\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{latexsym,amssymb,amsthm}
\usepackage{amsmath}
%%\usepackage{wrapfig}
%%\RequirePackage[dvips]{graphicx}
%%\usepackage{array}

\usepackage{epsf,epic,eepic}
\input ris.tex
\input cells.sty
\addrisoption{\risleftfalse}

\DeclareRobustCommand{\No}{\ifmmode{\nfss@text{\textnumero}}\else\textnumero\fi}

\oddsidemargin=0pt
\textwidth=159mm
\headheight=0pt
\headsep=0pt
\topmargin=0pt
\textheight=240mm

%%
%% Три точки для обозначения делимости
%%
\catcode`\@=11
\def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.5ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
% Это прямые три точки для обозначения делимости
\def\nekratno{\mathrel{\mathpalette\c@ncel\kratno}}
\def\c@ncel#1#2{\m@th\ooalign{$\hfil#1\mkern1mu/\hfil$\crcr$#1#2$}}
% Это перечеркнутые три точки для обозначения неделимости
\def\divis{\smash{\lower.1ex\hbox{\,\hbox{.}\kern-.22em\lower-.6ex\hbox{.}
\kern-.52em\lower-1.2ex\hbox{.}\,}} }
% А это наклонные...

\hyphenation{чис-ло чис-ла чис-лу чис-лом чис-ле чис-лам чис-ла-ми чис-лах
че-ты-рех-уголь-ник че-ты-рех-уголь-ни-ка пря-мо-уголь-ник тре-уголь-ни-ка
тре-уголь-ни-ков вне-впи-сан-ной вне-впи-сан-ных}

\def\signed(#1){{\unskip\nobreak\hfil\penalty50\hskip1em\hbox{}\nobreak\hfil
                 \rm(\small\it#1\/\rm)\parfillskip=0pt\finalhyphendemerits=0\par}}
        % macro for authorship's signature, from TeXbook
\def\be{\signed(С.~Берлов)}
\def\fp{\signed(Ф.~Петров)}
\def\frank{\signed(В.~Франк)}
\def\bah{\signed(Ф.~Бахарев)}
\def\guas{\signed(А.~Голованов)}
\def\as{\signed(А.~Смирнов)}
\def\dvk{\signed(Д.~Карпов)}
\def\is{\signed(Р.~Исмаилов)}
\def\kk{\signed(К.~Кохась)}
\def\kuz{\signed(А.~Кузнецов)}
\def\hr{\signed(А.~Храбров)}
\def\io{\signed(О.~Иванова)}
\def\sop{\signed(Е.~Сопкина)}
\def\sviv{\signed(С.~Иванов)}
\def\r7{\signed(Р.~Семизаров)}
\def\suk{\signed(К.~Сухов)}
\def\dr{\signed(Д.~Ростовский)}
\def\pas{\signed(А.~Пастор)}
\def\yul{\signed(Ю.~Лифшиц)}
\def\azh{\signed(А.~Железняк)}
\def\dm{\signed(Д.~Максимов)}
\def\asol{\signed(А.~Солынин)}
\def\chuh{\signed(А.~Чухнов)}
\def\zh{\signed(Жюри)}

\sloppy
\pagestyle{empty}

\def\q#1.{{\bf #1. }}
\def\dotline{\smallskip\hbox to \hsize{\dotfill}\medskip}

\begin{document}

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2018 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 6 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. В тетрадь записали все натуральные делители натурального числа $a$, а~затем --- все натуральные делители натурального числа $b$. В результате в~тетради оказалось записано четное количество чисел. Катя разбила все эти числа на пары и посчитала произведение чисел в каждой паре. (Например, при $a=2, b=6$ в тетради окажется 6 чисел --- $1, 2, 1, 2, 3, 6$; они будут разбиты на 3 пары.)  Все Катины произведения оказались равными. Докажите, что $a=b$.
\be

\q2. В какое наименьшее количество цветов можно покрасить клетки квадрата $5\times 5$ так, чтобы среди любых трех клеток, идущих подряд по вертикали, горизонтали или диагонали, не было одноцветных?
\signed(М. Антипов)

\q3. За круглым столом сидят 300 человек: некоторые из них рыцари, а~ос\-таль\-ные --- лжецы.  Антон 
спросил у~каждого из них: <<Сколько лжецов среди твоих соседей?>> 
и~сложил полученные числа. Затем Аня сделала то же самое. 
Отвечая на вопрос, рыцари всегда говорят правду, а~лжецы всегда лгут, но называют лишь числа 0, 1 или 2.
Оказалось, что сумма чисел у~Антона оказалась на 400 больше, чем у Ани. 
Сколько за столом лжецов? 
Найдите все возможные варианты ответа и~докажите, что других нет.
\chuh

\q4. На доске написано число 2018. За один ход Саша может приписать справа к числу на доске одну цифру, а Андрей --- две. Если после хода Андрея число на доске станет делиться на 112, он побеждает. Если этого не произойдет, и на доске окажется выписано 2018-значное число, выигрывает Саша. Кто из игроков может обеспечить себе победу вне  зависимости от действий соперника?
\kuz

\dotline

\centerline{Олимпиада 2018 года. II тур. 6 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. В турнире по крестикам-ноликам каждые два участника сыграли между собой по две партии (ничьих не бывает, играющий крестиками перед каждой партией определяется жребием). За победу начислялось одно очко. В~результате все участники набрали разное количество очков. Потом организаторы посчитали такую схему несправедливой и добавили по одному очку за каждую победу ноликами. Могли ли после этого все участники набрать поровну очков? 
\asol

\q6. На прямой дороге, идущей с севера на юг, стоит воз, которым управляет Лебедь.
Ровно в полночь Рак и Щука выбрали натуральные числа $m>n$. Каждые $n$ минут (т.\,е.\ через $n$, $2n$, 
$3n\dots$  минут после полуночи) Щука командует <<На юг!>>, а
каждые $m$ минут (через $m$, $2m$, $3m\dots$  минут после
полуночи) Рак командует <<На север!>>. Услышав любую
команду, Лебедь немедленно начинает (или продолжает) тащить воз в~указанную
сторону со скоростью 1~м$/$мин. До первой команды воз был
неподвижен. Через $mn$ минут после полуночи Рак и Щука впервые дали Лебедю
одновременно две разные команды, 
и уставший Лебедь остановил воз. 
На каком расстоянии от исходного места он оказался в~этот момент?
\signed(К.~Тыщук) 

\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2018 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 7 класс.}
\medskip
\hrule
\medskip

\q1. В клетках квадрата $9\times 9$ стоят неотрицательные числа. Сумма чисел в 
любых двух соседних строках не меньше 20, а сумма чисел в~любых двух соседних столбцах 
не превосходит 16. Чему может быть равна сумма чисел во всей таблице?
\chuh

\q2. Многие жители города занимаются танцами, многие --- математикой,
а хотя бы один --- и тем, и другим.
Тех, кто занимается только танцами, ровно в $p+1$ раз больше 
чем тех, кто занимается только математикой, где $p$ --- некоторое простое число. 
Если  возвести в квадрат количество всех математиков, 
получится количество всех танцоров. Сколько 
жителей увлекается и математикой, и танцами одновременно? 
\signed(Д.~Ширяев)

\q3. Вася написал 100-значное число. Потом всеми возможными способами
выбрал пару цифр, сложил цифры в каждой паре и получившиеся 4950
чисел перемножил. Мог ли Вася в результате получить исходное число?
\be

\q4. Вася расставил во всех клетках доски $99\times 99$ 
числа от 1 до $99^2$ по одному разу. 
Петя выбирает клетку доски, ставит на нее шахматного короля
и хочет сделать как можно больше ходов королем так, 
чтобы число под ним постоянно увеличивалось. Какое 
наибольшее число ходов Петя заведомо сможет сделать, как бы Вася ни 
расставлял числа? 
\be

\dotline

\centerline{Олимпиада 2018 года. II тур. 7 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. На доске написано число 2018. За один ход Саша  приписывает справа к числу на доске одну цифру, 
а Андрей --- две. Игроки ходят по-очереди, начинает Саша.
Если после хода Андрея число на доске будет делиться на 111, он побеждает. 
Если этого не произойдет, и на доске окажется выписано 2018-значное число, 
выигрывает Саша. 
Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? 
\kuz

\q6. В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^\circ$, $\angle B>30^\circ$. 
Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, причем 
$AD<AE$. Точка $F$ симметрична точке $D$ относительно прямой $BC$. 
Докажите, что $AF>BE$.  
\signed(Д.~Ширяев)

\q7. В стране некоторые города соединены прямыми автобусными
рейсами. Жители этой страны считают некоторое нечетное
натуральное число $n$ несчастливым, поэтому не существует
циклического маршрута, состоящего ровно из $n$ рейсов (и не
заходящего ни в один город дважды). Тем не менее, из любого
города до любого другого существует путь, содержащий ровно
100 рейсов (и не проходящий ни через один город дважды). При
каких нечетных $n$ это возможно? 
\signed(А.~Солынин, А.~Чухнов)

\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2018 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 8 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. По кругу сидят 300 человек: некоторые из них рыцари, а
остальные~--- лжецы.  Антон
спросил у каждого из них: <<Сколько лжецов среди твоих
соседей?>> и  сложил
полученные числа. Затем Аня сделала то же самое. Отвечая
на вопрос, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут, но
называют лишь числа 0, 1 или 2. Могла ли сумма чисел у~Антона оказаться на
410 больше, чем у  Ани?
\chuh

\q2. Внутри угла $ABC$, равного $105^\circ$, отмечена точка $X$
такая, что
$\angle CBX=70^\circ$ и $BX=BC$. На отрезке $BX$ выбрана
точка $Y$ так, что $BY=BA$. Докажите, что $AX+AY\geq CY$.
\kuz

\q3. Вася расставил во всех клетках доски $101\times 101$ числа
от 1 до
$101^2$ по одному разу. Петя выбирает клетку доски, ставит на
нее фишку
и~хочет сделать как можно больше ходов так, чтобы число под
фишкой постоянно увеличивалось.
За один ход Петя может передвинуть фишку в любую клетку квадрата
$5\times5$ с центром в клетке,
где сейчас стоит фишка (фишка должна при этом остаться в пределах доски).
Какое наибольшее число ходов Петя заведомо сможет сделать, как
бы Вася ни расставлял числа?
\be

\q4. На доске написано натуральное число. Каждую минуту к числу
на доске прибавляется сумма его первых 100 цифр. 
Докажите, что через некоторое время три раза подряд получится число, не делящееся на 3.
\be

\dotline

\centerline{Олимпиада 2018 года. II тур. 8 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ точка $M$~--- середина
стороны
$AD$, $CM\|AB$, $AD=BD$ и $3\angle BAC=\angle ACD$. Найдите угол
$ACB$.
\be

\q6. Сумма положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 1.
Докажите, что
$$
\frac{a^2+b^2+c^2+d}{(a+b+c)^3}+\frac{b^2+c^2+d^2+a}
{(b+c+d)^3}+\frac{c^2+d^2+a^2+b}{(c+d+a)^3}+\frac{d^2+a^2+b^2+c}
{(d+a+b)^3} >4.
$$
\suk

\q7. В стране 600 городов, некоторые пары городов соединены
дорогами, причем из любого города можно добраться по дорогам в любой другой.
Для любых двух соединенных дорогой городов $A$ и $B$  найдутся
еще два таких города $C$ и $D$, что любые два из этих четырёх
городов соединены дорогой. Докажите, что можно закрыть на ремонт
несколько дорог так, чтобы 
количество городов, из  которых выходит ровно две дороги, стало меньше 100,
и при этом между любыми двумя городами остался 
единственный путь, не проходящий два раза по одной и той же дороге.
\dvk

\end{document}