Place: room 402, PDMI (Fontanka, 27).
Time: Thursday, 16:00—18:00.
Seminar Head: Yu. Burago.
Гиперболическое пространство имеет на своей границе на бесконечности
геометрическую структуру, которая определяется самим пространством
и называется мебиусовой. Например, гиперболическая плоскость H^2 имеет
границей на бесконечности окружность, и индуцирует на ней каноническую
мебиусову структуру M_0.
Рассматривается обратная задача: для каких мебиусовых структур на окружности
существует их гиперболическое заполнение, т.е. такое гиперболическое
пространство с окружностью как границей на бесконечности, которое
индуцирует на ней исходную мебиусову структуру.
Естественным кандидатом на такое заполнение является (трехмерное)
пространство Harm гармонических четверок точек на окружности (в случае M_0
-- это проективизированное касательное расслоение для H^2).
С помощью гармонических четверок точек строятся на Harm так называемые
zz-ломаные (которые для M_0 являются ломаными геодезическим на H^2 со
взаимно перпендикулярными смежными сторонами),
определяются их длины, и zz-расстояние между двумя гармонические
четверками определяется как инфимум длин zz-ломаных между ними. Первая
проблема с zz-расстоянием -- является ли оно невырожденным?
Результат, о котором пойдет речь в докладе, состоит в том, что отрезки в
Harm (например, стороны zz-ломаных) являются кратчайшими в zz-расстоянии
для достаточно широкого класса мебиусовых структур на окружности. Для
канонической M_0 это очевидно и тривиально, но далеко не так в общем
случае.
Мы изучаем свойства множества $\Sigma$ минимальной длины среди всех
континуумов, находящихся
на расстоянии не более заданного $r>0$ от заданного компакта $M \subset
\mathbb{R}^2$.
Иначе говоря, множество $\Sigma$ имеет минимальную длину в классе
замкнутых связных множеств
$\Sigma'$, таких что \[F_{M}(\Sigma'):= \max_{y \in M}
\mathop{dist}(y,\Sigma') \leq r.\]
Доказано, в частности, что любой минимайзер максимального расстояния
является объединением
конечного числа инъективных кривых. При этом угол между любыми двумя
касательными лучами в
произвольной точке минимайзера больше или равен $2 \pi/3$. Все утверждения
доказаны даже для
более широкого, чем минимайзеры, класса локальных минимайзеров.
В докладе будет рассказана схема доказательства основных утверждений.
Доклад по совместной работе с Я. Теплицкой и Г. Паниной.
Рассмотрим пространство плоских многоугольников с предписанными ДЛИНАМИ сторон. Известно,
что критические точки площади (на которую мы смотрим как на функцию Морса) -- вписанные многоугольники.
Вписанный многоугольник бифурцирует, если ассоциированный с ним касательный многоугольник имеет нулевой периметр.
Мы расширим этот сюжет, рассмотрев пространства многоугольников с предписанными НАКЛОНАМИ сторон и периметр как функцию Морса.
Нас интересуют критические точки и их индексы.
Решив эту (проективно двойственную к исходной) задачу, мы, в частности, объясним, почему вышеописанная бифуркация именно такая, и получим
альтернативным способом формулу для индекса Морса площади вписанного многоугольника.
Доклад по одноименной работе Виталия Каповича, Александра Лычака и Антона Петрунина.
Мы вводим свойства сравнения для метрических пространств,
которые для пространств с внутренней метрикой сильнее условия
неотрицательности кривизны по Александрову. Эти свойства оказались тесно
связанными с необходимыми и достаточными условиями для непрерывности
оптимального транспорта. Доклад по совместной работе с В.Золотовым и
А.Петруниным.
Будем говорить, что конечное метрическое пространство X
почти изометрично вкладывается в класс метрических пространств C,
если для любого a > 0 существует отображение X в представитель C
искажающее растояния не более чем в (1 + a) раз.
Теорема. Если конечное метрическое пространство почти изометрично вложимо в один
из следующих классов, то оно почти изометрично вложимо в любой иэ этих классов.
(1) 2-пространстра Вассерштейна над Евклидовыми пространствами
(2) Факторы Евклидовых пространств по изометрическим действиям конечных групп
(3) Компактные плоские орбиобразия
(4) Компактные плоские многообразия
(5) Факторы би-инвариантных групп Ли по изометрическим действиям конечных групп или
компактных групп Ли. В том числе сферы со стандартной внутренней метрикой
Пространства почти изометрично вложимые в (1)-(5) будем называть плоскими.
Основная стрелка в теореме это 5 -> 1, я попытаюсь рассказать ее доказательство.
Теория спайнов трехмерных многообразий имеет параллели с триангулированием и преобразованиями Пахнера, однако у такого удобного инструмента, как барицентрическое подразделение, прямого аналога на уровне преобразований спайнов не имеется, что в некоторых случаях существенно усложняет конструкции доказательств.
Недавно нам удалось изобрести преобразование спайнов, обладающее частью
полезных свойств барицентрического подразделения. В частности, по аналогии с барицентрическим подразделением, новое преобразование спайнов переводит любой специальный спайн в несингулярный специлаьный спайн, замыкание каждой клетки которого односвязно.
Совместное исследование с Е.Фоминых.
Пространство неположительной кривизны по Буземану - это геодезическое
пространство, в котором у всех достаточно маленьких треугольников
длины средних линий не превосходят половин соответствующих сторон.
В римановой геометрии это условие эквивалентно неположительности
секционной кривизны.
В докладе будет рассказано полное описание (гладких) финслеровых
метрик, имеющих неположительную кривизну по Буземану. Оказывается,
что в финслеровом случае это условие очень жесткое. В частности,
в размерности 2 все такие метрики либо римановы, либо плоские.
Результаты получены совместно с А.Лычаком.
Доклад по совместной работе с А. Жуковой и И. Некрасовым.
На пространстве трехмерных конфигураций шарнирного n-угольника имеется n естественных $S^1$- расслоений. Мы вычислим их классы Черна и старшие мономы классов Черна. Попутно мы объясним, как удобно вычислять произведение в кольце когомологий конфигурационного пространства.
Цель работы --- получить инвариантное
уравнение Якоби для горизонтальных геодезических на
неголономном распределении. Классическая теория
Г.А. Блисса не инвариантна геометрически
и приводит к образованию "лишних'' сопряженных точек.
Присоединенная задача в теории оптимального управления
также приводит к образованию "лишних'' сопряженных точек.
Поэтому мы рассматриваем сужение функционала индексной формы кривой
на распределение. Предполагается, что для распределения
выполняется условие цикличности.
Получено достаточное условие положительной определенности
индексной формы и оптимальности кривой.
Крым В.Р.
Поля Якоби для неголономного распределения
// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. N 4. С. 51--61.
Крым В.Р.
Индексная форма для неголономного распределения
// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. N 2. С. 31--40.
Pages
Archive.
Русский
English