Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 12/2014

M. M. Skriganov

DYADIC SHIFT RANDOMIZATION IN CLASSICAL DISCREPANCY THEORY

This preprint was accepted August 25, 2014

ABSTRACT:
Dyadic shifts $D\oplus T$ of point distributions $D$ in the $d$-dimensional unit cube
$U^d$ are considered as a randomization. Explicit formulas for the $L_q$-discrepancies of
such randomized distributions are given in the paper in terms of Rademacher functions.
Relaying on the statistical independence of Rademacher functions, 
Khinchin's inequalities, and other 
related results, we obtain very sharp upper and lower bounds for the mean $L_q$-discrepancies.  
$0c_{d,q}(\log N)^{\frac{1}{2}(d-1)}$ 
(Theorem 2.2).

The lower bounds for the $L_{\infty}$-discrepancy are also considered in the paper. It is shown
that for an arbitrary $N$-point distribution $D_N$ there exist dyadic shifts 
$D_N\oplus T$ such that $\L_{\infty}[D_N\oplus T]>c_d(\log 
N)^{\frac{1}{2}d}$ (Theorem 2.3). 

М. М. Скриганов

ДИАДИЧЕСКАЯ РАНДОМИЗАЦИЯ В ТЕОРИИ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ

АННОТАЦИЯ
Двоичные сдвиги точечных распределений в многомерном единичном кубе
рассматриваются как рандомизация. Получены явные формулы для
$L_q$-уклонений таких рандомизированных распределений в терминах функций
Радемахера. Используя статистическую независимость функций Радемахера,
неравенства Хинчина и другие, относящиеся сюда, результаты, в работе 
получены очень точные верхние и нижние оценки для средних $L_q$-уклонений