Доклад по совместной работе с Р.Кразаускасом.

Исследование поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, упомянутых в названии доклада, мотивируется возможными применениями их в архитектуре. Полное описание всех таких поверхностей является сложной нерешенной проблемой. Мы дадим ряд примеров таких поверхностей и приведем некоторые результаты, касающиеся последней задачи.
В старой теореме Дарбу утверждается, что поверхность, через каждую точку которой проходит достаточно много окружностей, лежащих на ней, является так называемой циклидой Дарбу. Циклиды Дарбу - это алгебраические поверхности степени не более 4, их класс включает циклиды Дюпена и квадрики. Через каждую точку циклиды Дарбу проходит до 6 таких окружностей.
Другой класс поверхностей с двумя окружностями через каждую точку получается с помощью параллельных переносов Клиффорда одной окружности вдоль другой в пространстве или в 3-мерной сфере. Этот класс хорошо описывается кватернионами, и наш подход к общей задаче классификации поверхностей с несколькими окружностями через каждую точку состоит в использовании кватернионных рациональных параметризаций. В терминах кватернионов мы сформулируем красивую гипотезу об описании всех поверхностей рассматриваемого вида в 4-мерном пространстве и выведем из нее аналогичное описание в 3-мерном случае. Саму 4-мерную гипотезу мы сведем к некоторой красивой алгебраической задаче о пифагоровых шестерках многочленов.
Значительная часть доклада элементарна и доступна даже школьникам. В докладе будет сформулировано несколько нерешенных проблем. Также мы покажем много поверхностей, содержащих несколько окружностей через каждую точку.

Доклад по совместной работе с А.Петруниным. При помощи потоков Риччи
строится аппроксимация
компактного 3-мерного полиэдра гладкими многообразиями неотрицательнлой
кривизны. По построению
получается непрерывная аппроксимация, являющаяся решением уравнения для
потока Риччи на некотором открытом интервале.