Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 03/2015

УСРЕДНЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

This preprint was accepted March 3, 2015

АННОТАЦИЯ:
  
     В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, где $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$, рассматриваются матричные эллиптические дифференциальные операторы $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ и $\mathcal{A}_{N,\varepsilon}$ второго порядка при условии Дирихле либо Неймана на $\partial \mathcal{O}$ соответственно. Здесь $\varepsilon >0$ --- малый параметр, коэффициенты операторов периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Изучается поведение при малом $\varepsilon$ оператора $e^{-\mathcal{A}_{\dag ,\varepsilon}t}$, $\dag =D,N$. Показано, что при фиксированном $t>0$ и $\varepsilon \to 0$ оператор $e^{-\mathcal{A}_{\dag ,\varepsilon}t}$
сходится по операторной норме в $L_2$ к $e^{-\mathcal{A}_{\dag}^0 t}$, где $\mathcal{A}_{\dag}^0$ --- эффективный оператор
с постоянными коэффициентами. Для нормы разности операторов $e^{-\mathcal{A}_{\dag ,\varepsilon}t}$ и $e^{-\mathcal{A}_{\dag}^0 t}$
получена оценка точного порядка $O(\varepsilon)$. Также установлена аппроксимация экспоненты $e^{-\mathcal{A}_{\dag ,\varepsilon}t}$
при учете корректора по $(L_2\rightarrow H^1)$-норме с оценкой погрешности  порядка $O(\varepsilon ^{1/2})$.
Результаты применяются к усреднению решений начально-краевых задач для параболических систем.

  

Yu. M. Meshkova, T. A. Suslina

HOMOGENIZATION OF INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR PARABOLIC SYSTEMS WITH PERIODIC COEFFICIENTS

ABSTRACT:

 Let $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^{1,1}$.
In the Hilbert space $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$,
we consider matrix elliptic second order differential operators $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ and $\mathcal{A}_{N,\varepsilon}$
with the Dirichlet or Neumann boundary condition on $\partial \mathcal{O}$, respectively. 
Here $\varepsilon>0$ is the small parameter. The coefficients of the operators are periodic and depend on
$\mathbf{x}/\varepsilon$. The behavior of the operator $e^{-\mathcal{A}_{\dag ,\varepsilon}t}$, $\dag =D,N$,
for small $\varepsilon$ is studied. 
It is shown that, for fixed $t>0$, the operator $e^{-\mathcal{A}_{\dag ,\varepsilon}t}$
converges in the $L_2$-operator norm to $e^{-\mathcal{A}_{\dag}^0 t}$, as $\varepsilon \to 0$.
Here $\mathcal{A}_{\dag}^0$ is the effective operator with constant coefficients. 
For the norm of the difference of the operators $e^{-\mathcal{A}_{\dag ,\varepsilon}t}$ and $e^{-\mathcal{A}_{\dag}^0 t}$
a sharp order estimate (of order $O(\varepsilon)$) is obtained. 
Also, we find approximation for the exponential $e^{-\mathcal{A}_{\dag ,\varepsilon}t}$
in the $(L_2\rightarrow H^1)$-norm with error estimate of order $O(\varepsilon ^{1/2})$;
in this approximation, a corrector is taken into account.
The results are applied to homogenization of solutions of initial boundary value problems for parabolic systems.