This preprint was accepted June 25, 2002
Contact:
А. М. Вершик
ABSTRACT:
Мы определяем модель множества всех польских ($=$ сепарабельных полных
метрических) пространств, а именно, конус $\cal R$ матриц расстояний,
и рассматриваем геометрические и вероятностные задачи, связанные
с этим объектом. Вводится понятие универсальной матрицы расстояний
и доказывается, что множество таких матриц есть всюду плотное
$G_{\delta}$ множество в слабой топологии конуса $\cal R$, а также,
что универсальность матрицы расстояний есть необходимое и достаточное
условие на матрицу расстояний счетного всюду плотного подмножества
универсального метрического пространства, которое было
определено П. С. Урысоном в 1924 году в его последней работе. Это означает,
что {\it пространство Урысона является типичным во множестве всех польских
пространств}. Затем рассматриваются метрические пространства с мерой
(метрические тройки) и определяется их полный инвариант относительно
изометрий, сохраняющих меру, -- так называемое матричное распределение.
Мы даем внутреннюю характеризацию множества матричных распределений
как вероятностных мер на пространстве матриц, и с помощью эргодических
теорем, доказываем новым способом ``теорему реконструкции'' Громова. Дается
естественная конструкция широкого класса мер на $\cal R$, для которых
{\it с вероятостью единица матрица расстояний порождает пространство
Урысона}. Имеется тесная связь этих вопросов с метрической классификацией
измеримых функций нескольких арнгументов и классификацией действий
бесконечной симметрической группы (\cite{4, 8}).
[Full text:
(.ps.gz)]