Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 07/2016

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК В КОМПАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ, III. ДВУХТОЧЕЧНО-ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

This preprint was accepted November 15, 2016

АННОТАЦИЯ:
      Мы продолжаем исследование, начатое в \cite{30, 31}, распределений  конечных точечных подмножеств
в компактных метрических пространствах. В настоящей работе рассматриваются 
точечные распределения в компактных связанных двуточечно-однородных 
пространствах. Все такие пространства известны. Это сферы, вещественные, 
комплексные и кватернионные проективные пространства и октонионная 
проективная плоскость. 

Используя анализ Фурье и теорию сферических функций на таких 
пространствах, мы получаем предельно точные оценки для квадратичных 
уклонений точечных распределений и для сумм расстояний между точками 
распределений. 

Используя особенности геометрии двуточечно-однородных пространств, мы 
показываем, что известный для сфер    принцип инвариантности Столярского 
обобщается на все проективные пространства. 

Рассмотрены приложения к $t$-дизайнам и ядрам Леви--Шёнберга на 
двуточечно-однородных пространствах. 
   
 

M. M. SKRIGANOV

POINT DISTRIBUTIONS IN COMPACT METRIC SPACES, III. TWO-POINT HOMOGENEOUS SPACES

ABSTRACT:
         The present paper continues  our previous papers \cite{30, 31} on point 
distributions in compact metric spaces. In the present paper we consider 
point distributions in  compact, connected two-point homogeneous spaces. 
All such spaces are known. They are the  sphers in Euclidean spaces, the 
real, complex,  and quaternionic projective spaces, and the octonionic
projective plane.

Using the geometric features of such spaces, we show that Stolarsky's  
invariance principle, known for Euclidean spheres, can be extended to all 
projective spaces and octonionic projective plane. 

Relaying on Fourier analysis and the theory of spherical functions on 
two-point homogeneous spaces, we obtain the best possible bounds for 
discrepancies of point distributions and sums of distances between points 
of distributions in such spaces. 

Applications to $t$-designs and the L\'evy--Schoenberg kernels are also 
discussed in the paper. 
   
   Key words:     distance geometry, uniformly distributed point 
sets, $t$-designs, two-point homogeneous spaces


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)
 Preprint in English (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg