\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\evensidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{25mm}
\addtolength{\textheight}{35mm}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large Комбинаторика симметрических групп}\\[2mm]
{\Large Экзаменационные задачи}\\[3mm]
{\large\sl С.\,В.\,Дужин}
\end{center}

{\bf 1.}
Как известно, число разбиений данного числа на нечетные части равно
числу его разбиений на различные части.
Сформулируйте и докажите аналог этого утверждения для разбиений на части,
не делящиеся на 3.
\medskip

{\bf 2.}
Рассмотрим векторное пространство $\Lambda^5$ симметрических многочленов 
степени 5. Выпишите явно базисы этого пространства
$m$, $e$, $h$, $p$, $s$ (мономиальных, элементарных, полных симметрических
многочленов, сумм степеней и функций Шура). Найдите матрицы, выражающие все
эти базисы через какой-то один из них.
\medskip

{\bf 3.}
(а) Найдите пары таблиц, которые соответствуют перестановке
$(1357)(246)(08)\in S_{10}$ и обратной к ней в силу соответствия
Робинсона-Шенстеда-Кнута.
(б) Сформулируйте и докажите общее утверждение относительно
поведения взаимно обратных перестановок под действием
соответствия RSK.
\medskip

{\bf 4.}
Дайте явное описание модуля Шпехта $M^{(3,2,1)}$, укажите его
размерность, базис и действие на нем соответствующей симметрической
группы.
\medskip

{\bf 5.}
(а) Составьте матрицу характеров группы $S_4$.
(б) Объясните связь матрицы характеров группы $S_n$ с функциями Шура.
(в) Докажите формулу, выражающую определитель матрицы характеров
для $S_n$ через разбиения числа $n$.
\medskip

{\bf 6.}
Найдите группу автоморфизмов графа Юнга.
\medskip

{\bf 7.}
Опишите неприводимое представление группы $S_5$, соответствующее разбиению
$(3,1,1)$, в терминах базиса Гельфанда-Цетлина. В пространстве представления
укажите подпространства, в которых реализуются различные неприводимые
представления группы $S_3$, вложенной в $S_5$ как подгруппа перестановок,
оставляющих неподвижными элементы 4 и 5.

\vfill
{\bf Литература}

0. Лекционные заметки (увы, неполные):
\verb#http://www.pdmi.ras.ru/~duzhin/IUM#.

1. И.~Макдоналд. Симметрические функции и многочлены Холла.
М., Мир, 1985.

2. Г.~Джеймс. Теория представлений симметрических групп.
М., Мир, 1982.

3. A.~Okuonkov, A.~M.~Vershik.
A new approach to representation theory of symmetric groups.
Selecta Math., New Series, vol. 2, No. 4 (1996), p. 581--605.
(этот текст отсканирован и лежит на 
\verb#mccme.ru/~duzhin/Ok_Versh/#; его можно просмотреть на экране
вашей любимой смотрелкой, а распечатать каждую страницу можно командой 
вида \verb#convert ~duzhin/Ok_Versh/ov01.jpg ps:- | lpr#, 
зайдя на компьютер mccme.ru).

\vfill
\noindent\hrulefill
\vfill

{\small
Задание выдано 22 октября 2001.
Решения в рукописном виде класть в ячейку ``Дужин'' до 05.11.2001 
либо присылать в электронном виде
до того же срока по адресу \verb#duzhin@mccme.ru#.

{\it Критерии оценок.} Задачи 1, 3а, 4, 5а, 5б, 6 оцениваются в 1 балл каждая,
задачи 2, 3б, 5в, 7 --- в 2 балла каждая. Оценки 5/4/3 ставятся за 12/10/8
баллов соответственно.
}
\end{document}
