Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 05/2014

ОN A RELATION BETWEEN THE BASIC REPRESENTATION OF THE AFFINE LIE ALGEBRA $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ AND A SCHUR-WEYL REPRESENTATION OF THE INFINITE SYMMETRIC GROUP

This preprint was accepted March 10, 2014

ABSTRACT:
We prove that there is a natural grading-preserving
isomorphism of
$\mathfrak{sl}_2$-modules between the basic module of
the affine Lie
algebra $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ (with the
homogeneous grading) and
a Schur--Weyl module of the infinite symmetric group
${\mathfrak
S}_{\mathbb N}$ with a grading defined through the
combinatorial
notion of the major index of a Young tableau, and study
the properties
of this isomorphism. The results reveal new and deep
interrelations
between the representation theory of
$\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ and
the Virasoro algebra on the one hand, and the
representation theory of
the infinite symmetric group and the related
combinatorics on the
other hand.
 

Н. В. Цилевич, А. М. Вершик

О СВЯЗИ МЕЖДУ БАЗИСНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ АФФИННОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ШУРА-ВЕЙЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ

АННОТАЦИЯ
В работе показано, что существует естественный
сохраняющий градуировку
изоморфизм
$\mathfrak{sl}_2$-модулей между базисным модулем
аффинной алгебры Ли
$\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ (с однородной градуировкой)
и модулем Шура-Вейля
бесконечной симметрической группы ${\mathfrak
S}_{\mathbb N}$ с
градуировкой, определяемой в терминах комбинаторного
понятия главного
индекса таблицы Юнга, и изучены свойства этого
изоморфизма. Результаты
обнаруживают новые глубокие взаимосвязи между теорией
представлений
алгебры $\widehat{\mathfrak{sl}_2}$ и алгебры Вирасоро с
одной стороны
и теорией представлений бесконечной симметрической
группы и связанной
с ней комбинаторикой с другой стороны.