Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 17/2011

LINEAR PROBLEMS ARISING IN THE STUDY OF GLOBAL SOLVABILITY OF A FREE BOUNDARY PROBLEM IN MAGNETOHYDRODYNAMICS

This preprint was accepted DEcember 12, 2011

ABSTRACT:
We consider linear problems arising in linearization of a
free boundary problem in magnetohydrodynamics. Linear problem for
velocity vector field has a slightly different form as usual as a
consequence of the non-zero velocity of motion of the barycenter.
Weighted estimates with the weight $e^{at}$, $a>0$  for solutions
of these problems in Sobolev norms are proved. On this base we
intend to prove the global solvability for the free boundary
problem in magnetohydrodynamics under the assumptions that the
initial data are small and the initial position of the free
boundary is close to the sphere. Here we formulate the theorem for
the nonlinear problem, the paper with the detailed proof is in
preparation.
 

Е. В. Фролова, В.А. Солонников

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ГЛОБАЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

АННОТАЦИЯ
 Рассматриваются линейные задачи, возникающие при линеаризации
 задачи со свободной границей в магнитной гидродинамике.
 Вследствие ненулевой скорости движения центра тяжести, линейная
 задача для поля скоростей жидкости немного отличается от обычной.
 Для решений линейных задач доказаны весовые оценки в соболевских нормах с весом $e^{at}$,
 $a>0$. На базе этих оценок мы планируем доказать глобальную
 разрешимость задачи со свободной границей, при условии что
 начальные данные малы и в начальный момент времени граница близка
 к сфере. Здесь мы формулируем теорему для нелинейной задачи,
 доказательство которой будет опубликовано отдельно.