Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 14/2013

ВИРТУАЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

This preprint was accepted December 23, 2013

АННОТАЦИЯ:
Классическая теорема Лузина утверждает, что измеримая функция одной переменной
``почти'' непрерывна. Для измеримых функций нескольких переменных аналогичное утверждение
(непрерывность на произведении множеств почти полной меры) уже не всегда имеет место. Поиск правильного аналога
этой теоремы приводит к понятию виртуально непрерывных функций нескольких переменных. Это, по-видимому,
новое понятие  неявно присутствует в утверждениях типа теорем вложения и
теорем о следах для пространств Соболева и фактически вскрывает их природу, как теорем о
виртуальной непрерывности. Особенно полезно это понятие при исследовании и классификации измеримых функций, а
также в ряде вопросов теории динамических систем, теории  полиморфизмов и
бистохастических мер. В этой работе мы напоминаем необходимые определение и свойства
допустимых метрик, приводим ряд определений виртуальной непрерывности и обсуждаем некоторые приложения. Сокращенная версия
(без доказательств) опубликована в \cite{VZPFA}.

 

A. M. Vershik, P. B. Zatitskiy, F. V. Petrov

Virtual continuity of the measurable functions of several variables, and Sobolev embedding theorems

ABSTRACT:
Classical Luzin's theorem states that the measurable function of
one variable is "almost" continuous. This is not so anymore f
or functions of several variables. The search of right analogue of t
he Luzin theorem leads to a notion of virtually continuous functions
of several variables. This probably new notion appears implicitly
in the embeddings theorems and traces theorems for Sobolev
spaces. In fact, it reveals their nature as theorems about vi
rtual continuity. This notion is especially useful for the study and
classification of measurable functions, as well as in some questions on
dynamical systems, polymorphisms and bistochastic measures. In this
work we recall necessary definitions and properties of admissible m
etrics, define virtual continuity, describe some of applications.
The short version of this paper was published in [22].

 Key words:  virtual continuity, embedding theorems, admissible metric
triples,polymorphisms



[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg