Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 08/2009

APPROXIMATION OF THE MAXIMAL COMMUTATIVE SUBGROUPS OF $GL(n,\r)$

This preprint was accepted October 16, 2009

ABSTRACT: How to find ``best rational approximations'' of maximal
commutative subgroups of $GL(n,\r)$? In this paper we pose and
make first steps in the study of this problem. It contains both
classical problems of Diophantine and simultaneous approximations
as a particular subcases but in general is much wider. We prove
estimates for $n=2$ for both totaly real and complex cases and
write the algorithm to construct best approximations of a fixed
size. In addition we introduce a relation between best
approximations and sails of cones and interpret the result for
totally real subgroups in geometric terms of sails.

О.Н. Карпенков, А.М. Вершик

АППРОКСИМАЦИЯ МАКСИМАЛЬНЫХ КОММУТАТИВНЫХ ПОДГРУПП $GL(n,\r)$

АННОТАЦИЯ.
Формулируется и изучается задача о рациональной аппроксимации максимальных полупростых подгрупп
группы $GL(n,R)$. С геометрической точки зрения это задача об аппроксимации симплициальных конусов
в пространстве ${\Bbb R}^n$ конусами c целочисленными направляющими. Обсуждаются тесные связи
поставленной задачи с теорией многомерых цепных дробей и с проблемой диофантовых приближений вещественных векторов. 
Приводятся некоторые результаты для размерности $n=2$.