\documentclass[12pt]{amsart}

\voffset=0.0in \topmargin=0.0in \headheight=0pt \headsep=0.5in \textheight=8.9in
\hoffset=-0.5in \leftmargin=0.0in \rightmargin=0.0in \textwidth=6.1in

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{latexsym}
%\usepackage{amsthm}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}

\begin{document}

%%%%%%%%%% Some definitions %%%%%%%%%%

%%%%% Equations, labels, theorems %%%%%
\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}
\def\[{\begin{equation}}              \def\]{\end{equation}}
\def\lb{\label}                       \newcommand{\er}[1]{{\rm(\ref{#1})}}
%\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{\bf Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{\bf Лемма}
\newtheorem{corollary}[theorem]{\bf Следствие}
\newtheorem{proposition}[theorem]{\bf Утверждение}
\newtheorem{definition}[theorem]{\bf Определение}
\newtheorem{remark}[theorem]{\it Замечание}
\newtheorem{calculation}[theorem]{\bf Вычисление}
\newtheorem{exercise}[theorem]{\it Упражнение}
\newtheorem{addition}[theorem]{\bf Добавление}
\newtheorem{examples}[theorem]{\it Примеры}
\newtheorem{example}[theorem]{\it Пример}
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{remark}[theorem]{\bf Remark}

%%%%% Alphabet %%%%%
\def\a{\alpha}  \def\cA{{\cal A}}     \def\bA{{\bf A}}  \def\mA{{\mathscr A}}
\def\b{\beta}   \def\cB{{\cal B}}     \def\bB{{\bf B}}  \def\mB{{\mathscr B}}
\def\g{\gamma}  \def\cC{{\cal C}}     \def\bC{{\bf C}}  \def\mC{{\mathscr C}}
\def\G{\Gamma}  \def\cD{{\cal D}}     \def\bD{{\bf D}}  \def\mD{{\mathscr D}}
\def\d{\delta}  \def\cE{{\cal E}}     \def\bE{{\bf E}}  \def\mE{{\mathscr E}}
\def\D{\Delta}  \def\cF{{\cal F}}     \def\bF{{\bf F}}  \def\mF{{\mathscr F}}
\def\c{\chi}    \def\cG{{\cal G}}     \def\bG{{\bf G}}  \def\mG{{\mathscr G}}
\def\z{\zeta}   \def\cH{{\cal H}}     \def\bH{{\bf H}}  \def\mH{{\mathscr H}}
\def\e{\eta}    \def\cI{{\cal I}}     \def\bI{{\bf I}}  \def\mI{{\mathscr I}}
\def\p{\psi}    \def\cJ{{\cal J}}     \def\bJ{{\bf J}}  \def\mJ{{\mathscr J}}
\def\vT{\Theta} \def\cK{{\cal K}}     \def\bK{{\bf K}}  \def\mK{{\mathscr K}}
\def\k{\kappa}  \def\cL{{\cal L}}     \def\bL{{\bf L}}  \def\mL{{\mathscr L}}
\def\l{\lambda} \def\cM{{\cal M}}     \def\bM{{\bf M}}  \def\mM{{\mathscr M}}
\def\L{\Lambda} \def\cN{{\cal N}}     \def\bN{{\bf N}}  \def\mN{{\mathscr N}}
\def\m{\mu}     \def\cO{{\cal O}}     \def\bO{{\bf O}}  \def\mO{{\mathscr O}}
\def\n{\nu}     \def\cP{{\cal P}}     \def\bP{{\bf P}}  \def\mP{{\mathscr P}}
\def\r{\rho}    \def\cQ{{\cal Q}}     \def\bQ{{\bf Q}}  \def\mQ{{\mathscr Q}}
\def\s{\sigma}  \def\cR{{\cal R}}     \def\bR{{\bf R}}  \def\mR{{\mathscr R}}
\def\S{\Sigma}  \def\cS{{\cal S}}     \def\bS{{\bf S}}  \def\mS{{\mathscr S}}
\def\t{\tau}    \def\cT{{\cal T}}     \def\bT{{\bf T}}  \def\mT{{\mathscr T}}
\def\f{\phi}    \def\cU{{\cal U}}     \def\bU{{\bf U}}  \def\mU{{\mathscr U}}
\def\F{\Phi}    \def\cV{{\cal V}}     \def\bV{{\bf V}}  \def\mV{{\mathscr V}}
\def\P{\Psi}    \def\cW{{\cal W}}     \def\bW{{\bf W}}  \def\mW{{\mathscr W}}
\def\o{\omega}  \def\cX{{\cal X}}     \def\bX{{\bf X}}  \def\mX{{\mathscr X}}
\def\x{\xi}     \def\cY{{\cal Y}}     \def\bY{{\bf Y}}  \def\mY{{\mathscr Y}}
\def\X{\Xi}     \def\cZ{{\cal Z}}     \def\bZ{{\bf Z}}  \def\mZ{{\mathscr Z}}
\def\O{\Omega}

\def\ve{\varepsilon}   \def\vt{\vartheta}    \def\vp{\varphi}    \def\vk{\varkappa}

\def\Z{{\mathbb Z}}    \def\R{{\mathbb R}}   \def\C{{\mathbb C}}
\def\T{{\mathbb T}}    \def\N{{\mathbb N}}   \def\dD{{\mathbb D}}

%%%%% Arrows %%%%%

\def\la{\leftarrow}              \def\ra{\rightarrow}            \def\Ra{\Rightarrow}
\def\ua{\uparrow}                \def\da{\downarrow}
\def\lra{\leftrightarrow}        \def\Lra{\Leftrightarrow}

%%%%% Math signs %%%%%

\let\ge\geqslant                 \let\le\leqslant
\def\/{\over}                    \def\iy{\infty}
\def\sm{\setminus}               \def\es{\emptyset}
\def\ss{\subset}                 \def\ts{\times}
\def\pa{\partial}                \def\os{\oplus}
\def\om{\ominus}                 \def\ev{\equiv}
\def\iint{\int\!\!\!\int}        \def\iintt{\mathop{\int\!\!\int\!\!\dots\!\!\int}\limits}
\def\el2{\ell^{\,2}}             \def\1{1\!\!1}
\def\sh{\sharp}

%%%%% Typography %%%%%

\def\lt{\biggl}                  \def\rt{\biggr}
\def\ol{\overline}
\def\wt{\widetilde}

%%%%% Math operations %%%%%

\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\Iso{\mathop{\rm Iso}\nolimits}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\Ran{\mathop{\rm Ran}\nolimits}
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\def\Res{\mathop{\rm Res}\nolimits}
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}
\def\arg{\mathop{\rm arg}\nolimits}
\def\const{\mathop{\rm const}\nolimits}
\def\det{\mathop{\rm det}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\dim{\mathop{\rm dim}\nolimits}
\def\dist{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\def\rank{\mathop{\rm rank}\limits}
\def\res{\mathop{\rm res}\limits}
\def\sign{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\def\span{\mathop{\rm span}\nolimits}
\def\supp{\mathop{\rm supp}\nolimits}
\def\Lip{\mathop{\rm Lip}\nolimits}
\def\Var{\mathop{\rm Var}\limits}

\def\DS{\diamondsuit}

\def\dD{{\mathbb D}}
\def\cH{{\mathcal H}}
\def\cS{{\mathcal S}}
\def\cL{{\mathcal L}}
\def\cE{{\mathcal E}}
\def\cF{{\mathcal F}}

\newcommand\matr[4]{\left(\begin{array}{cc}#1 & #2 \cr #3 & #4\end{array}\right)}
\newcommand\vect[2]{\left(\begin{array}{c} #1 \cr #2 \end{array}\right)}

\def\ttoo{\mathop{\rightarrow}\limits}
\def\eeqq{\mathop{=}\limits}

\def\lg{\langle} \def\rg{\rangle}
\def\wh{\widehat}



%%%%%%%%%%% End of definitions %%%%%%%%%%

\begin{center}
{\LARGE Набросок кратких заметок по 9 лекциям\\ о рядах и преобразовании Фурье. \\ Осень 2007,
III
курс, $\rm M_{\bf \textstyle\forall}TM^{\bf \textstyle\exists}X.$}\\
(\copyright\ Delta4, \copyright\ кафедра математического анализа 2007)
\end{center}

\setcounter{section}{-1} \section{Ряды Фурье. Наводящие соображения. Определение.}
\begin{itemize}
\item Рассмотрим пространство $L^2_\C(-\pi,\pi)$. Это гильбертово пространство со скалярным
произведением $<f,g>=\int_{-\pi,\pi}f(x)\ol{g(x)}dx$. Рассмотрим функции
$$
e_n(x)=e^{inx},\quad n\in\Z.
$$
Легко проверить, что они попарно ортогональны, а значит
$\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\}_{n=-\iy}^{+\iy}$ -- ортонормированная система.
\item Более того, мы можем уйти от комплекснозначных функций, делая замену (повороты в двумерных подпространствах)
$$
\left\{\frac{e_n}{\sqrt{2\pi}}, \frac{e_{-n}}{\sqrt{2\pi}}\right\} \leftrightarrow
\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{e_{n}+e_{-n}}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot
\frac{e_{n}+e_{-n}}{\sqrt{2}}\right\} \leftrightarrow \left\{\frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}},
\frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}\right\}.
$$
\item Мы ожидаем (подробнее позже), что по получившемуся базису можно раскладывать функции
также, как и в конечномерных пространствах. Это мотивирует следующее
\end{itemize}
\begin{definition}
Для $f\in L^1(-\pi,\pi)$ определим {\bf коэффициенты Фурье}
$$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx,\quad n\ge 0,\qquad\qquad
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx,\quad n\ge 1.
$$
Формальный ряд
\[
\label{F} \frac{a_0}{2}+\sum_{n\ge 1}(a_n \cos nx + b_n\sin nx)
\]
будем называть {\bf рядом Фурье} функции $f$.
\end{definition}
\begin{remark}{\rm (i)
Мы определили ряд Фурье для функций из $L^1(-\pi,\pi)$ -- пространства более широкого(!), чем
$L^2(-\pi,\pi)$.\\
(ii) Мы будем изучать вопрос о поточечной сходимости ряда (\ref{F}) к исходной функции $f(x)$.
Ясно, что если $f(x)\equiv \cos nx$ (или $\sin nx$), то все коэффициенты Фурье, кроме одного,
равны нулю, поэтому ряд состоит из одного слагаемого и, естественно, сходится. Значит (в силу
линейности), для тригонометрических полиномов ряд превращается в конечную сумму и также
сходится поточечно. Поэтому у нас есть надежда установить поточечную сходимость и для других
"хороших"\ функций.\\
(iii) Так как сумма ряда Фурье (если она существует хоть в каком-нибудь смысле) является
$2\pi$-периодичной функцией, мы часто будем считать, что исходная функция $f\in L^1(-\pi,\pi)$
продолжена на всю прямую по периодичности $f(x\!+\!2\pi)\equiv f(x)$. }
\end{remark}

\section{Лемма Римана-Лебега. Ядро Дирихле. Свертка периодических функций. Локальность свойства сходимости ряда Фурье в точке.}

\begin{lemma}[\bf Риман-Лебег] Пусть $f\in L^1(\R)$. Тогда
$$
\int_{-\iy}^{+\iy} f(x)e^{-i\o x}dx \to 0,\quad \o\to\pm\iy.
$$
\end{lemma}
\begin{proof} 1. $f=\chi_{[a,b)}$. 2. $f=\sum_{n=1}^N c_n\chi_{[a_n,b_n)}$. 3.
$f\in L^1(\R)$.
\end{proof}

\begin{corollary}
(i) Для $f\in L^1(\R)$ справедливо $$\int_{-\iy}^{+\iy}f(x)\cos \o x dx,\ \
\int_{-\iy}^{+\iy}f(x)\sin \o x dx \to 0, \quad \o\to +\iy.$$ (ii) Для $f\in L^1(-\pi,\pi)$
верно $a_n,b_n\to 0$, $n\to \iy$.
\end{corollary}

\begin{calculation}
\label{DN} {\rm
$$
S_N(x):=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^N (a_n\cos nx+ b_n\sin nx) = \int_{-\pi}^\pi
f(t)D_N(x\!-\!t)dt,
$$
где
$$
D_N(y)=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^N\cos ny = \frac{1}{2\pi}\frac{\sin
(N\!+\!\frac{1}{2})y}{\sin\frac{y}{2}}
$$
Функция $D_N(y)$ называется {\bf ядром Дирихле} (заметим, что $D_N(y\!+\!2\pi)\equiv
D_N(y)$).}
\end{calculation}

\begin{definition} {\bf Сверткой} двух периодических функций $f(x)\equiv f(x\!+\!2\pi)$ и $g(x)\equiv
g(x\!+\!2\pi)$ называется функция
$$
(f*g)(x):=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(x\!-\!t)dt,\quad x\in\R.
$$
\end{definition}
\begin{remark}
{\rm (i) Легко видеть, что $f(t)g(x-t)$ измерима, как функция двух переменных, если $f$ и $g$ -- измеримые функции.\\
(ii) В силу периодичности $f$ и $g$, мы можем интегрировать по любому промежутку длины $2\pi$:
$$
(f*g)(x)=\int_{a-\pi}^{a+\pi}f(t)g(x\!-\!t)dt,\qquad \forall a\in\R.
$$
(iii) Если  $f*g$ определена, то она также периодична: $(f*g)(x\!+\!2\pi)\equiv(f*g)(x)$.}
\end{remark}

\begin{lemma}[\bf существование свертки] Пусть $f,g\in L^1(-\pi,\pi)$, $f(x)\equiv f(x\!+\!2\pi)$, $g(x)\equiv
g(x\!+\!2\pi)$. Тогда свертка $(f*g)(x)$ определена (т.е. интеграл сходится) для почти всех
$x\in(-\pi,\pi)$ и $f*g\in L^1(-\pi,\pi)$. При этом $\|f*g\|_1\le\|f\|_1\cdot\|g\|_1$.
\end{lemma}
\begin{proof} "$|f*g|\le|f|*|g|$, $\|\,|f|*|g|\,\|_1=\|f\|_1\cdot\|g\|_1$".
\end{proof}

\begin{remark}{\rm Несложно видеть, что для $f,g\in L^1(-\pi,\pi)$
$$
\int_{-\pi}^\pi (f*g)(x)e^{-inx}dx= \int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-int}dt\cdot \int_{-\pi}^\pi
g(y)e^{-iny}dy.
$$
}
\end{remark}

\begin{exercise} {\rm Вывести отсюда формулу, выражающую коэффициенты Фурье $a_n,b_n$ свертки $f*g$
через коэффициенты Фурье функций $f$ и $g$.}
\end{exercise}

\begin{proposition}[\bf локальность свойства сходимости ряда Фурье]
Пусть\linebreak $f,\wt{f}\in L^1(-\pi,\pi)$, $2\pi$-периодичны и пусть для некоторых
$x_0\!\in\!\R$, $\d_0\!>\!0$ верно
$$
f\big|_{(x_0-\d_0,x_0+\d_0)}\equiv \wt{f}\big|_{(x_0-\d_0,x_0+\d_0)}.
$$
Тогда
ряды Фурье функций $f$ и $\wt f$ сходятся или не сходятся в точке $x_0$ одновременно. Если они
сходятся, то к одной и той же сумме.
\end{proposition}
\begin{proof} Очевидно
$$
\frac{f(x_0\!-\!y)-\wt{f}(x_0\!-\!y)}{2\sin \frac{y}{2}}\in L^1(-\pi,\pi).
$$
Теперь утверждение вытекает из вычисления \ref{DN} и леммы Римана-Лебега.
\end{proof}

\section{Сходимость ряда Фурье в точке при условии Дини.}

\begin{definition}
Функция $f$ удовлетворяет условию Дини в точке $x_0$, если для некоторого $\d_0\!>\!0$
справедливо
$$
\int_{x_0-\d_0}^{x_0+\d_0}\frac{|f(x)\!-\!f(x_0)|}{|x\!-\!x_0|}\,dx<+\iy
$$
\end{definition}

\begin{remark}
{\rm (i) Если $f\in \Lip_\a$ для некоторого $\a\!>\!0$ (т.е. $|f(x)-f(y)|\le
C|x-y|^\a$), то это условие выполнено.\\
(ii) Это условие все еще выполнено, если
$$
|f(x)-f(x_0)|\le \frac{C}{\left|\log |x\!-\!x_0|\right|^\b},\qquad \b>1.
$$
(iii) Существует явный пример функции, удовлетворяющей аналогичной оценке с $\b=1$, для
которой теорема о сходимости неверна. Таким образом, условие Дини довольно точное. }
\end{remark}

\begin{theorem} Пусть $f\in L^1(-\pi,\pi)$, $f(x\!+\!2\pi)\equiv f(x)$. Если в точке
$x_0\in\R$ функция $f$ удовлетворяет условию Дини, то ряд Фурье в этой точке сходится к
$f(x_0)$.
\end{theorem}

\begin{proof}
$f(x)=(f(x)\!-\!f(x_0))+f(x_0)$. Для константы(!) $f(x_0)$ ряд Фурье состоит из одного
(первого) слагаемого и равен $f(x_0)$, частичные суммы для $f(x)\!-\!f(x_0)$ стремятся к нулю
в силу леммы Римана-Лебега, так как
$$
\frac{f(x)-f(x_0)}{\sin\frac{x-x_0}{2}}\in L^1(x_0-\pi,x_0+\pi).
$$
\end{proof}

\begin{addition}
Пусть $f\in L^1(-\pi,\pi)$, $f(x\!+\!2\pi)\equiv f(x)$, $x_0\in\R$. Если существуют два таких
числа $a,b\in\R$ (например, $f(x_0\pm 0)$), что для некоторого $\delta_0>0$
$$
\int_{x_0-\d_0}^{x_0}\frac{|f(x)-a|}{|x-x_0|}\,dx,\
\int_{x_0}^{x_0+\d_0}\frac{|f(x)-b|}{|x-x_0|}\,dx<+\iy,
$$
то ряд Фурье в точке $x_0$ сходится к $\frac{1}{2}(a\!+\!b)$.
\end{addition}
\begin{proof}
Так же, как раньше, ибо $\int_0^\pi D_N(y)dy=\int_{-\pi}^0 D_N(y)dy = \frac{1}{2}$.
\end{proof}

\begin{examples} {\rm (i) Рассмотрим функцию $f(x)\equiv \sign x$, $|x|<\pi$, $f(x\!+\!2\pi)\equiv
f(x)$. Легко видеть, что
$$
a_n=0,\qquad b_n=\begin{cases}0, & n\!=\!2k,\cr \frac{4}{\pi n}, & n\!=\!2k\!+\!1.\end{cases}
$$
Таким образом, ряд Фурье этой функции имеет вид
$$
\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\iy} \frac{\sin (2k\!+\!1)x}{2k\!+\!1}.
$$
Легко видеть, что первый максимум частичной суммы $S_{2N+1}(x)$ достигается в точке
$x_N=\frac{\pi}{2(N\!+\!1)}$ и
$$
S_{2N+1}(x_N)\ttoo_{N\to\iy} \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\sin \pi x}{x}\,dx =1.179...>1.
$$
Это явление называется {\bf эффект Гиббса} (ясно, что такая же ситуация будет иметь место для
любой гладкой функции со скачком в одной точке). Впервые (1848) обнаружен Уилбрейамом, позже
(1898) был "популяризован"\ Гиббсом.  Для первого минимума, второго максимума и т.д. также
легко найти
предельные $\ne 1$ значения.\\
(ii) $f(x)\equiv x^2$, $|x|\le\pi$, $f(x\!+\!2\pi)\equiv f(x)$. Тогда
$$
a_0=\frac{2\pi^2}{3},\qquad a_n=\frac{4(-1)^n}{n^2},\qquad b_n= 0.
$$
Таким образом,
$$
\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{+\iy}\frac{(-1)^n\cos nx}{n^2}=x^2,\qquad |x|\le\pi.
$$
Подставляя $x=0$ и $x=\pi$ получаем суммы обратных квадратов.}
\end{examples}

\section{Суммирование ряда Фурье по Чезаро. Ядро Фейера.}

\begin{definition} Говорят, что последовательность $\{S_n\}_{n=0}^\iy$ {\bf сходится к $A$ в смысле
Чезаро} ($\displaystyle S_N\ttoo_{N\ttoo\iy}^{(C,1)} A$), если
$$
\s_N:=\frac{S_0+...+S_{N-1}}{N}\ttoo_{N\to\iy} A
$$
в обычном смысле. Говорят, что $\sum_{n=0}^{\iy}a_n \eeqq^{(C,1)} A$, если
$S_N=a_0+...+a_N\ttoo_{N\to\iy}^{(C,1)}A$.
\end{definition}

\begin{lemma}[\bf регулярность метода Чезаро]
Если $S_N\ttoo_{N\to\iy}A$, то $S_N\ttoo_{N\to\iy}^{(C,1)}A$.
\end{lemma}

\begin{proof}
$|\s_k-A|\le
\frac{1}{k}(|S_0\!-\!A|+...+|S_{N(\ve)}\!-\!A|+|S_{N(\ve)+1}\!-\!A|+...+|S_{k-1}\!-\!A|)$.
\end{proof}

\begin{remark}
{\rm Обратно, конечно же, неверно: $(-1)^n\ttoo_{n\to\iy}^{(C,1)}0$.}
\end{remark}

\begin{calculation} {\rm Пусть $f\!\in\! L^1(-\pi,\pi)$, $f(x\!+\!2\pi)\!\equiv\! f(x)$. Тогда
$S_N(x)\!=\!(f*D_N)(x)$, а значит
$$
\s_N(x)=\frac{S_0(x)+...+S_{N-1}(x)}{N}=(f*K_N)(x),
$$
где
$$
K_N(y):=\frac{D_0(y)+...+D_{N-1}(y)}{N}=\frac{\sin^2\frac{Ny}{2}}{2\pi N\sin^2\frac{y}{2}}\,.
$$
Функция $K_N(y)$ называется {\bf ядром Фейера}. }
\end{calculation}

\begin{proposition}[\bf свойства $\bf K_N(y)$]
(i) $K_N(y)\equiv K_N(-y) \equiv K_N(y\!+\!2\pi)\ge 0$.\\
(ii) $\int_{-\pi}^\pi K_N(y)dy =1$.\\
(iii) Для каждого $\d>0$ верно $\int_{\d\le|y|\le\pi} K_N(y)dy \ttoo_{N\to\iy} 0$
("фокусирующее свойство"\,).
\end{proposition}

\begin{proof}
(ii) $\int_{-\pi}^\pi D_n(y)dy=1$.  (iii) $\int_{\d\le|y|\le\pi} K_N(y)dy \le
\frac{1}{N\sin^2\frac{\d}{2}}$.
\end{proof}

\begin{remark} {\rm
Вернемся к примеру $f(x)=\sign x$, $|x|<\pi$. Так как $K_N\ge 0$, имеем $|\s_N(x)|\le 1$, то
есть эффект Гиббса (как минимум в той форме, как он обсуждался раньше) для усредненных сумм
$\s_N(x)$ отсутствует. }
\end{remark}

\section{Аппроксимативные единицы в пространствах $L^p(\T)$, $C(\T)$.}

Через $\T$ будем обозначать единичную окружность. Имеется естественное отождествление
пространств $L^p(\T)$ и $L^p(-\pi,\pi)$:
$$
f\in L^p(\T)\quad \leftrightarrow\quad \begin{cases}f\in L^p(-\pi,\pi), \cr
f(x\!+\!2\pi)\equiv f(x).
\end{cases}
$$
Напомним, что для $f,g\in L^1(\T)$ у нас определена свертка $f*g\in L^1(\T)$.

\begin{definition} Семейство функций $\o_h\in L^1(-\pi,\pi)$, $h\to 0$, называется \linebreak {\bf аппроксимативной
единицей}, если\\
(i) $\o_h\ge 0$,\qquad (ii) $\int_{-\pi}^\pi \o_h(y)dy =1$.\\
(iii) Для каждого $\d>0$ верно $\int_{\d\le|y|\le\pi} \o_h(y)dy \ttoo_{h\to 0} 0$
\end{definition}

\begin{examples} {\rm (i) Ядра Фейера $\o_{\frac{1}{N}}(y)=K_N(y)$.\\
(ii) $\o_h(y)=\frac{1}{2h}\chi_{[-h,h]}(y)$. Свертка с такой аппроксимативной единицей
устроена так:
$$
(f*\o_h)(x)=\frac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}f(t)dt
$$
и называется {\bf усреднение по Стеклову}.\\
(iii) Пусть $\o\in L^1(-\pi,\pi)$: $\o\ge 0$, $\int_{-\pi}^\pi \o(y)dy = 1$. Тогда
$$
\o_h(y):=\frac{1}{h}\cdot \o\lt(\frac{x}{h}\rt)\cdot \chi_{[-\pi h,\pi h]}(y)
$$
является аппроксимативной единицей. Если исходная функция $\o$ принадлежала классу $C^\iy(\T)$
и, скажем, имела носитель $\supp\o\ss [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ (такую функцию легко
построить явно), то $\o_h\in C^\iy(\T)$ при всех $h<1$.  Тогда {\it для любой $f\in L^1(\T)$}
верно $f*\o_h\in C^\iy(\T)$, поскольку
$$
(f*\o_h)^{(k)}(x)=\int_{-\pi}^\pi f(t)\o_h^{(k)}(x\!-\!t)dt.
$$
}
\end{examples}

\begin{theorem}
Пусть $\o_h$ - аппроксимативная единица. Тогда\\
(i) Для любой $f\in L^p(\T)$, $1\le p < \iy$, выполняется $\displaystyle f*\o_h\ttoo_{h\to 0}^{L^p(\T)} f$\\
(другими словами,  $\|f*\o_h-f\|_p^p=\int_{-\pi}^\pi |(f*\o_h)(x)-f(x)|^p dx \ttoo_{h\to 0}
0$).\\
(ii) Для любой $f\in C(\T)$ (т.е. $f\in C([-\pi,\pi]):f(-\pi)=f(\pi)$) выполняется
$f*\o_h\ttoo_{h\to 0}^{C(\T)} f$ (т.е.  $f*\o_h(x)\rightrightarrows f(x)$, $h\to 0$, $x\in
[-\pi,\pi]$).
\end{theorem}

\begin{lemma} Для любой $f\in L^p(\T)$, $1\le p<\iy$, верно $f(\cdot+h)\ttoo_{h\to 0}^{L^p(\T)}
f$\\
(другими словами, $\|f(\cdot +h)-f\|_p^p=\int_{-\pi}^\pi |f(x\!+\!h)-f(x)|^p dx \ttoo_{h\to 0}
0$).
\end{lemma}
\begin{proof} 1. $f=\chi_{[a,b)}$. 2. $f=\sum_{n=1}^N c_n\chi_{[a_n,b_n)}$. 3.
$f\in L^p(-\pi,\pi)$.
\end{proof}
\begin{proof}[Доказательство теоремы (i)] Неравенство Гельдера для
$(f(t)\!-\!f(x))(\o_h(x\!-\!t))^{1/p}$ и $(\o_h(x\!-\!t))^{1/q}$ дает
$$
\|f*\o_h-f\|_p^p =
\int_{-\pi}^\pi\left|\int_{-\pi}^\pi(f(t)\!-\!f(x))\o_h(x\!-\!t)dt\right|^pdx
$$
$$
\le \int_{-\pi}^\pi\int_{-\pi}^\pi|f(t)\!-\!f(x)|^p\o_h(x\!-\!t)dtdx =
\int_{-\pi}^\pi\int_{-\pi}^\pi |f(x\!-\!y)\!-\!f(x)|^p\o_h(y)dxdy
$$
$$
=\int_{-\pi}^\pi \|f(\cdot-y)-f\|_p^p\,\o_h(y)dy= \int_{|y|\le \d} + \int_{\d\le|y|\le \pi} =
I + II.
$$
Теперь $I\to 0$ при $\d\to 0$ (равномерно(!) по $h$) в силу леммы и
$\int_{-\pi}^\pi\o_h(y)dy=1$, а $II\to 0$ при $h\to 0$ и каждом фиксированном $\d$ в силу
$\|f(\cdot-y)-f\|_p^p\le2^p\|f\|_p^p$ и фокусирующего свойства аппроксимативной единицы. Так
что по каждому $\ve>0$ мы можем сначала найти $\delta: |I|<\ve$, а потом $h: |II|<\ve$.
\end{proof}

\begin{corollary} Тригонометрические многочлены плотны в $L^p(-\pi,\pi)$
\end{corollary}
\begin{proof} Ядра Фейера $K_N(y)$ -- аппроксимативная единица при $N\to\iy$, значит
$\|\s_N(f)-f\|_p=\|f*K_N-f\|_p\to 0$, $n\to\iy$. Но $\s_n(f)$ -- тригонометрический многочлен
по своему определению.
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство теоремы (ii)]
Проверим на всякий случай, что $f*\o_h\in C(\T)$:
$$
|(f*\o_h)(x\!+\!u)-(f*\o_h)(x)|\le \int_{-\pi}^\pi |f(x\!+\!u\!-\!y)-f(x\!-\!y)|\o_h(y)dy
\rightrightarrows 0,\quad u\to 0,
$$
поскольку $f(x\!+\!u\!-\!y)-f(x\!-\!y)\rightrightarrows 0$, $u\to 0$ ($\T$ - компакт). Теперь
доказываем также, как (i):
$$
|(f*\o_h)(x)-f(x)|\le\int_{-\pi}^\pi|f(x\!-\!y)-f(x)|\o_h(y)dy = \int_{|y|\le \d} +
\int_{\d\le|y|\le \pi} = I + II,
$$
$I\to 0 $ при $\delta\to 0$ (равномерно по $h$) из-за непрерывности $f$, а $II\to 0$ при $h\to
0$ для каждого фиксированного $\delta$.
\end{proof}

\begin{corollary}
(i) Тригонометрические многочлены плотны в $C(\T)$.\\
{\rm [ядра Фейера - аппроксимативная единица]}\\
(ii) Пусть $f\in L^1(\T)$ непрерывна в точке $x_0$. Тогда $(f*\o_h)(x_0)\to f(x_0)$, $h\to 0$
В частности, $\s_n(f)(x_0)\to f(x_0)$, $n\to\iy$, если $f$ непрерывна в $x_0$.\\
{\rm [см. доказательство теоремы]}\\
(iii) Пусть $f\in L^1(\T)$: $\exists f(x_0\pm 0)$. Тогда $\s_n(f)(x_0)\to
\frac{1}{2}(f(x_0\!-\!0)+f(x_0\!+\!0))$, $n\to\iy$.\\
{\rm [разобьем $f$ в сумму скачка $\const\cdot\sign(x\!-\!x_0)$ и непрерывной в $x_0$ функции]}\\
(iv) Пусть $f\in L^1(\T)$ непрерывна в точке $x_0$ (или $\exists f(x_0\pm 0)$). Тогда ряд
Фурье в точке $x_0$ или сходится к $f(x_0)$ ($\frac{1}{2}(f(x_0\!-\!0)+f(x_0\!+\!0))$), или
расходится.\\
{\rm [регулярность метода суммирования Чезаро]}
\end{corollary}

\begin{remark}
{\rm  Вместо условия положительности $\o_h\ge 0$ достаточно требовать $\int_{-\pi}^\pi
|\o_h(y)|dy\le C < +\iy$, то есть равномерную (по $h$) ограниченность норм $\|\o_h\|_1$.
Однако это все равно не выполняется для ядер Дирихле $D_N(y)$.}
\end{remark}

\section{Функции ограниченной вариации. Признак Жордана сходимости ряда Фурье.}

\begin{definition}
Пусть $f:[a,b]\to\R$ (или $\C$). Тогда {\bf вариацией $\bf f$ на $\bf [a,b]$} называется
величина $\Var_{[a,b]}f:=\sup_{a=x_0<x_1<...<x_n=b}\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|$.
\end{definition}

\begin{lemma} (i) Пусть $f:[a,b]\to\R$ монотонна. Тогда $\Var_{[a,b]} f = |f(b)-f(a)|$.\\
(ii) $\Var_{[a,b]}f<+\iy$, если и только если существуют возрастающие $f_{1,2}\,:f=f_1-f_2$
(для $f:[a,b]\to\C$ существуют возрастающие $f_{1,2,3,4}\,:f=(f_1\!-\!f_2)+i(f_3\!-\!f_4)$).
\end{lemma}

\begin{proof}
$f_1(x):=\Var_{[a,x]}f$.
\end{proof}

\begin{remark} {\rm
Пусть $Var_{[a,b]} f<+\iy$ и $x_0\in [a,b]$. Тогда существуют односторонние пределы $f(x_0\pm
0)$, поскольку это справедливо для монотонных функций. }
\end{remark}

\begin{lemma} Пусть $\Var_{[a,b]}f<+\iy$. Тогда $\left|\int_a^b f(x)e^{-i\o
x}dx\right|=O\left(\frac{1}{\o}\right)$, $\o\to\pm\iy$.
\end{lemma}

\begin{proof} Например для $\int_a^b f(x)\cos \o x dx$ и возрастающей $f$. Пусть $x_k$ -- нули $\cos \o x$. Тогда
$\int_a^b=\int_a^{x_1}+\left(\int_{x_1}^{x_2}+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n}\right)+\int_{x_n}^b$.
Сумма в скобках - знакопеременная с монотонными слагаемыми, поэтому оценивается через
последнее слагаемое.
\end{proof}

\begin{theorem}[\bf Харди-Ландау] Пусть $a_n=O\left(\frac{1}{n}\right)$ и
$\sum_{n=1}^{\iy}a_n\eeqq^{(C,1)}A$ (по Чезаро). Тогда $\sum_{n=1}^{\iy} a_n =A$ и в обычном
смысле.
\end{theorem}

\begin{proof}
$S_{n+1}+...+S_{n+k}=(n\!+\!k)\s_{n+k}-n\s_n=kS_n+\sum_{j=1}^k(k\!+\!1\!-\!j)a_{n+j}$. Отсюда
$$
S_n=\s_{n+k}+\frac{n}{k}(\s_{n+k}\!-\!\s_n)-\sum_{j=1}^k\frac{k\!+\!1\!-\!j}{k}\,a_{n+j}.
$$
Теперь оцениваем $a_{n+j}$ и оптимизируем по $k$ ($\approx\sqrt{\ve}\cdot n$).
\end{proof}

\begin{corollary}[\bf признак Жордана сходимости ряда Фурье] Пусть $f\in L^1(-\pi,\pi)$, $f(x\!+\!2\pi)\equiv
f(x)$. Пусть точка $x_0\!\in\!\R$ такова, что $\Var_{[x_0-\d_0,x_0+\d_0]} f < +\iy$ для
некоторого $\d_0\!>\!0$. Тогда $S_N(x_0)\to \frac{1}{2}(f(x_0\!-\!0)+f(x_0\!+\!0))$, $N\to
\iy$.
\end{corollary}

\begin{proof}
Заметим, что значения $f(x_0\pm 0)$ существуют, так как вариация $f$ на
$[x_0\!-\!\d_0,x_0\!+\!\d_0]$ конечна. Заменим $f$ на $f\cdot\chi_{[x_0-\d_0,x_0+\d_0]}$
(можно в силу локальности сходимости). Тогда $a_n,b_n=O(\frac{1}{n})$ по лемме и мы можем
применить теорему Харди-Ландау.
\end{proof}

\begin{corollary}[\bf Признак Дирихле] Пусть $f:[-\pi,\pi]\to \R$ кусочно
монотонна и имеет конечное число разрывов. Тогда ряд Фурье сходится к
$\frac{1}{2}(f(x_0\!-\!0)+f(x_0\!+\!0))$ во всех точках $x_0\in[-\pi,\pi]$.
\end{corollary}

\begin{proof}
В этом случае $\Var_{[-\pi,\pi]}f<+\iy$.
\end{proof}

\begin{remark}[\it Факты о поточечной сходимости рядов Фурье] $\phantom{x}$\\ {\rm
(i) Существует функция из $L^1(-\pi,\pi)$, ряд Фурье которой расходится в каждой точке
(Колмогоров).\\
(ii) Существует нетривиальный тригонометрический ряд, сходящийся к $0$ почти всюду (Меньшов).
Отметим, что если $a_n=b_n=0$ для всех $n$ и некоторой $f\in
L^1(-\pi,\pi)$, то $f\equiv 0$, поскольку $\s_N(f)\equiv 0 \ttoo_{N\to\iy}^{L^1} f$.\\
(iii) Теорема Карлесона (1966):\\
Для каждой $f\in L^2(-\pi,\pi)$ ряд Фурье сходится к $f(x)$ почти всюду.}
\end{remark}

\section{Ортогональные системы и ряды Фурье в гильбертовом пространстве.}

Пусть $H$ - сепарабельное гильбертово пространство.

\begin{definition} $\sum_{n=1}^\iy x_n$, $x_n\in H$ называется {\bf ортогональным рядом}, если
$\lg x_n,x_m \rg =0$ для всех $n\ne m$ (то есть слагаемые попарно ортогональны).
\end{definition}

\begin{remark}
{\rm Пример -- обычный тригонометрический ряд Фурье в $L^2(-\pi,\pi)$. }
\end{remark}

\begin{proposition} Пусть $\sum_{n=1}^\iy x_n$ -- ортогональный ряд. Тогда\\
(i) Ряды $\sum_{n=1}^\iy x_n$ и $\sum_{n=1}^\iy \|x_n\|^2$ сходятся или не
сходятся одновременно.\\
(ii) Пусть $\o:\N\to\N$ -- биекция. Тогда ряды $\sum_{n=1}^\iy x_n$ и $\sum_{n=1}^\iy
x_{\o(n)}$ сходятся или не сходятся одновременно и если сходятся, то к одной и той же сумме.
\end{proposition}

\begin{proof} (i) $\left\|\sum_{n=m}^k x_n\right\|^2=\sum_{n=m}^k\|x_n\|^2$, поэтому
фундаментальность последовательности частичных сумм сохраняется.\\
(ii) $\left\lg\sum_{n=1}^\iy x_n-\sum_{n=1}^\iy x_{\o(n)},x_m\right\rg=0$ для каждого $m\ge
1$.
\end{proof}

\begin{definition} (i) Система $\{e_n\}_{n=1}^\iy\ss H$ называется {\bf ортогональной}, если $e_n\ne
0$, $n\ge 1$ и $\lg e_n,e_m\rg =0$, $n\ne m$. Система называется ортонормированной, если к
тому же $\|e_n\|=1$, $n\ge 1$.\\
(ii) Пусть $\{e_n\}_{n=1}^\iy$ -- ортогональная система. Для каждого $x\in H$ определим {\bf
коэффициенты Фурье} $\displaystyle c_n:=\frac{\lg x,e_n\rg}{\lg e_n,e_n\rg}$ и {\bf ряд Фурье}
$\sum_{n=1}^\iy c_ne_n$.
\end{definition}

\begin{remark} {\rm (i) Если система $\{e_n\}_{n=1}^\iy$ ортогональна, то система
$\displaystyle\lt\{\frac{e_n}{\|e_n\|}\rt\}_{n=1}^\iy$ -- ортонормирована. При этом ряды Фурье
относительно обеих систем одинаковы.  \\
(ii) Для ортонормированной системы $c_n=\lg x,e_n \rg$.\\
(iii) $\lg x-c_ne_n, e_n \rg =0$.}
\end{remark}

\begin{proposition} Пусть $S_N=\sum_{n=1}^N c_ne_n$. Тогда\\
(i) $x-S_N\perp L_N=\span(e_1,...,e_N)$.\\
(ii) $\|x\!-\!S_N\|\le \|x\!-\!y\|$ для всех $y\in L_N$ ($S_N$ -- наилучшее
приближение к $x$ в $L_N$).\\
(iii) $\|x\|\ge\|S_N\|$.
\end{proposition}

\begin{proof} (ii) $\|x\!-\!y\|^2\!=\|x\!-\!S_N\|^2\!+\|S_N\!-\!y\|^2$. (iii)
$\|x\|^2\!=\|x\!-\!S_N\|^2\!+\|S_N\|^2$.
\end{proof}

\begin{corollary}[\bf неравенство Бесселя]
Пусть $\{e_n\}_{n=1}^\iy$ -- ортогональная система, $x\in H$. Тогда
$$
\|x\|^2\ge \sum_{n=1}^\iy|c_n|^2\|e_n\|^2.
$$
\end{corollary}
\begin{proof}
$\|S_N\|^2=\sum_{n=1}^N|c_n|^2\|e_n\|^2$.
\end{proof}

\begin{definition} Пусть дана система векторов $\{e_n\}_{n=1}^\iy$ в банаховом пространстве
$X$. Она называется {\bf независимой}, если $a_1e_1+...+a_Ne_N=0\Rightarrow \a_j=0$ и {\bf
полной}, если $\forall x\in X$, $\forall \ve>0$ $\exists
N,\a_1,...,\a_N:\|x-(a_1e_1\!+\!...\!+\!a_Ne_N)\|<\ve$.
\end{definition}

\begin{remark}
{\rm Очевидно, любая ортогональная система в гильбертовом пространстве независима.}
\end{remark}

\begin{theorem} Пусть $\{e_n\}_{n=1}^\iy$ -- ортогональная система в $H$. Следующие
утверждения равносильны:\\
(i) Для любого $x\in H$ верно $x=\sum_{n=1}^{\iy}c_ne_n$ (в этом случае система называется
{\bf ортогональным базисом}).\\
(ii) Для любых $x,y\in H$ верно
$$
\lg x,y\rg = \sum_{n=1}^\iy c_n(x)\ol{c_n(y)}\|e_n\|^2.
$$
(iii) Для каждого $x\in H$ верно
$$
\|x\|^2= \sum_{n=1}^\iy|c_n|^2\|e_n\|^2
$$
(это равенство называется {\bf равенством Парсеваля}).\\
(iv) Если $x\in H$: $\lg x,e_n\rg =0$ для всех $n\ge 1$, то $x=0$.\\
(v) Система $\{e_n\}_{n=1}^\iy$ полна.
\end{theorem}
\begin{proof} Очевидно $(i)\Rightarrow(ii)\Rightarrow(iii)\Rightarrow(iv)\Rightarrow(i);\
(i)\Rightarrow(v)\Rightarrow(iv)$.
\end{proof}

\begin{remark} {\rm
Система $\{\cos nx\}_{n=0}^\iy\cup \{\sin nx\}_{n=1}^\iy$ ортогональна в $L^2(-\pi,\pi)$ и
плотна (так как тригонометрические многочлены плотны). Таким образом, это ортогональный базис
пространства $L^2(-\pi,\pi)$. }
\end{remark}

\begin{corollary} Пусть $f\in L^2(-\pi,\pi)$. Тогда\\
(i) $f=\frac{1}{2}\,a_0 + \sum_{n=1}^\iy(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$ в $L^2(-\pi,\pi)$ (без
всякого усреднения!).\\
(ii) $\|f\|_2^2=\pi\left(\frac{1}{2}|a_0|^2+\sum_{n=1}^\iy(|a_n|^2\!+\!|b_n|^2)\right)$
(равенство Парсеваля).
\end{corollary}

\begin{proof} Пункты (i) и (iii) теоремы.
\end{proof}

\begin{examples}[\it Другие ортогональные системы. {\bf Ортогональные полиномы.}]
$\phantom{x}$\\
{\rm Пусть дан промежуток $I\ss\R$ и мера $d\m$ на нем. Рассмотрим гильбертово пространство
$H=L^2(I,d\m)$. Пусть функции $1,x,...,x^n,...$ линейно независимы в $L^2(I,d\m)$ (для этого
достаточно, чтобы носитель меры $\supp d\m$ содержал бесконечное число точек).

\begin{lemma} (i) Существует такая последовательность полиномов $\{P_n(x)\}_{n=0}^\iy$, что $\deg
P_n=n$ и $\lg P_n,P_m\rg =0$ для всех $n\ne m$.\\
(ii) Если $\{P_n(x)\}_{n=0}^\iy$ и $\{\wt{P}_n(x)\}_{n=0}^\iy$ -- две такие
последовательности, то $P_n(x)=c_n\wt{P}_n(x)$ для некоторой последовательности констант
$\{c_n\}_{n=1}^\iy$.
\end{lemma}
\begin{proof}
(i) Ортогонализация Грама-Шмидта. (ii) Индукция по $n$.
\end{proof}

\noindent {\bf (i) Многочлены Чебышева I-ого рода.}\\
$$
H=L^2\lt((-1,1),\frac{dx}{\sqrt{1\!-\!x^2}}\rt);\qquad P_n(x):=\cos (n\arccos x).
$$
Ортогональность вытекает из ортогональности тригонометрической системы (замена $t=\arccos x$).
Полнота: многочлены плотны в $C([-1,1])$ (теорема Вейерштрасса), а $C([-1,1])$ плотно в $H$.

\smallskip

\noindent {\bf (ii) Многочлены Лежандра.}\\
$$
H=L^2\left(-1,1\right);\qquad P_n(x):=\left((x^2\!-\!1)^n\right)^{(n)}.
$$
Ортогональность: интегрирование по частям, полнота: из теоремы Вейерштрасса.

\smallskip

\noindent {\bf (iii) Многочлены Эрмита.}\\
$$
H=L^2(\R,e^{-x^2}dx);\qquad H_n(x):=e^{x^2}\left(e^{-x^2}\right)^{(n)}.
$$
Ортогональность: интегрирование по частям. Полноту докажем позже. }
\end{examples}

\section{Интеграл Фурье. Простые свойства.}

\noindent {\it Наводящие соображения.} Пусть $f:\R\to\C$ -- "хорошая"\ функция. Рассмотрим
сужение $f\big|_{[-T,T]}$, где $T$ -- большое число. Система $\{e^{i\frac{\pi
n}{T}x}\}_{n=-\iy}^{+\iy}$ является ортогональной в $L^2(-T,T)$. Поэтому
$$
f\big|_{[-T,T]}=\sum_{n=-\iy}^{+\iy}c_n e^{i\frac{\pi n}{T}x},\qquad
c_n=\frac{1}{2T}\int_{-T}^Tf(x)e^{-i\frac{\pi n}{T}x}dx.
$$
Устремляя $T\to +\iy$ и вводя непрерывный параметр $t=\frac{\pi n}{T}$ можно (на уровне
формальных манипуляций) увидеть в этой формуле аналог римановых сумм и прийти к следующему
результату:
$$
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\iy}^{+\iy}c(t)e^{itx}dt,\qquad
c(t)=\int_{-\iy}^{+\iy}f(x)e^{-itx}dx.
$$
Это и есть преобразование Фурье. Мы, однако, будем использовать другую нормировку.

\begin{definition} Пусть $f\in L^1(\R)$. {\bf Преобразованием Фурье} функции $f$ называется
функция
$$
\wh f(t):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\iy}^{+\iy}f(x)e^{-itx}dx,\qquad t\in \R.
$$
\end{definition}

\begin{remark} {\rm Наша ближайшая цель -- формула обращения
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\iy}^{+\iy}\wh f(t) e^{itx} dt.
$$}
\end{remark}

\begin{proposition}[\bf простые свойства] Пусть $f\in L^1(\R)$. Тогда\\
(i) $|\wh f(t)|\to 0$, $t\to \pm\iy$.\qquad (ii) $|\wh
f(t)|\le\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\|f\|_1$.\\
(iii) Функция $\wh f$ равномерно непрерывна на $\R$.
\end{proposition}

\begin{proof} (i) Лемма Римана-Лебега. (ii) очевидно. (iii)
$$
|\wh f(t\!\!+\!s)-\wh f(t)|\le \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\iy}^{+\iy}|f(x)||e^{-isx}-1|dx
$$
и далее по теореме Лебега о мажорируемой сходимости.
\end{proof}

\begin{theorem} Пусть $f\in L^1(\R)$ и в точке $x_0\in\R$ выполнено условие Дини: для
некоторых чисел $f(x_0\pm 0)$ и $\d_0>0$ справедливо
$$
\int_{x_0-\d_0}^{x_0}\frac{|f(x)\!-\!f(x_0\!-\!0)|}{|x\!-\!x_0|}\,dx,\
\int_{x_0}^{x_0+\d_0}\frac{|f(x)\!-\!f(x_0\!+\!0)|}{|x\!-\!x_0|}\,dx<+\iy.
$$
Тогда справедлива формула обращения
$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\iy}^{+\iy}\wh f(t) e^{itx_0} dt :=\lim_{A\to +\iy}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^{A}\wh f(t) e^{itx_0} dt =
\frac{f(x_0\!-\!0)+f(x_0\!+\!0)}{2}\,.
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
(В принципе, не умаляя общности можно считать $x_0=0$.) Аналогично доказательству для рядов.
$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^{A}\wh f(t) e^{itx_0} dt = \int_{-\iy}^{+\iy}\frac{\sin
A(x\!-\!x_0)}{\pi(x\!-\!x_0)}\,f(x)dx = \int_{-\iy}^{x_0}+\int_{x_0}^{+\iy}.
$$
Далее каждый интеграл разбиваем на два: для $f(x)-f(x_0\!\pm\!0)$ и для константы
$f(x_0\!\pm\!0)$ и используем интеграл Дирихле $\int_{0}^{+\iy}\frac{\sin
Ay}{y}\,dy=\frac{\pi}{2}$. Наконец
$$
\int_{x_0}^{+\iy}\frac{f(x)\!-\!f(x_0\!+\!0)}{x\!-\!x_0}\,\sin A(x\!-\!x_0)dx =
\int_{x_0}^{x_0+\d_0}+\int_{x_0+\d_0}^{+\iy},
$$
первое слагаемое по лемме Римана-Лебега, а второе разбиваем назад на $f(x)$ и константу. Для
$f(x)$ снова лемма Римана-Лебега, для константы -- "хвост"\ интеграла Дирихле.
\end{proof}

\begin{corollary}[\bf локальность формулы обращения]
Пусть $f,\wt{f}\!\in\! L^1(\R)$:
$f\big|_{[x_0-\d_0,x_0+\d_0]}=\wt{f}\big|_{[x_0-\d_0,x_0+\d_0]}$. Тогда формула обращения в
точке $x_0$ справедлива для функции $f$ тогда и только тогда, когда она справедлива для
$\wt{f}$.
\end{corollary}

\begin{proof}
$f-\wt{f}$ удовлетворяет условию Дини в точке $x_0$.
\end{proof}

\section{Свертка функций, заданных на прямой.}

\begin{definition} Пусть $f,g:\R\to\C$. {\bf Сверткой} $f$ и $g$ называется функция
$$
(f*g)(x):=\int_{-\iy}^{+\iy}f(t)g(x\!-\!t)dt.
$$
\end{definition}

\begin{remark} {\rm
В отличие от случая окружности, у нас нет "максимального"\ пространства, в котором было бы
естественно определять свертку, поскольку теперь $L^p(\R)$ {\it не является} подмножеством
$L^1(\R)$ при $p>1$.}
\end{remark}

\begin{theorem} (i) Пусть $f,g\in L^1(\R)$. Тогда свертка $f*g$ определена почти всюду, $f*g\in
L^1(\R)$ и $\|f*g\|_1\le \|f\|_1\cdot \|g\|_1$.\\
(ii) Пусть $f\in L^p(\R)$, $g\in L^1(\R)$, $1\le p\le +\iy$. Тогда $f*g$ определена почти
всюду, $f*g\in L^p(\R)$ и $\|f*g\|_p\le \|f\|_p\cdot \|g\|_1$.\\
(iii) Пусть $f\in L^p(\R)$, $g\in L^q(\R)$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Тогда $f*g$ является
равномерно непрерывной на $\R$ функцией и $\|f*g\|_\iy\le\|f\|_p\cdot \|g\|_q$.
\end{theorem}

\begin{remark} {\rm
Эта теорема (кроме утверждения о непрерывности) является частными случаями неравенства Юнга:
$\|f*g\|_s\le \|f\|_p\cdot \|f\|_q$, если $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1+\frac{1}{s}$.}
\end{remark}

\begin{proof}
(i) смотри $L^1(\T)$. (ii) неравенство Гельдера для $|f|\cdot |g|^{1/p}$ и $|g|^{1/q}$ (случаи
$p\!=\!1$ и $p\!=\!+\iy$ отдельно). (iii) Ограниченность из неравенства Гельдера,
непрерывность:
$$
|(f*g)(x+y)-(f*g)(x)|\le \|f\|_p\cdot \|g(\cdot+y)-g\|_q
$$
(если $q=+\iy$, то аналогично через $f$).
\end{proof}

\begin{definition} Семейство функций $\o_h:\R\to\R$, $h\to 0$, называется {\bf аппроксимативной
единицей}, если\\
(i) $\o_h(x)\ge 0$;\qquad\qquad
(ii) $\int_{\R}\o_h(x)dx=1$;\\
(iii) Для каждого $\d>0$ выполняется $\int_{\d\le|x|}\o_h(x)dx\to 0$, $h\to 0$.
\end{definition}

\begin{theorem} (i) Пусть $f\in L^p(\R)$, $1\le p<+\iy$. Тогда $\|f*\o_h-f\|_p\to 0$, $h\to
0$.\\
(ii) Пусть $f\!\in\! C_0(\R)$ (т.е. $f\!\in\! C(\R)$ и $\supp f$ компактен). Тогда
$(f*\o_h)(x)\rightrightarrows f(x)$, $h\to 0$, $x\in\R$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Полностью повторяет случай свертки на окружности.
\end{proof}

\begin{exercise} {\rm Как мы видели,
$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^A e^{itx_0}\wh f(t)dt = \int_{-\iy}^{+\iy} \frac{\sin
A(x\!-\!x_0)}{\pi(x\!-\!x_0)}\,dx = (f*D_A)(x_0),\qquad D_A(y)=\frac{\sin Ay}{\pi y}\,.
$$
Как и для рядов, семейство функций $D_A(y)$, $A\to+\iy$ {\it не является} аппроксимативной
единицей ($\int_{-\iy}^{+\iy}|D_A(y)|dy=+\iy$). Однако мы можем попробовать усреднения
$$
K_A(y):=\frac{1}{A}\int_0^AD_a(y)da=\frac{1-cos Ay}{\pi A y^2}.
$$
Проверьте, что $K_A(y)$, $A\to+\iy$ -- аппроксимативная единица. }
\end{exercise}

\begin{corollary} [\bf теорема единственности] Пусть $f\in L^1(\R)$ такова, что $\wh f (t)\equiv 0$, $t\in\R$.
Тогда $f=0$ (как функция из $L^1(\R)$, то есть почти всюду).
\end{corollary}

\begin{proof}
$\wh f(t)\equiv 0$ дает $f*D_A =0$, а значит $f*K_A=0$, но $K_A$ - аппроксимативная единица.
\end{proof}

\begin{exercise} {\rm Доказать признак Жордана для интегралов Фурье (действуя в точности аналогично доказательству для
рядов, т.е. доказать аналог теоремы Харди-Ландау и т.п.).}
\end{exercise}

\begin{theorem}[\bf алгебраические свойства свертки] (i) $f*g$ -- билинейная операция
относительно $f$ и $g$.\\
(ii) $f*g=g*f$ (всегда, когда свертка определена).\\
(iii) $(f*g)*h=f*(g*h)$ (для определенности, пусть $f,g,h\in L^1(\R)$).\\
(iv) Для $f,g\in L^1(\R)$ справедливо $\widehat{(f*g)}(t)=\sqrt{2\pi}\cdot \wh f(t)\cdot \wh
g(t)$.
\end{theorem}

\begin{proof} (i),(ii) очевидно. (iii) следует из (iv) (альтернатива: руками).\\
(iv): как и в случае окружности, $e^{-ixt}=e^{-iyt}\cdot e^{-i(x-y)t}$.
\end{proof}

\begin{remark}{\rm
Пусть $\o_h$ -- аппроксимативная единица. Мы знаем, что $\|f*\o_h-f\|_1\to 0$, $h\to 0$.
Значит, из-за (iv), должно быть $\wh \o_h (t)\to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ при каждом $t$. Это
отвечает общему принципу -- чем более сконцентрирована сама функция, тем более "расплывчато"\
ее преобразование Фурье.}
\end{remark}

\section{Связь преобразования Фурье и дифференцирования. Класс Шварца.}

\begin{proposition}
(i) Пусть $f\in C^1(\R)$: $f,f'\in L^1(\R)$. Тогда $\wh{f'} (t)= it \wh f(t)$.\\
(ii) Пусть $f\in L^1(\R)$: $x\cdot f\in L^1(\R)$. Тогда $\wh f \in C^1(\R)$ и $(\wh
f)'(t)=-i\wt{xf}(t)$.
\end{proposition}

\begin{proof}
(i) Интегрирование по частям на промежутке $[-A,A]$. Подстановка стремится к нулю хотя бы по
какой-то подпоследовательности $A_n\to +\iy$, поскольку $f\in L^1(\R)$. (ii) По определению
пишем разностное отношение и переходим к пределу (мажоранта из оценки $|e^{-isx}\!-\!1|\le
|sx|$ ).
\end{proof}

\begin{definition} {\bf Классом Шварца быстроубывающих функций} называется множество
$$
\cS=\left\{f\in\cS: \forall n,m\ge 0\ p_{n,m}(f):=\sup_{x\in\R} |x|^n|f^{(m)}(x)|<+\iy
\right\}.
$$
\end{definition}

\begin{remark} {\rm
(i) В частности, $\C_0^{\iy}(\R)\ss\cS\ss C^{\iy}(\R)$. (ii) $\{p_{n,m}\}_{n,m=0}^{+\iy}$
является счетной системой полунорм в $\cS$, поэтому $\cS$ -- метризуемое пространство.
\linebreak (iii) функция $e^{-x^2}$ является примером элемента $\cS$, не лежащего в $C_0^\iy$.
}
\end{remark}

\begin{proposition}
$\cS$ - полное пространство.
\end{proposition}

\begin{proof}
Пусть $\{f_k\}_{k=1}^\iy$ -- фундаментальная последовательность в $\cS$ (т.е.
$p_{n,m}(f_k\!-\!f_l)\to_{k,l\to\iy} 0$ для всех $n,m$). Последовательности
$\{x^nf_k^{(m)}(x)\}$ фундаментальны в $C(\R)$, поэтому есть пределы $g_{n,m}(x)=x^ng_m(x)$.
$g_m=g'_{m-1}$ из предельного перехода в $g_m(x)=g_m(0)+\int_0^xg'_{m-1}(t)dt$.
\end{proof}

\begin{proposition}
(i) $f\mapsto \wh f$ непрерывно как отображение $\cS\to\cS$.\\
(ii) Обратное отображение $\wh f (t) \mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\iy}^{+\iy}e^{itx}\wh
f (t)dt$ также непрерывно $\cS\to\cS$.
\end{proposition}

\begin{proof}
(i) $p_{n,m}(\hat f) =\|t^n(\wt f)^{(m)}\|_{C} \le \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\|(x^m f)^{(n)}\|_1$ и
эта величина оценивается через $p_{k,l}(f)$, $0\le k \le m\!+\!2$, $0\le l \le n$. (ii)
$f(x)=(\hat f(-t))^\wedge$.
\end{proof}

\section{Теорема Планшереля. Преобразование Фурье в $L^2(\R)$.}

\begin{theorem} Для $f,g\in\cS$ верно
$$
\int_{-\iy}^{+\iy}f(x)\ol{g(x)}dx = \int_{-\iy}^{+\iy} \hat f(t)\ol{\hat g(t)}dt.
$$
В частности, $\|f\|_2=\|\hat f\|_2$\,.
\end{theorem}

\begin{proof}
Применяем формулу обращения для $g$, потом меняем порядок интегрирования.
\end{proof}

\begin{definition}
Преобразование Фурье $\cF: L^2(\R)\to L^2(\R)$ -- это продолжение отображения $f\mapsto \wh f$
по непрерывности (относительно $\|\cdot\|_2$).
\end{definition}

\begin{remark}
{\rm Для $f\in L^1(\R)\cap L^2(\R)$ сейчас преобразование Фурье определено двумя разными
способами -- поточечно $\wh f(t)$ и $\cF$. Почему это одно и то же? Приблизим функцию $f$
гладкой (т.е. $C_0^\iy$) {\it одновременно в $L^1$ и $L^2$} (сначала срежем, потом свернем с
аппроксимативной единицей с компактным носителем). Поскольку для $C_0^\iy\ss \cS$ два
определения совпадают, отсюда легко вывести противоречие.}
\end{remark}

\begin{theorem}[\bf Планшереля] Пусть $f\in L^2(\R)$. Тогда\\
(i) $\wh f(t)=\mathop{l.i.m.}\limits_{A\to+\iy}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^Ae^{-itx}f(x)dx$ ($l.i.m.$ -- это предел в $L^2$).\\
(ii) $f(x)=\mathop{l.i.m.}\limits_{A\to+\iy} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-A}^Ae^{itx}\wh
f(t)dt$.\\
(iii) $\|f\|_2=\|\hat f\|_2$.
\end{theorem}

\begin{remark}
{\rm $f$ и $\wh f$ суммируемы на $[-A,A]$, поскольку $L^2(-A,A)\ss L^1(-A,A)$. }
\end{remark}

\begin{proof} (i) Вытекает из того, что $f\cdot \chi_{[-A,A]}\to f$, $A\to +\iy$, в $L^2(\R)$.
(ii) аналогично. (iii) верно для $\cS$, $\cS$ плотно в $L^2(\R)$ (мы это уже использовали).
\end{proof}


\section{Разнообразные примеры, следствия и приложения.}

\begin{example} Преобразованием Фурье функции $e^{-\frac{x^2}{2\s^2}}$, $\s\!>\!0$ есть $\wh f(t)\!=\!\s
e^{-\frac{t^2\s^2}{2}}$.
\end{example}
\begin{proof}
Выделим полный квадрат в экспоненте, сдвинем контур интегрирования с
$(-\iy\!+\!i\s^2,+\iy\!+\!i\s^2)$ на вещественную прямую.
\end{proof}

\begin{example}
Пусть $f\in\cS$: $\|f\|_2=1=\|\wh f\|_2$. Тогда
$$
\int_{-\iy}^{+\iy} |x|^2|f(x)|^2dx\cdot \int_{-\iy}^{+\iy} |t|^2|\wh f (t)|^2dt \ge
\frac{1}{4}.
$$
\end{example}
\begin{remark} {\rm
Предельным переходом автоматически отсюда можно получить такое же неравенство для $f\in L^2$
(в крайне случае, слева будет равен $+\iy$). }
\end{remark}

\begin{proof}
$\int_{-\iy}^{+\iy} |\b xf(x)-f'(x)|^2dx\ge 0$, поэтому $\b^2M_1+M_2-\b\ge 0$.
\end{proof}

\begin{exercise}
{\rm Равенство достигается на функциях $\frac{c}{\sqrt{2\pi}\cdot \s} e^{-\frac{x^2}{2\s^2}}$,
$|c|=1$ и только на них.}
\end{exercise}

\begin{corollary}
Для любых $a,b\in\R$ и $f\in\cS$: $\|f\|_2=1=\|\wh f\|_2$ верно
$$
\int_{-\iy}^{+\iy} |x\!-\!a|^2|f(x)|^2dx\cdot \int_{-\iy}^{+\iy} |t\!-\!b|^2|\wh f (t)|^2dt
\ge \frac{1}{4}.
$$
\end{corollary}

\begin{example}[\it Полнота функций Эрмита] Функции Эрмита $h_n(x):=H_n(t)e^{\frac{-x^2}{2}}$
(это ортогональная система в $L^2(\R)$) полны в $L^2(\R)$.
\end{example}

\begin{remark}
{\rm В частности, следует полиномы Эрмита плотны в $L^2(\R,e^{-x^2}dx)$. }
\end{remark}

\begin{proof}
Пусть $\lg h, h_n\rg=0$. Тогда $\int_{-\iy}^{+\iy}
h(x)\sum_{k=0}^n\frac{(-itx)^k}{k!}\,e^{-\frac{x^2}{2}}dx =0$. Переходя к пределу (мажоранта
$|h(x)|e^{|tx|}e^{-\frac{x^2}{2}}$) получаем $(h(x)e^{-\frac{x^2}{2}})^\wedge\equiv 0$.
\end{proof}

\begin{example}[\it Формула суммирования Пуассона] Пусть $f\in\cS$, $\t>0$. Тогда
$$
\sum_{n=-\iy}^{+\iy}f(n\t)= \frac{\sqrt{2\pi}}{\t}\sum_{m=-\iy}^{+\iy}\wh
f\lt(m\cdot\frac{2\pi}{\t}\rt)
$$
\end{example}

\begin{remark} {\rm Эта формула верна и при (естественных) менее обременительных ограничениях
на $f$. }
\end{remark}

\begin{proof}
$F(x):=\sum_{n=-\iy}^{+\iy}f(x+n\t)$, $x\in [\frac{-\t}{2},\frac{\t}{2}]$. Раскладываем $F\in
C^\iy$ в ряд Фурье на этом промежутке, в качестве коэффициентов возникают значения $\wh f$.
Подставляем $x=0$, получаем требуемую формулу.
\end{proof}

\begin{exercise}
{\rm (i) $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2\s}}$ дает
$\sum_{n=-\iy}^{+\iy}e^{-\frac{\pi^2n^2}{\s^2}}=\s\sum_{m=-\iy}^{+\iy}e^{-\pi^2m^2\s^2}$.\\
(ii) Вычислить $\sum_{n=1}^{+\iy}\frac{1}{n^2+a^2}$, $a>0$. Перейти к пределу при $a\to 0$.}
\end{exercise}

\begin{example}[\it Теорема Котельникова] Пусть $f\in\cS$, $\supp \wh f \ss [-a,a]$. Тогда $f$
восстанавливается по набору своих значений $f(\frac{\pi}{a}\cdot k)$, $k\in\Z$ по формуле
$$
f(x)=\sum_{k=-\iy}^{+\iy}f\lt(\frac{\pi k}{a}\rt) \cdot \frac{\sin (ax\!-\!\pi k)}{ax\! - \!
\pi k}.
$$
\end{example}

\begin{proof}
В духе предыдущего доказательства, но у нас нет времени. (надо разложить $\wh f$ в
тригонометрический ряд на $[-a,a]$, в качестве коэффициентов возникнут $f(\frac{\pi}{a}\cdot
k)$, пишем формулу обращения $f$ через $\wh f$ и интегрируем почленно).
\end{proof}

\begin{example}[\it Уравнение теплопроводности] {\rm (не будем задаваться законностью тех или иных действий!)
Пусть $u(t,x)$ -- температура точки металлического стержня $x$ в момент времени $t$. Из
физики:
$$
u_t=a^2u_{xx}
$$
Делая преобразование Фурье по переменной $x$: $u(t,x)\mapsto \wh u (t,y)$, приходим к
$$
\wh u_t = -a^2y^2\wh u.
$$
Таким образом, $\wh u(t,y)=e^{-a^2y^2t}\wh u (0,u)$. Так что если $u_0(x)=u(0,x)$, то
$$
u(t,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\iy}^{+\iy}e^{ixy}e^{-a^2y^2t}\wh{u_0}(y)dy.
$$}
\end{example}

\begin{exercise} {\rm
Выписать решение явно для $u_0(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$. }
\end{exercise}


\end{document}
