Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 19/2011

ФУНКЦИЯ БЕЛЛМАНА ДЛЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ В ПРОСТРАНСТВЕ $BMO$

This preprint was accepted December 26, 2011

АННОТАЦИЯ:
В статье развивается методика получения точных оценок с помощью функции Беллмана,
возникшая при доказательстве классического неравенства Джона--Ниренберга и $L^p$-оценок
$\BMO$ функций. В настоящей работе разработан метод решения граничной задачи
для однородного уравнения Монжа--Ампера в параболической полосе для произвольных
достаточно гладких граничных условий и тем самым получен рецепт построения
точной функции Беллмана для широкого класса интегральных функционалов на
пространстве $\BMO$.

V.I. Vasyunin, P.B. Zatitskiy, P. Ivanishvili, N.N. Osipov, D.M. Stolyarov

BELLMAN FUNCTION FOR EXTREMAL PROBLEMS IN BMO

ABSTRACT:
In this paper we develope the method of finding sharp estimates by using 
a Bellman function. In such a form the method appears in the proofs of
the classical John--Nirenberg inequality and $L^p$ estimayions of
$\BMO$ functions. In the present paper we elaborate a method of
solving the boundary value problem for the homogeneous Monge--Amp\`ere
equation in a parabolic strip for sufficiently smooth boundary conditions.
In such a way we have obtained an algorithm of constructing an exact Bellman
function for a large class of integral functionals in the $\BMO$ space.