Санкт-Петербургский государственный университет, Физический факультет, Ульяновская ул., д. 3, Петродворец, Санкт-Петербург, 198504, Россия
This preprint was accepted November 6, 2012
АННОТАЦИЯ:
В пространстве $L_2(\O;\C^n)$, где
$\O \subset \R^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$,
рассматривается матричный эллиптический дифференциальный оператор $\A_{N,\eps}$ второго порядка
при условии Неймана на границе. Здесь \hbox{$\eps>0$} --- малый параметр,
коэффициенты оператора периодичны и зависят от $\x/\eps$; никакой регулярности коэффициентов не предполагается.
Показано, что при $\eps \to 0$ резольвента \hbox{$(\A_{N,\eps}+\lambda I)^{-1}$} сходится по операторной норме в
$L_2(\O;\C^n)$ к резольвенте эффективного оператора $\A_N^0$ с постоянными коэффициентами.
Для нормы разности резольвент установлена оценка порядка $\eps$ (точная по порядку).
Найдена аппроксимация
оператора $(\A_{N,\eps}+\lambda I)^{-1}$ по норме операторов, действующих из $L_2(\O;\C^n)$
в пространство Соболева $H^1(\O;\C^n)$, с погрешностью $O(\sqrt{\eps})$.
Аппроксимация дается суммой оператора $(\A^0_N +\lambda I)^{-1}$ и корректора первого порядка.
Для строго внутренней подобласти $\O'$ найдена аналогичная аппроксимация с погрешностью $O(\eps)$.
©
Ключевые слова:
периодические дифференциальные операторы, задача Неймана, усреднение,
эффективный оператор, корректор, операторные оценки погрешности
ABSTRACT:
In the space $L_2(\O;\C^n)$, where
$\O \subset \R^d$ is a bounded domain with the boundary of class $C^{1,1}$,
we consider a matrix elliptic second order differential operator $\A_{N,\eps}$ with the Neumann
boundary condition. Here $\varepsilon>0$ is the small parameter.
The coefficients of the operator are periodic and depend on
$\mathbf{x}/\varepsilon$; there are no regularity assumptions on the coefficients.
It is shown that the resolvent \hbox{$(\A_{N,\eps}+\lambda I)^{-1}$}
converges in the $L_2(\O;\C^n)$-operator norm to the resolvent of the effective operator
$\A_N^0$ with constant coefficients, as $\eps \to 0$.
An estimate of order $\eps$ for the norm of the difference of resolvents
is obtained; this estimate is order sharp.
An approximation for the operator
$(\A_{N,\eps}+\lambda I)^{-1}$ in the norm of operators acting from $L_2(\O;\C^n)$
to the Sobolev space $H^1(\O;\C^n)$ with an error of order $O(\sqrt{\eps})$ is found.
This approximation is given by the sum of the operator $(\A^0_N +\lambda I)^{-1}$
and the first order corrector.
In a strongly interior subdomain $\O'$, a similar approximation
with an error $O(\eps)$ is obtained.
Key words periodic differential operators, Neumann problem, homogenization,
effective operator, corrector, operator error estimates
[Full text:
Preprint in Russian (.pdf.gz)
Back to all preprints
Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg