\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{latexsym,amssymb,amsthm}
\usepackage{amsmath}
%%\usepackage{wrapfig}
\RequirePackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{array}
\usepackage{pstricks,pst-node}
\input epsf.tex

\oddsidemargin=0pt
\textwidth=159mm
\headheight=0pt
\headsep=0pt
\topmargin=0pt
\textheight=240mm

%%
%% Три точки для обозначения делимости
%%
\catcode`\@=11
\def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.5ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
% Это прямые три точки для обозначения делимости
\def\nekratno{\mathrel{\mathpalette\c@ncel\kratno}}
\def\c@ncel#1#2{\m@th\ooalign{$\hfil#1\mkern1mu/\hfil$\crcr$#1#2$}}
% Это перечеркнутые три точки для обозначения неделимости
\def\divis{\smash{\lower.1ex\hbox{\,\hbox{.}\kern-.22em\lower-.6ex\hbox{.}
\kern-.52em\lower-1.2ex\hbox{.}\,}} }
% А это наклонные...

\hyphenation{чис-ло чис-ла чис-лу чис-лом чис-ле чис-лам чис-ла-ми чис-лах
че-ты-рех-уголь-ник че-ты-рех-уголь-ни-ка пря-мо-уголь-ник тре-уголь-ни-ка
тре-уголь-ни-ков вне-впи-сан-ной вне-впи-сан-ных}

\def\signed(#1){{\unskip\nobreak\hfil\penalty50\hskip1em\hbox{}\nobreak\hfil
                 \rm(\small\it#1\/\rm)\parfillskip=0pt\finalhyphendemerits=0\par}}
        % macro for authorship's signature, from TeXbook
\def\be{\signed(С.~Берлов)}
\def\fp{\signed(Ф.~Петров)}
\def\frank{\signed(В.~Франк)}
\def\bah{\signed(Ф.~Бахарев)}
\def\guas{\signed(А.~Голованов)}
\def\as{\signed(А.~Смирнов)}
\def\dvk{\signed(Д.~Карпов)}
\def\is{\signed(Р.~Исмаилов)}
\def\kk{\signed(К.~Кохась)}
\def\hr{\signed(А.~Храбров)}
\def\io{\signed(О.~Иванова)}
\def\sop{\signed(Е.~Сопкина)}
\def\sviv{\signed(С.~Иванов)}
\def\r7{\signed(Р.~Семизаров)}
\def\suk{\signed(К.~Сухов)}
\def\dr{\signed(Д.~Ростовский)}
\def\pas{\signed(А.~Пастор)}
\def\yul{\signed(Ю.~Лифшиц)}
\def\azh{\signed(А.~Железняк)}
\def\dm{\signed(Д.~Максимов)}
\def\zh{\signed(Жюри)}

\sloppy
\pagestyle{empty}

\def\q#1.{{\bf #1. }}
\def\dotline{\smallskip\hbox to \hsize{\dotfill}\medskip}

\def\pzz#1{\lower6pt\hbox{\epsfbox{puzzle.#1}}\,}

\begin{document}

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2013 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 9 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Натуральное число $A$ называется интересным, если оно делится на любое
число, которое остается после зачеркивания в~$A$ нескольких последних
цифр. Найдите наибольшее интересное число, состоящее из различных цифр.
\be

\q2. Сумма квадратов вещественных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна~1.
Докажите, что $(1-a)(1-b)\geq cd$.
\hr 

\q3. Биссектриса угла $B$ треугольника $ABC$ пересекает прямую,
проходящую через $A$ параллельно $BC$, в~точке~$X$; она же пересекает
прямую, проходящую через $C$ параллельно~$AB$, в~точке~$Y$. Известно,
что $XY=AC$. На сколько могут отличаться углы $A$ и $C$? 
\be

\q4. На столе стоят 100 стаканов, в которых лежат 101, 102, \dots, 200
вишневых косточек. Двое играют в следующую игру. За один ход разрешается
вынуть из любого стакана любое количество косточек (даже все), но после
хода все стаканы по-прежнему должны содержать различное число косточек.
Проигрывает не имеющий хода. Кто выигрывает при правильной игре?
\be 

\dotline

\q5. На доске написаны 100 чисел из интервала $(0,1)$. Разрешается
выбрать два числа $a$ и $b$ и заменить их на два корня квадратного трехчлена
$x^2-ax+b$ (если этот трехчлен имеет два корня). Докажите, что этот
процесс не может продолжаться бесконечно долго. 
\frank

\q6. Диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в~точке $O$.
Точки $X$ и $Y$ симметричны точке $O$ относительно середин сторон $BC$ и
$AD$ соответственно. Известно, что $AB=BC=CD$.  Докажите, что точка
пересечения серединных перпендикуляров к~диагоналям четырехугольника лежит
на прямой $XY$.  
\as

\q7. Дано 54-значное число из единиц и нулей. Докажите, что остаток от
его деления на число $33\cdot 34\cdot\ldots\cdot 39$ больше, чем 100\,000.
\signed(М.~Антипов)

\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2013 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 10 класс.}
\medskip
\hrule
\medskip

\q1. Натуральное число $A$ называется интересным, если оно делится на любое
число, которое остается после зачеркивания в~$A$ нескольких последних
цифр. Найдите наибольшее интересное число, состоящее из различных цифр.
\be

\q2. Будем называть четырехугольник \emph{равнодиагональным}, если у него равны диагонали.
Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого
четырехугольника $ABCD$, делит его на два 
равнодиагональных четырехугольника.
Докажите, что четырехугольник $ABCD$ сам равнодиагональный.
\be 

\q3. По кругу стоят черные и белые точки (не меньше 12 штук), так что у
каждой точки среди 10 её соседей (5~слева и~5~справа) поровну
черных и белых. Докажите, что количество точек делится на~4.
\signed(М.~Антипов)

\q4. На доске написаны 100 чисел из интервала $(0,1)$. Разрешается
выбрать два числа $a$ и $b$ и заменить их на два корня квадратного трехчлена
$x^2-ax+b$ (если этот трехчлен имеет два корня). Докажите, что этот
процесс не может продолжаться бесконечно долго. 
\frank

\dotline

\centerline{Олимпиада 2013 года. II тур. 10 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. Диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в~точке $O$.
Точки $X$ и $Y$ симметричны точке $O$ относительно середин сторон $BC$ и
$AD$ соответственно. Известно, что $AB=BC=CD$.  Докажите, что точка
пересечения серединных перпендикуляров к~диагоналям четырехугольника лежит
на прямой $XY$.  
\as

\q6. В роте 85 солдат. Каждый день старшина выбирает одного солдата
и отправляет в поле красить траву его, а также либо всех тех,
кто и~выше, и~старше выбранного, либо всех тех,
которые и~ниже, и~младше выбранного.
Докажите, что через 10 дней можно будет найти пару солдат,
которые красили траву в~одни те же дни. 
Рост и возраст у всех солдат различны.
\signed(М.~Антипов)

\q7. Пусть $a_1$ и $a_2$ --- натуральные числа,
$b_1$ --- собственный делитель числа $a_1$, $b_2$ ---
собственный делитель числа $a_2$.
(Собственным делителем числа называется любой натуральный
делитель, отличный от единицы и самого числа.)
Докажите, что $a_1b_1+a_2b_2-1$ не
делится на $a_1a_2$.
\hr 


\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2013 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 11 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Найдите наименьший положительный нецелый корень уравнения $\sin x=\sin[x]$. 
Здесь $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Напомним, что $\pi=3,1415\dots$ 
\fp

\q2. На математическом факультете учатся 40 юношей и 10 девушек. 
Каждая девушка дружит либо в точности со всеми теми юношами, кто старше её, либо в точности с теми, кто выше её. 
Докажите, что у каких-то двух юношей множества подруг совпадают.
\signed(М.~Антипов)

\q3. Точки $M$ и $N$~--- середины ребер $AB$ и $CD$ тетраэдра $ABCD$. Оказалось, что $AN=DM$ и $CM=BN$. Докажите, что $AC=BD$.
\signed(По мотивам задачи 10.2)

\q4. Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$ (не обязательно различных), для которых числа $2p-1$, $2q-1$ и $2pq-1$ являются квадратами натуральных чисел.
\signed(Ф.~Петров, А.~Смирнов)

\dotline

\centerline{Олимпиада 2013 года. II тур. 11 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. Даны числа $x_1$, \dots, $x_{n+1}\in[0,1]$, причем $x_{n+1}=x_1$. 
Докажите, что 
$$
\smash{\prod\limits^{n}_{i=1}(1-x_{i}x_{i+1}+x^2_i)\geq 1.}\qquad\qquad\qquad
$$
\signed(А.~Храбров, Ф.~Петров)

\q6. Пусть $S_c$ и $S_a$ --- вневписанные окружности треугольника $ABC$ ($S_c$ касается отрезка $AB$, $S_a$~--- отрезка $BC$). Окружность $S$ проходит через точку $B$, касается внешним образом окружностей $S_a$ и $S_c$ и пересекает отрезок $AC$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что 
$\angle ABM=\angle NBC$.
\as

\q7. В языке волков две буквы: Ф и П, любая конечная последовательность которых образует слово. Слово $Y$ называется \emph{потомком} слова $X$, если $Y$ получается из $X$ вычеркиванием некоторых букв (например, слово ФФПФ имеет 8 потомков: Ф, П, ФФ, ФП, ПФ, ФФП, ФПФ, ФФФ). При данном $n$ определите, какое наибольшее число потомков может иметь $n$-буквенное слово языка волков.
\signed(Ф.~Петров, В.~Волков)

\end{document}