$ общего положения.

3. Этот класс в $H_1(\RP^1, \Z_2)$ одинаков для
гомологичных циклов этого комплекса.

4. Если диаграмма $\Theta$ непланарна, то
класс нашего цикла в группе $H_1(\Theta,2)$
нетривиален тогда и только тогда, когда
эта степень нечетна для какой-нибудь
$($и тогда любой$)$ типичной иммерсии $\varphi$.
\label{haract}
\end{proposition}

{\em Доказательство.}
1. Имеются три типа точек в $\RP^1,$ вблизи которых получающаяся
сингулярная цепь могла бы не быть циклом, а именно

\begin{enumerate}

\item
направления, соединяющие образы $\varphi(x), \varphi(y)$
концов разных хорд из $\Theta$,

\item касательные направления к кривой $\varphi(\R^1)$ в точках
самопересечения, изображаемых хордами из $\Theta$, и

\item выбранное направление $\varphi'(\R^1)$ на бесконечности.
\end{enumerate}

Вблизи точек первого (соответственно, второго)
типа гомологическое условие $\partial = 0$ на образ цикла
вытекает из тривиальности образа этого цикла при действии стрелки
$B(m(2m+1)) \to E({\bnm{m}{2}})$ (соответственно,
$B(m(2m+1)) \to F(2m)$) в комплексе (\ref{complex}), приведенном mod 2.
Гомологическое условие третьего
типа следует из условий первого типа и из того, что граница образа каждой
образующей $a \wedge \alpha$
группы $B(m(2m+1))$ включает ровно две точки разрыва
первого или третьего типа, в соответствии с числом
концов интервала $a$.

2. Любые две типичные иммерсии можно соединить в $\K(\Theta,2)$
путем общего положения. Все локальные перестройки, которые
могут возникать на этом пути, --- это перепрыгивание образа
перекрестия через образ неособого участка и мгновенное самокасание
двух ветвей в точке самопересечения, в результате которого репер, образованный
касательными к этим двум ветвям, меняет ориентацию.
Эти две перестройки можно представлять себе как проекции в $\R^2$ перестроек,
половины которых (заканчивающиеся моментом вырождения) изображены на Рис.
\ref{rmc}. При перестройке второго типа структура образа нашего цикла в
$\RP^1$ меняется непрерывно, а следовательно его класс гомологий не
изменяется. При перестройке первого типа что-то происходит только если наш
цикл включает образующую $a \wedge \alpha$, где $a$ --- прообраз неособого
участка, а $\alpha$ --- перекрестие, участвующие в перестройке. В этом случае
сильно меняется образ аналогичного гауссова отображения в двулистную
накрывающую проективной прямой, то есть в пространство ориентированных
направлений в $\R^2.$ А именно, к этому образу добавляется фундаментальный
цикл этого накрытия; поскольку накрытие двулистно, внизу (в $\RP^1$) класс
гомологий не изменяется.

3. Требуется доказать, что граница любой образующей $a \wedge b$
группы $A({\bnm{2m+1}{2}})$ отображается в 0. При этом нужно
разобрать три существенно различных случая:

\begin{enumerate}

\item
границы интервалов
$a$ и $b$ в $\R^1$
не пересекаются и не соединены никакой гладкой хордой,

\item
эти два интервала соседствуют в $\R^1$, и

\item
какая-то пара концов этих интервалов соединена хордой.
\end{enumerate}

(Конечно, возможны еще композиции последних
двух вариантов: две хорды, соединяющие разные пары концов этих
интервалов,
как для интервалов 2 и 4 на Рис. \ref{cross}, или соседствующие интервалы,
оставшиеся концы которых соединяются хордой, как для интервалов 2 и 3 на том
же рисунке. Однако разбор этих сложных случаев сводится к разбору
элементарных.)

В первом случае, если к тому же образы интервалов
$\varphi(a),$ $\varphi(b)$ не пересекаются в
$\R^2$, то гауссово отображение в $\RP^1$
определено и непрерывно на всем замкнутом прямоугольнике
$\bar a \times \bar b$, а следовательно
стягиваемо. В общей ситуации, это отображение определено
и непрерывно на этом
прямоугольнике, из которого выброшены маленькие кружочки с центрами
в точках, соответствующих пересечениям этих интервалов. Образ
ограничения гауссова отображения на границу каждого такого круга
пробегает $\RP^1$ дважды.

Во втором случае верно то же самое. Действительно,
на границе прямоугольника есть только одна точка, в которой
гауссово отображение не определено: она соответствует
общей точке отрезков $\bar a$ и $\bar b$. Легко видеть,
что это отображение продолжается в эту точку по непрерывности.

Наконец, в третьем случае гауссово отображение не продолжается
по непрерывности в угол прямоугольника, соответствующий паре
точек, соединенных хордой: в ограничении на границу
сколь угодно маленькой четверти круга с центром в этой точке оно
стремительно пробегает путь в $\RP^1$
между направлениями производных
отображения $\varphi$ в этих точках. Однако именно в этом случае
граница образующей $a \wedge b \in A({\bnm{2m+1}{2}})$
включает элемент группы $C(2m)$, отображаемый в тот же самый путь.

4. Это утверждение следует из предыдущих утверждений и из того,
что в силу теоремы \ref{homeven}
группа $H_1(\Theta,\mbox{even})$ изоморфна $\Z_2$ и
порождается элементом вида $\alpha_\rra+ \alpha_\rla$,
для которого степень нашего отображения в $\RP^1$
очевидно равна 1. \hfill $\square$


\subsection{Гомологии комплексов $\CC_*(\Theta,n)$, препятствия к планарности
и тождества на лишние точки самопересечения плоской кривой}

Из теоремы \ref{homeven} немедленно вытекает следующий критерий планарности
уникурсальной кривой с заданным порядком самопересечений.

\begin{theorem}
\label{crit}
Хордовая диаграмма $\Theta$ планарна тогда и только тогда, когда
определяемая ею группа $H_1(\Theta,\mbox{\rm even})$ не имеет 2-кручения.
\hfill $\square$ \end{theorem}

\begin{remark} \rm
Я надеюсь, что, обобщая эту теорему, можно получить сильный метод
проверки вложимости различных объектов в евклидовы пространства и другие
несложные многообразия. Действительно, высокомерные группы гомологий
пространства вложений такого объекта в пространство высокой же размерности
могут сильно зависеть от того, можно ли этот объект вложить в
пространство критической размерности.
\end{remark}


Двумерные когомологии обоих наших комплексов --- четного и нечетного ---
также
доставляют препятствия в задаче о планарности и очень близкой к ней
задаче об
амфихеральности кривой с заданным типом трансверсальных самопересечений,
ср. \cite{CS}, и удивительным образом справляются с
этими задачами по-разному.

Препятствие к планарности, задаваемое произвольным элементом группы
$H_*(\Theta,\mbox{even}),$ определяется следующим образом.
Рассмотрим произвольную типичную иммерсию $\R^1 \to \R^2$
с такими самопересечениями (и может быть какими-нибудь
еще), затем для каждого ``лишнего'' самопересечения, в котором
пересекаются точки $a$-го и $b$-го интервалов, учтем с подходящим знаком
коэффициент, с которым в наш цикл входит образующая $a \wedge b$
группы $A({\bnm{2m+1}{2}})$, и просуммируем эти коэффициенты
по всем таким точкам.
Полученное число будет инвариантом типичной иммерсии
класса $\K(\Theta,2)$, в частности обязано обращаться в 0 если
есть хоть одна иммерсия без лишних самопересечений.
Конечно, это лишь необходимое условие
планарности, а следовательно гораздо слабее условия из
теоремы \ref{crit}, являющегося и достаточным.

\begin{example} \rm
Рассмотрим какую-нибудь плоскую кривую с типом самопересечения,
указанным на Рис. \ref{cross} слева, например проекцию в $\R^2$
сингулярного узла, изображенного там же справа.
Для этого типа $\Theta$ группа $H_2(\Theta,2)$
с целыми коэффициентами одномерна
и порождена классом $(1-3+5) \wedge (2-4)$. Таким образом,
этот класс {\em игнорирует} единственное паразитное самопересечение,
изображенное на том же рисунке справа (в котором пересекаются
3-й и 5-й интервалы) и не способен даже доказать непланарность
этой кривой. (К счастью, аналогичные препятствия mod 2 в этом
случае оказываются более сильными и доказывают это.)

С другой стороны, любой из двух базисных инвариантов
(\ref{basinv}), вытекающих
из группы $H_2(\Theta,3)$, доказывает
даже гораздо более сильное утверждение о неамфихеральности нашей
самопересекающейся кривой:
ее невозможно вложить в $\R^3$ так, чтобы она была изотопна своему
зеркальному образу. Действительно,
разность значений такого инварианта на фиксированной иммерсии и на
ее зеркальном образе нечетна, следовательно то же будет верно
для любой другой иммерсии.

Конечно, по модулю двойки четная и нечетная теории совпадают.
\end{example}

В любом случае элементы группы $H_2(\Theta,2)$ доставляют
{\em тождества} на число лишних точек самопересечения.
В нашем примере это тождество очевидно: оно означает, что если мы сгладим
в $\R^2$ уголки циклов, заданных образами цепей
$2-4$ и $1-3+5$, то индекс пересечения полученных двух
ориентированных замкнутых кривых в $\R^2$ равен нулю.
Однако, аналогичные тождества, связанные с инвариантами
второго и более высоких порядков, бывают менее тривиальными;
они будут обсуждены в следующей работе.


\section{Коориентации стратов и коэффициенты инцидентности}
\label{coors}

В этом параграфе мы докажем предложение \ref{diffs} о
дифференциалах комплекса (\ref{complex}), в частности
зафиксируем ориентации всех стратов разрешенного дискриминанта,
порождающих этот комплекс. Также мы вычислим коэффициенты
инцидентности некоторых цепей в $\K(\Theta,n),$ задающих
комбинаторные формулы гауссова типа для инвариантов (при $n=3$)
и классов когомологий первого порядка.

Напомним, что $\sigma_1(\Theta,n)$ является пространством
расслоения над $B_2(\Theta)$, слой которого является аффинным
подпространством коразмерности $n$ в $\K(\Theta,n)$.
Все страты пространства $B_2(\Theta),$ описанные картинкой
(\ref{complex}), являются клетками, следовательно то же верно для
ограничений аффинного расслоения на эти клетки.
Для любой клетки в $B_2(\Theta)$ мы фиксируем ориентацию этой
клетки и {\em коориентацию} (т.е. ориентацию нормального расслоения)
в $\K(\Theta,n)$ типичного слоя над ней.
Коэффициент инцидентности клеток соседних размерностей в
$\sigma_1(\Theta,n)$ вычисляется как алгебраическое число
вхождений меньшей клетки в границу большей, причем знак каждого
вхождения равен произведению аналогичного знака для соответствующего
вхождения меньшей ориентированной
клетки в базе в границу большей, и знака
$\pm 1$, зависящего от того, задает это примыкание согласованность
или несогласованность фиксированных коориентаций слоев над
этими клетками.

Образы этих клеток при проекции $\sigma_1(\Theta,n) \to \K(\Theta,n)$
имеют в $\K(\Theta,n)$ коразмерность $n-2, n-1$ или $n$.
Указанная выше структура на исходном страте (состоящая из
ориентации в базе и коориентации слоя) задает коориентацию
такого образа в его неособых точках. Эквивалентное вычисление
коэффициентов инцидентности можно проводить в терминах этих образов.
Именно, нужно взять трансверсальную площадку к меньшему страту
в его неособой точке, рассмотреть все ветви кривых, по которым
в этой площадке к точке меньшего страта подходят точки большего,
и учесть все эти ветви с некоторыми знаками $\pm 1$. Этот знак,
соответствующий такой ветви, зависит от того,
совпадает ли ориентация площадки, определенная выбранной коориентацией
меньшего страта, с ориентацией, определенной в произвольной точке
этой ветви и состоящей из направления вдоль кривой к точке
меньшего страта и коориентации ветви, заданной выбранной коориентацией
большего страта. В данном параграфе мы вычислим коэффициенты инцидентности
именно этим способом, хотя вычисление в прообразе часто бывает легче.



\subsection{Ориентации стратов дискриминанта}
\label{coor}

В этом разделе мы для любого стандартного
страта в $\sigma_1(\Theta,n)$
зафиксируем его (ко)ориентацию, т.е. ориентацию его базы
в $B_2(\Theta)$ и коориентацию слоя в $\K(\Theta,n).$
Также мы укажем соответствующие коориентации стратов
в $\K(\Theta,n).$
Во всех случаях выбор положительной коориентации к страту задается
указанием некоторого положительного репера в трансверсали к нему.

Прежде всего мы фиксируем линейную систему координат
$x_1, \dots, x_n$ в пространстве
$\R^n,$ в котором все происходит, и задаем ориентацию этого
пространства при помощи формы
$d x_1 \wedge \dots \wedge d x_n$ или, эквивалентно, репера
$(\partial / \partial x_1, \dots , \partial / \partial x_n).$

\subsubsection{Максимальные страты $a\cdot b$ или $a \wedge b$,
порождающие группу $A({\bnm{2m+1}{2}})$.}
\label{maxor}

Пусть $a, b$ --- два неособых интервала в $\R^1$, $a<b$.
Ориентация соответствующего страта в $B_2(\Theta)$ задается формой
$dt \wedge ds,$ где $t, s $ --- соответственно координаты в интервалах
$a, b$, ориентация которых совпадает со стандартной ориентацией
прямой $\R^1$.
Коориентация слоя над
точкой $(t,s)$ задается формой
$d(x_1(s)-x_1(t)) \wedge \cdots \wedge d(x_n(s)-x_n(t)),$
где $x_i(s), x_i(t)$ --- координаты значений $f(s), f(t)$ отображения
$f \in \K(\Theta,n)$.

Соответствующие страты в $\K(\Theta,n)$ имеют там
коразмерность $n-2$.
Типичная точка такого страта $a\cdot b$ или $a \wedge b$
представлена отображением $f:\R^1 \to \R^n,$
$f \in \K(\Theta,n)$, имеющим одно лишнее самопересечение
$f(t_0) = f(s_0),$ $t_0 \in a, s_0 \in b,$ причем вектора
$f'(t_0)$ и $f'(s_0)$ непараллельны (и не равны 0).
Рассмотрим $(n-2)$-мерную аффинную плоскость в $\R^n$, проходящую
через точку $f(t_0) = f(s_0)$ и ортогональную к плоскости, натянутой на
вектора $f'(t_0)$ и $f'(s_0)$. Выберем в ней репер $(e_3, \dots, e_n)$
так, чтобы репер
$(f'(t_0), f'(s_0), e_3, \dots, e_n)$ задавал положительную
ориентацию пространства $\R^n$. Тогда положительную коориентацию
нашего страта в $\K(\Theta,n)$ задает репер
в (касательном расслоении к) $\K(\Theta,n)$ в точке $f$,
состоящий из $n-2$
маленьких деформаций отображения $f$, не изменяющих
это отображение вблизи точки $t_0$, а вблизи точки $s_0$ сдвигающих
его соответственно
в сторону векторов $e_3, \dots, e_n$, взятых в этом порядке.

\subsubsection{Страты $\alpha_\rra$ и $\alpha_\rla$,
порождающие группу $C(2m)$.}

Пусть $u,v \in \R^1$ --- соответственно левый и правый концы хорды $\alpha.$
Тогда ориентация соответствующей клетки в $B_2(\Theta)$
дается формой $d \rho,$ где $\rho$ --- скалярное
отношение вектора $f'(v)$ к (коллинеарному ему) вектору
$f'(u)$, а коориентация слоя над точкой $\rho$
в $\K(\Theta,n)$ --- формой
$$(x'_1(v)-\rho x'_1(u)) \wedge \cdots \wedge (x'_n(v)-\rho x'_n(u)).$$

\label{slft}
Соответствующие страты в $\K(\Theta,n)$ имеют там коразмерность $n-1$.
Типичная точка $f$ такого страта в $\Sigma(\Theta,n)$
имеет простое самокасание в концах $u, v$ хорды $\alpha$,
в частности производные $f'(u), f'(v)$ не равны 0.
Рассмотрим аффинную гиперплоскость в $\R^n$, проходящую
через точку $f(u) = f(v)$ и ортогональную к
вектору $f'(u)$.
Выберем в ней репер $(e_2, \dots, e_n)$
так, чтобы репер $(f'(u), e_2, \dots, e_n)$ задавал положительную
ориентацию пространства $\R^n$. Тогда положительную
коориентацию нашего страта задает
репер в $T_f\K(\Theta,n)$, состоящий из $n-1$
маленьких деформаций отображения $f$, не изменяющих
это отображение вблизи точки $u$, а вблизи точки $v$
добавляющих к его производной соответственно
$\varepsilon e_2, \dots, \varepsilon e_n,$
$\varepsilon \approx +0$.


\subsubsection{Страты $a \cdot \alpha$ или $a \wedge \alpha$,}
где $a$ --- некоторый неособый интервал, $\alpha$ --- хорда,
а знак $\cdot$ или $\wedge$ между ними зависит от четности $n$,
порождают группу $B(m(2m+1))$.
Ориентация базы задается формой $dt,$ $t \in a,$
а коориентация слоя --- формой
$$d(x_1(\alpha)-x_1(t)) \wedge \cdots \wedge d(x_n(\alpha)-x_n(t))$$
(где под $x_i(\alpha)$ понимается $i$-я координата образа
обоих концов хорды $\alpha$ при отображении $f$).
\label{trip}

Соответствующие дискриминантные страты в $\K(\Theta,n)$ тоже
имеют коразмерность $n-1$.
Типичная точка такого страта
--- это отображение $f \in \K(\Theta,n)$ такое,
что $f(t_0)=f(\alpha)$ для единственной точки $t_0 \in a$,
причем $f'(t_0) \ne 0.$
Рассмотрим аффинную гиперплоскость в $\R^n$, проходящую
через точку $f(t_0)$ и ортогональную к
вектору $f'(t_0)$. Выберем в ней репер $(e_2, \dots, e_n)$
так, чтобы репер $(f'(t_0), e_2, \dots, e_n)$ задавал положительную
ориентацию пространства $\R^n$. Тогда положительную коориентацию
страта задает репер в $T_f\K(\Theta,n)$,
состоящий из $n-1$
маленьких деформаций отображения $f$, не изменяющих
это отображение вблизи точки $t_0$, а вблизи концов хорды $\alpha$
сдвигающих это отображение по направлению векторов
$e_2, \dots, e_n$ соответственно.

\subsubsection{Страты $\star^+(\alpha)$ $\star^-(\alpha)$,}
где $\alpha$ --- некоторая хорда из $\Theta$, порождают группу
$F(2m)$ и состоят из отображений $f \in \K(\Theta,n),$ имеющих
нуль производной в том из концов хорды $\alpha$, который
правее (соответственно, левее) в $\R^1$. Положительный нормальный
репер к такому страту в $\K(\Theta,n)$ состоит из $n$ векторов,
увеличивающих
соответственно 1-ю, \dots, $n$-ю координату
производной отображения $f$ в этом конце хорды и оставляющих
остальные координаты этой производной нулевыми.

\subsubsection{Страты $\alpha \cdot \beta$ или $\alpha \wedge \beta$,
где $\alpha, \beta$ --- пара хорд диаграммы $\Theta$,}
состоят из отображений, склеивающих вместе все концы этих хорд.
Мы называем меньшей (и обозначаем через $\alpha$) ту из этих хорд,
левый конец которой расположен левее в $\R^1$.
\label{twochor}

Положительный нормальный репер к этому страту состоит из $n$
деформаций отображения $f$, увеличивающих
соответственно 1-ю, \dots, $n$-ю координату образа б\'ольшей
хорды $\beta$, не изменяя ни остальных его координат, ни
образа хорды $\alpha$.

\subsection{Стрелка $A({\bnm{2m+1}{2}}) \to C(2m)$
в (\ref{complex}).}

Эта стрелка соответствует вырождению, указанному в среднем столбце
Рис. \ref{rmx}. При этом вырождении
оба конца ломаной стремятся к концам некоторой хорды.
Здесь нужно рассмотреть четыре случая, соответствующие четырем
возможным взаимным расположениям концов гладкой хорды и ломаной в $\R^1$,
см. Рис. \ref{selftan0}. Рассмотрим подробно только один из
них, когда оба конца ломаной перед вырождением находятся
между концами хорды.

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(120.00,26.80)
\put(0.00,11.00){\vector(1,0){50.00}}
\bezier{140}(44.00,26.00)(40.00,6.00)(25.00,5.00)
\put(6.00,26.00){\vector(-1,4){0.20}}
\bezier{152}(25.00,5.00)(10.00,6.00)(6.00,26.00)
\put(47.00,14.00){\makebox(0,0)[cc]{$t$}}
\put(42.00,24.00){\makebox(0,0)[cc]{$s$}}
\put(12.50,11.00){\circle*{1.33}}
\put(70.00,11.00){\vector(1,0){50.00}}
\put(117.00,14.00){\makebox(0,0)[cc]{$t$}}
\put(82.50,11.00){\circle*{1.33}}
\bezier{136}(108.00,26.00)(100.67,11.00)(82.50,11.00)
\put(74.00,26.00){\vector(0,1){0.20}}
\bezier{96}(82.50,11.00)(75.00,11.00)(74.00,26.00)
\put(60.00,11.00){\makebox(0,0)[cc]{$\Longrightarrow$}}
\put(105.00,24.00){\makebox(0,0)[cc]{$s$}}
\end{picture}
\caption{Стрелка $A \to C$}
\label{atoc}
\end{center}
\end{figure}

Этот случай изображен на Рис. \ref{atoc}, при этом
жирной точкой обозначен образ концов гладкой хорды, образ
интервала $a$ с координатой $t$ лежит правее ее на горизонтальной
линии, а образ интервала
$b$ с координатой $s$ --- правее ее на
кривой. Нам достаточно вычислить коэффициент
инцидентности вблизи одной неособой точки меньшего страта,
поэтому будем считать, что рассматриваемая кривая в большем страте,
подходящая к этой точке меньшего страта, состоит из
отображений $f_\lambda,$ $\lambda \to + 0,$ которые на этих
интервалах задаются условиями $t \mapsto (t, 0, \dots, 0)$
и $s \mapsto (-s, s^2+\lambda s, 0, \dots, 0)$ соответственно.
В частности, в этих интервалах координаты прообразов
второй точки пересечения равны $t=\lambda,$ $s=-\lambda$.

Рассмотрим $n-2$ маленькие деформации отображения $f_\lambda$, неподвижные
на первом интервале, а на втором заменяющие отображение
$s \mapsto (-s, s^2+\lambda s, 0, \dots, 0)$
отображениями
$s \mapsto (-s, s^2+\lambda s, -\varepsilon s, 0, \dots, 0 )$,
$s \mapsto (-s, s^2+\lambda s, 0, -\varepsilon s, 0, \dots, 0 )$,
\dots,
$s \mapsto (-s, s^2+\lambda s, 0, 0, \dots, -\varepsilon s)$.

Этот набор деформаций задает {\em отрицательную} коориентацию
максимального страта (см. \S \ref{maxor}): действительно,
матрица этих сдвигов в деформируемой точке пересечения, дополненная
сверху векторами производных отображения
$f_\lambda$ в прообразах этой точки, равна

$$
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0\\
-1 & -\lambda & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & \lambda \varepsilon & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda \varepsilon & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda \varepsilon
\end{array}
$$

При $\lambda \to +0$, отображение $f_\lambda$ вырождается в отображение
из страта $\alpha_\rla$, а наша система $n-2$ деформаций
вырождается в деформации предельного отображения, производные
которых в точке пересечения равны
$(-1,0, -\varepsilon, 0, \dots, 0),$ \dots,
$(-1,0, 0, \dots, -\varepsilon).$
Добавим к ним вначале вектор внешней нормали к большему страту
в точке меньшего. Этот вектор вычисляется как
производная по $-\lambda$ в точке $\lambda=0$ от производной
отображения
$s \mapsto (-s, s^2+\lambda s, 0, \dots, 0)$
в точке $s=0$; таким образом, он равен $(0,-1,0, \dots, 0)$.
По правилу \S \ref{slft},
чтобы вычислить знак ориентации получившегося нормального
репера к меньшему страту, припишем к полученной матрице
сверху производную отображения $f$ в точке $t=0$.
Получим квадратную матрицу
$$
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0\\
0 & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & -\varepsilon & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\varepsilon & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -\varepsilon
\end{array}
$$

Знак этой матрицы равен $(-1)^{n-1}$. Сравнивая
его со знаком предыдущей матрицы, получаем искомый коэффициент инцидентности,
равный $(-1)^n$.

Остальные три случая разбираются не сложнее и дают коэффициенты,
указанные на Рис. \ref{selftan0}.

\subsection{Стрелка $A({\bnm{2m+1}{2}}) \to B(m(2m+1))$
в (\ref{complex}).}

Хотя здесь мы вычисляем целых двенадцать коэффициентов инцидентности,
описываемых рисунком (\ref{easiest0}), достаточно разобрать
четыре существенно различных случая: конец ломаной хорды, стремящийся
к концу гладкой хорды, может быть правым или левым из концов этой ломаной,
и он может стремиться к концу хорды справа или слева в $\R^1$.
С другой стороны, ни то, является ли этот конец гладкой
хорды правым или левым
ее концом, ни взаимное расположение оставшихся концов гладкой и ломаной
хорд
(если оно не следует однозначно из остальных данных) не влияет на ответ.

Опять, мы разберем подробно лишь один случай,
изображенный на Рис. \ref{atob},
см. также третий член в верхней строке Рис. \ref{easiest0}.

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(108.00,30.00)
\put(0.00,15.00){\vector(1,0){40.00}}
\put(11.00,15.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(21.00,15.00){\line(2,5){2.00}}
\put(23.00,20.00){\line(1,0){11.00}}
\put(34.00,20.00){\line(2,-5){2.00}}
\put(19.50,15.00){\oval(5.00,2.00)[]}
\put(68.00,15.00){\vector(1,0){40.00}}
\put(88.00,0.00){\vector(0,1){30.00}}
\put(85.50,15.00){\circle*{1.33}}
\put(105.00,18.00){\makebox(0,0)[cc]{$t$}}
\put(91.00,28.00){\makebox(0,0)[cc]{$s$}}
\put(19.00,15.00){\circle*{1.33}}
\put(24.00,11.00){\makebox(0,0)[cc]{$t$}}
\put(38.00,11.00){\makebox(0,0)[cc]{$s$}}
\end{picture}
\caption{Стрелка $A \to B$}
\label{atob}
\end{center}
\end{figure}

Жирной точкой на Рис. \ref{atob} изображен конец гладкой хорды, в котором
образ нашей кривой каким-то, совершенно неинтересным для нас, образом
пересекается другой ее ветвью.
Эта точка $t_0$ выбрана в качестве начала
координаты $t$, координата вблизи другого конца ломаной
обозначается $s$. Выберем в качестве интересующей нас точки меньшего страта
отображение, заданное вблизи этих точек условиями
$t \mapsto (t,0, \dots, 0)$ и
$s \mapsto (0,s, 0,\dots, 0)$.
Будем приближаться к ней из
большего страта вдоль семейства отображений
$f_\lambda,$ $\lambda \to +0,$ задаваемых вблизи этих точек условиями
$t \mapsto (t,0, \dots, 0)$,
$s \mapsto (\lambda,s, 0,\dots, 0)$.
В типичной точке этого семейства выберем нормальный репер к страту
состоящим из деформаций вида
$s \mapsto (0, \lambda, \varepsilon, 0, \dots, 0),$
$s \mapsto (0, \lambda, 0, \varepsilon, 0, \dots, 0),$
\dots,
$s \mapsto (0, \lambda, 0, \dots, \varepsilon)$.
Матрица этого репера, дополненная сверху векторами
$f'(t_0)$ и $f'(s_0)$, ---
единичная, поэтому его ориентация положительна.
При $\lambda \to + 0$, например, последняя деформация из этого репера
стремится к {\em минус} последнему вектору, участвовавшему в определении
коориентации меньшего страта: действительно, в этом
определении свободный (то есть более правый в $\R^1$) конец
ломаной считается первым, а совпавший с концом хорды --- вторым,
в отличие от упорядочения этих концов для большего страта.
Аналогично, все наши $n-2$ деформаций дадут в пределе последние
$n-2$ строки следующей матрицы
$$
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1
\end{array}
$$

Вектор внешней нормали к большему страту --- это производная по
$-\lambda$ при $\lambda=0$ от вектора, соединяющего
образ свободного конца
(то есть точку $(\lambda, 0, \dots, 0$)) с образом хорды, то есть с
началом координат. Приписываем этот вектор
$\partial (-\lambda, 0, \dots, 0)/ \partial(-\lambda) \equiv (1, 0, \dots, 0)$
к началу этого набора предельных деформаций и получаем нормальный
репер к меньшему страту. Чтобы вычислить его знак, приписываем
в самом начале производную отображения $f$ в свободном конце
ломаной хорды,
то есть $(0,1,0, \dots, 0)$. Полученная матрица имеет
знак $(-1)^{n-1},$ это и есть искомый коэффициент инцидентности как в нашем
случае, так и в ничем существенным
от него не отличающихся случаев, соответствующих
второму члену в первой строке и второму члену в последней строке
Рис. \ref{easiest0}.
Остальные случаи рассматриваются аналогично и дают все коэффициенты,
указанные на этом рисунке.

\subsection{Стрелка $C(2m) \to F(2m)$.}

Объясним коэффициент $(-1)^n$ при втором слагаемом в первой строке
Рис. \ref{difc}. Рассмотрим точку меньшего страта,
заданную отображением $f$,
которое вблизи правого (невырождающегося) конца хорды
задается формулой $s \mapsto (s,0, \dots, 0),$ а вблизи особого
формулой
$t \to (t^n, t^{n-1}, \dots, t^2)$.
Устремимся к этой точке из большего страта вдоль кривой, состоящей
из отображений $f_\lambda,$ $\lambda \to +0$,
вблизи этой точки равных
\begin{equation}
\label{mzm}
t \mapsto (t^n+\lambda t, t^{n-1}, \dots, t^2).
\end{equation}
Для любого малого $\lambda$ продеформируем $f_\lambda$ в $n-1$
отображений, ведущих себя вблизи этой точки как
\begin{equation}
\label{defmzm}
\begin{array}{l}
t \mapsto f_\lambda(t)+ \lambda (0,t, 0, 0, \dots, 0), \\
t \mapsto f_\lambda(t)+ \lambda (0,0, t, 0, \dots, 0), \\
\dots \dots \\
t \mapsto f_\lambda(t)+ \lambda (0, 0, 0, \dots, 0, t).
\end{array}
\end{equation}

Знак полученного нормального репера к большему страту
равен $(-1)^{n-1}$. Действительно, в силу определения
знак нормального репера можно вычислять как знак определителя
матрицы, составленной из вектора $f'(u)$ на первом месте,
где $u$ --- левый конец хорды, и из векторов
$(f+\varepsilon e_2)'(v) - (f+\varepsilon e_2)'(u),$
$(f+\varepsilon e_3)'(v) - (f+\varepsilon e_3)'(u),$
\dots,
$(f+\varepsilon e_n)'(v) - (f+\varepsilon e_n)'(u),$
где $v$ --- правый конец хорды, стоящих на остальных местах.

При $\lambda \to +0$ этот репер превратится в репер,
состоящий из последних $n-1$ строк следующей матрицы

\begin{equation}
\begin{array}{cccccc}
-1 & 0 & 0 & \ldots & 0\\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1
\end{array}
\label{ctf}
\end{equation}

Вектор внешней нормали к большему страту --- это производная по
$-\lambda$ производной нашего отображения $f_\lambda$
в точке $t_0$, то есть верхняя строка матрицы (\ref{ctf}).
Определитель этой матрицы равен $-1$. Сравнивая его со
знаком $(-1)^{n-1}$ допредельного ориентирующего репера,
получаем коэффициент $(-1)^n.$

Объясним теперь второе слагаемое во второй строке
Рис. \ref{difc}. Для этого устремимся к той же точке
меньшего страта вдоль такой же кривой (\ref{mzm}) и с такими
же деформациями (\ref{defmzm}), но с
$\lambda \to -0$. В общей точке этой кривой этот репер
деформаций задает отрицательную коориентацию большего страта.
Предельная матрица при $\lambda \to -0$ --- единичная, поскольку
в отличие от предыдущего случая, дающего матрицу (\ref{ctf}),
вектор внешней нормали дается дифференцированием по $\lambda$,
а не по $-\lambda$.

Вычисление первых слагаемых в обеих строках Рис. \ref{difc} проще.

\subsection{Стрелка $B(m(2m+1)) \to E({\bnm{m}{2}})$.}

Эта стрелка описывается рисунком \ref{bevar}.
Разберем для примера последнее равенство этого рисунка.
Будем считать, что точка $f$ большего страта изображена
средней нижней или левой нижней картинкой этого рисунка,
причем вблизи свободного конца ломаной хорды это отображение $f$
равно $t \mapsto (t,0, \dots, 0)$. В качестве базиса
$(e_2, \dots, e_n),$ использованного в \S \ref{trip}, можно взять
просто базис $(\partial/\partial x_2, \dots, \partial/\partial x_n).$
Тогда при вырождении этой точки $f$
в отображение, изображенное правой нижней картинкой рисунка,
нормальный базис к большему страту превратится в последние
$n-1$ вектора канонического нормального базиса к меньшему страту,
взятые с коэффициентом $-1$. Дополненные вектором внешней нормали,
они дадут матрицу

\begin{equation}
\begin{array}{cccccc}
\pm 1 & 0 & 0 & \ldots & 0\\
0 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & -1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & -1
\end{array}
\label{bte}
\end{equation}
где коэффициент $\pm 1$ равен $-1$ для левой и $1$ для средней
картинки нижней строки рисунка \ref{bevar}.

\subsection{Стрелка $B(m(2m+1)) \to F(2m)$.}

Граничные операторы этого типа указаны на Рис. \ref{bf} слева.
Для всех четырех случаев, точка большего страта незадолго до
вырождения изображена на этом рисунке справа.
Это изображение имеет два варианта, соответствующие
случаю левых (соответственно, центральных) картинок левой части этого рисунка
и определяемые тем, какой --- соответствующий концу гладкой хорды или
свободному концу ломаной --- прообраз точки пересечения
находится правее в $\R^1$.
При этом расположение в $\R^1$ конца гладкой хорды,
далекого от сливающихся точек,
не влияет на вырождение, так что граничные операторы для обеих
левых (соответственно, обеих средних) картинок в двух
строках левой части этого рисунка описываются совершенно одинаково.
Указанные на этом рисунке
коэффициенты инцидентности
доказываются аналогично предыдущему и к тому же следуют
из уже доказанных формул и тождества $\partial^2=0$, примененного
к образующим группы $A({\bnm{2m+1}{2}})$.

Предложение \ref{diffs} со стр. \pageref{diffs} полностью доказано.
\hfill $\square$

\subsection{Ориентации и границы цепей, заданных
ломаными стрелками}

Выделим в $\R^n$ направление $\partial / \partial x_1$ (``вверх''),
и будем предполагать, что оно не совпадает с направлением оси $\R^n$.
Факторпространство $\R^{n-1}$ пространства
$\R^n$ по этому направлению будем называть
``плоскостью стола'' и ориентируем
его формой $dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n.$

Рассмотрим произвольную {\em гауссову диаграмму $\Gamma$ ранга 1 с
основой $\Theta$}, то есть попросту
одну ломаную стрелку, соединяющую две точки
$(u_0 < v_0)$ множества $\R^1 \sm \Theta,$ ср. \S \ref{dg}.
Этой диаграмме соответствует
подмногообразие $V(\Gamma)$ в $B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n),$
состоящее из всех пар $((u,v);f)$ таких, что

1) $u,v$ расположены относительно $\Theta$ так же, как и $u_0,v_0$,
то есть существует сохраняющий ориентацию и $\Theta$ гомеоморфизм
$\R^1$ в себя, переводящий $u$ в $u_0,$ а $v$ в $v_0$;

2) проекции точек $f(u), f(v)$ на плоскость стола $\R^{n-1}$
совпадают, и

3) точка $f(u)$ лежит ``выше'' (соответственно, ``ниже'') точки $f(v)$
по направлению ``вверх'', если
ломаная стрелка диаграммы ориентирована от точки
$v$ к $u$ (соответственно, от $u$ к $v$).

Через $\Gamma'$ (соответственно, $\Gamma_0$) обозначим
диаграмму, получающуюся из $\Gamma$ изменением
ориентации ломаной (соответственно, картинку с неориентированной ломаной,
получающуюся забыванием этой ориентации и совпадающую с обозначением
некоторой образующей группы $A({\bnm{2m+1}{2}})$).

Проекция $\K(\Theta,n) \to \K(\Theta,n-1)$, индуцированная
проекцией на плоскость стола, переводит $V(\Gamma)$ в
страт множества
$\sigma_1(\Theta,n-1) \subset B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n-1),$
заданный диаграммой $\Gamma_0$.
При этом полный прообраз этого страта
равен замыканию множества $V(\Gamma) \cup V(\Gamma'),$
в частности, каждый из этих двух стратов
вблизи любой своей неособой точки
совпадает с этим полным прообразом.

Каноническая (ко)ориентация страта $V(\Gamma)$ состоит из ориентации
$du \wedge dv$ множества пар $(u<v) \in B_2(\Theta)$ и коориентации
в $\K(\Theta,n)$
типичного слоя над такой точкой, индуцированной из канонической
(определенной в \S \ref{coor}) коориентации слоя в $\K(\Theta,n-1).$

В границу каждого такого страта входит максимальный страт разрешенного
дискриминанта $\sigma_1(\Theta,n)$,
обозначение которого совпадает с $\Gamma_0$.
Эта часть граничного оператора обозначается через $\partial_1;$
она описывается формулой в верхнем левом углу Рис. \ref{ress}.

Однако имеются и другие слагаемые гомологической границы: они
возникают оттого, что концы ломаной стрелки могут стремиться к
точкам диаграммы $\Theta$. Возникающие при этом вырождения
кривой $f(\R^1)$ изображены на Рис. \ref{rmc}.
Эта часть граничного оператора разлагается в сумму оператора
$\tilde \beta,$ соответствующего вырождению, указанному в
правой части Рис. \ref{rmc} и описанному на
Рис. \ref{easiest}, и оператора $\tilde \zeta$,
соответствующего вырождению в левой части
Рис. \ref{rmc} и описанного на Рис. \ref{selftan}.

Вновь, эти слагаемые границы
лежат в $B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n),$
и каждый из них является открытой областью в полном прообразе
некоторого немаксимального страта разрешенного дискриминанта
$\sigma_1(\Theta,n-1)$ при проекции
$B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n) \to B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n-1).$
В частности, канонические (ко)ориентации этих областей
индуцируются из (ко)ориентаций
стратов $\sigma_1(\Theta,n-1),$ определенных в \S \ref{coor}.
Коэффициенты инцидентности между этими стратами и многообразиями
$V(\Gamma)$ повторяют
коэффициенты инцидентности для соответствующих им стратов в
$\sigma_1(\Theta,n-1)$, в частности мы получаем формулы, указанные на
Рис. \ref{easiest}, \ref{selftan}.
При этом в каждой из 3 строк Рис. \ref{easiest} можно одновременно
изменить ориентацию всех стрелок. Картинки в правых частях
формул Рис. \ref{easiest} означают, что образ
точки самопересечения, изображаемой
гладкой хордой, лежит в $\R^n$ выше или ниже (в зависимости от ориентации
стрелки) образа некоторой точки соответствующего неособого интервала.

Дополнительные выражения, записанные под правыми частями уравнений
с Рис. \ref{selftan} и состоящие из пары стрелок с цифрами,
означают следующие условия на производные отображения
$f$ в прообразах точки пересечения, изображаемой хордой.
Подпись под первой (соответственно, второй) картинкой
означает, что проекции этих производных в плоскость стола
$\R^{n-1}$ сонаправлены, но производная в более правой точке
идет выше (соответственно, ниже), чем в более левой, то есть эта производная
является положительной линейной комбинацией производной в другой
точке и направления ``вверх'' (соответственно, ``вниз'').
Подпись под третьей (соответственно, четвертой) картинкой означает, что
проекции этих производных противонаправлены в $\R^{n-1}$, причем
направление ``вверх'' является отрицательной (соответственно,
положительной) линейной комбинацией этих двух производных.


\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(126.00,43.00)
\put(0.00,37.50){\makebox(0,0)[cc]{$\partial_1$}}
\put(11.00,37.00){\line(0,1){4.00}}
\put(11.00,41.00){\line(-1,0){6.00}}
\put(5.00,41.00){\vector(0,-1){4.00}}
\put(3.00,37.00){\line(1,0){10.00}}
\put(16.00,37.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(27.00,37.00){\line(0,1){4.00}}
\put(27.00,41.00){\line(1,0){6.00}}
\put(33.00,41.00){\vector(0,-1){4.00}}
\put(35.00,37.00){\line(-1,0){10.00}}
\put(21.00,37.50){\makebox(0,0)[cc]{$- \partial_1$}}
\put(38.00,37.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(43.00,37.00){\line(0,1){4.00}}
\put(43.00,41.00){\line(1,0){6.00}}
\put(49.00,41.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(51.00,37.00){\line(-1,0){10.00}}
\put(63.00,37.50){\makebox(0,0)[cc]{$\partial_1$}}
\put(71.00,37.00){\oval(6.00,8.00)[t]}
\put(78.00,37.00){\line(0,1){6.00}}
\put(78.00,43.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(71.00,43.00){\vector(0,-1){2.00}}
\put(66.00,37.00){\line(1,0){14.00}}
\put(83.00,37.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(88.00,37.50){\makebox(0,0)[cc]{$- \partial_1$}}
\put(97.00,37.00){\oval(6.00,8.00)[t]}
\put(104.00,43.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(92.00,37.00){\line(1,0){14.00}}
\put(97.00,41.00){\line(0,1){2.00}}
\put(117.00,37.00){\oval(6.00,8.00)[t]}
\put(124.00,43.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(112.00,37.00){\line(1,0){14.00}}
\put(117.00,41.00){\line(0,1){2.00}}
\put(124.00,43.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(104.00,43.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(109.00,37.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(0.00,7.50){\makebox(0,0)[cc]{$\partial_1$}}
\put(9.00,7.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(3.00,7.00){\line(1,0){12.00}}
\put(23.00,7.50){\makebox(0,0)[cc]{$-\partial_1$}}
\put(42.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(33.00,7.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(51.00,7.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(27.00,7.00){\line(1,0){12.00}}
\put(45.00,7.00){\line(1,0){12.00}}
\put(18.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(69.00,7.50){\makebox(0,0)[cc]{$\partial_1$}}
\put(78.00,7.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(72.00,7.00){\line(1,0){12.00}}
\put(92.00,7.50){\makebox(0,0)[cc]{$-\partial_1$}}
\put(111.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(102.00,7.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(120.00,7.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(96.00,7.00){\line(1,0){12.00}}
\put(114.00,7.00){\line(1,0){12.00}}
\put(87.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(29.00,3.00){\vector(3,1){6.00}}
\put(29.00,3.00){\vector(3,-1){6.00}}
\put(38.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(38.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\put(5.00,3.00){\vector(3,1){6.00}}
\put(5.00,3.00){\vector(3,-1){6.00}}
\put(14.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\put(14.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(47.00,4.50){\vector(1,0){6.00}}
\put(47.00,3.00){\vector(1,0){6.00}}
\put(116.00,4.50){\vector(1,0){6.00}}
\put(122.00,3.00){\vector(-1,0){6.00}}
\put(78.00,2.00){\vector(2,1){4.00}}
\put(78.00,2.00){\vector(-2,1){4.00}}
\put(72.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\put(84.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(102.00,5.00){\vector(2,-1){4.00}}
\put(102.00,5.00){\vector(-2,-1){4.00}}
\put(96.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(108.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\put(63.00,22.50){\makebox(0,0)[cc]{$\partial_1$}}
\put(75.00,22.00){\oval(6.00,8.00)[t]}
\put(68.00,22.00){\line(0,1){6.00}}
\put(75.00,28.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(75.00,28.00){\vector(0,-1){2.00}}
\put(66.00,22.00){\line(1,0){14.00}}
\put(83.00,22.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(88.00,22.50){\makebox(0,0)[cc]{$- \partial_1$}}
\put(101.00,22.00){\oval(6.00,8.00)[t]}
\put(101.00,28.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(92.00,22.00){\line(1,0){14.00}}
\put(101.00,26.00){\line(0,1){2.00}}
\put(121.00,22.00){\oval(6.00,8.00)[t]}
\put(121.00,28.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(112.00,22.00){\line(1,0){14.00}}
\put(121.00,26.00){\line(0,1){2.00}}
\put(114.00,28.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(94.00,28.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(109.00,22.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(0.00,22.50){\makebox(0,0)[cc]{$\partial_1$}}
\put(17.00,22.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(22.00,22.50){\makebox(0,0)[cc]{$- \partial_1$}}
\put(40.00,22.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(8.00,22.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(31.00,22.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(48.00,22.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(3.00,22.00){\line(1,0){11.00}}
\put(26.00,22.00){\line(1,0){11.00}}
\put(43.00,22.00){\line(1,0){11.00}}
\put(8.00,22.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(31.00,26.00){\vector(0,-1){4.00}}
\put(48.00,22.00){\line(0,1){4.00}}
\end{picture}
\caption{Убивание стратов дискриминанта}
\label{ress}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(90.00,79.00)
\bezier{200}(0.00,48.00)(20.00,63.00)(0.00,78.00)
\bezier{36}(7.90,71.20)(10.00,74.00)(15.00,78.00)
\bezier{168}(0.00,3.00)(15.00,18.00)(0.00,33.00)
\bezier{64}(15.00,33.00)(8.25,28.00)(7.75,20.00)
\bezier{64}(15.00,3.00)(7.60,11.00)(7.60,16.00)
\put(7.00,45.00){\vector(0,-1){10.00}}
\bezier{128}(15.00,48.00)(0.00,59.00)(7.00,70.00)
\put(7.50,55.50){\circle*{1.00}}
\put(7.50,16.00){\circle*{1.00}}
\put(36.00,71.00){\line(1,-1){23.00}}
\put(36.00,56.00){\line(1,1){23.00}}
\put(49.00,48.00){\line(0,1){9.00}}
\put(49.00,59.00){\line(0,1){9.00}}
\put(49.00,70.00){\line(0,1){9.00}}
\put(43.50,63.50){\circle*{1.00}}
\put(67.00,79.00){\line(1,-1){23.00}}
\put(90.00,70.00){\line(-1,-1){22.00}}
\put(77.00,48.00){\line(0,1){8.00}}
\put(77.00,58.00){\line(0,1){10.00}}
\put(77.00,70.00){\line(0,1){9.00}}
\put(83.00,63.00){\circle*{1.00}}
\put(52.00,28.00){\line(1,-1){23.00}}
\put(74.00,27.00){\line(-1,-1){22.00}}
\put(63.50,16.50){\circle*{1.00}}
\put(63.50,3.00){\line(0,1){12.50}}
\put(63.50,17.50){\line(0,1){12.50}}
\put(53.00,47.00){\vector(1,-2){6.50}}
\put(73.00,47.00){\vector(-1,-2){6.50}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Райдемайстеровские вырождения самопересекающихся кривых}
\label{rmc}
\end{figure}


\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(134.66,11.00)
\put(0.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \beta$}}
\put(8.33,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(17.33,11.00){\vector(0,-1){5.00}}
\put(21.34,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(26.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$-\tilde \beta$}}
\put(53.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$-\tilde \beta$}}
\put(79.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \beta$}}
\put(36.34,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(62.33,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(86.33,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(123.66,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(44.34,11.00){\vector(0,-1){5.00}}
\put(71.33,11.00){\vector(0,-1){5.00}}
\put(96.33,11.00){\vector(0,-1){5.00}}
\put(132.66,11.00){\vector(0,-1){5.00}}
\put(73.33,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(98.33,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(134.66,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(48.34,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(75.66,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(100.66,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(3.33,6.00){\line(0,1){5.00}}
\put(3.33,11.00){\line(1,0){14.00}}
\put(67.33,6.00){\line(0,1){5.00}}
\put(67.33,11.00){\line(1,0){4.00}}
\put(89.83,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(66.83,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(32.84,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(3.83,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(123.66,9.00){\line(0,1){2.00}}
\put(123.66,11.00){\line(1,0){9.00}}
\put(44.34,11.00){\line(-1,0){11.00}}
\put(33.34,11.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(96.33,11.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(89.33,11.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(110.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^{n-1}$}}
\put(2.00,6.00){\line(1,0){17.00}}
\put(30.00,6.00){\line(1,0){16.00}}
\end{picture}


\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(126.00,11.00)
\put(27.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$-\tilde \beta$}}
\put(42.00,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(45.00,11.00){\vector(0,-1){5.00}}
\put(48.00,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(106.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(45.50,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(1.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \beta$}}
\put(13.00,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(18.00,11.00){\vector(0,-1){5.00}}
\put(20.00,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(22.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(4.00,6.00){\line(0,1){5.00}}
\put(4.00,11.00){\line(1,0){14.00}}
\put(17.50,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(126.00,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(120.00,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(111.00,6.00){\line(0,1){5.00}}
\put(111.00,11.00){\line(1,0){9.00}}
\put(120.00,11.00){\vector(0,-1){2.00}}
\put(55.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$-\tilde \beta$}}
\put(70.00,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(76.00,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(65.83,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(83.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \beta$}}
\put(96.00,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(103.00,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(79.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(92.50,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(45.00,11.00){\line(-1,0){12.00}}
\put(33.00,11.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(50.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(87.00,6.00){\line(0,1){5.00}}
\put(87.00,11.00){\line(1,0){6.00}}
\put(93.00,11.00){\vector(0,-1){5.00}}
\put(60.00,6.00){\line(0,1){5.00}}
\put(60.00,11.00){\line(1,0){5.00}}
\put(65.00,11.00){\vector(0,-1){5.00}}
\end{picture}


\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(134.00,10.00)
\put(0.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^{n-1} \tilde \beta$}}
\put(27.00,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(29.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(38.33,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^n \tilde \beta$}}
\put(70.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$-\tilde \beta$}}
\put(97.33,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \beta$}}
\put(62.67,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(91.33,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(116.33,6.00){\line(-1,0){17.00}}
\put(64.67,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(93.33,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(119.33,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(113.83,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(89.16,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(48.17,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(11.50,6.00){\oval(3.00,2.00)[]}
\put(19.00,6.00){\oval(14.00,8.00)[t]}
\put(54.50,6.00){\oval(13.00,8.00)[t]}
\put(83.00,6.00){\oval(14.00,8.00)[t]}
\put(107.00,6.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(11.00,6.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(11.00,1.00){\line(1,0){8.00}}
\put(19.00,1.00){\vector(0,1){5.00}}
\put(49.00,6.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(49.00,1.00){\line(1,0){5.00}}
\put(54.00,1.00){\vector(0,1){5.00}}
\put(89.00,6.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(89.00,1.00){\line(-1,0){6.00}}
\put(83.00,1.00){\vector(0,1){5.00}}
\put(114.67,6.00){\line(0,-1){5.00}}
\put(114.67,1.00){\line(-1,0){8.00}}
\put(106.67,1.00){\vector(0,1){5.00}}
\put(128.00,6.00){\oval(9.00,8.00)[t]}
\put(128.00,10.00){\vector(0,-1){4.00}}
\put(122.00,6.00){\line(1,0){12.00}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Простейшее вырождение гауссовой диаграммы}
\label{easiest}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(86.00,30.00)
\put(45.00,26.00){\line(1,0){18.00}}
\put(24.00,26.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(0.00,26.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \zeta$}}
\put(35.00,26.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^{n-1}\tilde \zeta$}}
\put(3.00,26.00){\line(1,0){18.00}}
\put(66.00,26.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(78.00,26.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(86.00,26.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(45.00,11.00){\line(1,0){18.00}}
\put(24.00,11.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(0.00,11.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \zeta$}}
\put(35.00,11.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^{n-1}\tilde \zeta$}}
\put(3.00,11.00){\line(1,0){18.00}}
\put(66.00,11.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(78.00,11.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(86.00,11.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(60.00,11.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(48.00,11.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(6.00,11.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(18.00,11.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(6.00,26.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(18.00,26.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(48.00,26.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(60.00,26.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(11.00,26.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(7.00,26.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(7.00,22.00){\line(1,0){12.00}}
\put(19.00,22.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(55.00,26.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(59.00,26.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(59.00,22.00){\line(-1,0){12.00}}
\put(47.00,22.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(11.00,11.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(55.00,11.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(47.00,11.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(47.00,7.00){\line(1,0){12.00}}
\put(59.00,7.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(19.00,11.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(19.00,7.00){\line(-1,0){12.00}}
\put(7.00,7.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(75.00,22.00){\vector(3,-1){6.00}}
\put(75.00,22.00){\vector(3,1){6.00}}
\put(84.00,20.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(84.00,24.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\put(75.00,7.00){\vector(3,-1){6.00}}
\put(75.00,7.00){\vector(3,1){6.00}}
\put(84.00,9.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(84.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\end{picture}

\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(88.00,25.00)
\put(3.00,21.00){\line(1,0){18.00}}
\put(24.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(35.00,21.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^{n-1} \tilde \zeta$}}
\put(0.00,21.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \zeta$}}
\put(45.00,21.00){\line(1,0){18.00}}
\put(67.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(80.00,21.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(88.00,21.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(3.00,6.00){\line(1,0){18.00}}
\put(24.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(35.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^{n-1} \tilde \zeta$}}
\put(0.00,6.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \zeta$}}
\put(45.00,6.00){\line(1,0){18.00}}
\put(67.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(80.00,6.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(88.00,6.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(54.00,21.00){\oval(14.00,8.00)[t]}
\put(49.00,21.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(49.00,17.00){\line(1,0){10.00}}
\put(59.00,17.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(12.00,21.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(19.00,21.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(19.00,17.00){\line(-1,0){14.00}}
\put(5.00,17.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(80.00,19.00){\vector(3,-1){6.00}}
\put(80.00,19.00){\vector(-3,-1){6.00}}
\put(72.00,17.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(88.00,17.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\put(54.00,6.00){\oval(14.00,8.00)[t]}
\put(12.00,6.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(59.00,6.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(59.00,2.00){\line(-1,0){10.00}}
\put(49.00,2.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(5.00,6.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(5.00,2.00){\line(1,0){14.00}}
\put(19.00,2.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(80.00,1.00){\vector(2,1){6.00}}
\put(80.00,1.00){\vector(-2,1){6.00}}
\put(72.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(88.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\put(18.00,6.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(6.00,6.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(48.00,6.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(60.00,6.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(48.00,21.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(60.00,21.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(6.00,21.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(18.00,21.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Рождение самокасания проекции}
\label{selftan}
\end{figure}

Теперь изучим границы стратов, входящих в правые части Рис.
\ref{easiest}, \ref{selftan}. Прежде всего,
в такую границу входит некоторый страт дискриминанта. Соответствующая
часть $\partial_1$ граничных операторов описывается оставшимися пятью
(кроме изображенной в верхнем левом углу)
формулами Рис. \ref{ress}. Остальные
компоненты границ вновь определяются вырождениями конфигураций точек в
$\R^1$, участвующих в определении страта. На Рис.
\ref{verrt} (соответственно, \ref{coproj}) показано, что происходит
при таких вырождениях, когда конец стрелки, соединяющей гладкую
хорду с неособым участком $\R^1$, стремится к какому-либо концу этой же
самой (соответственно, другой) гладкой хорды. Эти вырождения ``накрывают''
граничные операторы в $\sigma_1(\Theta,n-1)$, соответствующие стрелкам
$B(m(2m+1)) \to F(2m)$ (соответственно,
$B(m(2m+1)) \to E({\bnm{m}{2}})$), в частности имеют те же
матричные коэффициенты.
На Рис. \ref{coproj} в каждой строке можно одновременно
изменить направление всех стрелок.


\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(71.00,58.00)
\put(1.00,37.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \phi$}}
\put(13.00,37.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(13.00,41.00){\line(0,1){2.00}}
\put(13.00,43.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(7.00,37.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(4.00,37.00){\line(1,0){16.00}}
\put(23.00,37.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(26.50,37.50){\makebox(0,0)[cc]{$-$}}
\put(41.00,37.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(36.00,37.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(33.00,37.00){\line(1,0){16.00}}
\put(52.00,37.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(63.00,37.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(55.00,37.00){\line(1,0){16.00}}
\put(1.00,7.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \phi$}}
\put(40.00,7.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(40.00,13.00){\line(1,0){7.00}}
\put(47.00,13.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(46.00,7.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(49.00,7.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(23.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(26.50,7.50){\makebox(0,0)[cc]{$-$}}
\put(12.00,7.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(17.00,7.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(20.00,7.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(52.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(63.00,7.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(55.00,7.00){\line(1,0){16.00}}
\put(30.00,37.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \phi$}}
\put(30.00,7.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \phi$}}
\put(1.00,52.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \phi$}}
\put(13.00,52.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(13.00,58.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(7.00,52.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(4.00,52.00){\line(1,0){16.00}}
\put(23.00,52.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(26.50,52.50){\makebox(0,0)[cc]{$-$}}
\put(41.00,52.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(36.00,52.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(33.00,52.00){\line(1,0){16.00}}
\put(52.00,52.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(63.00,52.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(55.00,52.00){\line(1,0){16.00}}
\put(1.00,22.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \phi$}}
\put(40.00,26.00){\line(0,1){2.00}}
\put(40.00,28.00){\line(1,0){7.00}}
\put(46.00,22.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(49.00,22.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(23.00,22.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(26.50,22.50){\makebox(0,0)[cc]{$-$}}
\put(17.00,22.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(20.00,22.00){\line(-1,0){16.00}}
\put(52.00,22.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(55.00,22.00){\line(1,0){16.00}}
\put(30.00,52.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \phi$}}
\put(30.00,22.50){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \phi$}}
\put(40.00,22.00){\oval(10.00,8.00)[t]}
\put(12.00,22.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(63.00,22.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(41.00,56.00){\vector(-1,-1){4.00}}
\put(6.00,58.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(13.00,58.00){\vector(0,-1){2.00}}
\put(57.00,48.00){\makebox(0,0)[cc]{$1 \uparrow$}}
\put(6.00,43.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(37.00,37.00){\vector(1,1){4.00}}
\put(57.00,33.00){\makebox(0,0)[cc]{$1 \downarrow$}}
\put(47.00,28.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(16.00,22.00){\vector(-1,1){4.00}}
\put(69.00,18.00){\makebox(0,0)[cc]{$2 \uparrow$}}
\put(12.00,11.00){\vector(1,-1){4.00}}
\put(40.00,13.00){\vector(0,-1){2.00}}
\put(69.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{$2 \downarrow$}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Рождение вертикальной касательной}
\label{verrt}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(97.00,30.00)
\put(1.00,24.00){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \epsilon$}}
\put(6.00,30.00){\line(1,0){12.00}}
\put(18.00,30.00){\line(0,-1){2.00}}
\put(18.00,24.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(24.00,24.00){\line(-1,0){20.00}}
\put(13.00,24.00){\oval(10.00,8.00)[b]}
\put(7.00,24.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(34.00,24.00){\makebox(0,0)[cc]{$-\tilde \epsilon$}}
\put(51.00,30.00){\line(0,-1){2.00}}
\put(51.00,24.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(57.00,24.00){\line(-1,0){20.00}}
\put(40.00,24.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(45.00,24.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(41.00,30.00){\line(1,0){10.00}}
\put(28.00,24.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(61.00,24.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(74.00,24.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(78.00,24.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(66.00,24.00){\line(1,0){20.00}}
\put(10.00,5.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(10.00,9.00){\line(0,1){2.00}}
\put(10.00,11.00){\line(1,0){12.00}}
\put(15.00,5.00){\oval(10.00,8.00)[b]}
\put(21.00,5.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(4.00,5.00){\line(1,0){20.00}}
\put(43.00,5.00){\oval(8.00,8.00)[t]}
\put(43.00,9.00){\line(0,1){2.00}}
\put(54.00,5.00){\oval(4.00,2.00)[]}
\put(37.00,5.00){\line(1,0){20.00}}
\put(49.00,5.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(43.00,11.00){\line(1,0){10.00}}
\put(1.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$\tilde \epsilon$}}
\put(34.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$-\tilde \epsilon$}}
\put(28.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(61.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{=}}
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$(-1)^{n-1}$}}
\put(89.00,5.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(85.00,5.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(97.00,5.00){\line(-1,0){20.00}}
\put(78.00,28.00){\vector(-1,-2){4.00}}
\put(41.00,30.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(6.00,30.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(85.00,9.00){\vector(1,-2){4.00}}
\put(53.00,11.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(22.00,11.00){\vector(0,-1){6.00}}
\end{picture}
\end{center}
\caption{Совпадение проекций хорд}
\label{coproj}
\end{figure}

Все эти формулы (\ref{ress}), (\ref{easiest})--(\ref{selftan})
немедленно получаются из определений
и из предыдущих вычислений в комплексе $\CC_*(\Theta,n-1)$.


\section{Препятствия к целочисленности комбинаторной формулы типа Гаусса
для инвариантов первого порядка}
\label{obstcof}

\begin{definition}[ср. \S \ref{dg}] \rm
Класс $(n-3)$-мерных когомологий пространства
$\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n)$
{\em представим} линейной комбинацией гауссовых диаграмм
ранга 1 (т.е. ломаных стрелок, соединяющих неособые интервалы
прямой $\R^1 \sm \Theta$) если соответствующая линейная комбинация цепей
$V(\Gamma)$ после проектирования
$B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n) \to \K(\Theta,n)$
превращается в относительный цикл в
$\K(\Theta,n) \mbox{ mod } \Sigma(\Theta,n),$ граница которого
соответствует нашему классу когомологий в силу изоморфизма Александера
(\ref{evr}).
\end{definition}


\begin{theorem}
1. Для любой хордовой диаграммы $\Theta$ и любого
двумерного цикла комплекса $\CC_*(\Theta,n),$
соответствующий $(n-3)$-мерный класс когомологий первого порядка
в пространстве $\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n)$ представим
линейной комбинацией гауссовых диаграмм ранга 1
с целыми и полуцелыми коэффициентами.

2. Если либо $n$ четно, либо $\Theta$ планарна, то существует такое
представление с только целыми коэффициентами.
\label{predst}
\end{theorem}


\begin{theorem}
Если $n$ нечетно и $\Theta$ непланарна, то найдется
класс в $H_2(\Theta,n)$, не представимый линейной комбинацией
гауссовых диаграмм только с целыми коэффициентами.
\label{predst2}
\end{theorem}

\begin{remark} \rm
\label{remta}
Задача о построении комбинаторной формулы гауссова типа эквивалентна
следующей. Мы имеем над пространством $B_2(\Theta) \subset I(\Theta)$
линейное расслоение, ортогональное к тавтологическому расслоению над
$I(\Theta)$ в $F(\Theta)$, см. \S \ref{tavtol}. Пусть $T$ ---
локальная система групп со слоем $\Z$ над $B_2(\Theta)$, следящая за
ориентацией этого расслоения. Рассмотрим цикл
$\Delta \in \bar H_2(B_2(\Theta))$
если $n$ четно или цикл
$\Delta \in \bar H_2(B_2(\Theta),T)$
если $n$ нечетно; здесь $B_2(\Theta)$ отождествляется с нулевым сечением
этого линейного расслоения.
Требуется затянуть этот цикл $\Delta$ пленкой (то есть
цепью Бореля--Мура) с такими же коэффициентами в тотальном пространстве
этого линейного расслоения.

Если бы расслоение было тривиальным, то это можно было бы сделать двумя
способами, прямо умножая цикл $\Delta$ на ту или другую половину слоя и беря
полученную цепь с тем или другим знаком. Однако расслоение нетривиально,
поэтому, начав затягивать цикл $\Delta$ одним из этих способов над какой-либо
максимальной клеткой в $B_2(\Theta)$ и продолжая по непрерывности на соседние
клетки, мы после некоторого обхода в базе придем к противоположному способу
над исходной клеткой.

С другой стороны,
если мы применим оба способа затягивания сразу, то есть возьмем сумму
таких затягивающих пленок над каждой клеткой, то после обхода мы вернемся к
этому же способу и тем самым получим однозначно определенную цепь.
Единственная неприятность при этом будет состоять в том,
что границей полученной цепи будет не $\Delta$, а $2\Delta$.
Умножая эту цепь на $1/2$ (для чего, строго говоря, нам нужно тензорно
умножить систему коэффициентов на $\Z[1/2]$ или на другую группу
с делением пополам),
получаем искомую затягивающую цепь с полуцелыми
коэффициентами (если $\Delta$ была с целыми коэффициентами).
\end{remark}

На языке наших стандартных цепей в $B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n)$
эта процедура описывается следующим образом.
\medskip

{\em Доказательство теоремы \ref{predst}.}
1. Пусть $\Delta$ --- произвольный двумерный
цикл комплекса $\CC_*(\Theta,n)$.
Он задается целочисленной линейной комбинацией неориентированных
ломаных хорд, порождающих группу $A({\bnm{2m+1}{2}})$.
Обозначим той же буквой $\Delta$ соответствующий
ему цикл в $\sigma_1(\Theta,n)$ и буквой $\delta$ --- его проекцию в
$\Sigma(\Theta,n)$.
По определению, искомая комбинаторная формула $G$ ---
это линейная комбинация цепей $V(\Gamma_i)$ в
$B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n),$ заданных гауссовыми диаграммами
$\Gamma_i$ ранга 1 с основой $\Theta$, таких что

($*$) проекция этой линейной комбинации
в $\K(\Theta,n)$ задает там относительный
цикл Бореля--Мура по модулю $\Sigma(\Theta,n),$ и

($**$) граница этого цикла равна $\delta$.

Легко видеть, что это условие эквивалентно аналогичному условию
в прообразе: наша линейная комбинация должна быть относительным
циклом в $B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n)$ по модулю
$\sigma_1(\Theta,n),$
и ее граница там должна равняться $\Delta$.
Вначале докажем, что всегда существует такая линейная комбинация
с полуцелыми коэффициентами.
Поставим в соответствие любому элементу $a \cdot b$ или $a \wedge b,$
$a <b,$ группы $A({\bnm{2m+1}{2}})$ {\em полуразность} двух гауссовых диаграмм
с основой $\Theta$, первая из которых изображается ориентированной
ломаной хордой, идущей
от интервала $b$ к $a$, а вторая --- ломаной хордой от $a$ к $b$.
Продолжив это соответствие по линейности, получим вложение группы
$A({\bnm{2m+1}{2}})$ в группу формальных линейных комбинаций
гауссовых диаграмм с полуцелыми коэффициентами.

\begin{lemma}
Если $\Delta$ --- двумерный цикл комплекса $\CC_*(\Theta,n) \otimes \Z[1/2]$,
то это вложение переводит $\Delta$ в цепь Бореля--Мура
с коэффициентами в $\Z[1/2]$ в $B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n)$,
граница которой равна $\Delta \otimes \Z[1/2]$.
\end{lemma}

Действительно, из формулы в левом верхнем углу Рис. \ref{ress} следует,
что в пересечении с $\sigma_1(\Theta,n)$ граница этой цепи равна $\Delta$.
Сравнивая формулы рисунков \ref{easiest}, \ref{selftan} с Рис.
\ref{easiest0}, \ref{selftan0}, немедленно получаем, что остальные
участки границ слагаемых этой пленки должны сократиться, коль скоро
сокращались соответствующие участки границ клеток в $\Delta$,
из которых произошли эти слагаемые.
\hfill $\square$
\medskip

Это доказывает первое утверждение теоремы \ref{predst}.
\medskip

2. Теперь попробуем построить {\em целочисленную} линейную комбинацию
$G$ гауссовых диаграмм $V(\Gamma)$ со свойствами $(*)$, $(**)$.
Всего мы имеем
для этой цели $2 {\bnm{2m+1}{2}}$ гауссовых диаграмм
--- по две на каждую образующую группы $A({\bnm{2m+1}{2}})$,
в соответствии с двумя возможными ориентациями ломаной хорды $\Gamma_0$,
кодирующей такую образующую. Условие $(**)$ сразу накладывает
${\bnm{2m+1}{2}}$ независимых условий на коэффициенты при этих
диаграммах в искомой цепи $G$. А именно,
для любой такой ломаной хорды $\Gamma_0$,
две цепи $V(\Gamma)$ и $V(\Gamma')$, диаграммы которых
получаются ориентированием этой хорды,
должны входить в искомую цепь $G$ с
коэффициентами, разность которых равна коэффициенту при
цепи $V(\Gamma_0)$ в линейной комбинации $\Delta$.
Это следует из верхнего левого уравнения в Рис. \ref{ress}
и из того, что любая образующая $V(\Gamma_0)$ группы $A({\bnm{2m+1}{2}})$
может входить в границу только таких двух цепей $V(\tilde \Gamma)$.

Выберем {\em произвольную} линейную комбинацию $\tilde G$
сумм гауссовых диаграмм $V(\Gamma_i)$,
удовлетворяющую этому условию. Например, для этого можно
просто ориентировать справа налево в $\R^1$ все ломаные хорды,
определяющие все слагаемые линейной комбинации $\Delta$.
Пересечение границы этой цепи $\tilde G$ с $\sigma_1(\Theta,n)$
будет равно $\Delta$, однако вне $\sigma_1(\Theta,n)$ эта граница
может иметь лишние компоненты.

Чтобы заменить это предварительное решение $\tilde G$ на настоящее
$G$, необходимо вычислить невязку $\tilde G - G$ из уравнения
\begin{equation}
\label{homeq}
\partial (\tilde G - G) = \partial \tilde G - \Delta,
\end{equation}
то есть вне $\Sigma(\Theta,n)$ граница цепи $\tilde G - G$
должна совпадать с
$\partial \tilde G,$ а на $\Sigma(\Theta,n)$ эта граница
должна быть нулевой. Последнее условие эквивалентно тому, что
любые две гауссовы диаграммы, отличающиеся ориентацией
стрелок, входят в линейную комбинацию $\tilde G - G$
с одинаковыми коэффициентами, так что остается решить первое
условие в классе таких линейных комбинаций.

Для всякого отображения $f: \R^1 \to \R^n$
определим
отображение $f_1: \R^1 \to \R^{n-1}$ как композицию $f$ и
проекции $\R^n$ на ``плоскость стола'' $\R^{n-1}$.
Очевидно, это сопоставление проектирует $\K(\Theta,n)$ на
$\K(\Theta,n-1)$ со слоем $\K(\Theta,1)$.

\begin{proposition}
Правая часть $\partial \tilde G - \Delta$ уравнения $($\ref{homeq}$)$
является
линейной комбинацией цепей, в определение которых входят только
условия на поведение отображения $f_1$ в тех или иных точках, а именно
условия тройного самопересечения образа этого отображения
$($определяющие образующие
группы $B(m(2m+1))$ комплекса $\CC_*(\Theta,n-1))$ или самокасания
$($определяющие образующие группы $C(2m)$ того же комплекса$)$.
\label{maprop}
\end{proposition}

{\em Доказательство.} По построению, цепь
$\partial \tilde G - \Delta$ является линейной комбинацией
стратов, заданных диаграммой $\Theta$ с одним дополнительным условием
наподобие указанных в правых частях равенств Рис. \ref{easiest} и
\ref{selftan}. Кроме того, она является циклом
во всем пространстве $B_2(\Theta) \times \K(\Theta,n)$.
Из этого следует, что вместе
с любым слагаемым, указанным в правой части одного из
равенств Рис. \ref{easiest}, в него должно с таким же коэффициентом
входить аналогичное слагаемое, заданное такой же картинкой
с обращенной стрелкой. Действительно, иначе не будет выполнено
гомологическое условие
$\partial (\partial \tilde G - \Delta)=0$ вблизи
общего участка границы этих стратов, заданного аналогичной картинкой с
неориентированной ломаной; это следует из первых двух строк
Рис. \ref{ress} и из того, что эта их общая граница не входит в
границу никакого другого многообразия, являющегося стандартным
участком границы страта $V(\Gamma)$, заданного какой бы то ни было
гауссовой диаграммой первого порядка.

Но сумма таких двух слагаемых
выделяется в $\K(\Theta,n)$ условием, что значение отображения
$f_1$ в некоторой точке неособого интервала совпадает со значением
этого же отображения в концах некоторой хорды диаграммы $\Theta$.

Точно так же, в силу нижней строки Рис. \ref{ress},
любое слагаемое, указанное в правой части
Рис. \ref{selftan}, должно дополняться аналогичным слагаемым,
в котором подпись типа указанной под первой (соответственно,
второй, третьей, четвертой) формулой заменена на подпись
под второй (соответственно, первой, четвертой, третьей)
формулой этого же рисунка. Сумма этих двух слагаемых задается единственным
условием со- или противонаправленности в $\R^{n-1}$ производных отображения
$f_1$ в концах хорды.
\hfill $\square$ \medskip

Итак, цепь $\partial \tilde G - \Delta$ можно описать как некоторую
цепь комплекса $\CC_*(\Theta,n-1),$ прямо умноженную на $\K(\Theta,1).$
Поскольку $\partial \tilde G - \Delta$ --- цикл в
$B_2(\Theta,n) \times \K(\Theta,n)$, то последняя цепь
$\frac{\partial \tilde G - \Delta}{\K(\Theta,1)}$
комплекса $\CC_*(\Theta,n-1)$ также является циклом.

С другой стороны, искомая цепь $\tilde G - G$ обязана быть линейной
комбинацией ломаных стрелок, в которую любая стрелка входит
одновременно (и с тем же коэффициентом), что и стрелка, отличающаяся
от нее ориентацией. Такие пары диаграмм находятся во
взаимно однозначном соответствии с образующими группы
$A({\bnm{2m+1}{2}})$ того же комплекса $\CC_*(\Theta,n-1)$,
так что цепь $\tilde G - G$ соответствует некоторому
элементу этой группы. При этом цепь $\tilde G - G$
удовлетворяет уравнению (\ref{homeq}) в том и только в том
случае, когда граница соответствующего ей элемента этой группы
$A({\bnm{2m+1}{2}})$ равна элементу
$\frac{\partial \tilde G - \Delta}{\K(\Theta,1)}$
группы
$B(m(2m+1)) \oplus C(2m)$, который соответствует циклу
$\partial \tilde G - \Delta$ в силу предложения \ref{maprop}.

Итак, единственное препятствие к существованию такой цепи ---
это класс элемента
$\frac{\partial \tilde G - \Delta}{\K(\Theta,1)}$
в группе $H_1(\Theta,n-1)$.
Из доказательства части 1 нашей теоремы следует, что этот класс
либо тривиален, либо является элементом второго порядка.
Цикл $\delta$ обладает целочисленной
комбинаторной формулой Гауссова типа тогда и только тогда, когда
этот класс тривиален. В силу теорем \ref{homodd}, \ref{homeven}
это условие выполнено, если $n-1$ нечетно или если $n-1$ четно,
но хордовая диаграмма $\Theta$ планарна: действительно, в этих случаях
группа $H_1(\Theta,n-1)$ не имеет 2-кручения.
\hfill $\square$ \medskip

\begin{example} \rm
Пусть $n=3$. Исследуем второй инвариант четвертого порядка
для (неособых) длинных узлов, см. \cite{knsp}, \cite{fasis}. Поскольку наше
препятствие к существованию целочисленной комбинаторной формулы
лежит в группе 2-кручения,
не будем утруждаться учетом ориентаций и проведем все
вычисления по модулю двойки.

Главная часть инварианта изображена на рис. \ref{mainp}.
Ее первый дифференциал определяет инварианты первого порядка для всевозможных
длинных кривых $\R^1 \to \R^3$ с тремя самопересечениями.

\begin{figure}
\begin{center}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(111.00,44.00)
\put(13.00,39.00){\oval(16.00,6.00)[t]}
\put(17.00,39.00){\oval(16.00,6.00)[b]}
\put(21.00,39.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(25.00,39.00){\oval(16.00,10.00)[b]}
\put(3.00,39.00){\line(1,0){32.00}}
\put(38.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(53.00,39.00){\oval(20.00,10.00)[t]}
\put(53.00,39.00){\oval(12.00,6.00)[t]}
\put(61.00,39.00){\oval(12.00,6.00)[b]}
\put(61.00,39.00){\oval(20.00,10.00)[b]}
\put(73.00,39.00){\line(-1,0){32.00}}
\put(76.00,39.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(87.00,39.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(95.00,39.00){\oval(12.00,6.00)[b]}
\put(95.00,39.00){\oval(20.00,10.00)[b]}
\put(103.00,39.00){\oval(12.00,8.00)[t]}
\put(111.00,39.00){\line(-1,0){32.00}}
\put(11.00,23.00){\oval(12.00,6.00)[t]}
\put(17.00,23.00){\oval(16.00,6.00)[b]}
\put(21.00,23.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(27.00,23.00){\oval(12.00,10.00)[b]}
\put(35.00,23.00){\line(-1,0){32.00}}
\put(38.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(51.00,23.00){\oval(16.00,6.00)[b]}
\put(55.00,23.00){\oval(16.00,6.00)[t]}
\put(61.00,23.00){\oval(20.00,10.00)[b]}
\put(61.00,23.00){\oval(12.00,10.00)[t]}
\put(73.00,23.00){\line(-1,0){32.00}}
\put(76.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(89.00,23.00){\oval(16.00,6.00)[t]}
\put(95.00,23.00){\oval(20.00,6.00)[b]}
\put(95.00,23.00){\oval(12.00,10.00)[t]}
\put(101.00,23.00){\oval(16.00,10.00)[b]}
\put(111.00,23.00){\line(-1,0){32.00}}
\put(0.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(3.00,7.00){\line(1,0){32.00}}
\put(15.00,7.00){\oval(20.00,6.00)[t]}
\put(15.00,7.00){\oval(12.00,6.00)[b]}
\put(21.00,7.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(25.00,7.00){\oval(16.00,10.00)[b]}
\put(0.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\end{picture}
\caption{Главная часть второго инварианта четвертого порядка}
\label{mainp}
\end{center}
\end{figure}


В частности, для кривых с самопересечениями,
заданными хордовой диаграммой
\begin{equation}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\mbox{
\begin{picture}(54.00,13.50)
\put(23.00,6.00){\oval(16.00,9.00)[t]}
\put(23.00,6.00){\oval(32.00,15.00)[t]}
\put(35.00,6.00){\oval(24.00,12.00)[b]}
\put(54.00,6.00){\line(-1,0){52.00}}
\put(4.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{1}}
\put(11.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{2}}
\put(19.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{3}}
\put(27.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{4}}
\put(35.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{5}}
\put(43.00,9.00){\makebox(0,0)[cc]{6}}
\put(51.00,9.00){\makebox(0,0)[cc]{7}}
\put(9.00,13.50){\makebox(0,0)[cc]{$\alpha$}}
\put(15.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$\beta$}}
\put(23.50,0.50){\makebox(0,0)[cc]{$\gamma$}}
\end{picture}
}
\end{equation}
этот первый дифференциал $\Delta$ равен

\begin{equation}
\label{firdif}
(1+6+7)\cdot (3+4).
\end{equation}

Убьем его шесть слагаемых диаграммами, составляющими предварительное
решение $\tilde G$ и
указанными в левых частях следующих формул (\ref{d1-1})---(\ref{d1-6}),
при этом убиваемые слагаемые цикла (\ref{firdif}) --- это первые слагаемые
в правых частях этих равенств, а остальные образуют невязку
$\partial \tilde G - \Delta.$ Убивая неориентированные
ломаные, удобно пользоваться {\em правилом левого конца}:
мы заменяем каждую такую ломаную на стрелку, направленную вправо или влево
в зависимости от четности номера неособого интервала, содержащего
левый конец ломаной. Благодаря этому правилу много слагаемых
невязки сразу сокращается.

\begin{equation}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\mbox{
\begin{picture}(117.00,26.00)
\put(13.00,21.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(13.00,21.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(19.00,21.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(3.00,21.00){\line(1,0){24.00}}
\put(30.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(73.00,21.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(103.00,21.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(48.00,6.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(73.00,21.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(103.00,21.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(48.00,6.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(79.00,21.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(109.00,21.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(54.00,6.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(63.00,21.00){\line(1,0){24.00}}
\put(93.00,21.00){\line(1,0){24.00}}
\put(38.00,6.00){\line(1,0){24.00}}
\put(0.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{$\partial$}}
\put(90.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(35.00,6.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(4.00,21.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(4.00,17.00){\line(1,0){7.00}}
\put(11.00,17.00){\vector(0,1){4.00}}
\put(73.00,26.00){\vector(-1,-3){1.67}}
\put(39.00,6.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(39.00,2.00){\line(1,0){6.00}}
\put(45.00,2.00){\vector(1,2){3.50}}
\put(94.00,21.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(94.00,15.00){\line(1,0){15.00}}
\put(109.00,15.00){\vector(0,1){2.00}}
\put(43.00,21.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(43.00,21.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(49.00,21.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(33.00,21.00){\line(1,0){24.00}}
\put(34.00,21.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(34.00,17.00){\line(1,0){7.00}}
\put(41.00,17.00){\line(0,1){4.00}}
\put(60.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{+}}
\end{picture}
}
\label{d1-1}
\end{equation}

\begin{equation}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\mbox{
\begin{picture}(117.00,26.00)
\put(13.00,21.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(13.00,21.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(19.00,21.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(3.00,21.00){\line(1,0){24.00}}
\put(30.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(73.00,21.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(103.00,21.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(47.00,5.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(73.00,21.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(103.00,21.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(47.00,5.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(79.00,21.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(109.00,21.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(53.00,5.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(63.00,21.00){\line(1,0){24.00}}
\put(93.00,21.00){\line(1,0){24.00}}
\put(37.00,5.00){\line(1,0){24.00}}
\put(0.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{$\partial$}}
\put(90.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(34.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(4.00,21.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(4.00,17.00){\line(1,0){7.00}}
\put(11.00,17.00){\vector(1,1){4.00}}
\put(64.00,21.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(64.00,15.00){\line(1,0){15.00}}
\put(79.00,15.00){\vector(0,1){2.00}}
\put(94.00,21.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(94.00,17.00){\line(1,0){6.00}}
\put(100.00,17.00){\vector(1,2){3.50}}
\put(47.00,10.00){\vector(1,-3){1.67}}
\put(43.00,21.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(43.00,21.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(49.00,21.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(33.00,21.00){\line(1,0){24.00}}
\put(34.00,21.00){\line(0,-1){4.00}}
\put(34.00,17.00){\line(1,0){7.00}}
\put(41.00,17.00){\line(1,1){4.00}}
\put(60.00,21.00){\makebox(0,0)[cc]{+}}
\end{picture}
}
\label{d1-2}
\end{equation}

\begin{equation}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\mbox{
\begin{picture}(123.00,36.01)
\put(13.00,31.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(13.00,31.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(19.00,31.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(3.00,31.00){\line(1,0){24.00}}
\put(30.00,31.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(73.00,31.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(103.00,31.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(47.00,15.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(73.00,31.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(103.00,31.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(47.00,15.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(79.00,31.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(109.00,31.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(53.00,15.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(63.00,31.00){\line(1,0){24.00}}
\put(93.00,31.00){\line(1,0){24.00}}
\put(37.00,15.00){\line(1,0){24.00}}
\put(0.00,31.00){\makebox(0,0)[cc]{$\partial$}}
\put(90.00,31.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(34.00,15.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(11.00,31.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(11.00,25.00){\line(1,0){12.00}}
\put(23.00,25.00){\vector(0,1){6.00}}
\put(71.00,31.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(71.00,25.00){\line(1,0){8.00}}
\put(79.00,25.00){\vector(0,1){2.00}}
\put(101.00,31.00){\vector(1,3){1.67}}
\put(77.00,15.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(77.00,15.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(83.00,15.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(67.00,15.00){\line(1,0){24.00}}
\put(64.00,15.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(109.00,15.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(109.00,15.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(115.00,15.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(99.00,15.00){\line(1,0){24.00}}
\put(95.00,15.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(53.00,11.00){\vector(1,1){4.00}}
\put(77.00,18.00){\line(0,1){3.00}}
\put(77.00,21.00){\line(1,0){10.00}}
\put(87.00,21.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(99.00,6.00){\vector(2,1){6.00}}
\put(99.00,6.00){\vector(2,-1){6.00}}
\put(108.00,3.00){\makebox(0,0)[cc]{6}}
\put(108.00,9.00){\makebox(0,0)[cc]{3}}
\put(43.00,31.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(43.00,31.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(49.00,31.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(33.00,31.00){\line(1,0){24.00}}
\put(41.00,31.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(41.00,25.00){\line(1,0){12.00}}
\put(53.00,25.00){\line(0,1){6.00}}
\put(60.00,31.00){\makebox(0,0)[cc]{+}}
\end{picture}
}
\label{d1-3}
\end{equation}

\begin{equation}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\mbox{
\begin{picture}(117.00,31.00)
\put(13.00,26.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(13.00,26.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(19.00,26.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(3.00,26.00){\line(1,0){24.00}}
\put(30.00,26.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(73.00,26.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(103.00,26.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(48.00,12.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(73.00,26.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(103.00,26.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(48.00,12.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(79.00,26.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(109.00,26.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(54.00,12.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(63.00,26.00){\line(1,0){24.00}}
\put(93.00,26.00){\line(1,0){24.00}}
\put(38.00,12.00){\line(1,0){24.00}}
\put(0.00,26.00){\makebox(0,0)[cc]{$\partial$}}
\put(90.00,26.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(35.00,12.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(78.00,12.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(78.00,12.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(84.00,12.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(68.00,12.00){\line(1,0){24.00}}
\put(65.00,12.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(11.00,26.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(11.00,20.00){\line(1,0){15.00}}
\put(26.00,20.00){\vector(0,1){6.00}}
\put(71.00,26.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(71.00,20.00){\line(1,0){8.00}}
\put(79.00,20.00){\vector(0,1){2.00}}
\put(109.00,22.00){\line(0,-1){2.00}}
\put(109.00,20.00){\line(1,0){7.00}}
\put(116.00,20.00){\vector(0,1){6.00}}
\put(48.00,15.00){\line(0,1){3.00}}
\put(48.00,18.00){\line(1,0){13.00}}
\put(61.00,18.00){\vector(0,-1){6.00}}
\put(74.00,2.00){\vector(2,1){6.00}}
\put(74.00,2.00){\vector(-2,1){6.00}}
\put(66.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{6}}
\put(82.00,5.00){\makebox(0,0)[cc]{3}}
\put(43.00,26.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(43.00,26.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(49.00,26.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(33.00,26.00){\line(1,0){24.00}}
\put(41.00,26.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(41.00,20.00){\line(1,0){15.00}}
\put(56.00,20.00){\line(0,1){6.00}}
\put(60.00,26.00){\makebox(0,0)[cc]{+}}
\end{picture}
}
\label{d1-4}
\end{equation}

\begin{equation}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\mbox{
\begin{picture}(121.00,28.00)
\put(13.00,23.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(13.00,23.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(19.00,23.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(3.00,23.00){\line(1,0){24.00}}
\put(30.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(73.00,23.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(103.00,23.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(47.00,10.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(73.00,23.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(103.00,23.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(47.00,10.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(79.00,23.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(109.00,23.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(53.00,10.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(63.00,23.00){\line(1,0){24.00}}
\put(93.00,23.00){\line(1,0){24.00}}
\put(37.00,10.00){\line(1,0){24.00}}
\put(0.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$\partial$}}
\put(90.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(34.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(77.00,10.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(107.00,10.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(77.00,10.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(107.00,10.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(83.00,10.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(113.00,10.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(67.00,10.00){\line(1,0){24.00}}
\put(97.00,10.00){\line(1,0){24.00}}
\put(64.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(94.00,10.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(23.00,23.00){\line(-4,-3){4.00}}
\put(19.00,20.00){\vector(-4,3){4.00}}
\put(79.00,19.00){\vector(-1,1){4.00}}
\put(103.00,28.00){\vector(1,-3){1.67}}
\put(57.00,10.00){\line(0,1){6.00}}
\put(57.00,16.00){\line(-1,0){10.00}}
\put(47.00,16.00){\vector(0,-1){3.00}}
\put(87.00,10.00){\vector(-1,-1){4.00}}
\put(102.00,1.00){\vector(2,1){6.00}}
\put(102.00,1.00){\vector(-2,1){6.00}}
\put(94.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{6}}
\put(110.00,4.00){\makebox(0,0)[cc]{3}}
\put(43.00,23.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(43.00,23.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(49.00,23.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(33.00,23.00){\line(1,0){24.00}}
\put(53.00,23.00){\line(-4,-3){4.00}}
\put(49.00,20.00){\line(-4,3){4.00}}
\put(60.00,23.00){\makebox(0,0)[cc]{+}}
\end{picture}
}
\label{d1-5}
\end{equation}

\begin{equation}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.4pt}
\mbox{
\begin{picture}(117.00,32.00)
\put(13.00,27.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(13.00,27.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(19.00,27.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(3.00,27.00){\line(1,0){24.00}}
\put(30.00,27.00){\makebox(0,0)[cc]{$=$}}
\put(73.00,27.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(103.00,27.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(48.00,12.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(73.00,27.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(103.00,27.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(48.00,12.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(79.00,27.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(109.00,27.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(54.00,12.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(63.00,27.00){\line(1,0){24.00}}
\put(93.00,27.00){\line(1,0){24.00}}
\put(38.00,12.00){\line(1,0){24.00}}
\put(0.00,27.00){\makebox(0,0)[cc]{$\partial$}}
\put(90.00,27.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(35.00,12.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(78.00,12.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(78.00,12.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(84.00,12.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(68.00,12.00){\line(1,0){24.00}}
\put(65.00,12.00){\makebox(0,0)[cc]{$+$}}
\put(26.00,27.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(26.00,21.00){\line(-1,0){11.00}}
\put(15.00,21.00){\vector(0,1){6.00}}
\put(79.00,23.00){\vector(-1,1){4.00}}
\put(116.00,27.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(116.00,21.00){\line(-1,0){7.00}}
\put(109.00,21.00){\vector(0,1){2.00}}
\put(61.00,12.00){\line(0,1){6.00}}
\put(61.00,18.00){\line(-1,0){13.00}}
\put(48.00,18.00){\vector(0,-1){3.00}}
\put(68.00,4.00){\vector(2,1){6.00}}
\put(68.00,4.00){\vector(2,-1){6.00}}
\put(77.00,1.00){\makebox(0,0)[cc]{6}}
\put(77.00,7.00){\makebox(0,0)[cc]{3}}
\put(43.00,27.00){\oval(16.00,10.00)[t]}
\put(43.00,27.00){\oval(8.00,6.00)[t]}
\put(49.00,27.00){\oval(12.00,8.00)[b]}
\put(33.00,27.00){\line(1,0){24.00}}
\put(56.00,27.00){\line(0,-1){6.00}}
\put(56.00,21.00){\line(-1,0){11.00}}
\put(45.00,21.00){\line(0,1){6.00}}
\put(60.00,27.00){\makebox(0,0)[cc]{+}}
\end{picture}
}
\label{d1-6}
\end{equation}


Обозначая через (a;b) b-е слагаемое в правой части уравнения
(a), имеем
$(\ref{d1-1};1)+(\ref{d1-3};2)= 3\wedge \alpha , $
$(\ref{d1-3};3)+(\ref{d1-5};4)= 6 \wedge \gamma, $
$(\ref{d1-3};4)+(\ref{d1-5};3)= 6 \wedge \beta , $
$(\ref{d1-4};2)+(\ref{d1-6};2)= 7 \wedge \gamma, $
$(\ref{d1-4};3)+(\ref{d1-6};3)= 7 \wedge \beta , $
остальные же слагаемые суммы всех этих правых частей
либо сокращаются, либо совпадают с убиваемыми слагаемыми
цикла (\ref{firdif}).

Таким образом, эти шесть гауссовых диаграмм осуществляют гомологию между
циклом (\ref{firdif}) и циклом
$3\wedge \alpha +6 \wedge \beta + 6 \wedge \gamma + 7 \wedge \beta
+ 7 \wedge \gamma \in B(3 \cdot 7)$
(строго говоря, умноженным на $\K(\Theta,1)$).

Пользуясь алгоритмом из доказательства леммы \ref{lem1chet},
сведем этот цикл в группу $C(6)$:
$$\partial (3 \wedge 7) = 3 \wedge \gamma + 7 \wedge \gamma + 7 \wedge \beta
+ \gamma_\rla \ ;$$
$$\partial (3 \wedge 6) = 3 \wedge \gamma + 3 \wedge \alpha +
6 \wedge \gamma + 6 \wedge \beta + \gamma_\rra \ .$$
Таким образом, наш цикл гомологичен элементу
$\gamma_\rra + \gamma_\rla$ и не равен нулю в группе
$H_1(\Theta,2) \simeq \Z_2.$
\end{example}

{\em Доказательство теоремы \ref{neccon} со страницы \pageref{neccon}.}
\label{prneccon}


1. Пусть $f$, $f_1$ --- те же, что перед формулировкой
этой теоремы. Любые две типичные иммерсии класса $\K(\Theta,3)$ можно
соединить в $\K(\Theta,3)$ последовательностью

а) гладких изотопий, не меняющих топологического типа ни кривой
$f(\R^1) \subset \R^3$, ни кривой
$f_1(\R^1) \subset \R^2$;

б) локальных перестроек, не изменяющих тип кривой
$f(\R^1) \subset \R^3$, но изменяющих тип ее проекции
$f_1(\R^1)$;

в) локальных перестроек кривой $f(\R^1)$, возникающих при
переходе через мгновенное
дополнительное самопересечение этой кривой и описываемых
в терминах плоской диаграммы как замена прохода на переход
или обратно.

Движения а) и в) очевидно не меняют четности рассматриваемой суммы.
Локальные перестройки б) могут быть четырех типов:

1) проход образа $a$-го
неособого интервала над или под точкой пересечения, изображаемой хордой
$\alpha$ (см. правую часть Рис. \ref{rmc} на стр. \pageref{rmc});

2, 3) мгновенное самокасание кривой $f_1(\R^1)$ в точке ее самопересечения,
изображаемой хордой $\alpha$
(см. левую часть того же рисунка), причем в последнем случае производные
отображения $f_1$ в этой точке могут быть сонаправлены или
противонаправлены; и

4) проход через мгновенное касание двух неособых участков кривой
$f_1(\R^1)$, в результате чего число ее двойных точек увеличивается
или уменьшается на 2; ср. \cite{arnold}.

Очевидно, перестройка 4) не меняет четность рассматриваемой суммы.
Из определения комплекса $\CC_*(\Theta,3)$ немедленно следует, что
прирост этой суммы при перестройке
1-го (соответственно, 2-го или 3-го) типа сравним по модулю двойки
с коэффициентом, с которым в границу нашего цикла входит элемент
$a \cdot \alpha \in B(m(2m+1))$ (соответственно, элементы
$\alpha_\rra \in C(2m)$ или $\alpha_\rla \in C(2m)$).
Поскольку граница цикла равна нулю, утверждение 1 теоремы доказано.

2. Для произвольной иммерсии $f: \R^1 \to \R^3$ класса
$\K(\Theta,3)$ обозначим через $\tilde f$ результат ее вращения
на $180^\circ$ вокруг оси пространства $\R^3$.

Допустим, что наш цикл обладает целочисленной комбинаторной формулой
гауссова типа. Число $\lambda_{a,b}$ из записи
(\ref{licom}) этого цикла равно по абсолютной величине
(а следовательно и по модулю двойки)
разности между коэффициентами, с которыми в эту формулу
входят две по-разному ориентированные ломаные стрелки,
соединяющие $a$-й и $b$-й неособые интервалы.
Отсюда немедленно следует, что для любой типичной иммерсии
$f$ класса $\K(\Theta,3)$ разность значений нашей комбинаторной
формулы на $f$ и $f_1$ совпадает по модулю двойки с суммой,
рассматриваемой в теореме. Поскольку $f$ и $f_1$
очевидно изотопны, эта разность должна быть четной.
\hfill $\square$ \medskip

{\em Доказательство теоремы \ref{predst2}.}
Возьмем пару циклов графа $f(\R^1)$, существование которой
утверждается в теореме \ref{vassya} на стр. \pageref{vassya}.
Искомый цикл нашего комплекса --- это произведение
этих двух циклов, то есть сумма всех элементов
$a \cdot b \in A({\bnm{2m+1}{2}})$, где $a$ принадлежит первому циклу,
а $b$ --- второму. Действительно, индекс пересечения проекций этих двух
циклов на плоскость $\R^2$ очевидно равен нулю. Этот нуль
складывается из (равного 1) числа рассматриваемых в теореме \ref{vassya}
точек пересечения и числа (учтенных со знаками)
точек пересечения этих проекций,
рассматриваемых в только что доказанной теореме \ref{neccon}.
Следовательно, число точек пересечения последнего вида нечетно,
и искомое утверждение следует из этой
теоремы \ref{neccon}. \hfill $\square$

\section{Реализация групп $H_1(\Theta,n)$ с нечетным $n$}

\begin{theorem}
\label{realiz}
Пусть $n$ нечетно, $n \ge 3,$ и $\Theta$ --- хордовая диаграмма из
$m$ хорд. Тогда для любой хорды
$\alpha$ из $\Theta$ линейная комбинация
\begin{equation}
\label{basone}
1 \cdot \alpha + 2 \cdot \alpha + \dots + (2m+1) \cdot \alpha
\end{equation}
является циклом комплекса $\CC_*(\Theta,n)$.
Такие циклы, соответствующие хордам $\alpha$
из разных связных компонент графа пересечений диаграммы $\Theta$,
линейно независимы и, взятые по одному для каждой такой компоненты,
определяют базис группы
$H_1(\Theta,\mbox{\rm odd})$.
\end{theorem}

{\em Доказательство.} То, что (\ref{basone}) есть
цикл, следует непосредственно из описания граничных операторов в нашем
комплексе, см. Рис. \ref{bf}, \ref{bevar}.
В силу теоремы \ref{homeven} ранг группы
$H_1(\Theta,\mbox{odd})$ равен числу этих элементов.
Построим набор элементов в $H_{n-2}(\K(\Theta,n)\sm \Sigma(\Theta,n)),$
двойственный по Александеру к соответствующим циклам.

Пусть число связных компонент графа пересечений диаграммы $\Theta$
равно $r$. Рассмотрим иммерсию $\varphi: \R^1 \to \R^n$ и
систему $r$ шаров в $\R^n$, описанные в лемме \ref{rballs}
на стр. \pageref{rballs}. Любому такому шару мы сопоставим некоторое
подмногообразие в $\K(\Theta,n) \sm \Sigma(\Theta,n)$,
диффеоморфное $S^{n-2}$,
все точки которого
суть отображения, совпадающие вне этого шара. Например,
при $n=3$ это подмногообразие
получается из $\varphi$ просто всевозможными
вращениями этого шара вокруг оси пространства
$\R^n$. В общем случае мы рассматриваем
пространство $S^{n-2}$ всевозможных ориентированных двумерных
плоскостей в $\R^n,$ проходящих через эту ось, и расслоение
ориентированных флагов над $S^{n-2}$, слой которого над
такой плоскостью состоит из всевозможных ориентированных
трехмерных аффинных подпространств в $\R^n$, содержащих эту плоскость.
Поскольку $n$ нечетно, это расслоение флагов имеет гладкое сечение.
Это сечение позволяет отождествить между собой все эти трехмерные
подпространства, причем каждое такое отождествление переводит
аффинную структуру, евклидову метрику, пересечение подпространства
с шаром, ось и двумерную плоскость в аналогичные объекты другого
подпространства.
Без ограничения общности мы можем считать, что внутри шара
кривая $\varphi(\R^1)$ лежит в каком-то из таких трехмерных
подпространств. Пользуясь нашими отождествлениями, мы получим
семейство аналогичных кривых, совпадающих вне шара, а внутри шара
лежащих каждая в своем трехмерном подпространстве; это семейство
естественно диффеоморфно базе $S^{n-2}$ расслоения флагов.
Обозначим это семейство через $S^{n-2}_j$, где $j$ --- номер
нашей связной компоненты графа пересечений.

Продолжим как-нибудь наш частичный порядок на множестве связных
компонент графа пересечений
до полного порядка и упорядочим в соответствии
с ним как эти $(n-2)$-мерные подмногообразия $S^{n-2}_j$ в
пространстве типичных кривых класса $\K(\Theta,n)$,
так и циклы (\ref{basone}) в $\Sigma(\Theta,n)$, соответствующие
какому-нибудь набору хорд $\alpha_j$, выбранных по одной из каждой
из этих связных компонент.

\begin{proposition}
При подходящей ориентации подмногообразий $S^{n-2}_j$,
матрица индексов зацепления этих подмногообразий с циклами
Бореля--Мура в $\Sigma(\Theta,n)$, соответствующими этим элементам
$\alpha_j$ группы $H_1(\Theta,\mbox{\rm odd})$, является треугольной с
единицами на
диагонали, ненулевые внедиагональные элементы которой лежат только в клетках
$(i,j)$, где $j$ --- номер компоненты, подчиненной компоненте
с номером $i$.
\end{proposition}

{\em Доказательство.}
Мы построим относительный цикл в
$\K(\Theta,n)$ mod $\Sigma(\Theta,n)$,
граница которого равна циклу (\ref{basone}). Это
будет линейная комбинация $2m+1$ цепей наподобие изображенных
в левых частях второй, третьей и четвертой формул Рис. \ref{ress}:
они получаются из графических изображений слагаемых
$1 \cdot \alpha, \dots , (2m+1) \cdot \alpha$ цепи (\ref{basone}),
указанных в правых частях этих же формул, подходящим ориентированием
ломаных хорд. А именно,
если $p < q$ --- номера концов хорды $\alpha$,
то в первых $p$ и последних $2m+1-q$ из этих слагаемых
ломаная стрелка ориентируется от точки неособого интервала
к центру хорды $\alpha$ и берется с коэффициентом $1$,
а в средних $q-p$ стрелка ориентируется от центра
хорды $\alpha$ к середине неособого интервала и
берется с коэффициентом $-1$. Из формул Рис. \ref{ress},
\ref{verrt}, \ref{coproj} непосредственно следует,
что цикл (\ref{basone}) является границей этой линейной комбинации.

Вычислим индекс пересечения этой пленки со сферой $S^{n-2}_j$,
где $j$ --- номер компоненты, содержащей $\alpha$.
Проведем в $\R^n$ аффинную гиперплоскость,
проходящую через точку $\varphi(\alpha)$ и ортогональную к
оси пространства $\R^n.$ Без ограничения общности можно считать, что
кривая $\varphi(\R^1)$ лежит сколь угодно близко к
фиксированной двумерной плоскости, содержащей эту ось, и что
все точки пересечения $\varphi(\R^1)$ с этой гиперплоскостью
лежат в этой двумерной плоскости. Тогда искомый индекс пересечения
равен числу точек пересечения этой гиперплоскости с кривой $\varphi(\R^1),$
лежащих
в шаре, соответствующем $j$-й компоненте графа пересечений, и взятых
со следующим учетом знаков. Точки, прообразы которых лежат между
концами хорды $\alpha$ в $\R^1,$ учитываются со знаком $-$
(соответственно, +) если в этой точке $\varphi$ пересекает гиперплоскость
слева направо (соответственно, справа налево); для точек,
прообразы которых лежат по одну сторону от обоих концов хорды $\alpha$,
учет знаков противоположный.

Последнее взвешенное число точек пересечения равно индексу пересечения
нашей гиперплоскости и ориентированной
бесконечной кривой, которая совпадает
\begin{itemize}
\item[--]
с осью пространства $\R^n$ вне нашего шара,
\item[--]
с кривой $\varphi(\R^1)$ внутри этого шара но вне
образа отрезка между концами хорды $\alpha$, и
\item[--]
с этой же кривой, проходимой задом наперед в прообразе этого отрезка.
\end{itemize}
(Действительно, при вычислении этого индекса пересечения
учитываются с теми же знаками те же самые точки кривой
$\varphi(\R^1)$ плюс, быть может, еще дважды, но с разными
знаками учитывается точка $\varphi(\alpha)$.) Очевидно,
что этот индекс пересечения равен $1$. Утверждение предложения о
внедиагональных элементах следует непосредственно из построения.
\hfill $\square$

Теорема \ref{realiz} немедленно вытекает из этого предложения.
\hfill $\square$

\begin{remark} \rm
Аналогичная конструкция для случая четного $n$
вообще говоря не проходит, поскольку четномерный еж не причесывается.
Единственный случай, когда его прическа не нужна, --- это
случай планарной диаграммы $\Theta$; см. доказательство леммы \ref{lem4chet}
и теорему \ref{homeven}.
\end{remark}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{ar70}
В.~И.~Арнольд,
О некоторых топологических инвариантах алгебраических функций,
Труды ММО 1970, {\bf 21}, 27--46.

\bibitem{arnold}
V.~I.~Arnold,
{\it Plane curves, their invariants, perestroikas and classifications}.
In: Singularities and
Bifurcations. Providence, RI: AMS,
1994. 33--91. (Adv. in Sov. Math., 21)

\bibitem{BN} Bar-Natan, D. (1995) On the Vassiliev knot invariants,
{\it Topology}, {\bf 34}, 423--472.

\bibitem{bw} Birman, J. (1993) New points of view in knot theory.
{\it Bull. AMS (N.S.)}, {\bf 28}:3, 253--287.

\bibitem{CDL} S.V.Chmutov, S.V.Duzhin, S.K.Lando,
Vassiliev knot invariants. II. Intersection graph conjecture for trees.
In: Singularities and
Bifurcations. Providence, RI: AMS,
1994. 127--134. (Adv. in Sov. Math., 21)

\bibitem{CS} Scott Carter, M.Saito. ??

\bibitem{fiedler} Fiedler, T. (2001) Gauss diagram invariants for knots and
links, Mathematics and its Applications, Vol. 552, Kluwer Academic
Publishers.

\bibitem{GPV} Goussarov, M., Polyak, M., and Viro, O. (2000) Finite type
invariants of classical and virtual knots, {\it Topology} {\bf 39}:5,
1045--1068.

\bibitem{kauf} Kauffman, L.H. (1999)
Virtual Knot Theory, {\it European Journal of Combinatorics,}
{\bf 20}:7, 662--690.

\bibitem{vasya} Мантуров, В.О.
Доказательство одной гипотезы В.А.Васильева.
??

\bibitem{PV} Polyak, M. and Viro, O. (1994)
Gauss diagram formulas for Vassiliev invariants,
{\it Internat. Math. Res. Notes} {\bf 11}, 445--453.

\bibitem{sar} K.S.Sarkaria, A one-dimensional Whitney trick and
Kuratowski's graph planarity criterion // Israel J. Math. 1991.
V. 73. P. 79--89.

\bibitem{stan} T.~Stanford, Finite type invariants of knots, links, and
graphs. Topology, 1996, 35(4), 1027--1050.

\bibitem{tyurina} Тюрина, С.Д. (1999) О формулах типа Ланна и Виро-Поляка
для инвариантов конечного типа, {\it Матем. Заметки}
{\bf 66:}4, 635--640.

\bibitem{knsp} Vassiliev, V.A. (1990)
Cohomology of knot spaces, in:
{\it Theory of Singularities and its Applications} (V.~I.~Arnold, ed.),
Advances in Soviet Math. Vol. 1, 23--69 (AMS, Providence, RI).

\bibitem{b94} Vassiliev, V.A. (1994)
{\it Complements of discriminants of smooth maps: topology and
applications, Revised ed.},
Translations of Math. Monographs 98, AMS, Providence RI.

\bibitem{fasis} Васильев, В.А. (1997)
{\it Топология дополнений к дискриминантам,}
Фазис, М., 552 с.

\bibitem{tt} Vassiliev, V.A. (2001)
On combinatorial formulas for cohomology of spaces of knots,
{\it Moscow Math. J.} {\bf 1}:1, 91--123.

\bibitem{bryden} Vassiliev, V.A.,
Combinatorial formulas for cohomology
of spaces of knots, in:
New Techniques in Topological Quantum Field Theory,
J.~Bryden (ed.), Kluwer, 2005,
to appear.
{\tt http://www.pdmi.ras.ru/\~{}arnsem/papers/cofor.zip}

\bibitem{combcomp} Васильев В.А. (2005)
Комбинаторное вычисление комбинаторных формул для инвариантов узлов,
Труды Московского Математического Общества, N 66.

\end{thebibliography}



\end{document}
