Метрическое пространство обладает Марковским типом 2 с константой 1,
если для любого набора точек этого пространства выполнен некоторый
набор линейных неравенств на квадраты расстояний между этими точками.

Зачем нужен Марковский тип? Если пространство X обладает Марковским
типом 2, то липшицевы отображения его подмножеств в пространства,
обладающие котипом 2, могут быть продолжены до липшицевых отображений
всего пространства. С другой стороны, Марковский тип дает ограничение
на те пространства, которые можно билипшицево вложить в X.

В 2007 году S.-I. Ohta заметил, что неравенства составляющие
определение Марковского типа 2 с константой 1 включают в себя
неравенства составляющие определение пространств неотрицательной
кривизны по K.-T. Sturm(для пространств с внутренней метрикой это тоже
самое, что по Александрову). Наоборот, если пространство имеет
неотрицательную кривизну по Александрову, то оно имеет Марковский тип
2 с константой C, где $C < 2.08$… и ожидается, что C = 1.

Докладчик планирует рассказать, что следующие пространства имеют
Марковский тип 2 с константой 1:
1)замкнутые плоские многообразия
2)плоские двумерные конусы с углом меньшим пи
3)2-пространства Вассерштейна от пространств имеющих Марковский тип 2 1.

Пространства, обладающие выпуклым геодезическим причесыванием являются
обобщением
таких классов пространств как CAT(0) пространства, пространства,
выпуклые по Буземану и др.
В докладе будет сделан обзор последних результатов, касающихся этих пространств.

По совместной работе с C. Fefferman, Y. Kurylev, M. Lassas и H. Narayanan
http://arxiv.org/abs/1508.00674.

Будет рассказано о следующих результатах

Теорема 1. На границе на бесконечности
X любого гиперболического пространства Y
существует мебиусова структура M, инвариантная
при изометриях Y и такая, что M-топология на X
совпадает со стандарной топологией.

Скажем, что группа гомеоморфизмов Г топологического
пространства X является 4-замкнутой, если для любой
последовательности Q_i допустимых четверок в X существует
такая последовательность \ga_i\in Г, что последовательность
\ga_i(Q_i) имеет допустимую точку сгущения (т.е. четверку,
которая является допустимой).

Теорема 2. Пусть Y -- гиперболическое по Громову пространство,
действие группы изометрий которого на границе на бесконечности
X является 4-замкнутым. Тогда на X существует птолемеевская
структура M, инвариантная при изометриях Y и такая, что
M-топология на X совпадает со стандартной.

Доказательство этих результатов использует деформации
мебиусовых и субмебиусовых структур.