%From: "Nikita Ilyushechkin" <nikita@ilyush.mccme.ru>
%Date: Fri,  4 Dec 1998 20:12:55 +0300 (MSK)

\documentclass[twoside]{report}
\usepackage{amsfonts,latexsym}
\pagestyle{headings}
\textwidth=16.5cm
\textheight=21.5cm
\oddsidemargin=0mm
\evensidemargin=0mm
\topmargin=0mm
\headsep=10mm
\parindent=18pt
\newcommand{\skr}{\hskip 0.5pt}
\raggedbottom
\begin{document}
\centerline {\bf � ��������� ���������� ��� ����������}
\centerline {\bf �������������� �������}
\vskip 12pt
\centerline {\sc �. �. ���������}
\vskip 40pt
\centerline {\bf ��������}
\vskip 12pt

� ��������� �������� ������ ����������� �� ��������� [1], � ����� �����
����������� ������� ���������� �� ������� ����������. �������� ����������
����������� �������� � ���������� ��������� ������.

����� $ {\rm Sym}(n) $ -- ������������ $ n $ - ������ ������������ ������%
�������� ������. ��������� ������� ��������� ���������� ������� �����������
$$ {\cal F}: {\rm Sym}(n) \longrightarrow {\rm Sym}(n), $$
���������� ��������� ���������: ��� ����� ������� $ X \in {\rm Sym}(n) $ �
����� ������������� ������� $ C $, ��� $ C^{-1} X C $ -- ������������
�������, $ C^{-1}{\cal F}(X) C $ ���� �������� ������������ ��������.

����� ��������� ����� ������ �� �������� ��������� ���������� ������� ���%
��������
$$ {\cal G}: {\rm Sym}(n) \longrightarrow {\rm Sym}(n), $$
� �����-�� ������ ������������� � ����������� ���������. ������, ����� ���%
����, ��� �� �������������� ������� $ C^{-1} X C $ ������� ��������� ����
���� ������������ ��������� ������� $ C^{-1}{\cal G}(X) C $.

���� ����� �������� ��������� �������.

{\sc ������� 1.} {\it ����} $ {\cal F} $ -- {\it ����������� �� �������
���������, �� ���������� ����� ���������� ������� �������}
$$ a_m: {\rm Sym}(n) \longrightarrow R $$
{\it ���} $ m = 0,1,\ldots,n - 1 $, {\it ���}
$$ {\cal F}(X) = a_0 (X) E + a_1 (X) X + \cdots + a_{n-1} (X) X^{n-1},
   \eqno (0.1) $$
{\it �� ����} $ {\cal F}(X) $ {\it �������� ��������� ����������� �������}
$ n - 1 $ {\it � ����������� ��������������.}

{\sc ������� 2.} {\it ��� ������ �����������} $ {\cal G} $ {\it �� �������
��������� ���������� ����� ���������� ������� ������������������ �������}
$ A(X) $, {\it ���}
$$ {\cal G}(X) = A(X) X - X A(X),\eqno (0.2) $$
{\it �� ����} $ {\cal G}(X) $ {\it �������� ��������� ������������} $ X $
{\it � ���������� ������������������ ��������.}

������� �������������� ���������������� ���� ������ ������� � ������������
��������� ��������, ��������������, �� ������ ������, � ���������������
�������.
\vskip 24pt
\centerline {\bf \S 1. �� ���\"{�}���, ������\"{�}���� ��������� ��
���������� �������}
\vskip 12pt

���� ���� ������������ ��������� �������������� ��������, ��\"{�} �� ���� ����%
������� � ���������� ������� ���������� ���������� �� ����� ����� ������
���������� ������, ����\"{�}� � ������������ ����������.

��������� ������ ����� $ {\rm Mat}_C(n) $ ������������ ���������� ����%
������� ������ ������� $ n $, ������� �� ����� ������������� ��� ���������
������������ ����������� $ n^2 $. ����� $ Z \in {\rm Mat}_C(n) $ -- ���%
������� �������, � ����� $ f_1(\zeta),\dots,f_n(\zeta) $ -- ��������������%
��� ������� ������������ ���������, �������\"{�}���� �� ������� $ {\lambda}_1,
\dots,{\lambda}_n $ ������� $ Z $. ��� ����� ������������ ���\"{�}� �����%
����������, ���������� � $ {\rm Mat}_C(n) $ �� �������
$ f_1(Z),\dots,f_n(Z) $.

���������� ���\"{�}�� ����\"{�}� � ������ �������� ���������. ����� $ {\bf w}_1,
\dots,{\bf w}_l $ -- ������� ���������� ������������ �����������
$ m \geq l $. ���\"{�}� ���������������, ���������� �� ��� �������, ����� ���%
������� $ V({\bf w}_1,\dots,{\bf w}_l) $. ���� ��� $ {\bf w}_j $ ������� ���
������� - ������� $ {\bf w}_j = (w_{1j},\dots,w_{mj})^T $, �� �� ��
��������� ����� ��������� ������� $ W = (w_{ij}) $, ��� $ i = 1,\dots,m $
� $ j = 1,\dots,l $. ��������� ����� $ \mathfrak{M}_r(W) $ ����� ���������
���������� ������� ���� ������� ������� r ������� W. �����, ��� �������� [2],
$$ V^2({\bf w}_1,\dots,{\bf w}_l) = \mathfrak{M}_l(W) \eqno (1.1) $$

�������, ��� ���\"{�}� �� ���������, ���� ��� ������� $ {\bf w}_j $ �����������
������ � ���� �� ���������� �������������� Q, �� ����
$$ V({\bf w}_1,\dots,{\bf w}_l) =
              V(Q{\bf w}_1,\dots,Q{\bf w}_l) \eqno (1.2) $$
� ����� ����, ������� ���\"{�}�� $ V^2({\bf w}_1,\dots,{\bf w}_l) $ ��������� �
������������� ������� �����, ������\"{�}���� ���������
$ {\bf w}_1,\dots,{\bf w}_l $, � ��������� ������������ $ ({\bf w}_j,{\bf w}_k)
= (Q{\bf w}_j,Q{\bf w}_k) $, ������� ���� �������� ������� �����, ��
���������� ��� ��������� �������������� ����� ������������.

����\"{�}��� � ���������� ���\"{�}�� $ V(f_1(Z),\dots,f_n(Z)) $. �� ��������� ������
$ f_1(Z),\dots,f_n(Z) $ ����� ���������� ����� ������� $ \Phi(Z) $
������� $ n^2 \times n $, � $ \nu $ - �� ($ \nu = 1,\dots,n $) �������
������� ����� �������� ������� $ f_\nu(Z) $, ������ � �������\"{�}����,
����� � ��� �� ��� ���� $ \nu $, �������. ����� � ���� (1.1) �����
�����
$$ V^2(f_1(Z),\dots,f_n(Z)) = \mathfrak{M}_n(\Phi(Z)) \eqno (1.3) $$

�������, ��� �������������� ������� $ N = U^{-1}MU $, ��� ����������
$ M, N $ ����� �� $ {\rm Mat}_C(n) $, � $ U $~-- ���������� ���������
�������, ����� ������������� ��� ��������� ��������������
������������ $ {\rm Mat}_C(n) $. ������� ��������� ������� $ U $ ���,
����� ������� $ L = U^{-1} Z U $ ���� ������������:
    $$ L = {\rm diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) $$
�����, ����������, $ f_{\nu}(L) = U^{-1}f_{\nu}(Z)U $ �
$$ f_{\nu}(L) = {\rm diag}(f_{\nu}(\lambda_1),\dots,
f_{\nu}(\lambda_n)) $$

�� (1.2) ��������� ����������� �������������� ������� �����
$$ V(f_1(Z),\dots,f_n(Z)) = V(f_1(L),\dots,f_n(L)), $$
� ���������� (1.3) ��� ����������� �������� ���\"{�}�� ��� ����\"{�}��� �����
�������� $ \mathfrak{M}_n(\Phi(L)) $. �� � ������� $ \Phi(L) $ �������
����� ���� ��������� ����� ������� $ n $, ������������ �������������
���������� ������ $ f_{\nu}(Z) $, ��� ��� $ \mathfrak{M}_n(\Phi(L)) $
���� ������� ���������� �������� ����������� ������. ��������
���������� ������, ������� ������������� �������
$$ V(f_1(Z),\dots,f_n(Z)) = \vert \left \vert \matrix {
f_1(\lambda_1) & f_2(\lambda_1) & \dots & f_n(\lambda_1) \cr
f_1(\lambda_2) & f_2(\lambda_2) & \dots & f_n(\lambda_2) \cr
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr
f_1(\lambda_n) & f_2(\lambda_n) & \dots & f_n(\lambda_n)
} \right \vert \vert $$

��������, ����� ��� $ f_{\nu}(\zeta) = p_{\nu}(\zeta) $ -- ����������
������� $ n - 1 $:
$$ p_\nu(\zeta) = b_{\nu 0} + b_{\nu 1}\zeta +
    \dots + b_{\nu, n - 1}\zeta^{n - 1} $$
������������ ���� ����������� �������� ���������� �������
������� $ n $:
$$ B = \pmatrix {
b_{10} & b_{11} & \dots & b_{1,n - 1} \cr
b_{20} & b_{21} & \dots & b_{2,n - 1} \cr
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr
b_{n0} & b_{n1} & \dots & b_{n,n - 1}} $$
�����, ��� ����� �� ������� �� ��������� �������������,
$$ V(p_1(Z),\dots,p_n(Z)) = \vert {\rm det}(B) \vert \vert
W(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \vert, $$
��� W -- ������������ �����������, ������\"{�}���� ������� $ \lambda_1,
\dots,\lambda_n $. ������� � �������, �������
$$ V^2(p_1(Z),\dots,p_n(Z)) = \vert {\rm det}(B) \vert^2
\vert {\rm Dis}(\chi_{\scriptscriptstyle Z}) \vert, $$
��� $ \chi_{\scriptscriptstyle Z} $ -- ������������������ ��������� ������� Z,
� $ {\rm Dis}(\chi_{\scriptscriptstyle Z}) $ -- ��� ������������. � ���������,
$$ V^2(E,Z,\dots,Z^{n - 1}) = \vert {\rm Dis}
(\chi_{\scriptscriptstyle Z}) \vert $$

���������� (1.3) �������������� ������ ��������� ������� ����������� ���
  $$ \vert {\rm Dis}(\chi_{\scriptscriptstyle Z}) \vert =
     \mathfrak{M}_n (Z_*), \eqno (1.4) $$
��� $ Z_* $ -- ������� ������� $ n^2\times n $, � $ \nu $ - ��
$ (\nu = 0,1,\dots,n - 1) $ ������� ������� ����� �������� �������
$ Z^{\nu} $, ������ � �������\"{�}����, ����� � ��� �� ��� ���� $ \nu $, �������.

� ������, ����� ���������� ������� $ Z = X \in {\rm Sym}(n) $ �����������,
������� (1.3) � (1.4) ����� ���� ��������� ������������. ������������ ����%
����� ������� � ���, ��� ����������� ������������ $ {\rm Sym}(n) $, �������
�� ������ ����� ���������� ����� $ N = C^2_{n+1} $, ������ �����������
$ n^2 $ ������������ $ {\rm Mat}_C(n) $ ��� ����� ����� � �������� $ \Phi
(X) $ � $ X_* $.

������\"{�}� � ������ ������������. ������� $ X = (x_{ij}) \in {\rm Sym}(n) $
�� ������ ����� ������������� ��� ������� $ \widehat X $ ����������� $ N $,
�������� �������� ���� $ x_{ii} $ � $ \sqrt 2 x_{ij} $ ��� $ i < j $, ���%
���������� � �������
$$ 11,22,\dots,nn,12,13,\dots,1n,23,\dots,2n,\dots,n-1 \: n \eqno (1.5) $$
����� ��������� $ \sqrt 2 $ ���������� ���, ��� �������������� �������
$$ X = C^{-1} Y C, \eqno (1.6) $$
��� $ X $ � $ Y $ -- ���������� �������������� �������, � $ C $ -- �������%
��� ������������� �������, ��������� ������������ �����
$$ \sum\limits_{i=1}^n x^2_{ii} + 2 \sum\limits_{i<j} x^2_{ij} $$

����� $ E_{ij} $ ����� ���������� ���������� ������� ������� $ n $, �� ����%
������� $ i $ - �� ������ � $ j $~-~��� ������� ������� ����� �������, � ���
��������� �������� ����� ����. ��������� ����� �������������� �������
$ \Gamma_{ii} $ ��� $ i = 1,\dots,n $ � $ \Gamma_{ij} $ ��� $ i < j $ ��%
���������
$$ \Gamma_{ii} = E_{ii}, \qquad \Gamma_{ij} = \frac{1}{\sqrt 2}
(E_{ij} + E_{ji}) \eqno (1.7) $$
����� $ {\rm Sym}(n) $ ����� ������������� ��� ��������� ������������ ������%
����� $ N $ � ����������������� ������� (1.7), ������������� � ������� (1.5).

�������������, ������������ ������\"{�}���� ����, ����� ������� �������, ��������
(1.3) � (1.4), �� � ����������� $ N $. ������, ������ ������� $ \Phi (X) $ ��
(1.3) ����� ������������ ������� $ \Phi_s (X) $ ������� $ N \times n $, �
$ \nu $ - �� $ (\nu = 1,\dots,n) $ ������� ������� ����� �������� �������
$ f_{\nu} (X) $, ������������� � ������� (1.5) � ����������, ��� ��� �����,
�� $ \sqrt 2 $. ����� ������� (1.3) ������������� � ����
  $$ V^2(f_1(X),\dots,f_n(X)) = \mathfrak{M}_n(\Phi_s (X)), $$
� ������� (1.4) -- � ����
  $$ {\rm Dis}(\chi_{\scriptscriptstyle X}) =
     \mathfrak{M}_n (X_!), \eqno (1.8) $$
��� ������� $ X_! $ ���������� ��������� $ \widehat{X^0},\widehat X,\dots,
\widehat{X^{n-1}} $, �������������� � ������������ �������. ������, ����
$ X = (x_{ij}) \in {\rm Sym}(n) $, �� �������� ������� $ X^m $ ��� $ m = 0,
1,\dots,n - 1 $ ��������� �����~$ x^{(m)}_{ij} $. ����� �������, � ������
$ X_! $ � ������� $ ii $ ����� ��������
$$ 1,x_{ii},x^{(2)}_{ii},\dots,x^{(n-1)}_{ii}, $$
� ������ � ������� $ ij $ ��� $ i < j $ ���������� ����������
$$ 0,\sqrt 2 x_{ij},\sqrt 2 x^{(2)}_{ij},\dots,\sqrt 2 x^{(n-1)}_{ij} $$

��������, � ������ $ n = 3 $ ������� $ X_! $ ����� ���
$$ X_! = \pmatrix {
1 & x_{11} & x^{(2)}_{11} \cr
1 & x_{22} & x^{(2)}_{22} \cr
1 & x_{33} & x^{(2)}_{33} \cr
0 & \sqrt 2 x_{12} & \sqrt 2 x^{(2)}_{12} \cr
0 & \sqrt 2 x_{13} & \sqrt 2 x^{(2)}_{13} \cr
0 & \sqrt 2 x_{23} & \sqrt 2 x^{(2)}_{23}} $$
\vskip 24pt
\centerline {\bf \S 2. ��������������� ����������}
\vskip 12pt

��� �� ������ ����, ������������ ������ ������� $ X_! $ ����� ������ ����%
����� � �������������� ������� 1. ����� ������� $ n $ ������� $ X_! $, ��%
���������� �������� � �������� ��������� $ i_1 j_1,\dots,i_n j_n $, ������%
��� $ \langle i_1 j_1,\dots,i_n j_n \rangle (X) $. ��� -- ���������� �����%
���� ������� $ C^2_n $ �� ��������� ������� $ X $. ��������, ��� $ n = 3 $
�����
$$ \langle 11,22,33 \rangle (X) = \left \vert \matrix {
1 & x_{11} & x^2_{11} + x^2_{12} + x^2_{13} \cr
1 & x_{22} & x^2_{12} + x^2_{22} + x^2_{23} \cr
1 & x_{33} & x^2_{13} + x^2_{23} + x^2_{33}
} \right \vert = $$
$$ = (x_{22} - x_{11})(x_{33} - x_{11})(x_{33} - x_{22}) - $$
$$ - (x_{22} - x_{11})x^2_{12} + (x_{33} - x_{11})x^2_{13} -
(x_{33} - x_{22})x^2_{23}; $$
$$ \langle 33,12,23 \rangle (X) = 2 \left \vert \matrix {
x_{12} & x_{11}x_{12} + x_{12}x_{22} + x_{13}x_{23} \cr
x_{23} & x_{12}x_{13} + x_{22}x_{23} + x_{23}x_{33}
} \right \vert = $$
$$ = 2 x_{12}x_{23}(x_{33} - x_{11}) + 2 x_{13}(x^2_{12} - x^2_{23}) $$

��� �� ��� ��������, ����� ��������� ���� ���� ������� ����� �������������
$ {\rm Dis}(\chi_{\scriptscriptstyle X}) $. ������� ������ $ \langle i_1 j_1,
\dots,i_n j_n \rangle (X) $ �� � ���������� ����� �������� ����������������
������������.

������ ��������� ���� � ���������� $ T(X) = \langle 11,\dots,nn \rangle (X) $,
������� �������� ����������� � �����-�� ������ ��������� �� ��������� ������%
��������� �����������. ������, �� ������� ��� ��������������.

��������� ������� �������� ������ ����������� $ S(n) $ �� ��������� �������%
��� ������. ����� $ A = (a_{ij}) $ -- ������� ������� $ n $, � $ \sigma \in
S(n) $ -- �����������. ����� �� ����������� $ (\sigma A)_{ij} =
a_{\sigma (i)\sigma (j)} $. �������� ������, ��� $ \sigma $ -- ��������� ��%
���������, �� ����
$$ \sigma (A + B) = \sigma (A) + \sigma (B),\qquad
   \sigma (A B) = \sigma (A) \sigma (B) $$
� ���������, ��� $ X \in {\rm Sym}(n) $ �����
$$ \sigma (X^m) = [\sigma (X)]^m \eqno (2.1) $$

����� ����� ���������� �������� ������ $ S(n) $ �� ��������� $ \{P(X)\} $
�����������, ��������� �� ���������� $ x_{ij} $. ����������, �� �����������
$$ \sigma P(\dots,x_{ij},\dots) = P(\dots,x_{\sigma (i)\sigma (j)},
\dots), $$
����\"{�}� $ \sigma $ -- ����������� ������ �����������.

��������� � �������������� �������������� ���������� $ T(X) $. ��� ���
$$ T(X) = \left \vert \matrix {
1 & x_{11} & x^{(2)}_{11} & \dots & x^{(n-1)}_{11} \cr
1 & x_{22} & x^{(2)}_{22} & \dots & x^{(n-1)}_{22} \cr
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr
1 & x_{nn} & x^{(2)}_{nn} & \dots & x^{(n-1)}_{nn}
} \right \vert, \eqno (2.2)  $$
�� ���������� (2.1) ��� ����� ����������� $ \sigma $ �����
$$ \sigma x^{(m)}_{ij} = x^{(m)}_{\sigma (i) \sigma (j)}, $$
��� ���
$$ \sigma T(X) = \pm T(X), \eqno (2.3) $$
��� ���� ������� �� �\"{�}������ �����������.

�����, �������� $ x_{ii} $ �����\"{�}� �������������, � ��� ��������� �������%
��� -- ���������������. �������� ������, ��� ������� $ x^{(m)}_{ii} $ �����
����������� � ���� $ x^{(m)}_{ii} = x^m_{ii} + \widetilde {x}^{(m)}_{ii} $,
��� ������ �������� ���������� $ \widetilde {x}^{(m)}_{ii} $ �������� �����%
��������� ����������. ������, ����� ��������
$$ T(X) = W(x_{11},x_{22},\dots,x_{nn}) + \widetilde T (X), \eqno (2.4) $$
��� $ W $ -- ��� � ������, ������������ �����������, � ������ �������� ���%
������� $ \widetilde T (X) $ �������� �������������� ����������. ������ ��
(2.2) �����, ��� � $ \widetilde T (X) $ ��� ���������, ����������� ������
�������������� ����������.

������ �����������, ��� $ Q(X) $ -- ������������ �������� $ T(X) $. � ����
(2.4) ��������� $ Q(X) $ ����� ���
$$ Q(X) = R(x_{11},x_{22},\dots,x_{nn}) + \widetilde Q (X), \eqno (2.5) $$
��� $ R $ ������� ������ �� ������������ ���������� � �������� ���������
$ W $, � � ������ �������� $ \widetilde Q (X) $ ������ �������������� ����%
������. �� (2.3) �������, ��� ��� ����� ����������� $ \sigma \in S(n) $ ���%
������ $ \sigma (Q) $ ���� �������� ������������ ��������� $ T(X) $, � ��
(2.4) � (2.5) �����, ��� $ \sigma (R) $~-- �������� $ W $. ��� ��� �����%
���� $ W $ ����������� � ������������ �������� ���� $ x_{jj} - x_{ii} $, �
��� ����� ���� ��������� ����� ���� ���������� �����������, �����������
������ �� ��� �� ������, �� ����� ������ ������������ �������� $ T(X) $
����� ��� $ \sigma (Q) $ ��� ��������� ����������� $ \sigma $. ����� �����
����������� ��� ������.

1. $ Q $ -- ����� ������ �������. ����� $ T(X) $ ����������� � ������������
�������� ����. ��� ����, ���� $ \widetilde Q (X) \equiv 0 $, �� $ T(X) =
W(x_{11},\dots,x_{nn}) $, ��� ��������� ������� �������. ���� ��
$ \widetilde Q (X) \not\equiv 0 $, �� � ��� $ \sigma (\widetilde Q)
\not\equiv 0 $ � �� ������� �� ������������ ����������. �� ����� $ T(X) $
�������� ���������, �� ��������� �� ������������ ����������, ��� ����� �������.

2. $ Q $ -- ����� ������� ���� ������. ����� $ R $ -- ������������ ������%
��� ������������ ���� $ x_{jj} - x_{ii} $, ����\"{�}� ��� ��� ��������. �����
��������, ��� ������ ����� ��������� ����� ����������� $ \sigma $, ���
$ \sigma (R) \ne R $, �� � $ R $ � $ \sigma (R) $ ����� ���������� ����%
���� ���� $ x_{jj} - x_{ii} $ (���������� ���������� ������ $ n = 4 $, ��%
��� ������� $ Q $ ����� ����, � �\"{�}� ����). ��� ��� ����� $ Q $ �
$ \sigma (Q) $ �������� � �����������, �� ��� ��� ������ � ���������� ���%
������� $ T(X) $ �� ������������ ���������. ������� $ W $ ������� �� �����%
������� $ R \sigma (R) $, ���������� ��������� $ (x_{jj} - x_{ii})^2 $, ���
����������.

3. �������������� ������ $ n = 4 $,
$$ R = (x_{jj} - x_{ii})(x_{ll} - x_{kk}), $$
��� $ (i,j,k,l) $ -- ������������ ����� 1,2,3,4. � ���� ������ $ T(X) $
����������� � ������������ ��\"{�}� ������������ ����. ��������, �����
$ \widetilde Q $ ������ ����� ������ ������� �� ������������ ���������� �
������ -- �� ��������������. ����� ����� �������� $ T(X) $ ����� �� �������
���� ������ ������� �� ������������ ����������. �������, ��� �� ����� ����
��� �� ���. �������� ���������� $ x_{ij} $ ��������� ��������:
$$ x_{11} = x,\qquad x_{12} = x_{23} = x_{34} = t, $$
� ��� ��������� ���������� ������� ������� ����. �����, ��� �������� ������,
$$ \langle 11,22,33,44 \rangle (X) = x^2 t^4, $$
������ �������, ��� $ T(X) $ ������ ��������� ���������, ������� ������� ��
������������ ���������� �� ���� ������ -- ������������.

�����������, ��������������� ���������� ����� �������� �� ������ ������ ��%
���������. ������, ����� $ {\rm so}(n) $ -- ������������ ������������������
������ ������� $ n $. ����������� ����� ������������ �� ����� ����������
����� $ M = C^2_n $. ������� $ A = (a_{kl}) \in {\rm so}(n) $ ����� �������%
������ ��� ������� $ \bar A $ ����������� $ M $, �������� ��������
$ \sqrt 2 a_{kl} $ ��� $ k < l $ ����������� � ������� (1.5), ��, ��������%
��, ��� ������ $ n $ ���������. ����� �������, �� ����� �������������
$ {\rm so}(n) $ ��� ��������� ������������ ����������� $ M $ � �����������%
������ �������
$$ \Delta_{ij} = \frac{1}{\sqrt 2} (E_{ij} - E_{ji}) \eqno (2.6) $$
��� $ i < j $, ������������� � ������� (1.5).

����� $ X \in {\rm Sym}(n) $. ���������� �������� �����������
$$ X^{\Box} : {\rm so}(n) \longrightarrow {\rm Sym}(n), $$
���������� ��������
$$ X^{\Box}(A) = A X - X A $$
������� ����� ����������� � ������� (1.7) � (2.6) ��������� $ X^! $. �
��\"{�}��� ����\"{�}���� ����� ����������� ����� ����� �������� - ��������� �����%
���� $ \widehat H = X^! \bar A $, ��� $ H = X^{\Box} (A) $. ����� ���%
����� ������� $ X^! $. ������ �����, ��� ����� ������ $ N \times M $. �\"{�}
������ ������������� �������� ��������� $ ij $ ��� $ i \le j $ � �����������
� ������� (1.5). ������� ������������� �������� ��������� $ kl $ ��� $ k < l $
� ����������� � ��� �� �������.

��������, ���� ����������
$$ \Psi_{kl} = X^{\Box} (\Delta_{kl}), $$
�� $ \widehat{\Psi}_{kl} $ ���� $ kl $ - �� ������� ������� $ X^! $.

������� ������ $ X^! $ � �������� $ ii $ �������� ��������� �������. ����
$ k < i $, �� � ������� $ ki $ ��������� ����� $ - \sqrt 2 x_{ki} $, � ����
$ k > i $, �� � ������� $ ik $ ��������� ����� $ \sqrt 2 x_{ik} $. ��� ��%
������� �������� ������ ����� ����.

������ ������ ������ � �������� $ ij $ ��� $ i < j $. ���� $ k < i $, �� �
������� $ ki $ ����� ����� $ -x_{kj} $, � � ������� $ kj $ -- �����
$ -x_{ki} $. ���� $ i < k < j $, �� � ������� $ ik $ ��������� �����
$ x_{kj} $, � � ������� $ kj $ -- �����~$ -x_{ik} $. ���� $ j < k $, ��
������� $ ik $ �������� ����� $ x_{jk} $, � ������� $ jk $ -- �����
$ x_{ik} $. �������, � ������� $ ij $ ����������� ����� $ x_{jj} - x_{ii} $.
��� ��������� �������� ������ ����� ����.

��������, ����� $ n = 3 $. �����
$$ X^! = \pmatrix {
\sqrt 2 x_{12} & \sqrt 2 x_{13} & 0 \cr
- \sqrt 2 x_{12} & 0 & \sqrt 2 x_{23} \cr
0 & - \sqrt 2 x_{13} & - \sqrt 2 x_{23} \cr
x_{22} - x_{11} & x_{23} & x_{13} \cr
x_{23} & x_{33} - x_{11} & -x_{12} \cr
-x_{13} & -x_{12} & x_{33} - x_{22}} $$

��� ����� ������������ ������������ ������ ������� $ X^! $. �����, �����%
����� ��� ������, ����� $ i_1 j_1,\dots,i_n j_n $, ��������� $ \{i_1 j_1,
\dots,i_n j_n \}(X) $. ��������, ��� ��� -- ���������� ��������� �������
$ M $ �� ��������� $ x_{ij} $ ������� $ X $. ��������, ��� $ n = 3 $ �����
$$ \{11,22,33\}(X) = \left \vert \matrix {
x_{22} - x_{11} & x_{23} & x_{13} \cr
x_{23} & x_{33} - x_{11} & -x_{12} \cr
-x_{13} & -x_{12} & x_{33} - x_{22}
} \right \vert = \langle 11,22,33 \rangle (X); $$
$$ \{33,12,23\}(X) = \left \vert \matrix {
\sqrt 2 x_{12} & \sqrt 2 x_{13} & 0 \cr
- \sqrt 2 x_{12} & 0 & \sqrt 2 x_{23} \cr
x_{23} & x_{33} - x_{11} & - x_{12}
} \right \vert = -\langle 33,12,23 \rangle(X); $$

�� �������, ��� � ������, ��� ����� ������ �������� ����������� ���������
$$ \{i_1 j_1,\dots,i_n j_n \}(X) =
\pm \langle i_1 j_1,\dots,i_n j_n \rangle (X) \eqno (2.7) $$
\vskip 24pt
\centerline {\bf \S 3. �� ����������� ����� ��� �������������
�������������� ����������}
\vskip 12pt

����� ��� �������������� ��������� (2.7) �������� ������������ ����������
� ���������������� ���������, �� ����� �������� � ������������ ��������,
�� ���� �� � ���������, � � ��������� �����������. ��� ���� �� ��������
��� ���������� �����������, �� ������������ ������� ����� �������� ������
�������. � ������ �������������� �� ������� ��������� �������� ���������%
�� ����� [3], ��������, ��� ���������� ��������������� ���� ����� ���
���� ����������� ������������������ �������� ����� ���������� ������ ���%
���. ����\"{�}� ����������� ����������� � ������� �������� ������ ��� ��������
������������ ��������.

����� $ {\cal L} $ -- ������������ $ n $ - ������ ��������� ������������
�� ��������� ���������� ( , ). ����� $ {\bf End}(n) $ ��������� ��������%
���� �������� ���������� ��� $ {\cal L} $. ������� ��������
$ {\bf End}(n) $ ����� ���������� ����� $ {\bf O} $.

���� � ������������ $ {\cal L} $ ����� ����������������� ����� $ {\bf e}_1,
\ldots,{\bf e}_n $, �� � ������������ $ {\bf End}(n) $ ���� ����� ���������%
��� ������� ������ ������������� ������� ���������. ��� ����� ��� �������
����\"{�}��� ���������� ����������� ���������� ������������ $ ({\bf a}\otimes
{\bf b}) $ ��� ������ ������������� ���� �������� $ {\bf a},{\bf b}
\in {\cal L} $. ������, $ ({\bf a}\otimes {\bf b}) \in {\bf End}(n) $
-- �������� ��������, ������������ ��������
  $$ ({\bf a}\otimes {\bf b})({\bf x}) = ({\bf b},{\bf x})\skr {\bf a} $$

������������ ������������ $ ({\bf e}_i\otimes {\bf e}_j) $ ��������� ������
$ {\cal L} $ �������� ����� ������������ $ {\bf End}(n) $, ������� �� �����
�������� �������, ������������� ������ $ {\bf e}_1,\dots,{\bf e}_n $. ���%
�����, ��� ����� $ i,j,k $ �����
  $$ ({\bf e}_i\otimes {\bf e}_j)({\bf e}_k) =
     \delta_{jk} {\bf e}_i, \eqno (3.1) $$
��� $ \delta_{jk} $ -- ������ ���������. ��������� $ ({\bf e}_i\otimes
{\bf e}_j) $ � ������ $ {\bf e}_1,\dots,{\bf e}_n $ ������������� �������
$ E_{ij} $. ����������, ���� $ A = (a_{ij}) $ -- ������� ���������
$ {\bf A} \in {\bf End}(n) $ � ��� �� ������, ��
  $$ {\bf A} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij} ({\bf e}_i
     \otimes {\bf e}_j) $$

� ������������ $ {\bf End}(n) $ ����� ������������ ������� ���������� ������%
��� ��������� $ \langle\; ,\; \rangle $, ����� ��������� � ���������� ( , ) �
$ {\cal L} $. ��� ����� ���� ���������� $ {\bf A,B} \in {\bf End}(n) $ ��
��������� ������������
  $$ \langle {\bf A}, {\bf B} \rangle = {\rm tr}\skr ({\bf A^* B}) $$
��� $ {\bf A^*} $ -- ��������, ������\"{�}���� � $ {\bf A} $, � ��������
$ {\rm tr} $ ������������ ���� ��������� ���������. � ����� �����������%
������ ������ $ {\bf e}_1,\dots,{\bf e}_n $ ���� ������������ ��������
  $$ {\rm tr}\skr {\bf A} = \sum_{i=1}^n ({\bf A\skr e}_i,{\bf e}_i) $$

�������� ����� �������� ��������� ������������ ��������� ������
$ ({\bf e}_i\otimes {\bf e}_j) $. ������,
  $$ \langle ({\bf e}_i\otimes {\bf e}_j),
     ({\bf e}_k\otimes {\bf e}_l) \rangle
     = \delta_{ik}\skr \delta_{jl}, \eqno (3.2) $$
�� ���� ������������� ����� �������������� � ���������� ���������
$ {\bf A} \in {\bf End}(n) $ � ���� ������ ��������� � ���������� �������
$ A $ ����� ��������� � ������ $ {\bf e}_1,\ldots,{\bf e}_n $.

�������� {\bf A} ���������� ��������������, ���� $ {\bf A^*} = {\bf A} $,
� ������������������, ���� $ {\bf A^*} = -{\bf A} $. ��������������� ���%
����������� ���������� ����� ���������� �������� $ {\bf Sym}(n) $, ����%
�������������� -- �������� $ {\bf so}(n) $.

����� $ {\bf X} \in {\bf Sym}(n) $. ��� ��� ������� $ X = (x_{ij}) $ ���%
������ $ {\bf X} $ � ������ $ {\bf e}_1,\ldots,{\bf e}_n $ �����������, ��
  $$ {\bf X} = \sum_{i=1}^n x_{ii}\skr ({\bf e}_i\otimes {\bf e}_i) +
     \sum_{i<j} x_{ij}\skr (({\bf e}_i\otimes {\bf e}_j) +
     ({\bf e}_j\otimes {\bf e}_i)) $$

���������� �������������� ���������
  $$ {\bf \Gamma}_{ii} = ({\bf e}_i\otimes {\bf e}_i),\qquad
     {\bf \Gamma}_{ij} = \frac{1}{\sqrt{2}}\skr ({\bf e}_i\otimes
     {\bf e}_j) + \frac{1}{\sqrt{2}}\skr ({\bf e}_j\otimes
     {\bf e}_i), \eqno (3.3) $$
��� $ i < j $. ���� ���������� ������������� ����\"{�}���� ����� �������
$ \Gamma_{ii} $ � $ \Gamma_{ij} $. ��������, ����� �������� $ {\bf X}
\in {\bf Sym}(n) $ ����� ���� �������� �� ������� (3.3):
  $$ {\bf X} = \sum_{i=1}^n x_{ii}\skr {\bf \Gamma}_{ii} +
     \sqrt{2}\skr \sum_{i<j} x_{ij}\skr {\bf \Gamma}_{ij} $$
����� ����, �� (3.2) �������� �������, ��� ������� (3.3) ���������������.
�������������, ��� ������� ���������� �������� ����������������� �����
��������� ������������ $ {\bf Sym}(n) $ ����������� $ N $, ����\"{�}� ��������%
���� ��������� $ {\bf X} \in {\bf Sym}(n) $ � ���� ������ ����� ���������%
��� �������� $ x_{ii} $ ��� ������� $ X $ � ������ $ {\bf e}_1,\ldots,
{\bf e}_n $, � ����� ���������� �� $ \sqrt{2} $ �������������� ��������
$ x_{ij} $ ���� �� ������� ��� $ i < j $. �������� ������ (3.3) ������ �����
����������� � ������� (1.5).

������ ����� $ {\bf A} \in {\bf so}(n) $. ��� ��� ������� $ A = (a_{ij}) $
��������� $ {\bf A} $ � ������ $ {\bf e}_1,\dots,{\bf e}_n $ ���������������,
��
  $$ {\bf A} = \sum_{i<j}\skr a_{ij}\skr (({\bf e}_i\otimes {\bf e}_j)
     - ({\bf e}_j\otimes {\bf e}_i)), $$
��� ��� � ������������ $ {\bf so}(n) $ ����������� ��������� �����������%
������ �����
  $$ {\bf \Delta}_{ij} = \frac{1}{\sqrt{2}}\skr ({\bf e}_i\otimes
     {\bf e}_j) - \frac{1}{\sqrt{2}}\skr ({\bf e}_j\otimes {\bf e}_i)
     \eqno (3.4) $$
��� $ i < j $. �������� ����� ������ ���������� � ��� �� ������� (1.5).
��, ��������, ������������� ������� $ \Delta_{ij} $. ������������ �������%
�� $ {\bf A} \in {\bf so}(n) $ � ���� ������ ����� ���������� �� $ \sqrt 2 $
�������������� �������� $ a_{ij} $ ��� $ i < j $ ��� ������� $ A $ � ������
$ {\bf e}_1,\ldots,{\bf e}_n $.

� ����� ������� ��������� � ������������ $ {\cal L} $ �����-�� ���� ������%
�\"{�}���� ����������, �� ���� ����������� ����� ������� ������ ��������������
������� � ���������� �������������� ���������. �������, ��� ��� ����� ���%
������������ � ������������� ������ (3.3) � (3.4) ����� ������������ �����%
����� ������������� ���������������. ����� ������ $ {\bf e}_1,\ldots,
{\bf e}_n $ � $ {\bf e}'_1,\ldots,{\bf e}'_n $ ������� ���������
$$ {\bf e}'_i = \sum_{j=1}^n c_{ji} {\bf e}_{j}, $$
��� ������� $ C $ -- ���������� �������������, $ \det C = 1 $. ����� �����
������� ������� ������ ������������� �������:
  $$ \begin{array}{c}
     {\bf \Gamma}'_{ii} = \sum\limits_{k=1}^n c^2_{ki}\skr
     {\bf \Gamma}_{kk} + \sqrt{2}\skr\sum\limits_{k<l} c_{ki}\skr
     c_{li}\skr {\bf \Gamma}_{kl} \\
                  \\
     {\bf \Gamma}'_{ij} = \sqrt{2}\skr\sum\limits_{k=1}^n c_{ki}\skr
     c_{kj}\skr {\bf \Gamma}_{kk} + \sum\limits_{k<l} (c_{ki}\skr
     c_{lj} + c_{kj}\skr c_{li})\skr {\bf \Gamma}_{kl} \\
                   \\
     {\bf \Delta}'_{ij} = \sum\limits_{k<l} (c_{ki}\skr c_{lj}
     - c_{kj}\skr c_{li})\skr {\bf \Delta}_{kl}
     \end{array} \eqno (3.5) $$

����� $ C^{\wedge} $ -- ������� �������� �� ������� ������ � ������ � ���%
��������� $ {\bf Sym}(n) $, $ C_{\wedge} $ -- ��������������� ������� � ���%
��������� $ {\bf so}(n) $. ��� ��� ��� ������, ��������� ��������� (3.5),
���������������, �� ��� ������� $ C^{\wedge} $ � $ C_{\wedge} $ ������������.
��������, ���� $ n = 2 $ �
  $$ C = \left(\matrix{
     a & -b \cr b & a \cr}\right) ,\qquad\mbox{��}\qquad
     C^{\wedge} = \left(\matrix{
     a^2 & b^2 & -\sqrt{2}\skr a\skr b \cr
     b^2 & a^2 & \sqrt{2}\skr a\skr b \cr
     \sqrt{2}\skr a\skr b & -\sqrt{2}\skr a\skr b & a^2 - b^2 \cr}
     \right) , $$
��� $ a^2 + b^2 = 1 $. ��� ���� �� �������� $ C_{\wedge} = 1 $. �������,
��� ������� $ C^{\wedge} $ � $ C_{\wedge} $ ���������� ������������, ��
���� �� ������������ ������������. � ����� ����, ��� ��� ������� $ C $
���������� ������������, �� �\"{�} ����� ����������� ����������� �������������
� ��������� �������. ����, ���������� ����� ����������� �������
$ c_{ij}(t) $, �������\"{�}���� ��� $ 0 \le t \le 1 $, ��� $ c_{ij}(0) =
\delta_{ij}, c_{ij}(1) = c_{ij} $, � ������� $ C(t) = (c_{ij}(t)) $ ������%
������ ��� ����� $ t $. ���������� ��������� �������������� (3.5), � �������
�������� $ c_{ij} $ �������� �� $ c_{ij}(t) $. ����� �� ������� �����������
��������� ����������������� ������� $ {\bf \Gamma}'_{ij}(t) $ �
$ {\bf \Delta}'_{ij}(t) $, ����\"{�}�, ��� �������� ������,
$$ {\bf \Gamma}'_{ij}(0) = {\bf \Gamma}_{ij},\quad
   {\bf \Gamma}'_{ij}(1) = {\bf \Gamma}'_{ij},\qquad
   {\bf \Delta}'_{ij}(0) = {\bf \Delta}_{ij},\quad
   {\bf \Delta}'_{ij}(1) = {\bf \Delta}'_{ij} $$
������, ������� $ C^{\wedge} $ � $ C_{\wedge} $ ����� ���� ���������� �����%
����������� � ��������� ������� ��������������� ������������.

����� �������, ������� ���������� � ������������ $ {\cal L} $ �������������
����\"{�}� ������� ���������� � ������������� $ {\bf Sym}(n) $ � $ {\bf so}(n) $.
������������ ���������������� �� ����� ������� ������ (3.3) � (3.4).

����������� ����������� $ {\bf Sym}(n) $ � $ {\bf so}(n) $ ������� ��������%
���� $ M + n = N $.
��� ������������� $ {\bf Sym}(n) $ ����� ��������� ������� �������
  $$ \bigwedge\skr ({\bf Sym}(n)) = \bigoplus\limits_{p=0}^N
     \bigwedge\nolimits^p\skr ({\bf Sym}(n)) \eqno (3.6) $$

� ���� ������� ��� ����� ������������ ��� ����������� $ {\bf X_!} $ �
$ {\bf X^!} $ �������� $ n $ � $ M $ ��������������, ��������� � ���������%
��� ���������� $ {\bf X} \in {\bf Sym}(n) $. ������ �� ��� ������������ ���
������� ������������ �������� $ {\bf X}^q $ ��������� $ {\bf X} $ ���
$ q = 0,1,\ldots,n - 1 $:
  $$ {\bf X_!} = {\bf X}^0\wedge {\bf X}^1\wedge\cdots
     \wedge {\bf X}^{n-1} $$

������ ���������� ������������ ��������� �������. ���������� �������� ���%
��������
  $$ {\bf X^{\Box}}: {\bf so}(n)\longrightarrow {\bf Sym}(n), $$
���������� ��������
  $$ {\bf X^{\Box}}\skr ({\bf A}) = {\bf A\skr X} - {\bf X\skr A} $$
����� $ {\bf \Phi}_1,\ldots,{\bf \Phi}_M $ -- ������������ ������������
��������������� ����������������� ����� ������������ $ {\bf so}(n) $. ���%
������ $ {\bf \Psi}_r = {\bf X^{\Box}}\skr ({\bf \Phi}_r) $. ����� �� ����%
�������
  $$ {\bf X^!} = {\bf \Psi}_1\wedge {\bf \Psi}_2
     \wedge\cdots\wedge {\bf \Psi}_M $$

������� ������������ ����� �����������. ����� $ {\bf \Phi}'_1,\ldots,
{\bf \Phi}'_M $ -- ������ ������������ ��������������� �����������������
����� ������������ $ {\bf so}(n) $, ��������� � ������ ������� ����������
������������� �������� �������� $ G $. ����� � ���� ���������� ���������
$ {\bf X^{\Box}} $ ������� �������� $ {\bf \Psi}_1,\ldots,{\bf \Psi}_M $
� $ {\bf \Psi}'_1,\ldots,{\bf \Psi}'_M $, ��� $ {\bf \Psi}'_r =
{\bf X^{\Box}}\skr ({\bf \Phi}'_r) $, ����� ������� ��� �� �������� ��%
������ $ G $. � ��� ��� $ \det G = 1 $, ��
  $$ {\bf \Psi}'_1\wedge\cdots\wedge {\bf \Psi}'_M = (\det G)\skr
     {\bf \Psi}_1\wedge\cdots\wedge {\bf \Psi}_M = {\bf X^!} $$

��������, ������������� ����� ������� $ X_! $ � $ X^! $ ���� ������ ���%
���� ������������ $ {\bf X_!} $ � $ {\bf X^!} $, ���� $ X $ -- �������
��������� $ {\bf X} $, � � �������� �������� �������� $ {\bf \Phi}_r $ �
$ {\bf so}(n) $ ����� ��������� $ {\bf \Delta}_{ij} $. ����� �������,
������ $ \langle i_1 j_1,\dots,i_n j_n \rangle(X) $ � $ \{i_1 j_1,\dots,
i_n j_n \}(X) $ ������������ ����� ���������� ������������ $ {\bf X_!} $
� $ {\bf X^!} $ ��������������.

�����������, ����� ������������� $ {\bf X_!} $ � $ {\bf X^!} $ ���� �����
������� �����. ��������, ��� �� ��������� ������� (3.6) ����� ����������
���������� �����
  $$ {\cal H}_p: \bigwedge\nolimits^p\skr ({\bf Sym}(n)) \longrightarrow
     \bigwedge\nolimits^{N-p}\skr ({\bf Sym}(n)), $$
����������� ���������, ������� �������������� ������� $ p $ � $ N - p $. �
���������, �������� ����� ������������ ������������������ �������� �����%
��� $ n $ � $ M $. �������� ������, ��� ��� ��������� ���� ���������� �����%
������� $ {\bf Sym}(n) $ ����������� �����������
  $$ \begin{array}{c}
     {\cal H}_n\skr ({\bf \Gamma}_{11}\wedge {\bf \Gamma}_{22}
     \wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{nn}) = \\
              \\
     = {\bf \Gamma}_{12}\wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{1n}\wedge
     {\bf \Gamma}_{23}\wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{2n}\wedge
     \cdots\wedge {\bf \Gamma}_{n-1,n} \end{array} \eqno (3.7) $$

�������, ��� ���������� ����� $ {\cal H}_n $ ��������� ����������
$ {\bf X_!} $ � ���������� $ {\bf X^!} $, �� ����
  $$ {\cal H}_n\skr ({\bf X_!}) = {\bf X^!} \eqno (3.8) $$

������ �����, �� (3.1), (3.3) � (3.4) ����� �������, ��� � ������
$ i < j $ ����������� ���������
  $$ {\bf \Gamma}^{\Box}_{ii}\skr ({\bf \Delta}_{ij}) =
     -{\bf \Gamma}_{ij},\quad {\bf \Gamma}^{\Box}_{jj}\skr
     ({\bf \Delta}_{ij}) = {\bf \Gamma}_{ij},\quad
     {\bf \Gamma}^{\Box}_{kk}\skr ({\bf \Delta}_{ij}) =
     {\bf O}, \eqno (3.9) $$
��� $ k \ne i,j $.

�����, ������� � $ {\cal L} $ ����� ����� $ {\bf e}_1,\ldots,{\bf e}_n $,
� ������� ������� ��������� {\bf X} ����� ������������ ���
  $$ X = {\rm diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) $$
����� ��� ������ $ q \ge 0 $ �����
  $$ {\bf X}^q = \lambda_1^q\skr {\bf \Gamma}_{11} + \lambda_2^q\skr
     {\bf \Gamma}_{22} + \cdots + \lambda_n^q\skr {\bf \Gamma}_{nn}, $$
�, �������������,
  $$ {\bf X_!} = W\skr (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\skr {\bf \Gamma}_{11}
     \wedge {\bf \Gamma}_{22}\wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{nn}, $$

�������, �� (3.9) �������, ���
  $$ {\bf X^{\Box}}\skr ({\bf \Delta}_{ij}) =
     (\lambda_j - \lambda_i)\skr {\bf \Gamma}_{ij}, $$
������
  $$ {\bf X^!} = \prod\limits_{i<j} (\lambda_j - \lambda_i)\times
     {\bf \Gamma}_{12}\wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{1n}\wedge
     {\bf \Gamma}_{23}\wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{2n}
     \wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{n-1,n}, $$
����\"{�}� ����������� ��� ������� ������������ ��������, ��������, ��� �� ��%
��� ������������� ����������� $ W(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) $. ���������
(3.8) ������� ������ �� (3.7).

� ������������ ������� ��������� ����������� $ {\bf X_!} $ � $ {\bf X^!} $
����� �������������
  $$ {\bf X_!} = \sum \langle i_1 j_1,\dots,i_n j_n \rangle (X)\skr
     {\bf \Gamma}_{i_1 j_1}\wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{i_n j_n} $$
  $$ {\bf X^!} = \sum\{i_1 j_1,\dots,i_n j_n\}(X)\skr {\bf \Gamma}_{k_1 l_1}
     \wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{k_M l_M}, $$
��� $ k_1 l_1,\dots,k_M l_M $ -- ��������� ������� ��������, �����������
����� $ i_1 j_1,\dots,i_n j_n $ �� ���� (1.5). ��� ��� ��� �����������
����� �����
  $$ {\cal H}_n ({\bf \Gamma}_{i_1 j_1}\wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}
_{i_n j_n}) = \pm\skr {\bf \Gamma}_{k_1 l_1}
\wedge\cdots\wedge {\bf \Gamma}_{k_M l_M}, $$
�� ��������� (2.7) ������� �� (3.8). ��������� (2.7) ������ $ \{i_1 j_1,
\dots,i_n j_n \}(X) $ ���� ����� �������� ���������������� ������������.
\vskip 24pt
\centerline {\bf \S 4. �������������� �������� ������}
\vskip 12pt

����\"{�}� � �������������� ������� 1. ��������� �������� ����������� �� ��%
����� $ X \in {\rm Sym}(n) $, � ������� ��� ����������� ����� �������
��������. ��������� ���� ���������� ������ ��������� ����� $ \mathfrak{R} $.
��� ��������� �������������� ������� �����\"{�}� ������������.

����� $ X $ -- ���������� �������. ����� ���������� ����� �������������
������� $ C $, ���
  $$ C^{-1} X C = L = {\rm diag} (\lambda_1,
     \lambda_2,\dots,\lambda_n), \eqno (4.1) $$
����\"{�}� ��� �������� $ \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n $ ������� �����%
���. �� ������� ������
  $$ C^{-1} {\cal F} (X) C = M = {\rm diag} (\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n) $$
������������ ������� $ E,L,\dots,L^{n-1} $ ������� ����������, ������� ��%
���������� ������� $ M $ ������������ ������� ����������� � ���� ��������
���������� ������ $ E,L,\dots,L^{n-1} $:
  $$ M = a_0 E + a_1 L + \cdots + a_{n-1} L^{n-1}, $$
������
  $$ {\cal F}(X) = a_0 E + a_1 X + \cdots + a_{n-1} X^{n-1}, $$

����� �������, ���� ������� $ X $ ���������, �� ����� $ a_0,a_1,\dots,
a_{n-1} $ � ��������� (0.1) ������������ ������� ������������ ����� ���%
����� $ X $.

� ���������� ��� ���������� �����-���� ������� ����� �������� �\"{�} �������%
���� ���������. �������, ��� ������� $ a_0 (X),a_1 (X),\dots,a_{n-1}(X) $
�������� �������� �� ��������� $ \mathfrak{R} $. �������� �������
$ {\cal F}(X) $ ��������� ����� $ \theta_{ij}(X) $. ��������, ��� �����
������� $ X \in \mathfrak{R} $ � ��� ������������ ������ ������� ��������
$ i_1 j_1,i_2 j_2,\dots,i_n j_n $ ����������� ���������
$$ \pmatrix {
x^{(0)}_{i_1 j_1} & x^{(1)}_{i_1 j_1} & \dots & x^{(n-1)}_{i_1 j_1} \cr
x^{(0)}_{i_2 j_2} & x^{(1)}_{i_2 j_2} & \dots & x^{(n-1)}_{i_2 j_2} \cr
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr
x^{(0)}_{i_n j_n} & x^{(1)}_{i_n j_n} & \dots & x^{(n-1)}_{i_n j_n}}
\pmatrix {
a_0 (X) \cr a_1 (X) \cr \vdots \cr a_{n-1}(X)} =
\pmatrix {
\theta_{i_1 j_1}(X) \cr \theta_{i_2 j_2}(X) \cr
\vdots \cr \theta_{i_n j_n}(X)}, $$
������ ����� �������� ���������� � ������ �� ��\"{�}� ��������� $ {\rm Sym}(n) $.
���� $ i_r < j_r $, �� $ r $ -�� ������ ��������� ����� �������� ��
$ \sqrt 2 $. ������� ����� ����� ��� ����� ��������� ����� �� �������, ���%
������\"{�}���� � ������� � ����� ��� �����, ������� ��� $ m = 0,1,\dots,n-1 $
�����������
  $$ \langle i_1 j_1,\dots,i_n j_n \rangle (X) \skr a_m (X) =
     \varphi_{i_1 j_1,\dots,i_n j_n,m}(X), \eqno (4.2) $$
� ������� ��� $ \varphi_{i_1 j_1,\dots,i_n j_n,m} $ ���������� � ������ ��
��\"{�}� ������������ $ {\rm Sym}(n) $.

����� $ X_0 \in \mathfrak{R} $. � ����� $ X_0 $ ������� $ E,X,\dots,X^{n-1} $
������� ����������, �� ���� ���� ������� $ X_! $ � �������� ����� $ n $.
������, � $ X_! $ ���� ������������� � ����� $ X_0 $ ����� $ \langle i_1 j_1,
\dots,i_n j_n \rangle(X) $. ��������, ���������� ����� ����������� $ \Omega
\ni X_0 $, ��� ����� � $ \Omega $ �����
  $$ \langle i_1 j_1,\dots,i_n j_n \rangle (X) \ne 0 $$
������ � �� (4.2) �������, ��� $ a_m (X) \in C^{\infty} (\Omega) $ ���
���� $ m $.

��������, ������ ��� ����� �������� �������������� �� ������������� ����%
��� $ a_m (X) $ �� ����������� ��������� � �� ��������� �� �\"{�}�. ��� ��
������, ��� ������ $ m = 0,1,\dots,n - 1 $ � ������ ������ ������� ����%
���� $ k_1 l_1,\dots,k_n l_n $ ������� $ f(X) $, �������\"{�}���� �� �������%
�� $ \mathfrak{R} $ ����������
  $$ f(X) = \langle k_1 l_1,\dots,k_n l_n \rangle (X)\skr a_m (X), $$
����� ���� ������ ���������� �� ��\"{�} ������������ $ {\rm Sym}(n) $. �����%
��������, ���� �� ��������� ������� $ \langle k_1 l_1,\dots,k_n l_n
\rangle(X) $ ��������� �����-������ �������� ����������
  $$ P(X) = \sum P_{k_1 l_1,\dots,k_n l_n}
     \langle k_1 l_1,\dots,k_n l_n \rangle (X), $$
� ������� ��� $ P_{k_1 l_1,\dots,k_n l_n} $ -- ���������, �� �������
$ g(X) = P(X)\skr a_m (X) $ ����� ������� �� $ {\rm Sym}(n) $. �����
$ Q(X) $ -- �����-�� ������ �������� ���������� � $ h(X) = Q(X)\skr
a_m (X) $. ��������,
  $$ h(X)\skr P(X) = g(X)\skr Q(X) \eqno (4.3) $$
�� ���� ������ $ \mathfrak{R} $. �� ��� ��� ����������� ������� ���������� �
$ {\rm Sym}(n) $ ��������� ������� ����, � ������� $ g(X) $ � $ h(X) $
������ �����, �� ��������� (4.3) ����� �� ��\"{�}� ��������� $ {\rm Sym}(n) $.
������, ���� �� ������� ��������, ������ �� (4.3), ��� $ g(X) $ ������� ��
$ P(X) $ � ����������� �����-������ ����������� ����� $ X_0 $ � ������� ��
������� �������� ������� ��������, �� ��������, ��� ������� $ a_m(X) $ ��%
��� ���������� � ����������� $ X_0 $ � ����������� ���������. ��� ������%
����� ����������� ����� ������� ���, ����������, ����������� ������� ���%
�������� $ P(X) $ � $ Q(X) $ ��� ����������� ������� ���������� [4], ���%
��������� ������� ���������� ����.

{\sc ������� ����������.} {\it �����} $ \Omega $ -- {\it �������� �������%
�� �} $ R^N $ {\it �} $ f_1,\dots,f_r $ -- {\it ������������� �} $ \Omega $
{\it �������. �����} $ \varphi \in C^{\infty} (\Omega) $. {\it �����}
$ \varphi $ {\it ����� ����������� � ����}
  $$ \varphi = \sum_{i=1}^r f_i \psi_i, $$
{\it ���} $ \psi_i \in C^{\infty} (\Omega) $, {\it � ��� � ������ � ���
������, ���� ��� ������} $ a \in \Omega $ {\it ���������� �������} $ T_a
\varphi $ {\it ����������� ������, ������\"{�}����� ������������} $ T_a f_i $
{\it � ������ ���������� ��������� ����� � �����} $ a $.

��� �����, � ������� ���������� ���� ��\"{�}� � ������� ������� ������� �� ���%
����������. � ��� � ���� ������������� ������� ����� ������ ��������� ���%
�������. ������� ����\"{�}��� ������� � ������� ����������� ���������� ���� ��
���������. ��� ��������, ����� ��������� �� ���������� ���������� �����
������������ ������� ����������� � ���� ����� ���������� �����������. ���
�� ���, ������� ����� ���������� �������, ������ ���������� ��������� ���%
��� ������� ����������.

�� ����� ������������ ��������� ����������� ������� ���������. �����
$ P_1 $ � $ P_2 $ -- ���������� �� ���������� ����������, $ R_1 $ � $ R_2 $
-- ���������� ��������� ���� �� ��� �� ����������, ����\"{�}� $ R_1 P_2 =
R_2 P_1 $. �����������, ��� ��������� ����� ����������� $ P_1 $ � $ P_2 $
������� ������. �������� ��������, ��� ����� � ���� ���������� $ P_1 $ �
$ P_2 $ ������� ������ � ������ ���������� ��������� �����. �� ��� ���
���������� ������ ������������, �� ��� $ R_1 $ ������� �� $ P_1 $, � ���
$ R_2 $ -- �� $ P_2 $.

� ����� � ���� ����\"{�}� ������ � �������� ��������� ���� ���������������
�����������, ����������� � �������� ��� ������� � ����������� �����-����
����������� ����� $ X_0 $. �� (1.8) �����, ��� ��� ������� ����� �������
����� ����� ����� ������� ���� ������������� $ {\rm Dis}
(\chi_{\scriptscriptstyle X}) $ � ������ ����������� �����.

��� ������� ������������ ������ ����\"{�}� ������� ��������� ���� ����������%
���� �������. ������ $ (m_1,m_2,\dots,m_k) $ �����\"{�}� �������� ����� ���%
���� $ X \in {\rm Sym}(n) $, ���� � $ X $ ����� $ k $ ��������� ��������%
��� ����� $ \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k $, ����\"{�}� ������ ��������
$ \lambda_i $ ����� ��������� $ m_i $. ����������, $ m_1 + m_2 + \cdots
+ m_k = n $. ����� ��������, ��� ��� �������� ���� $ (m_1,m_2,\dots,
m_k) $ � $ (r_1,r_2,\dots,r_l) $ ������������, ���� $ k = l $ � �� ������
�� ���� ����� ����� ��� ����������� �����, ��� ��� ������\"{�}� � ������.

�����, ������, ��� �������� ��� $ (r_1,r_2,\dots,r_l) $ ���������� �� ���%
������ ���� $ (m_1,m_2,\dots,m_k) $ ����������� ������������ ��������, ����
$ l = k - 1 $ � �������� ����� ����� ����� $ \alpha,\beta: 1 \le \alpha <
\beta \le k $, ��� �������� ���
  $$ (m_1,\dots,m_{\alpha - 1},m_{\alpha} + m_{\beta},m_{\alpha + 1},
     \dots,m_{\beta - 1},m_{\beta + 1},\dots,m_k) $$
������������ ���� $ (r_1,r_2,\dots,r_l) $. �������, ����� ��������, ���
���� �������� ��� ������������ �������, ���� ���� ������ ����� ���� ����%
��� �� ������� ����������� ���������� ������������ ��������.

��������, ��� �������� ��� $ (1,1,\dots,1) $ ���������� ������� ��������%
���� ������ �������, � ��������� ���� $ (n) $ ��������� ������� ��������%
���� ������ ������.

�����������, ��� $ X_0 \in {\rm Sym}(n) $ -- ����������� ������� ���������
���� $ (m_1,m_2,\dots,m_k) $. ��� �� ��� ��������, ��� ���������� ���������
�������� ���������� ��������������� ����������� � ����������� $ X_0 $ � ��%
����� ���� ������������� $ {\rm Dis}(\chi_{\scriptscriptstyle X}) $ � ����� $
X_0 $. ������\"{�}� $ X_0 $ � ������������� ���� ��������������� ������� $ Y_0 =
C X_0 C^{-1} $. �������������� (1.6) ������������ ������������ ����� ������%
������� ����� $ X_0 $ � $ Y_0 $. ������������� � $ {\rm Sym}(n) $ ��� � �����%
���� ������������ ����������� $ N $ ��� �������������� ����� �������� � ����
$ \widehat X = C^{\wedge} \widehat Y $, ��� $ C^{\wedge} $ -- �������������
������� ������� $ N $. �� (1.6) �������, ��� ��� ������ $ q $ �����
$ X^q = C^{-1} Y^q C $ ���, � ������ ������, $ \widehat{X^q} = C^{\wedge}
\widehat{Y^q} $. ��������� ��� ��������� ��� $ q = 0,1,\dots,n - 1 $, �������
������� ��������������
  $$ X_! = C^{\wedge} Y_! $$

������, � ����� �� ������� ���� -- ����, �������, ��� ������ ���������
$ \langle i_1 j_1,\dots,i_n j_n \rangle (X) $ �������� �������� �����������
� ����������� �������������� ����������� $ \langle i_1 j_1,\dots,i_n j_n
\rangle (Y) $ � ��������. ��� �� �������� �������������, �� �� �����������
������������ �������������� �������. ������� ����� �������, ��� $ X_0 $ --
������������ ������� ����
  $$ X_0 = \left(\matrix{
     L_1 &&& \cr & L_2 && \cr && \ddots & \cr &&& L_k}\right),
     \qquad\mbox{���}\qquad
     L_{\alpha} = \left(\matrix{
     \lambda_{\alpha} && \cr
     & \ddots & \cr
     && \lambda_{\alpha}}
     \right) \eqno (4.4) $$
�������� ��������� �������� ����������� $ m_{\alpha} $. ������ ��� �����%
��� �������� (� ��������������, ��������, ������ ���������� [2]), ��� ��%
����� ������� ���� ����� $ 2\nu $, ���
  $$ \nu = C^2_{m_1} + C^2_{m_2} + \dots + C^2_{m_k} $$
������ � �� (1.8) �������, ��� ����� ��������������� ��������� ����� � ��%
��� $ X_0 $ ���� ������� �� ����� $ \nu $.

����\"{�}��� � �������������� �������. ����, �� ������� ����� ������� ������%
��� ���� ��������������� �����������, ����������� � ��� ������� � ������%
����� �����-������ ����������� �����. ������ ����� ���������� � ����������
����������� $ P(X) $ � $ Q(X) $ � ��������� (4.3) �� ������� �������� ��%
�������� �������.

��� �� ��� ������ ������, ������\"{�}� ��������� ���������� $ x_{ij} $ �� ���
������: ������������ ���������� $ x_{ii} $ � �������������� ����������
$ x_{ij} $ � $ i < j $. ������ ������� ���� ���������. ����� $ R(Z,W) $ --
���������� ��������� ������� $ M $ �� ���� ����� ���������� $ Z = (z_1,
z_2,\dots,z_k) $ � $ W = (w_1,w_2,\dots,w_l) $. ����� ��� ����� ���������%
��� ������� ����������� � ����
  $$ R(Z,W) = \sum_{s+t=M} R_{s,t} (Z,W), $$
��� ������ ��������� $ R_{s,t} (Z,W) $ �������� ���������� �� ����������
$ Z $ �� �������� ������������ $ s $ � �� ���������� $ W $ �� �������� ��%
���������� $ t $. � ������ �� ��������� ����������� $ R_{s,t} (Z,W) $ ���%
����� $ s $ �������� ����������. ���� ��������� �����\"{�}� ������� ������
$ R(Z,W) $ �� ����������~$ Z $. ��������, ��� ���� � ���� ���������� ���%
�������� $ R_1 (Z,W) $ � $ R_2 (Z,W) $ ������� ������ ������� ����� ��
$ Z $, �� � ���� ��� ���������� ������� ������.

������� ����� ������ ����������� ���������� $ K(X) $ �� ������������ ����%
������ ����� ���������� $ \Delta K(X) $. ������ ������� $ x^{(m)}_{ij} $
������� $ X^m $ �������� ���������� ����������� ������� $ m $. ��������
��������, ���
  $$ \Delta x^{(m)}_{ii} = x^m_{ii},\qquad \Delta x^{(m)}_{ij} =
     x_{ij}\skr \frac{x^m_{jj} - x^m_{ii}}{x_{jj} - x_{ii}} \eqno (4.6) $$

������ �������� �������
  $$ \Delta \langle 11,22,\dots,nn \rangle (X) =
     W(x_{11},x_{22},\dots,x_{nn}), \eqno (4.7) $$
��� $ W $ -- ������������ �����������. �����, ����� $ 1 \le i < j \le n $.
��������� ����� $ P_{ij}(X) $ ������������, ������� ���������� �� ������%
������ $ \langle 11,22,\dots,nn \rangle (X) $, ���� � �\"{�}� ������ $ jj $
�������� ������� $ ij $. ���������� (4.6) �����
  $$ \Delta P_{ij} (X) = \frac{x_{ij}}{x_{jj} - x_{ii}}\skr
     W(x_{11},x_{22},\dots,x_{nn}) \eqno (4.8) $$

������ ����� $ X_0 $ -- ����������� �������. �������, ��� ������������
$ a_m (X) $ ����� ���� ���������� � ��������� ����������� ����� $ X_0 $
� ����������� ���������. �������������� �����\"{�}� ��������� �� ���������
���� $ X_0 $. ���������� �������� �������� �������� ��� $ (1,1,\dots,1) $
���������� �������. ����� �������, ��� ����������� �������� � ���������
����������� ���� �����, �������� ��� ������� ������������ ���� $ X_0 $.

� ���� ���������� ���� �� ������ ������������, ��� $ X_0 $ -- ���������%
��� ������� ���� (4.4). ����� ����� $ X_0 $ ������� ����� �����������
$ \Omega $, ��� ��� �\"{�} ����� ����� �������� ���, �������������� ��� ��%
����������� ���� $ X_0 $, � ������� $ X = X_0 + H $. ��������� �����
������������� ���������� ������ ���������� $ K(X) $ � ����� $ X_0 $ ��%
��� ���������� $ K_{X_0} (H) $. �����, ���� �������� $ (i,j) $ �����\"{�}�
����������, ���� ����\"{�}��� ����� ����� $ t $, ���
  $$ m_0 + m_1 + \cdots + m_t + 1 \le i < j \le
     m_0 + m_1 + \cdots + m_{t+1} $$
(�� ������� $ m_0 = 0,\; 0 \le t \le n - 1 $ ). �����\"{�}� � ��������� (4.3)
  $$ Q(X) = \langle 11,22,\dots,nn \rangle (X) $$
�������� ������, ��� $ Q(X) $ ����� � ����� $ X_0 $ ���� ������� $ \nu $
���� (4.5), ����\"{�}� � ���� (4.7) ������� �� ������������ ���������� �����
��������� ����� $ Q_{X_0}(H) $ ����� ���
  $$ \Delta Q_{X_0}(H) = B\skr \prod (h_{jj} - h_{ii}), $$
��� $ B \ne 0 $ -- ��������� ���������, ��������� ������ �� $ X_0 $, �
������������ ���\"{�}��� �� ���� ���������� �����.

����� ��� ��, ���� $ (i,j) $ -- ���������� ����, �� ��� ����������
$ P_{ij} (X) $ ������ $ X_0 $ ��������� (4.8) �����
  $$ \Delta P_{ij,X_0} (H) = \frac{h_{ij}}{h_{jj} - h_{ii}}\skr
     \Delta Q_{X_0} (H) $$

�������, ���� � ��������� (4.3) �����
  $$ P(X) = \sum P_{ij}(X), $$
��� ������������ �������������� �� ��� ���������� ����, �� �������
  $$ \Delta P_{X_0}(H) = \Delta Q_{X_0}(H)
     \sum \frac{h_{ij}}{h_{jj} - h_{ii}}, $$
������ �����, ��� ���������� $ \Delta P_{X_0}(H) $ � $ \Delta Q_{X_0}(H) $
������� ������. �� ����� ������� ������ � ��������� ����� $ P_{X_0}(H) $
� $ Q_{X_0}(H) $, ��� ��� � ����� $ X_0 $ ���������� ��� $ T_{X_0} g(X) $
������� �� $ T_{X_0} P(X) $.

�����, �� ���� ������ ����������� $ \Omega $, �������� ��� ������� ����%
�������� ��������� ���� $ X_0 $, �� ������������� �������� �����������
$ a_m (X) $ �������� ������� ��������. ������� � ��� ���������� ��� ���
$ g(X) $ ������� �� ���������� $ P(X) $.

�������, � ����������� $ \Omega $ �������� �����, �������� ��� ������� ��%
���������� ���� $ X_0 $. � ���� ������ �� ����������� ����� ����������
$ P(X) $ � $ Q(X) $ ����� ���� ������� �� ����� $ \nu $. ���� �� ����� ��%
��������� $ \Omega $ ���������� �����, �� ����� ������� $ \nu $ ��������%
��� $ P(X) $ � $ Q(X) $, ����������� � ����� ����� $ \Omega $, ����� �����
������ ������ � ��������������� ������ ���� �����������, ����������� � ��%
��� $ X_0 $. �������, ��-������, $ P(X) $ � $ Q(X) $ ����� � ������ ����%
���������� ��������� ���� �� $ \Omega $ ���� ������� � �������� $ \nu $, �
��-������, ��������� ����� ���������� $ P(X) $ � $ Q(X) $ � ���� ������
������� ������. ������� � � ��� ���������� ���������� $ g(X) $ ������� ��
���������� $ P(X) $.

����������� � �������� �������� ���������� ������� ���� ��������� � ����%
�����. ����� $ \alpha_X (H) $ � $ \beta_X (H) $ -- ����� ������� $ \nu $
�� ���������� $ H $ � ��������������, ���������� ���������� �� ����������
$ X $. ���� �� ��� �����-�� �������� $ X $ ��� �� ���� ������� ��������,
�� ������� �� ����� ��������� ����� $ \gamma (H) $ � $ \delta (H) $ ���%
���� � �������� $ \nu - 1 $, ���
  $$ \alpha_X (H)\delta (H) = \beta_X (H)\gamma (H) \eqno (4.9) $$

��������� ��������� ���� ������� �������� ��������� �� ������������ ����
$ \gamma (H) $ � $ \delta (H) $. ��� $ X = X_0 $ ��� ������� ����� ����%
�� ������� �������, �� ���� �\"{�} ���� �� ������ ����� �����������. �� ���%
���� ������� (4.9) ���������� ������� �� $ X $. ������� ��� $ X $, �����%
����� ������� � $ X_0 $, �\"{�} ���� ���� �� ������ ����� �����������. �����%
��������, ������� (4.9) ����� ������ ������� �������, � �����
$ \alpha_X (H), \beta_X (H) $ ������� ������.

����, � ����� ����� $ X $ ��������� ����������� $ \Omega \ni X_0 $ �����%
����� ��� $ T_X g $ ����������� ������, ������\"{�}����� ����� $ T_X P $. ��
������� ���������� � ������� $ \Omega $ ����� ��������� $ g(X) $ ��
$ P(X) $, ����\"{�}� ������� ����� ������� ��������. ��� ����� �������� ���%
����������� ������ ������������ $ a_m (X) $ � ����������� ����� $ X_0 $ �
����������� ���������. ��� ��� $ X_0 $ -- ����� ����������� �����, �� ���%
���� $ a_m (X) $ ����� ���� ���������� �� ��\"{�} ����������� ���������. ���%
���� 1 ��������� ��������. ����������, ��� ������� ����\"{�}��� ������������
� � ������, ����� ������� $ {\cal F} $ ���������� �� �� ��\"{�}� ������������
$ {\rm Sym}(n) $, � �� ��������� ��� �������.

��������� ��������� (2.7), ����� ��� �� �������� �������� ������� 2. ����%
��� ����� ����� ������ � �������������� ��������� ��������, ������� ��
������ � ������\"{�}�. ����� ������� $ X $ ���������. ����� ���������� �����
������������� ������� $ C $, ��� ����������� ��������� (4.1). �����
  $$ C^{-1} {\cal G}(X) C = T = (t_{ij}), $$
����\"{�}� ��� $ t_{ii} = 0 $. ����� ����� ��������� ����� ������������������
������� $ B $, ���
  $$ T = B\skr L - L\skr B \eqno (4.10) $$
������, �������� $ b_{ij} $ ������� $ B $ ���������� ������������ �� ����%
������� $ t_{ij} = (\lambda_j - \lambda_i)\skr b_{ij} $.

��������� (4.10) �������������� �������, ������� (0.2), ��� $ A(X) = C B
C^{-1} $. ����� �������, �� ���������� ��������� $ \mathfrak{R} $ �������
$ A(X) $ ���������� � ����������. ��� ��� ����������� (0.2) ����� ����
�������� � �������� - ��������� �����
  $$ \widehat{{\cal G}(X)} = X^!\skr \overline{A(X)}, $$
�� �������������� ��������� $ a_{ij}(X) $ ������� $ A(X) $ �� �����������
��������� ������������ ��� ��, ��� � ������, � �������������� �����������%
���� ����������� $ \{i_1 j_1,\dots,i_n j_n \}(X) $.

����� ���������� ������ ������� �. �. �������, � ����� �. �. ��������,
�. �. �������, �.~�.~������ � �. �. �������� �� ���������� ����� � ��������
� ������.
\vskip 60pt
\centerline {����������}
\vskip 20pt

\noindent [1] {\it �. �. �����.} ������ ���������. �.: �����, 1970.

\noindent [2] {\it �. �. ���������.} ������ ������. �.: �����, 1988.

\noindent [3] {\it �. �. ���������.} ������ �� ���������. ������� II.
�������� �������. �.: �����. 1986.

\noindent [4] {\it �. ���������.} ������ ���������������� �������.
�.: ���, 1968.

\noindent [5] {\it �. �. ���������.} �� ����� ������ ������� ������������%
��� ������� // ���. 1985. �. 40.

$ \No $ 1. �. 201 -- 202.

\noindent [6] {\it �. �. ���������.} ������������ ������������������� ���%
������� ���������� ������� // ��-

���. �������. 1992. �. 51. $ \No $ 3. �. 16 -- 23.

\noindent [7] {\it �. �. ���������.} � ��������� ������� ������� ���������%
����� ������������ ��������������

������ // �����. �������. 1993. �. 184. $ \No $ 9. �. 89 -- 102.
\end{document}
