This preprint was accepted February 5, 2007
ABSTRACT:
Дается асимптотико-геометрическая интерпретация сигма-конечных мер
в пространстве векторных обобщенных функций на многообразии $X$ с
характеристическим функционалом
$$\Psi(f)=\exp\{-\theta\int_X\ln||f(x)||dx\}, \theta>0.$$
Все такие меры составляют однопараметрическую полугруппу по $\theta$.
Mера для скалярных распределений и $\theta=1$ может быть названа
{\it бесконечномерной мерой Лебега}.
Мы показываем, что при надлежащем выборе нормировок,
последовательность инвариантных мер на картановских подгруппах
групп $SL(n,R)$ при $n$, стремящемся к бесконечности, слабо сходится именно
к ней, и что эта мера в пространстве распределений,
инвариантна относительно некоторой бесконечномерной коммутативной группы -
аналога бесконечномерной картановской подгруппы,- что и оправдывает ее название.
Единственный известный пример такого рода асимптотик - классическая лемма Пуанкаре о гауссовости
предела равномерных мер на эвклидовой сфере при стремлении размерности к бесконечности.
В нашем примере построенные предельные меры уже не конечны, а сигма-конечны и тесно связаны не
с гауссовыми мерами, а с мерами Пуассона--Дирихле, хорошо известными в комбинаторике
и теории вероятности. Излагаемый результат об асимптотике инвариантных мер на картановских подгруппах
делает актуальным вопрос о том, имеются ли какие-либо другие типы асимптотические поведения
инвариантных мер на однородных пространствах групп Ли, кроме данного и гауссового.
[Full text:
(.ps.gz)]