\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{latexsym,amssymb,amsthm}
% \RequirePackage[dvips]{graphicx}
% \usepackage{array,hhline}

% \usepackage{epsf,epic,eepic}
% \input ris.tex
% \input cells.sty
% \addrisoption{\risleftfalse}

%%
%% Три точки для обозначения делимости
%%
\catcode`\@=11
\def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.5ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
% Это прямые три точки для обозначения делимости
\def\nekratno{\mathrel{\mathpalette\c@ncel\kratno}}
\def\c@ncel#1#2{\m@th\ooalign{$\hfil#1\mkern1mu/\hfil$\crcr$#1#2$}}
% Это перечеркнутые три точки для обозначения неделимости
\def\divis{\smash{\lower.1ex\hbox{\,\hbox{.}\kern-.22em\lower-.6ex\hbox{.}
\kern-.52em\lower-1.2ex\hbox{.}\,}} }
% А это наклонные...

\hyphenation{чис-ло чис-ла чис-лу чис-лом чис-ле чис-лам чис-ла-ми чис-лах
че-ты-рех-уголь-ник че-ты-рех-уголь-ни-ка пря-мо-уголь-ник тре-уголь-ни-ка
тре-уголь-ни-ков вне-впи-сан-ной вне-впи-сан-ных}

\def\signed(#1){{\unskip\nobreak\hfil\penalty50\hskip1em\hbox{}\nobreak\hfil
                 \rm(\small\it#1\/\rm)\parfillskip=0pt\finalhyphendemerits=0\par}}
        % macro for authorship's signature, from TeXbook
\def\be{\signed(С.~Берлов)}
\def\fp{\signed(Ф.~Петров)}
\def\frank{\signed(В.~Франк)}
\def\bah{\signed(Ф.~Бахарев)}
\def\guas{\signed(А.~Голованов)}
\def\as{\signed(А.~Смирнов)}
\def\dvk{\signed(Д.~Карпов)}
\def\is{\signed(Р.~Исмаилов)}
\def\kk{\signed(К.~Кохась)}
\def\hr{\signed(А.~Храбров)}
\def\io{\signed(О.~Иванова)}
\def\sop{\signed(Е.~Сопкина)}
\def\sviv{\signed(С.~Иванов)}
\def\r7{\signed(Р.~Семизаров)}
\def\suk{\signed(К.~Сухов)}
\def\dr{\signed(Д.~Ростовский)}
\def\pas{\signed(А.~Пастор)}
\def\yul{\signed(Ю.~Лифшиц)}
\def\azh{\signed(А.~Железняк)}
\def\dm{\signed(Д.~Максимов)}
\def\asol{\signed(А.~Солынин)}
\def\zh{\signed(Жюри)}

\sloppy
\pagestyle{empty}

\def\q#1.{{\bf #1. }}

%%
%% Макрокоманда для рисования клетчатых матриц с поправкой на две жирные линии
%%
\def\btable#1#2#3\endbtable{{%
\offinterlineskip\def\\{\cr\noalign{\hrule}}\halign
  {\strut\vrule\hbox to #1{\hfil#2\hfil}\vrule width 1.5 pt&&\hbox to #1{\hfil#2\hfil}\vrule\cr\noalign{\hrule}#3}}}

\begin{document}

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2014 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc I тур. \ 6 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Разрежьте клетчатый прямоугольник размерами $9 \times 10$ клеток на несколько квадратов так, 
чтобы среди них было ровно два квадрата с~нечетной стороной. Разрезы должны идти по сторонам клеток.
\suk

\q2.  Дана дробь 2/3. Разрешается много раз выполнять следующие операции:
прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю.
Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5?
\kk

\q3. В ящике у Гарри Поттера 20 шариков --- красных, белых и зеленых. 
Три из них --- волшебные, они время от времени меняют цвет (на любой из этих трех).
Однажды Гарри Поттер заглянул в ящик и
увидел, что красных шариков больше, чем белых, а~белых больше, чем зеленых.
Заглянув через минуту, он увидел, что все стало наоборот: зеленых больше, чем белых,
а~белых больше, чем красных. Сколько белых шариков он увидел, когда заглядывал в ящик первый раз?
Не забудьте обосновать свой ответ.	
\dm

\q4. Джентльмены всегда говорят правду знакомым и лгут незнакомым. 
Собрались как-то 50 джентльменов  и каждый сказал каждому из остальных
какую-то из фраз: {\it У меня чётное число знакомых в этой компании } или 
{\it У меня нечётное число знакомых в этой компании}. 
Может ли так быть, что первая фраза была произнесена ровно 2013 раз?
\asol


\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2014 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc I тур. \ 7 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Закрасьте несколько клеток таблицы $6 \times 6$ так,
чтобы в каждой строке было ровно три закрашенных клетки,
а в каждом столбце --- либо одна, либо четыре.
\dm

\q2. Дана дробь ${2}/{3}$. За одну операцию можно либо прибавить 2013
к~числителю имеющийся дроби, либо прибавить 2014 к знаменателю, либо сократить
дробь на общий делитель числителя и знаменателя. Можно ли такими операциями
получить дробь ${3}/{5}$? 
\kk

\q3. В ящике у Гарри Поттера 100 шариков --- красных, белых и зеленых. 
Три из них --- волшебные, они время от времени меняют цвет (на любой из этих трех).
Однажды Гарри Поттер заглянул в ящик и
увидел, что красных шариков больше чем белых, а~белых больше, чем зеленых.
Заглянув через минуту, он увидел, что все стало наоборот: зеленых больше, чем белых,
а~белых больше, чем красных. Сколько белых шариков он увидел, когда заглядывал в ящик первый раз?
\dm

\q4. Клетчатый прямоугольник размерами $19 \times 20$ клеток разрезан на несколько квадратов (все разрезы
идут по сторонам клеток). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может
оказаться среди них?
\suk

\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2014 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc I тур. \ 8 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Дана дробь 2/3. Разрешается много раз выполнять следующие операции:
прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю.
Можно ли с~помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5? 
\kk 

\q2. Клетчатый прямоугольник $629\times 630$ разрезан
на несколько квадратов (все разрезы идут по линиям сетки).
Какое наименьшее число квадратов с~нечетной стороной может оказаться
в таком разбиении? Не забудьте объяснить, 
почему в разбиении не может получиться меньшее число квадратов с нечетной стороной.
\suk

\q3. Сумасшедший конструктор создал часы с 150 стрелками. Первая
стрелка крутится со скоростью один оборот в час, вторая делает 2 оборота в
час,~\dots, 150-я стрелка делает 150 оборотов в час. Часы запустили из
положения, когда все стрелки смотрели строго вверх. Когда в процессе
работы часов встречаются две или более стрелки, эти стрелки немедленно
отваливаются.
Через какое время после запуска отвалится стрелка, 
вращающаяся со скоростью 74 оборота в час?
\kk 

\q4. На выборах в Солнечном Городе можно было проголосовать за Винтика, Шпунтика или
Кнопочку.  После оглашения результатов оказалось, что все кандидаты 
набрали в сумме 146\% голосов.
Считавший голоса Незнайка объяснил, что по ошибке подсчитал процент голосов за Винтика
не от общего числа проголосовавших, а лишь от числа 
голосовавших за Винтика или Шпунтика (остальные проценты он подсчитал правильно). Известно,
что за Шпунтика проголосовало больше 1\,000 избирателей. Докажите, что
Винтик набрал больше 850 голосов.
\asol 

\q5. Диагонали $AD$ и $BE$ выпуклого пятиугольника $ABCDE$
пересекаются в точке $P$.
Известно, что $AC=CE=AE$, $\angle APB=\angle ACE$ и $AB+BC=CD+DE$.
Докажите, что $AD=BE$.
\as

\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2014 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc I тур. \ 9 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. В ящике у Васи 400 шариков --- красных, белых и зеленых. Три из
них~--- волшебные и могут в любой момент поменять цвет на любой из трех
перечисленных
выше. Вася заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше чем белых,
а белых больше, чем зеленых. Через минуту Вася еще раз заглянул в ящик и
оказалось, что теперь красных шариков меньше, чем белых, а белых меньше,
чем
зеленых. Сколько белых шариков он увидел в первый раз?
\dm

\q2. Даны числа $a_1$, \dots, $a_{10}$. 
Известно, что у каждого из десяти квадратных трехчленов 
$$
x^2-a_1x+a_{2}, \quad x^2-a_2x+a_{3}, \quad \dots,  \quad x^2-a_{9}x+a_{10} , \quad x^2-a_{10}x+a_1
$$ 
не больше одного корня. Докажите, что все числа $a_i$ не превосходят~4. 
\suk

\q3. Клетчатый прямоугольник $2013\times 2014$ разрезан 
на не\-сколь\-ко квадратов (все разрезы идут по линиям сетки).
Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может
оказаться среди них?
\suk 

\q4. Дан вписанный пятиугольник $ABCDE$. Известно, что $AC=CD$.
Докажите, что если $ABCE$~--- трапеция, то и $BCDE$~--- трапеция или
прямоугольник.
\as

\q5. Дано натуральное число $n$. Квадрат некоторого
натурального числа поделили на $n$ и получили в остатке 8.
При делении на $n$ куба того же натурального числа получили
в~остатке 25. На какое число делили?
\guas


\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2014 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc I тур. \ 10 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. В ящике у Васи 100 шариков --- красных, белых и зеленых. Три из них~---
волшебные и могут в любой момент поменять цвет на любой из трех перечисленных
выше. Вася заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше чем белых,
а белых больше, чем зеленых. Через минуту Вася еще раз заглянул в ящик и
оказалось, что теперь красных шариков меньше чем белых, а белых меньше, чем
зеленых. Сколько белых шариков он увидел в первый раз? 
\dm

\q2. Натуральные числа от 1 до 2014 выписаны по кругу в некотором порядке.
Отличница Маша вычислила наибольшие общие делители у~всех пар стоящих
рядом
чисел и заявила, что среди полученных НОДов ровно 1007 четных. Докажите,
что она ошиблась.
\signed(К.~Сухов, Д.~Максимов)

\q3. Дан квадратный трехчлен $x^2-ax+b$, имеющий два ненулевых корня.
Известно, что $|b+1|<a$, и один из его корней по модулю меньше~1.
Докажите, что другой корень по модулю больше 1.
\signed(А.~Храбров, Д.~Ростовский)

\q4. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$, для которой
$AC=CD$. На дуге $BC$ описанной окружности треугольника $BCD$ (не содержащей точки
$D$) выбрана точка $E$, для которой $\angle ACB=$\linebreak$=\angle ABE$.  На
продолжении отрезка  $BC$ за точку $C$ отмечена точка $F$, такая что
$CE=CF$. Докажите, что  $AB=AF$.
\pas

\q5. Клетчатый прямоугольник $n\times (n+3)$, где $n>10$, разрезан 
на несколько квадратов (все разрезы идут по линиям сетки).
Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться
в таком разбиении? (Ответ может зависеть от~$n$.)
\suk


\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2014 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc I тур. \ 11 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Двоечнику Косте накануне ЕГЭ приснилось правило:
$$\lg\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\lg a}{\lg b}.$$
При каких $a>1$ это правило не работает ни при каком
положительном~$b$?
\kk

\q2. Саша отметил несколько клеток таблицы $8\times 13$ так,
что в любом квадратике $2\times 2$ оказалось нечетное число отмеченных клеток. %из них;
Затем он отметил еще несколько клеток, в результате чего в каждом 
квадрате $2\times 2$ стало четное число отмеченных клеток.
Какое наименьшее суммарное число клеток могло быть отмечено
Сашей?
\be

\q3. Дан квадратный трехчлен $f(x)$, старший коэффициент
которого равен $-1$. Известно, что существует такая пара
различных чисел $u$ и~$v$, что $f(u)=-v^2$ и $f(v)=-u^2$.
Докажите, что существует бесконечно много пар чисел с таким
свойством.
\signed(А.~Храбров, Д.~Ростовский, C.~Берлов)

\q4.  Все грани тетраэдра $ABCD$~--- остроугольные
треугольники. Точка $I$~--- центр его вписанной сферы, а
точка $O$~--- центр описанной сферы. Известно, что $I$ лежит
в плоскости $ABO$. Кроме того, известно, что $\angle ABC=50^\circ$ и
$\angle BAC=60^\circ$. Найдите угол $ADB$.
\be

\q5. Докажите, что для всех натуральных $m$ и $n$ выполнено
неравенство 
$$
\bigl[n\sqrt 2\,\bigr]\cdot \bigl[m\sqrt 7\,\bigr]<\bigl[mn \sqrt{14}\,\bigr].
$$
Квадратные скобки обозначают целую часть числа.
\guas

\end{document}