Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 10/2016

УСРЕДНЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ: ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ

This preprint was accepted December 22, 2016

АННОТАЦИЯ:
    Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный матричный эллиптический дифференциальный оператор $B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant1$, второго порядка при условии Дирихле на границе. Старшая часть оператора задана в факторизованной форме. Оператор включает члены первого и нулевого порядков. Коэффициенты оператора $B_{D,\varepsilon}$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Изучается обобщенная резольвента $\left(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0(\cdot/\varepsilon)\right)^{-1}$, где $Q_0$ --- периодическая ограниченная и положительно определенная матрица-функция, а $\zeta$ --- комплексный параметр. Получены аппроксимации обобщенной резольвенты по операторной норме в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, с двухпараметрическими (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности.
   
 

Yu. M. Meshkova, T. A. Suslina

HOMOGENIZATION OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR ELLIPTIC SYSTEMS: TWO-PARAMETRIC ERROR ESTIMATES

ABSTRACT:
  Let $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^{1,1}$. 
In $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ we study a selfadjoint matrix elliptic second order differential operator 
$B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$, with the Dirichlet boundary condition. The principal part of the operator is given in a factorized form. The operator involves lower order terms. The coefficients of $B_{D,\varepsilon}$ are periodic and depend on $\mathbf{x}/\varepsilon$. 
We study the generalized resolvent $\left(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0(\cdot/\varepsilon)\right)^{-1}$, where $Q_0$ is a periodic bounded and positive definite matrix-valued function, and $\zeta$ is a complex parameter. We obtain approximations for the generalized resolvent in the $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$-operator norm and in the norm of operators acting from $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ to the Sobolev space $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, with two-parametric error estimates (depending on $\varepsilon$ and $\zeta$).

           
    
   
   Key words:  periodic differential operators, elliptic systems,
homogenization, operator error estimates



[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg