Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 12/2012

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ МОНОИДЫ ${\mathbb F}_p$-АЛГЕБР И АБСОЛЮТНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ПОЛЕЙ

This preprint was accepted June 28, 2012

АННОТАЦИЯ:
Данная работа посвящена изучению следующего вопроса: может ли
 мультипликативный моноид нетривиальной (коммутативной)
 ${\mathbb F}_p$-алгебры быть изоморфен мультипликативному 
моноиду ${\mathbb F}_\ell$-алгебры для различных простых $p$ и
 $\ell$? Иначе говоря, определяется ли характеристика коммутативной
 алгебры над конечным полем ее мультипликативным моноидом?

Этот вопрос оказывается эквивалентен вопросу о разрешимости 
некоторого уравнения в сверхнатуральных числах, который обычно
 может быть отрицательно решен для конкретных $p$ и $\ell$.

Кроме того, данный вопрос оказывается эквивалентен тому, существует
 ли нетривиальное ``абсолютное тензорное произведение'' 
${\mathbb F}_p\otimes{\mathbb F}_\ell$, при определенном понимании
 таких тензорных произведений --- в смысле теории гиперколец или
 теории новых обобщенных колец. 
 ©

N. V. Durov

Multiplicative monoids of ${\mathbb F}_p$-algebras and absolute tensor products of finite fields

ABSTRACT:
This work is dedicated to the study of the following question:
 Can the multiplicative monoid of a nontrivial (commutative) 
${\mathbb F}_p$-algebra be isomorphic to the multiplicative monoid
 of a ${\mathbb F}_\ell$-algebra for distinct primes $p$ and $\ell$? 
In other words, is the characteristic of a commutative algebra over
 finite field determined by its multiplicative monoid?

This question turns out to be equivalent to the question of
 solvability of a certain equation in supernatural numbers, 
which can be usually negatively decided for given $p$ and $\ell$.

Besides, this question turns out to be equivalent to the existence
 of a non-trivial ``absolute tensor product''
 ${\mathbb F}_p\otimes{\mathbb F}_\ell$, for a certain understanding 
of such products: in the sense of hyperring theory, or in the sense
 of new generalized ring theory.
 Key words:  multiplicative monoid, finite field, 
hyperring, generalized ring, absolute tensor product, supernatural numbers,
 field with one element



[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)


 
 







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg