Классическое определение коммуникационного протокола использует фиксированное разбиение входных переменных на 2 множества $X\cup Y = M$. Мы рассмотрим естественное обобщение, в котором протокол может недетерминированно выбирать между $k$ различными подпротоколами, каждый из которых использует разное разбиение $f_1(X_1, Y_1)$, ... $f_k(X_k, Y_k)$, определим multi-partition communication complexity, и изучим её связь с нижними оценками на сложность однопроходных ветвящихся программ.

Первая статья Колмогорова 1965 года указывала "три подхода к определению количества информации" - комбинаторный (логарифм мощности), вероятностный (шенноновская энтропия) и алгоритмический (длина кратчайшего описания). Эта возможность перевода с одного языка на другой многократно оказывалась полезной: скажем, теорема Харпера о множестве с минимальной окрестностью в булевом кубе была переформулирована (Бюрман, Верещагин, Фортноу и др.) как возможность увеличить колмогоровскую сложность изменением некоторой доли битов.

Задача (n,3)-MAX-SAT является частным случаем задачи MAX-SAT с дополнительным ограничением на входную формулу, что каждая переменная встречается в формуле не более трех раз. Мы рассмотрим различные параметризации этой задачи, улучшим известные ранее верхние оценки на время решения (n,3)-MAXSAT относительно числа переменных в формуле, а также относительно числа клозов, которые мы хотим выполнить.
Кроме того, мы покажем, что выполнить хотя бы на один клоз больше, чем при тривиальном означивании, где всем переменным присваивается истина, уже является NP-трудной задачей.

Dag-like коммуникационные протоколы — обобщение классических коммуникационных протоколов. С их помощью можно перенести нижние оценки на ширину резолюционного доказательства невыполнимой формулы на другие системы доказательств, а также на размер монотонных схем для некоторых связанных задач. Для этого используется техника lifting — вместо каждой переменной формулы подставляется некоторая функция от новых переменных, так называемый гаджет. Однако известные гаджеты, подходящие для этой техники, имеют большой размер. Вопрос, можно ли использовать гаджет константного размера, является открытым.

Система доказательств Res($lin_R$) определяется как расширение резолюционной системы доказательств Res, в ней выводимыми утверждениями являются дизъюнкции линейных уравнений над кольцом R. Одна из мотиваций для изучения таких систем заключается в том, что если R - это конечное поле $F_p$ или поле рациональных чисел, то Res(lin_R) является простейшим примером систем $AC_0[p]$-Frege или $TC_0$-Frege соответственно, доказательство суперполиномиальных нижних оценок на длины доказательств в которых - давно открытая проблема.

Мы рассмотрим задачу Orthogonal Vectors, в которой дано множество из n d-мерных булевых векторов и необходимо определить, есть ли среди этого множества два вектора ортогональных друг другу. Существует гипотеза (Orthogonal Vector Conjecture, OVC), что при d порядка log(n) любой алгоритм для данной задачи работает за время $n^{2-o(1)}$. В предположении данной гипотезы уже доказаны нижние оценки для многих других задач из класса P, например, для задач Edit Distance и Longest Common Subsequence.

k-means кластеризация -- это следующая задача: по данным n точкам в $R^d$ найти k центров кластеров так, чтобы минимизировать сумму расстояний от точек до ближайших к ним центрам кластеров. Задача получила широкую известность благодаря применениям в data mining, и в особенности эвристическому алгоритму Ллойда. Известно, что найти