Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 09/2016

ON THE RELATION OF SOME COMBINATORIAL FUNCTIONS TO REPRESENTATION THEORY

This preprint was accepted December 22, 2016

ABSTRACT:
 

 The paper is devoted to the study of some well-knonw combinatorial functions on the symmetric group $\sn$ --- the major index $\maj$, the descent number $\des$, and the inversion number $\inv$ --- from the representation-theoretic point of view. We show that each of these functions generates in the group algebra the same ideal, and the restriction of the left regular representation to this ideal is isomorphic to the representation of $\sn$ in the space of $n\times n$ skew-symmetric matrices. This allows us to obtain formulas for the functions $\maj,\des,\inv$ 
in terms of matrices of an exceptionally simple form. These formulas are applied to find the spectra of the elements under study in the regular representation, as well as to deduce a series of identities relating these functions to one another and to the number of fixed points
 $\fix$.

 

Н. В. Цилевич, А. М. Вершик

О СВЯЗИ КОМБИНАТОРНЫХ ФУНКЦИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ

АННОТАЦИЯ
  Работа посвящена изучению известных комбинаторных функций на
симметрической группе $\sn$ --- главного индекса $\maj$, числа спусков
$\des$ и числа инверсий $\inv$ --- с точки зрения теории
представлений. Показано, что каждая из этих функций порождает в
групповой алгебре один и тот же идеал, ограничение на который левого
регулярного представления изоморфно представлению группы $\sn$ в
пространстве кососимметрических матриц размера $n\times n$. Это
позволяет получить  формулы для вычисления функций $\maj,\des,\inv$
через операции с матрицами исключительно простого вида. Полученные
формулы применяются для нахождения спектров рассматриваемых элементов
в регулярном представлении, а также для вывода серии тождеств,
связывающих эти функции между собой и с числом неподвижных точек
$\fix$.