Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 11/2013

ASSOCIATION SCHEMES ON GENERAL MEASURE SPACES AND ZERO-DIMENSIONAL ABELIAN GROUPS

This preprint was accepted Octyober 16, 2013

ABSTRACT:
Association schemes form one of the main objects of algebraic
combinatorics, classically defined on finite sets. At the same time, 
direct extensions of this concept to infinite sets encounter
some problems even in the case of countable sets, for instance, countable
 discrete Abelian groups. 
In an attempt to resolve these difficulties, we define association schemes
 on arbitrary, possibly uncountable sets
with a measure. We study operator realizations of the adjacency algebras 
of the scheme and derive simple properties of 
these algebras. However, constructing a complete theory in the general case
 faces a set of obstacles related to the properties
of the adjacency algebras and associated projection operators.
To develop the theory of association schemes, we focus on schemes on
 topological Abelian groups where we can employ duality theory
and the machinery of harmonic analysis. Using the language of spectrally
 dual partitions, we prove that such groups support
the construction of general Abelian (translation) schemes and establish
 properties of their spectral parameters (eigenvalues).

Addressing the existence question of spectrally dual partitions, we show that 
they arise naturally on topological zero-dimensional Abelian groups, 
for instance, Cantor-type groups or the groups of $p$-adic numbers. 
This enables us to construct large
classes of examples of dual pairs of association schemes on zero-dimensional
 groups with respect to their Haar measure, and to compute their
eigenvalues and intersection numbers (structural constants). 
We also derive properties of infinite metric schemes, connecting them with
 the properties of the non-Archimedean
metric on the group.

Next we focus on the connection between schemes on zero-dimensional groups
 and harmonic analysis. We show that the eigenvalues
have a natural interpretation in terms of the Littlewood-Paley theory,
 and in the (equivalent) language of martingale theory.
For the class of nonmetric schemes constructed in the paper, the eigenvalues
 coincide with values of orthogonal function systems
on zero-dimensional groups. We observe that these functions, which we
 call Haar-like bases, have the properties of wavelet
bases on the group, including in some special cases the self-similarity 
property. This establishes a seemingly new
link between algebraic combinatorics and (non-Archimedean) harmonic analysis.

We conclude the paper by studying some analogs of problems of classical
 coding theory related to 
the theory of association schemes. 

А. Барг, М. Скриганов

АССОЦИАТИВНЫЕ СХЕМЫ НА ОБЩИХ ПРОСТРАНСТВАХ С МЕРОЙ И НА НУЛЬМЕРНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ

АННОТАЦИЯ
    Ассоциативные схемы являются одним из основных понятий алгебраической
 комбинаторики. В классической теории они определяются на конечных множествах. 
В то же время, непосредственное обобщение этого понятия на бесконечные
 множества сталкивается с трудностями даже в случае счетных множеств, например,
 счетных дискретных абелевых групп. В попытке разрешить возникающие 
трудности иы даем определение ассоциативных схем на произвольных иножествах 
с мерой, включая несчетные множества. Изучается операторная реализация алгебр
 сиежности схем и доказываются простые свойства этих алгебр. Однако, на пути 
построения полной теории в самом общем случае возникают препятствия связанные
 со свойствами алгебр смежности и связанными с ними спектральными проекторами.
 Дальнейшее развитие теории удается для случая схем на топологических абелевых 
группах и опирается на теорию двойственности и аппарат гармонического анализа.
 Используя язык спектрально двойственных разбиений, мы доказываем, что на таких
 группах можно построить общие абелевы (трансляционные) схемы, и выводим
 свойства их спектральных параметров (собственных значений).
    Обращаясь к задаче о существовании спектрально двойственных разбиений, 
мы показываем, что они естественно возникают на топологических нульмерных 
абелевых группах, таких например, как группы канторовского типа или группы
 p-адических чисел. Это дает возможность построить обширные классы примеров
 пар взаимно двойственных ассоциативных схем на нульиерных группах относительно
 меры Хаара и найти их собственные значения и числа пересечений (структурные
 константы). Мы также выводим свойства бесконечных метрических схем, связывая
 их со свойствами неархимедовой метрики на группе.
     Изучается также связь между схемами на нульмерных группах и гармоническим
 анализом. Мы показываем, что собственные значения допускают естественную
 интерпретацию в терминах теории Литтлвуда-Пэли или на эквивалетном языке 
теории мартингалов. Для класса неметрических схем, построенных в работе,
 собственные значения совпадают со значениями ортогональных систем функций
 на нульмерных группах. Мы замечаем, что эти функции, названные в работе 
базисами хааровского типа, обладают свойствами вейвлетов на группе, включая
 в некоторых случаях свойство самоподобия. В целои эти результаты устанавливают
 связь между адгебраической комбинаторикий и неархимедовым гармоническим
 анализом, которая, видимо, является новой.
     В заключение изучаются некоторые аналоги задач классической теории 
кодирования, связанных с теорией ассоциативных схем.