Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 05/2015

УСРЕДНЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

This preprint was accepted November 5, 2015

АННОТАЦИЯ:

   В пространстве $L_2(\R^d;\C^n)$  изучается самосопряженный сильно эллиптический оператор $A_\eps$ порядка $2p$,
заданный выражением $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$, $\eps >0$. Здесь
$g(\x)$ --- ограниченная и положительно определенная $(m\times m)$-матрица-функция в $\R^d$, периодическая относительно
некоторой решетки; $b(\D)=\sum_{|\alpha|=p}^d b_\alpha \D^\alpha$ --- дифференциальный оператор порядка $p$ с постоянными коэффициентами; $b_\alpha$ --- постоянные $(m\times n)$-матрицы. Предполагается, что $m\geqslant n$ и что символ $b({\boldsymbol \xi})$
имеет максимальный ранг. Для резольвенты $(A_\eps - \zeta I)^{-1}$ при $\zeta \in \C \setminus [0,\infty)$
получены аппроксимации по операторной норме в $L_2(\R^d;\C^n)$ и по норме операторов, действующих из
$L_2(\R^d;\C^n)$ в пространство Соболева $H^p(\R^d;\C^n)$, с  оценками погрешности
в зависимости от $\eps$ и $\zeta$.

 
  

A. A. Kukushkin, T. A. Suslina

Homogenization of high order elliptic operators with periodic coefficients

ABSTRACT:

   In $L_2(\R^d;\C^n)$, we study a selfadjoint strongly elliptic operator $A_\eps$ of order $2p$
given by the expression $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$, $\eps >0$. Here 
$g(\x)$ is a bounded and positive definite $(m\times m)$-matrix-valued function in $\R^d$;
it is assumed that $g(\x)$ is periodic with respect to some lattice. Next, 
$b(\D)=\sum_{|\alpha|=p}^d b_\alpha \D^\alpha$ is a differential operator of order $p$ with constant coefficients; 
$b_\alpha$ are constant $(m\times n)$-matrices. It is assumed that $m\ge n$ and that the symbol $b({\boldsymbol \xi})$
has maximal rank. For the resolvent $(A_\eps - \zeta I)^{-1}$ with $\zeta \in \C \setminus [0,\infty)$,
we obtain approximations in the norm of operators in $L_2(\R^d;\C^n)$ and in the norm of operators acting from 
$L_2(\R^d;\C^n)$ to the Sobolev space $H^p(\R^d;\C^n)$, with error estimates depending on $\eps$ and $\zeta$.