В работах Е.Инабы, написанных в начале 60-х годов, рассматривались $p$-расширения полей характеристики $p$, заданные матричным уравнением $X^{(p)}=AX$, где $X^{(p)}$ обозначает  матрицу, полученную возведением каждого элемента квадратной матрицы $X$ в степень $p$, $A$ - некоторая унипотентная матрица.  Такое уравнение задает последовательность расширений полей, каждое из которых задано уравнением Артина-Шрайера.

Было доказано, что любое уравнение Инабы задает расширение Галуа, и обратно, любое конечное $p$-расширение Галуа задается уравнением такого вида.

Мы показываем, что для полных полей смешанной характеристики расширение, задаваемое уравнением Инабы, является расширением Галуа, если нормирования элементов матрицы удовлетворяют некоторым оценкам снизу, т.е. если скачки промежуточных расширений степени $p$ достаточно малы.

Данная конструкция может применяться при решении задачи погружения расширений полей. Например, можно доказать, что любое нециклическое расширение степени $p^2$ с достаточно маленькими скачками можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфной группе унипотентных матриц $3\times 3$ над полем из $p$ элементов.

Мы сформулируем ряд открытых вопросов, при исследовании которых, возможно, окажется полезной данная конструкция.