Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 16/2012

INFINITE-DIMENSIONAL SCHUR--WEYL DUALITY AND THE COXETER--LAPLACE OPERATOR

This preprint was accepted September 21, 2012

ABSTRACT:
We extend the classical Schur--Weyl duality between representations of the groups
$SL(n,\C)$ and $\sN$ to the case of $SL(n,\C)$ and the infinite
symmetric group $\sinf$. Our construction is based on a ``dynamic,''
or inductive, scheme of Schur--Weyl  dualities.
It leads to a new class of representations of the
infinite symmetric group, which have not appeared earlier. 
We describe these representations and, in particular, find their
spectral types with respect to the Gelfand--Tsetlin algebra.
The main example of such a representation acts
in an incomplete infinite tensor product. As an important
application, we consider the weak limit of the so-called
Coxeter--Laplace operator, which is essentially the Hamiltonian of the
XXX Heisenberg model, in these representations.
 

Н. В. Цилевич, А. М. Вершик

Бесконечномерная двойственность Шура-Вейля и оператор Кокстера-Лапласа

АННОТАЦИЯ
Классическая двойственность Шура-Вейля между
представлениями группы $SL(n,C)$ и конечной симметрической группы ${\mathfrak S}_N$ 
распространяется на случай бесконечной симметрической
группы.  Конструкция основана на "динамическом", или индуктивном
подходе к  двойственности Шура-Вейля. Она даёт новый, ранее не
изучавшийся класс представлений бесконечной симметрической группы. Мы
описываем эти  представления и, в частности, их спектральные меры
относительно  алгебры Гельфанда-Цетлина. Основной пример изучаемых
представлений может быть реализован в некотором неполном тензорном
произведении  пространств. В качестве важного приложения мы
рассматриваем слабый предел так называемого оператора Кокстера-Лапласа, по
существу совпадающего с гамильтонианом XXX-модели Гейзенберга, в
этих представлениях.