Place: room 402, PDMI (Fontanka, 27).
Time: Thursday, 16:00—18:00.
Seminar Head: Yu. Burago.
Наборы непересекающихся диагоналей в n-угольнике, упорядоченные по обратному включению, составляют ЧУМ,
изоморфный решетке граней некоторого выпуклого многогранника (ассоциэдра). Это классический факт, доказанный впервые Милнором.
Мы обсудим эффекты, происходящие от замены в этом примере многоугольника на произвольную (возможно, незамкнутую) ориентируемую поверхность с отмеченными точками. Последние играют роль вершин многоугольника, причем не обязаны лежать на границе.
Мы упомянем тавтологические расслоения на пространстве модулей кривых с отмеченными точками, "железные дороги (train tracks)" У. Терстона, и некоторые новые объекты и приемы.
С.В.Матвеев ввел понятие виртуального трехмерного многообразия, определив
его как класс эквивалентности специальных двумерных полиэдров (по
отношению к так называемому "преобразованию Т"), и поставил вопрос об
инъективности естественного отображения из множества виртуальных
многообразий в множество компактных многообразий с RP2-особенностями и
непустым краем. Позавчера удалось показать, что указанное отображение
инъективным не является (множество виртуальных многообразий оказалось
значительно богаче, чем множество компактных многообразий с
RP2-особенностями и непустым краем). Более того, нам удалось получить
классификацию виртуальных многообразий, о которой и будет рассказано в
ходе доклада. Совместная работа с Е.Фоминых и А.Весниным.
Каждая монотонная мебиусова структура на окружности канонически
определяет причинно-следственное пространство со временем.
Временное неравенство является фундаментальным свойством
пространств-времен. В докладе будет обсуждаться иерархия
временных условий и аксиомы для мебиусовых структур на
окружности, которые обеспечивают то или иное временное
условие для причинно-следственных пространств со временем.
Линии уровня гладкой функции $F\colon R^3\to R^2$
представляют собой (локально в окрестности невырожденных точек)
гладкие кривые. Как меняется этот результат, если $F$ гладкая только в
направлениях, заданных двумя гладкими векторными полями в $R^3$,
удовлетворяющими условию Хермандера? (Можно считать, что $F$ задана на
группе Гейзенберга, тогда речь идет о естественном условии
"внутренней" регулярности - непрерывной дифференцируемости только в
горизонтальных направлениях). Будет показано, что в решении этой и
похожих задач продуктивным является подход, основанный на "грубом
дифференциальном исчислении".
Настоящий доклад посвящен задаче геометрической оптимизации собственных
значений оператора Лапласа. Для фиксированного замкнутого многообразия
собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами можно рассматривать
как функционалы на пространстве метрик единичного объема. В случае
поверхностей, согласно работам Кореваара, Ли, Янга и Яу, они оказываются
ограниченными. Возникает вопрос нахождения максимальных метрик и точной
верхней границы для функционалов собственных значений. В последние годы
этот вопрос получил особый интерес вследствие связи с теорией минимальных
подмногообразий в сферах. Используя эту связь, Пенской получил примеры
экстремальных метрик на торе и бутылке Клейна. В данном докладе мы
приведем новые примеры экстремальных метрик, полученные докладчиком,
а также обсудим их максимальность.
Изометрические вложения, неравенства отрицательного типа и сноуфлейки.
На прошлом докладе я рассказывал теорему Шоенберга утверждающую, что
сноуфлейк конечного подмножества Евклидового пространства вложим в Евклидово пространство.
В этом докладе я планирую рассказать про обобщение этой теоремы
на случай факторов Евклидовых пространств по изометрическим действиям конечных групп
и связи с вопросами о критериях изометрической вложимости.
(По совместным работам с Р. Красаускасом и А. Пахаревым)
Мы находим все поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, через
каждую точку которых проходят две трансверсальные дуги окружностей,
лежащие на поверхности. Это задача, которая просто обязана быть решена
математиками, так она имеет естественную формулировку и очевидные
приложения в архитектуре.
Однако долгое время она оставалась открытой, несмотря на частичные
продвижения, начиная ещё с работ Дарбу 19го века. Предлагаемое решение
основано на сведении к красивой алгебраической задаче описания
пифагоровых n-ок многочленов, которая решается с помощью нового метода
разложения кватернионных многочленов на множители.
Значительная часть доклада элементарна и доступна студентам и
школьникам. Многие примеры иллюстрируются мультфильмами. Будет
сформулировано несколько нерешенных проблем.
А.М.Вершик ввел в рассмотрение понятие абсолюта (счетной) группы.
Абсолют - это некоторое топологическое пространство, которое в
определенном смысле можно понимать как бесконечно удаленную границу графа
ветвления над графом Кэли группы.
Для нахождения абсолюта группы требуется, в частности, описать множество
всех бесконечных геодезических лучей в графе Кэли группы.
В ходе доклада будут обсуждаться абсолют и структура множества
геодезических лучей дискретной группы Гейзенберга.
Будут введены понятия меандрического тэнгла и меандрического узла,
сделан обзор их базовых свойств. Кроме того, планируется обсудить ряд
открытых вопросов теории меандрических узлов и привести доказательство
двух гипотез, предложенных в работе Meander Knots and Links (Ljiljana
Radovic, Slavik Jablan).
Планируется рассказать классические результаты о критериях изометрической вложимости (конечных) метрических пространств.
В первую очередь по статье
Schoenberg ,I. J. Metric spaces and positive definite function,
где рассматривается случай L_2.
А так же об открытых вопросах: вопросе Громова о критериях вложимости в пространства Александрова, гипотезе Бургейна об
универсальности 1-пространства Вассерштейна над плоскостью и плоских факторах.
Pages
Archive.
Русский
English