\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{latexsym,amssymb,amsthm}
\usepackage{amsmath}
%%\usepackage{wrapfig}
\RequirePackage[dvips]{graphicx}
%%\usepackage{array}

\usepackage{epsf,epic,eepic}
% \input ris.tex
% \input cells.sty
% \addrisoption{\risleftfalse}

\DeclareRobustCommand{\No}{\ifmmode{\nfss@text{\textnumero}}\else\textnumero\fi}

\oddsidemargin=0pt
\textwidth=159mm
\headheight=0pt
\headsep=0pt
\topmargin=0pt
\textheight=240mm

%%
%% Три точки для обозначения делимости
%%
\catcode`\@=11
\def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.5ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
% Это прямые три точки для обозначения делимости
\def\nekratno{\mathrel{\mathpalette\c@ncel\kratno}}
\def\c@ncel#1#2{\m@th\ooalign{$\hfil#1\mkern1mu/\hfil$\crcr$#1#2$}}
% Это перечеркнутые три точки для обозначения неделимости
\def\divis{\smash{\lower.1ex\hbox{\,\hbox{.}\kern-.22em\lower-.6ex\hbox{.}
\kern-.52em\lower-1.2ex\hbox{.}\,}} }
% А это наклонные...

\hyphenation{чис-ло чис-ла чис-лу чис-лом чис-ле чис-лам чис-ла-ми чис-лах
че-ты-рех-уголь-ник че-ты-рех-уголь-ни-ка пря-мо-уголь-ник тре-уголь-ни-ка
тре-уголь-ни-ков вне-впи-сан-ной вне-впи-сан-ных}

\def\signed(#1){{\unskip\nobreak\hfil\penalty50\hskip1em\hbox{}\nobreak\hfil
                 \rm(\small\it#1\/\rm)\parfillskip=0pt\finalhyphendemerits=0\par}}
        % macro for authorship's signature, from TeXbook
\def\be{\signed(С.~Берлов)}
\def\fp{\signed(Ф.~Петров)}
\def\frank{\signed(В.~Франк)}
\def\bah{\signed(Ф.~Бахарев)}
\def\guas{\signed(А.~Голованов)}
\def\as{\signed(А.~Смирнов)}
\def\dvk{\signed(Д.~Карпов)}
\def\is{\signed(Р.~Исмаилов)}
\def\kk{\signed(К.~Кохась)}
\def\kuz{\signed(А.~Кузнецов)}
\def\hr{\signed(А.~Храбров)}
\def\io{\signed(О.~Иванова)}
\def\sop{\signed(Е.~Сопкина)}
\def\sviv{\signed(С.~Иванов)}
\def\r7{\signed(Р.~Семизаров)}
\def\suk{\signed(К.~Сухов)}
\def\dr{\signed(Д.~Ростовский)}
\def\pas{\signed(А.~Пастор)}
\def\yul{\signed(Ю.~Лифшиц)}
\def\azh{\signed(А.~Железняк)}
\def\dm{\signed(Д.~Максимов)}
\def\asol{\signed(А.~Солынин)}
\def\chuh{\signed(А.~Чухнов)}
\def\zh{\signed(Жюри)}

\sloppy
\pagestyle{empty}

\def\q#1.{{\bf #1. }}
\def\dotline{\smallskip\hbox to \hsize{\dotfill}\medskip}

\begin{document}

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2017 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 9 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Сашин компьютер умеет делать две операции. Если в~него
загрузить карточку с числом $a$, то он вернет ее назад и~напечатает еще
карточку с числом $a+1$. Если же в него последовательно загрузить карточки
с числами $a$ и~$b$, то он вернет их назад и напечатает карточки со всеми
корнями квадратного трехчлена $x^2+ax+b$ (одну, две, или ни одной).
Изначально у~Саши была лишь карточка с~числом~$s$. Верно ли, что при любом
$s>0$ Саша сможет в какой-то момент получить карточку с~числом $\sqrt{s}$?
\hr

\q2. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ нашлась такая точка
$X$, что $2BX=BA+BC$. Точка $Y$ симметрична центру~$I$
вписанной окружности треугольника $ABC$ относительно точки~$X$. 
Докажите, что $YI_B$  перпендикулярно $AB$, где
$I_B$~--- центр вневписанной со стороны $AC$ окружности
треугольника $ABC$. 
\bah

\q3. Петя, Вася и Толя играют на доске $100\times 100$ в следующую игру. Они по
очереди (начинает Петя, потом Вася, потом Толя, затем Петя и~т.\,д.)
закрашивают граничные клетки доски (т.\,е.~имеющие общую сторону с границей
доски). Запрещается закрашивать клетку, соседнюю по стороне с~уже
закрашенной. Кроме того, нельзя закрашивать клетку, симметричную уже
закрашенной относительно центра доски.  Проигрывает тот, кто
не может сделать ход. Могут ли Вася и Толя, договорившись,
играть так, чтобы Петя проиграл? 
\be

\q4. В клетках таблицы $3\times n$ записаны натуральные числа. В~каждой из
трёх строчек встречается по одному разу числа 1, 2, \dots, $n$.
Для каждого столбца сумма попарных произведений
стоящих в~нём трех чисел кратна $n$. При каких $n$ это возможно?
\signed(Н.~Филонов)

\dotline

\centerline{Олимпиада 2017 года. II тур. 9 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. В неравнобедренном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен
$130^\circ$. Точка $H$~--- основание высоты из вершины $B$.
На сторонах $AB$ и~$BC$ нашлись точки $D$ и $E$
соответственно, такие что 
$DH=EH$ и~четырехугольник
$ADEC$~---  вписанный. Найдите угол $DHE$.
\signed(Д.~Ширяев, C.~Берлов)

\q6. Числа $a$, $b$ и $c$ лежат в промежутке $[0,1)$ и удовлетворяют
соотношению  $a^2+b^2+c^2=1$.
Какое наименьшее значение может принимать величина
$$
\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1-b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1-c^2}} ?
$$
\hr

\q7. Назовем {\it клетчатым квадрантом} четверть плоскости, расположенную
выше оси $X$ и правее оси $Y$, разбитую на клеточки со стороной~1. В~клетчатом
квадранте закрашены $n^2$ клеток. Докажите, что в~этом квадранте найдется
не менее $n^2+n$ клеток (в~том числе, закрашенных), соседних по стороне
с хотя бы одной закрашенной.
\signed(С.~Берлов, Д.~Ширяев)

\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2017 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 10 класс.}
\medskip
\hrule
\medskip

\q1. У квадратного трехчлена разрешается заменить любой из трех
его коэффициентов на его дискриминант. Верно ли, что из
любого квадратного трехчлена, не имеющего корней, можно за
несколько таких операций получить квадратный трехчлен, имеющий
корень?
\kuz

\q2. Последовательность $(a_n)$ удовлетворяет соотношениям $a_1>10$ и 
$$
a_n=a_{n-1}+\text{НОД}(n,a_{n-1}) \quad\text{при $n>1$}. 
$$
Известно, что в этой последовательности есть член, 
в два раза больший своего номера. Докажите, что таких членов бесконечно много. 
\hr

\q3. В остроугольном треугольнике $ABC$ провели медиану $AM$,
высоту $AH$ и биссектрису $AL$. Оказалось, что точки $B$, $H$, $L$,
$M$, $C$ лежат на прямой $BC$
именно в таком порядке, причем $LH<LM$. Докажите, что $BC>2AL$.
\kuz

\q4. На доске написаны числа от 1 до $2000^2$. Вася выбрал из
них 2000 чисел, сумма которых в 2000 раз меньше суммы всех
чисел на доске, и покрасил их в красный цвет. Докажите, что
его друг Петя сможет покрасить остальные числа в другие 1999
цветов (в каждый цвет по 2000 чисел) так, чтобы суммы чисел
каждого цвета были одинаковы.
\guas

\dotline

\centerline{Олимпиада 2017 года. II тур. 10 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. Даны положительные числа $x$, $y$, $z$, удовлетворяющие соотношению $\sqrt{xyz}=xy+xz+yz$. 
Докажите, что $x+y+z\leq 1/3$. 
\hr

\q6. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $BM$. 
На описанной окружности треугольника $BHM$ отмечена такая точка $D$, что $AD\parallel BM$
и точки $B$ и~$D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AC$. Докажите, что $BC=BD$. 
\kuz

\q7. В стране некоторые пары городов соединены дорогами с односторонним движением, причем из любого города можно проехать в любой другой. Из каждого города выходит хотя бы две дороги и в каждый город входит хотя бы две дороги. Докажите, что  можно найти циклический маршрут и удалить все его дороги так, что  по-прежнему  из любого города можно будет  проехать в любой другой.
\dvk

\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2017 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 11 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Ученики школы посещают $m$ кружков. В каждый кружок
ходит ровно $mk$ детей. Докажите, что можно рассадить всех
учеников школы по $k$ кабинетам так, чтобы в каждом кабинете
был хотя бы один представитель каждого кружка 
($m$~и~$k$~--- натуральные числа). 
\signed(Д.~Черкашин)

\q2. Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$
треугольника $ABC$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках
$P$ и~$Q$ соответственно. Медиана из вершины $C$ делит дугу
$PQ$ этой окружности пополам. Докажите, что треугольник
$ABC$ равнобедренный. 
\dm

\q3. Числа $x$, $y$, $z$, $t\in (0, \pi/2]$ удовлетворяют условию
$$
\cos^2 x + \cos^2 y + \cos^2 z +  \cos^2 t= 1\,.
$$
Какое наименьшее значение может принимать величина
$$
\ctg x+ \ctg y+\ctg z+\ctg t ?
$$

\kern-17pt
\hr

\q4. Натуральное число $n$ назовём {\it почти квадратом},
если $n$ можно представить в~виде $n=ab$, где $a$ и $b$~---
натуральные числа, причем  $a\leq b\leq 1,01a$.
Докажите, что для бесконечно многих натуральных $m$ среди
чисел $m$, $m+1$, $m+2$, \dots, $m+198$ нет почти квадратов.
\guas

\dotline

\centerline{Олимпиада 2017 года. II тур. 11 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. В тетраэдре $PABC$ проведена высота $PH$. Из точки $H$
на прямые $PA$, $PB$ и $PC$ опущены перпендикуляры 
%$PA'$, $PB'$ и $PC'$. 
$HA'$, $HB'$ и $HC'$. 
Плоскости $ABC$ и $A'B'C'$ пересекаются по
прямой $\ell$. Точка $O$ --- центр окружности, описанной около
треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $OH$ и $\ell$
перпендикулярны.
\kuz

\q6. В стране некоторые математики знакомы между собой и
при любом разбиении математиков на две непустые группы найдутся двое знакомых из разных групп.
%(граф знакомств математиков связен).
Известно, что если посадить за круглый стол любой набор из
4 или более математиков так, чтобы любые два соседа были знакомы, то
за столом найдутся двое знакомых, не сидящих рядом.
Обозначим через $c_i$ количество наборов из $i$ попарно знакомых
математиков. Докажите, что $c_1-c_2+c_3-c_4+\ldots=1$.
\fp

\q7. На плоскости дан выпуклый многоугольник с вершинами в
целых точках, содержащий внутри начало координат $O$. Пусть
$V_1$~--- множество векторов, идущих из $O$ в вершины
многоугольника, а $V_2$~--- множество векторов, идущих из
$O$ во все целые точки, содержащиеся внутри и на границе
многоугольника (таким образом, $V_1$ содержится в $V_2$).
Два кузнечика прыгают по целым точкам: каждый прыжок первого
кузнечика смещает его на вектор из множества~$V_1$, 
а~второго~--- из $V_2$. Докажите, что для некоторого числа $c$
верно следующее утверждение: если оба кузнечика могут допрыгать из $O$
до некоторой точки $A$, причем второму понадобится для этого
$n$ прыжков, то первый сможет сделать это не более чем за
$n+c$ прыжков.   %\q92 
\signed(А.~Акопян)

\end{document}