\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{latexsym,amssymb,amsthm}
\usepackage{amsmath}
%%\usepackage{wrapfig}
% \RequirePackage[dvips]{graphicx}
%%\usepackage{array}

\usepackage{epsf,epic,eepic}
% \input ris.tex
% \input cells.sty
% \addrisoption{\risleftfalse}

\DeclareRobustCommand{\No}{\ifmmode{\nfss@text{\textnumero}}\else\textnumero\fi}

\oddsidemargin=0pt
\textwidth=159mm
\headheight=0pt
\headsep=0pt
\topmargin=0pt
\textheight=240mm

%%
%% Три точки для обозначения делимости
%%
\catcode`\@=11
\def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.5ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
% Это прямые три точки для обозначения делимости
\def\nekratno{\mathrel{\mathpalette\c@ncel\kratno}}
\def\c@ncel#1#2{\m@th\ooalign{$\hfil#1\mkern1mu/\hfil$\crcr$#1#2$}}
% Это перечеркнутые три точки для обозначения неделимости
\def\divis{\smash{\lower.1ex\hbox{\,\hbox{.}\kern-.22em\lower-.6ex\hbox{.}
\kern-.52em\lower-1.2ex\hbox{.}\,}} }
% А это наклонные...

\hyphenation{чис-ло чис-ла чис-лу чис-лом чис-ле чис-лам чис-ла-ми чис-лах
че-ты-рех-уголь-ник че-ты-рех-уголь-ни-ка пря-мо-уголь-ник тре-уголь-ни-ка
тре-уголь-ни-ков вне-впи-сан-ной вне-впи-сан-ных}

\def\signed(#1){{\unskip\nobreak\hfil\penalty50\hskip1em\hbox{}\nobreak\hfil
                 \rm(\small\it#1\/\rm)\parfillskip=0pt\finalhyphendemerits=0\par}}
        % macro for authorship's signature, from TeXbook
\def\be{\signed(С.~Берлов)}
\def\fp{\signed(Ф.~Петров)}
\def\frank{\signed(В.~Франк)}
\def\bah{\signed(Ф.~Бахарев)}
\def\guas{\signed(А.~Голованов)}
\def\as{\signed(А.~Смирнов)}
\def\dvk{\signed(Д.~Карпов)}
\def\is{\signed(Р.~Исмаилов)}
\def\kk{\signed(К.~Кохась)}
\def\kuz{\signed(А.~Кузнецов)}
\def\hr{\signed(А.~Храбров)}
\def\io{\signed(О.~Иванова)}
\def\sop{\signed(Е.~Сопкина)}
\def\sviv{\signed(С.~Иванов)}
\def\r7{\signed(Р.~Семизаров)}
\def\suk{\signed(К.~Сухов)}
\def\dr{\signed(Д.~Ростовский)}
\def\pas{\signed(А.~Пастор)}
\def\yul{\signed(Ю.~Лифшиц)}
\def\azh{\signed(А.~Железняк)}
\def\dm{\signed(Д.~Максимов)}
\def\asol{\signed(А.~Солынин)}
\def\chuh{\signed(А.~Чухнов)}
\def\zh{\signed(Жюри)}

\sloppy
\pagestyle{empty}

\def\q#1.{{\bf #1. }}
\def\dotline{\smallskip\hbox to \hsize{\dotfill}\medskip}

\begin{document}

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2019 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 9 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Натуральное число называется \emph{палиндромом}, если оно одинаково читается
слева направо и справа налево (в частности, последняя цифра палиндрома 
совпадает с первой и потому не равна нулю). Квадраты двух различных  
натуральных чисел имеют по 1001 цифре. Докажите, что строго между этими квадратами на 
числовой прямой найдется палиндром. 
\signed(М.~Иванов)

\q2. В городе построено 2019 станций метро. Некоторые
пары станций соединены тоннелями, причем от любой станции по
тоннелям можно добраться до любой другой. Мэр распорядился
организовать несколько линий метро: каждая линия должна включать в
себя несколько различных станций, последовательно
соединенных тоннелями (по одному и тому же тоннелю может
проходить несколько линий). При этом каждая станция должна
лежать хотя бы на одной линии. Для экономии средств следует
сделать не более $k$ линий. 

Оказалось, что приказ мэра неосуществим. При каком наибольшем $k$ это 
могло произойти? 
\be

\q3. Докажите, что расстояние между серединой стороны $BC$ треугольника 
$ABC$ и серединой дуги $ABC$ его описанной окружности не меньше, чем
$AB/2$. 
\kuz

\q4. Оля написала на карточках дроби вида $1/n$, где $n$~--- все возможные 
делители числа $6^{100}$ (включая единицу и само это число). Эти карточки 
она  разложила в некотором порядке. После этого она записала на доску 
число на первой карточке, затем сумму чисел на первой и второй карточках, 
потом  сумму чисел на первых трех карточках и т.\,д., наконец, сумму чисел 
на всех карточках. Каждую сумму Оля записывала на доску в
виде несократимой дроби. Какое наименьшее количество различных
знаменателей могло оказаться у~чисел на доске?

\dotline

\centerline{Олимпиада 2019 года. II тур. 9 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. Назовём {\it улучшением} положительного числа его замену на степень
двойки (т.\,е.\ на одно из чисел 1, 2, 4, 8, \dots), при которой оно 
увеличивается, но не более чем в 3 раза.  Дано $2^{100}$ положительных 
чисел с суммой $2^{100}$. Докажите, что можно стереть часть из них, а 
каждое из остальных чисел улучшить так, чтобы сумма полученных чисел 
снова равнялась $2^{100}$.  
\hr

\q6. Биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$
пересекаются в точке $I$. На продолжениях отрезков $BB_1$ и
$CC_1$ отмечены точки $B'$ и $C'$ соответственно так, что
четырехугольник $AB'IC'$~--- параллелограмм. Докажите, что
если $\angle BAC=60^\circ$, то прямая $B'C'$ проходит через
точку пересечения описанных окружностей треугольников
$BC_1B'$ и $CB_1C'$. 
\kuz

\q7. По кругу расположены 2019 тарелочек, на каждой лежит по одному 
пирожному. Петя и Вася играют в игру. За один ход Петя указывает на 
пирожное и называет число от 1 до 16, а Вася перемещает указанное пирожное 
на указанное число тарелочек по или против часовой стрелки (направление 
каждый раз выбирает Вася). Петя хочет, чтобы когда-нибудь на одной из 
тарелочек скопилось не меньше $k$ пирожных, а Вася хочет ему помешать. При 
каком наибольшем $k$ Петя сможет добиться успеха? 
\frank

\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2019 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 10 класс.}
\medskip
\hrule
\medskip

\q1. Для непостоянной арифметической прогрессии $(a_n)$ существует такое
натуральное  $n$, что 
$$
a_n+a_{n+1}=a_1+\ldots+a_{3n-1}.
$$ 
Докажите, что в этой прогрессии нет нулевых членов. 
\sviv

\q2. Каждые два из $n$ городов Руритании соединены прямым авиарейсом одной
из двух авиакомпаний. Промонопольный комитет хочет, чтобы не менее $k$
рейсов выполнялись одной компанией. Для этого он может хоть каждый
день выбирать любые три города и~изменять принадлежность трёх рейсов,
связывающих эти города друг с другом (то~есть отбирать каждый из этих
рейсов у компании, которая его выполняет, и~передавать другой). При
каком наибольшем $k$ комитет заведомо сможет за какое-то время достичь
своей цели, как бы ни распределялись рейсы сейчас?
\be

\q3. Даны натуральные числа $a$, $b$ и $c\geq b$. Докажите, что 
$$
a^b(a+b)^c>c^ba^c.
$$ 
\hr

\q4. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Медианы треугольника $ABC$
пересекаются в точке $M$, а медианы треугольника $ACD$~--- в~точке~$N$.
Окружность, описанная около треугольника $ACM$, пересекает отрезок $BD$ в
точке $K$, лежащей внутри треугольника $AMB$. Известно, что
$\angle MAN = \angle ANC = 90^\circ$. Докажите, что $\angle AKD = \angle
MKC$.
\signed(А.~Кузнецов, Р.~Кузнецов)

\dotline

\centerline{Олимпиада 2019 года. II тур. 10 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. В классе 25 учеников. Учитель хочет запасти $N$ конфет, провести олимпиаду
и раздать за успехи в ней все $N$ конфет (решившие поровну задач должны получить
поровну, решившие меньше~--- меньше, в том числе, возможно, и ноль
конфет). При каком наименьшем $N$ это будет возможно независимо 
от количества задач на олимпиаде и успехов учеников?
\signed(М.~Антипов )

\q6. Можно ли расставить во всех клетках бесконечной клетчатой плоскости 
все натуральные числа (по одному разу) так, чтобы для каждого $n$ 
в каждом квадрате $n\times n$ сумма чисел была кратна $n$?
\guas

\q7. В квадрате $10^{2019}\times 10^{2019}$ отмечено $10^{4038}$ точек.
Докажите, что найдется такой прямоугольник со сторонами, параллельными 
сторонам квадрата, площадь которого отличается от количества расположенных 
в нем точек хотя бы на~6. 
\hr

\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2019 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 11 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Дан многочлен $f (x)$ степени 2000. У многочлена $f(x^2 - 1)$ 
ровно 3400 корней, а у многочлена $f (1 - x^2 )$ ровно 2700 корней. 
Докажите, что расстояние между какими-то двумя корнями $f (x)$ меньше 
0,002.
\asol

\q2. На доске написано 100 различных натуральных чисел. К каждому из
этих чисел прибавили НОД всех
остальных. Могло ли среди 100~чисел, полученных в результате этих действий,
оказаться три одинаковых?
\be

\q3. В начале игры у Малыша и Карлсона есть один кусок шоколадки в виде
квадрата $2019\times 2019$ клеточек.
Каждым ходом Малыш делит какой-нибудь кусок по клеточкам на три
прямоугольных куска, а~Карлсон съедает один
из этих трех кусков по своему выбору. Игра заканчивается, когда сделать
очередной ход невозможно. Если всего было
сделано четное число ходов --- побеждает Малыш, если нечетное ---
Карлсон. Кто выигрывает при правильной игре?
\signed(Д.~Ширяев)

\q4. Неравнобедренный треугольник $ABC$ периметра 12 вписан в ок\-ружность
$\omega$. Точки $P$ и $Q$ --- середины %её
дуг $ABC$ и $ACB$ соответственно.
Касательная, проведенная к окружности~$\omega$ в точке $A$,
пересекает луч $PQ$ в точке $R$.
Оказалось, что середина отрезка $AR$
лежит на прямой $BC$. Найдите длину отрезка $BC$.
\kuz

\dotline

\centerline{Олимпиада 2019 года. II тур. 11 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. У барона Мюнхгаузена есть набор гирь 1000 различных целых
весов, по $2^{1000}$ гирь каждого веса.
Барон утверждает, что если взять по одной гире каждого веса, то общий
вес этих 1000 гирь будет меньше $2^{1010}$, причём
этот вес невозможно набрать гирями из этого набора другим способом. 
Могут ли слова
барона оказаться правдой?
\signed(М.~Антипов)

\q6. Пусть между городами $A$, $B$, $C$ и $D$ есть дороги $AB$ и $CD$,
но нет
дорог $BC$ и $AD$. Назовем {\em перестройкой} замену пары дорог $AB$ и
$CD$ на пару дорог $BC$ и $AD$. Изначально в стране было несколько городов,
некоторые пары городов были соединены дорогами, причем из каждого города 
выходило
по 100 дорог. %Новый министр 
Министр нарисовал новую схему дорог, в~которой из
каждого города по-прежнему выходит 100 дорог. Известно, что как в 
старой, так и в новой схемах никакие два города не соединены более, чем 
одной дорогой. Докажите, что новую схему
можно получить из старой с помощью нескольких перестроек.
\signed(Т.~Зубов)

\q7. Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$ с центром $O$. 
Прямая $AO$
вторично пересекает окружность $\omega$ в точке $A'$. $M_B$ и $M_C$ ---
середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Прямые $A'M_B$ и $A'M_C$
пересекают окружность $\omega$ вторично в точках $B'$ и $C'$, а также
пересекают сторону $BC$ в~точках $D_B$ и $D_C$ соответственно. Описанные
окружности треугольников $CD_BB'$ и $BD_CC'$ пересекаются в точках $P$ и
$Q$. Докажите, что точки $O$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой.
\signed(М.~Германсков)

\end{document}