Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 05/2008

LOCALIZATION--COMPLETION STRIKES AGAIN: RELATIVE K_1 IS NILPOTENT BY ABELIAN

This preprint was accepted March 19, 2008

ABSTRACT:
Let $G$ and $E$ stand
for one of the following pairs of groups:

$\bullet$ Either $G$ is the general quadratic group
$U(2n,R,\Lambda)$, $n\ge 3$, and $E$  its elementary subgroup
$\EU(2n,R,\Lambda)$, for an almost commutative form ring
$(R,\Lambda)$,
\par\smallskip
$\bullet$ or $G$ is the Chevalley group $G(\Phi,R)$ of type $\Phi$,
and $E$ its elementary subgroup $E(\Phi,R)$, where $\Phi$ is a reduced
irreducible root system of rank $\ge 2$ and $R$ is commutative.
\par\smallskip
Using Bak's localization-completion \cite{bak91}, in \cite{quad} and
\cite{HazVav} we proved that $G/E$ is nilpotent by abelian, when $R$
has finite Bass--Serre dimension. In this note, we combine
 localization-completion  with a version of Stein's
relativization \cite{stein2}, which is applicable to our situation
\cite{bakvav1}, and carry over the results in \cite{quad} and
\cite{HazVav} to the relative case. In other words, we prove that
not only absolute $K_1$ functors, but also the relative $K_1$
functors, are nilpotent by abelian.

А. Бак, Р. Хазрат, Н. Вавилов

Локализация-пополнение работает снова: относительный $K_1$ функтор является нильпотентным над абелевым

АННОТАЦИЯ. 
Пусть $G$ и $E$ обозначают одну из следующих пар групп:

$\bullet$ либо $G$ является общей  квадратичной группой
$U(2n,R,\Lambda)$, $n\ge 3$, и $E$   -- это  ее элементарная подгруппа
$\EU(2n,R,\Lambda)$ для почти коммутативного кольца
$(R,\Lambda)$,

$\bullet$ либо $G$  является группой Шевалле $G(\Phi,R)$ типа $\Phi$
и $E$  -- ее элементарная подгруппа  $E(\Phi,R)$, где $\Phi$ -- приведенная 
неприводимая система корней ранга $\ge 2$ и $R$  коммутативно.

Используя локализацию-пополнение Бака (см. Бак [91]), в
[Quad] и [HazVav], мы доказали, что   $G/E$ является  нильпотентной над абелевой,
если $R$ имеет конечную размерность Басса--Серра.
В этой заметке мы комбинируем локализацию-пополнение с некоторой версией 
релятивизации Штейна (см.[Stein2]), которая применима в нашей ситуации 
(см. \cite{bakvav1}), и переносим результаты из \cite{quad} и
\cite{HazVav} на относительный случай.
Другими словами,  мы доказали, что  не только абсолютные $K_1$ 
 функторы, но и относительные  $K_1$ функторы являются нильпотентными.