Abstracts
S. P. Novikov
New Discretization of Complex Analysis (DCA)
New discretization of Complex Analysis based on the equilateral
triangle lattice, was developed few years ago in collaboration with
I.Dynnikov. It is based on the ideas borrowed from the Completely
Integrable Systems. Some of its properties are much better than the
standard discretization based on quadrilateral lattice developed since
1940s. New discretization of GL_n Connections for the simplicial
complexes is needed here and also was developed, but topological problems
(like characteristic classes) remain
unsolved. Important additional results in DCA were obtained by Grinevich
and R.Novikov quite recently.
S. V. Ivanov
Boundary rigidity and minimal fillings
I will discuss two inverse boundary problems of Riemannian geometry.
The boundary (distance) rigidity problem is about determining a Riemannian
metric in a region by the geodesic distances between the boundary points.
Such questions are studied since XIX century and were initially
motivated by inverse problems of geophysics. Nowadays many partial cases
are solved but the general case remains an open problem. The minimnal
filling problem is about minimizing the Riemannian volume of a region
with a given lower bound for distances between boundary points.
I will present some new results in the area, based on the idea that
the boundary rigidity can be reduced to finding minimal fillings
and the latter in its turn is reduced to analyzing minimal surfaces
in a specific Banach space.
С. В. Иванов
Граничная жесткость и минимальные заполнения
В докладе будет рассказано о двух обратных краевых задачах римановой реометрии.
Задача о (дистанционной) граничной жесткости состоит том, чтобы восстановить
риманову метрику в области евклидова пространства, если известны геодезические
расстояния между точками ее края. Вопросы такого типа изучаются с XIX века и
впервые возникли в связи с обратными задачами геофизики. В настоящее время
задача решена во многих частных случаях, но общих случай остается открытым вопросом.
Задача о минимальном заполнении - это задача о минимизации риманова объема области
при ограничении снизу на попарные расстояния между точками края.
Я расскажу о некоторых новых результатах, основанных на сведении граничной
жесткости к поиску минимальных заполнений, который, в свою очередь, сводится к
исследованию минимальных поверхностей в некотором банаховом пространстве.
N. V. Durov
Classifying vectoids and generalizations of operads
We start with a brief discussion of "vectoids", which are a common
generalization of topoi, ringed spaces and generalized rings. After
that we list several "classifying vectoid" or "moduli space"
construction problems for different algebraic structures, and present
a straightforward combinatorial construction of such classifying
vectoids for the simplest cases (such as the classification of
objects, algebras and coalgebras). Once a classifying vectoid is
constructed, one can study monoids with respect to the composition in
the category of its endomorphisms; such monoids turn out to be a
natural generalization of the notion of an operad. Each choice of a
classifying vectoid leads to its own kind of generalization, for
example, the classifying vectoid of objects leads to (classical)
operads, and that of coalgebras - to algebraic monads.
The case of classifying vectoid of algebras seems to be as natural as
these two other cases; however, corresponding generalization of
operads, which we call "algebrads", appears to be new. Therefore, an
elementary description of algebrads will be given.
Н. В. Дуров
Классифицирующие вектоиды и обобщения операд
Первая треть доклада посвящена изложению основ теории вектоидов,
представляющих собой совместное обобщение понятия топоса,
окольцованного топологического пространства и обобщенного кольца.
Далее будет обсуждаться задача построения "классифицирующего вектоида"
или "пространства модулей" для различных алгебраических структур, и
будет приведена простая комбинаторная конструкция таких вектоидов в
простейших случаях (классификатор объектов, алгебр и коалгебр).
Оказывается, что моноиды в категории эндоморфизмов классифицирующего
вектоида представляют собой естественное обобщение понятие операды,
зависящее от выбора классифицирующего вектоида. Например, классические
операды получаются из классификатора объектов, а алгебраические монады
- из классификатора коалгебр.
Случай классификатора алгебр представляется не менее естественным,
хотя соответствующее обобщение операды, по всей видимости, является
новым. Изложению его основных свойств и будет посвящена заключительная
часть доклада.
Jean-Pierre Kahane
Winding numbers and Fourier series
The starting point is a question of I. M. Gelfand to H. Brezis : how to
express the winding number of a continuous map from the circle into
itself by means of the Fourier coefficients ? A series of partial
answers (by several authors) and questions (mainly by Brezis) derived
from there, and the talk will begin by a short history of the matter,
and the role of a special summation process and a special class of
functions. The final part of the talk will be devoted to a theorem
suggested by a question of Brezis, transformed by J. Bourgain : denoting
the Fourier coefficients by a(n), and given s > 0, the convergence
of the series whose general term is absolute value of n^2s a(n)^2
for n > 0 implies the convergence for n < 0.
O. Ya. Viro
Relative Khovanov homology
Link homology theories was the most active direction in the knot theory
during the last decade. The first of the theories, Khovanov homology,
is the most elementary. In the talk a construction of Khovanov homology
is made in a more localized way and related to R-matrix. It allows to
generalize the Khovanov homology to link diagrams in a disk (tangles)
in such a way that the result categorifies matrix elements of the
Turaev representation.
О. Я. Виро
Относительные гомологии Хованова
Гомологии зацеплений являются наиболее активным направлением теории
узлов в течение последних десяти лет. Гомологии Хованова - первая и
наиболее элементарная из теорий гомологий зацеплений. В докладе будет
представлено их более локализованное построение, тесно связанное с
R-матрицей. Оно позволяет обобщить гомологии Хованова на диаграммы в
круге (tangles) так, что результат категорифицирует матричные элементы
представления Тураева.
|