Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 07/2011

ALGEBRAIC ANALOGUE OF ATIYAH'S THEOREM

This preprint was accepted June 3, 2011

ABSTRACT:
 In topology there is a well known theorem of Atyiah which states that
for a connected Lie group G there is an isomorphism $\widehat{R(G)}\cong K_0(BG)$  
where BG is the classifying space of G. In the present paper we consider an 
algebraic analogue of this theorem. In the paper of B.Totaro there is a computation 
of $\varprojlim K_0(BG_i)$ for specially selected sequence $BG_i.$ However, to compute 
$K_0(BG)$ one needs to prove that $\varprojlim^1 K_1(BG_i)$ vanishes.
For split reductive groups we present another approach and prove that the Borel 
construction induces a ring isomorphism $\widehat{R(G)}_{I(G)}=K_0(BG),$ where $BG$ 
is an \'etale classifying space introduced by Voevodsky and Morel. 
Our approach makes possible to compute $K_i(BG)$, which we expect to provide in a next preprint.
 

А.А. Книзель, А.Ю. Нешитов

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ АТЬЯ

АННОТАЦИЯ
 В Топологии существует хорошо известная теорема Атьи, в которой утверждается,
что для связной группы Ли G есть изоморфизм $\widehat{R(G)}\cong K_0(BG)$  
где BG - это классифицирующее пространство группы G. В данной работе мы 
рассматриваем алгебраический аналог этой теоремы. В статье Б. Тотаро содержится 
вычисление $\varprojlim K_0(BG_i)$ для специально подобранной системы многообразий $BG_i.$ 
Однако, для вычисления кольца $K_0(BG)$ необходимо доказать, что $\varprojlim^1 K_1(BG_i)$ 
обращается в ноль. Для расщепимой редуктивной алгебраической группы ме предлагаем
другой подход и доказываем, что конструкция Бореля индуцирует кольцевой изоморфизм
$\widehat{R(G)}_{I(G)}=K_0(BG),$ где $BG$ - это этальное классифицирующее пространоство,
введенное Воеводским и Морелем. Наш подход также позволяет вычислить $K_i(BG),$ результаты
чего мы планируем представить в следующем препринте.