Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 02/2012

УСРЕДНЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ: ОПЕРАТОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ В $L_2$

This preprint was accepted January 11, 2012

АННОТАЦИЯ:
В пространстве $L_2(\O;\C^n)$, где
$\O \subset \R^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^2$,
рассматривается матричный эллиптический дифференциальный оператор $\A_{D,\eps}$ второго порядка
при условии Дирихле на границе. Здесь $\eps>0$ --- малый параметр,
коэффициенты оператора периодичны и зависят от $\x/\eps$.
Получена точная по порядку операторная оценка погрешности
$$\|\A_{D,\eps}^{-1} - (\A_D^0)^{-1} \|_{L_2 \to L_2} \leq C \eps,$$
где $\A^0_D$ --- эффективный оператор с постоянными коэффициентами при условии Дирихле на границе.©

M. A. Pakhnin, T. A. Suslina

OPERATOR ERROR ESTIMATES FOR HOMOGENIZATION OF THE ELLIPTIC DIRICHLET PROBLEM IN A BOUNDED DOMAIN

ABSTRACT:
Let $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^2$.
In the Hilbert space $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, we consider a matrix
elliptic second order differential operator $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ with the Dirichlet
boundary condition. Here $\varepsilon>0$ is the small parameter.
The coefficients of the operator are periodic and depend on $\mathbf{x}/\varepsilon$.
We find approximation of the operator $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}^{-1}$ in the norm of operators
acting from $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ to the Sobolev space $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$
with an error term $O(\sqrt{\varepsilon})$.
This approximation is given by the sum of the operator $(\mathcal{A}^0_D)^{-1}$ and the first order
corrector, where $\mathcal{A}^0_D$ is the effective operator with constant coefficients and
with the Dirichlet boundary condition.

 Key words:  periodic differential operators, homogenization,
effective operator, corrector, operator error estimates



[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)


 
 







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg