Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 03/2011

SYMMETRIC REPRESENTATIONS OF DISTRIBUTIONS OVER $\mathbb{R}^2$ BY DISTRIBUTIONS WITH NOT MORE THAN THREE POINT SUPPORT

This preprint was accepted February 24, 2011

ABSTRACT:
 We construct symmetric representations of distributions over $\mathbb{R}^2$
with given mean values as convex combinations of distributions with supports containing not
more than three points and with the same mean values. These representations are two-dimensional
analogs of the following easy verified formula for distributions ${\bf p}$ over
$\mathbb{R}^1$ with a mean value $u$:
$$
{\bf p}=\int_{x=u^-}^\infty {\bf p}(dx)\int_{y=-\infty}^{u^+}
\frac{x-y}{\int_{t=u}^\infty (t-u)\cdot{\bf p}(dt)}\cdot{\bf p}^u_{x,y}\cdot{\bf p}(dy),
$$
where, for $y < u < x$, distributions ${\bf p}^u_{x,y}=((x-u)\cdot{\bf \delta}^y
+(u-y)\cdot{\bf \delta}^x)/(x-y)$, ${\bf \delta}^x$ is the degenerate distribution with the
single-point support $x$, and ${\bf p}^u_{x,u}={\bf p}^u_{u,y}={\bf \delta}^u/2$.
 

В. К. Доманский

СИММЕТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НА $\mathbb{R}^2$ ПОСРЕДСТВОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ С НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕХ-ТОЧЕЧНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ

АННОТАЦИЯ
 Мы строим симметричные представления вероятностных распределений на
$\mathbb{R}^2$ с заданными средними значениями, как выпуклых комбинаций распределений с
носителями, содержащими не более трех точек, и с теми же средними значениями. Эти
представления являются двумерными аналогами следующей легко проверяемой формулы для
распределений ${\bf p}$ на $\mathbb{R}^1$ со средним значением $u$:
$$
{\bf p}=\int_{x=u^-}^\infty {\bf p}(dx)\int_{y=-\infty}^{u^+}
\frac{x-y}{\int_{t=u}^\infty (t-u)\cdot{\bf p}(dt)}\cdot{\bf p}^u_{x,y}\cdot{\bf p}(dy),
$$
где, для $y < u < x$, распределения ${\bf p}^u_{x,y}=((x-u)\cdot{\bf \delta}^y
+(u-y)\cdot{\bf \delta}^x)/(x-y)$, ${\bf \delta}^x$ -- вырожденное распределение с
одноточечным носителем $x$, и ${\bf p}^u_{x,u}={\bf p}^u_{u,y}={\bf \delta}^u/2$.