Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 09/2012

А. М. ВЕРШИК, П. Б. ЗАТИЦКИЙ, Ф. В. ПЕТРОВ

ГЕОМЕТРИЯ И ДИНАМИКА ДОПУСТИМЫХ МЕТРИК В ПРОСТРАНСТВАХ С МЕРОЙ

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук vershik@pdmi.ras.ru, fedyapetrov@gmail.com С.-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, наб. р. Фонтанки, д. 27, Санкт-Петербург 191023, Россия; Лаборатория им. П. Л. Чебышева СПбГУ, 14-я линия В.О., д. 29Б, Санкт-Петербург 199178, Россия paxa239@yandex.ru

This preprint was accepted April 19, 2012

АННОТАЦИЯ:
В статье изучается широкий класс метрик в пространстве Лебега со стандартной 
мерой, --- класс, так называемых, допустимых метрик.
Рассматривается конус допустимых метрик, норма в нем, критерии компактности; 
определяется эпсилон-энтропия пространств с допустимой метрикой и мерой, и др.
 Эти понятия и ряд фактов о них используются в теории преобразований
 с инвариантной мерой, а именно исследуются асимптотические свойства орбит 
в конусе допустимых метрик относительно даннго преобразования или группы 
преобразований. Основной результат работы ---
новый критерий дискретности спектра эргодического
 преобразования: доказывается, что дискретность спектра 
эквивалентна равномерной ограниченности эпсилон-энтропий усреднений 
по фрагментам траекории какой-либо (а тогда и любой) допустимой метрики.
 
 ©

Ключевые слова: допустимая метрика, эпсилон-энтропия, дискретный спектр, компактность, условная метрика

A. Vershik, F. Petriov, P. Zaticky

GEOMETRY AND DYANANICS OF THE ADISSIBLE METRICS ON THE MEASURE SPACES

ABSTRACT:
In this paper the wide class of metrics on the Lebesgue space - so
called admissible metrics is studied. We consider the cone of
admissible metrics, norm on this cone, criteria of compactness and
define epsilon-entropy of the space with admissible metrics and
measures? namely  we study the asymptotic properties of orbits in
the cone with respect to given transformation or group of
transformations with invariant measure.

The main result is a new criteria of discreteness of the spectrum of
ergodic transformation:we prove that this is equivalent to uniform
boundness of epsilon-entropy of average over fragment of the orbit
of some (and consequently an arbitrary) admissible metric.

 
 Key words:  admissible metric, epsilon-entropy, discrete spectra,
compactness, conditional metric



[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)


 
 







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg