Место проведения: комната 311, ПОМИ (наб. р. Фонтанки, 27).
Рассылка: Google-группа.
В работах Е.Инабы, написанных в начале 60-х годов, рассматривались $p$-расширения полей характеристики $p$, заданные матричным уравнением $X^{(p)}=AX$, где $X^{(p)}$ обозначает матрицу, полученную возведением каждого элемента квадратной матрицы $X$ в степень $p$, $A$ - некоторая унипотентная матрица. Такое уравнение задает последовательность расширений полей, каждое из которых задано уравнением Артина-Шрайера.
Было доказано, что любое уравнение Инабы задает расширение Галуа, и обратно, любое конечное $p$-расширение Галуа задается уравнением такого вида.
Мы показываем, что для полных полей смешанной характеристики расширение, задаваемое уравнением Инабы, является расширением Галуа, если нормирования элементов матрицы удовлетворяют некоторым оценкам снизу, т.е. если скачки промежуточных расширений степени $p$ достаточно малы.
Данная конструкция может применяться при решении задачи погружения расширений полей. Например, можно доказать, что любое нециклическое расширение степени $p^2$ с достаточно маленькими скачками можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфной группе унипотентных матриц $3\times 3$ над полем из $p$ элементов.
Мы сформулируем ряд открытых вопросов, при исследовании которых, возможно, окажется полезной данная конструкция.
Две последовательности, известные как числа Апери, впервые возникли в известном доказательстве иррациональности zeta(3) и при нахождении оценки на меру иррациональности zeta(2). Впоследствии оказалось, что эти последовательности обладают многими очень интересными арифметическими свойствами, поиск которых продолжается до настоящего времени.
В недавней работе Као, Сюн и Матиясевич доказали новое сравнение для взвешенных сумм второй последовательности Апери. В докладе будет рассказано об обобщении этого результата и о том, как было найдено это обобщение.
Кроме этого я упомяну о подмеченном Сюном, но так до сих пор и не понятом до конца параллелизме между сравнениями для комбинаторных сумм и вычислением явных сумм некоторых рядов.