Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 02/2017

УСРЕДНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

This preprint was accepted March 10, 2017

АННОТАЦИЯ:
  В $L_2({\mathbb R}^3;{\mathbb C}^3)$ рассматривается самосопряженный оператор ${\mathcal L}_\varepsilon$,
\hbox{$\varepsilon >0$}, порожденный дифференциальным выражением
$\operatorname{rot} \eta(\mathbf{x}/\varepsilon)^{-1} \operatorname{rot} - \nabla \nu(\mathbf{x}/\varepsilon) \operatorname{div} $, где
матрица-функция $\eta(\mathbf{x})$ с вещественными элементами и вещественная функция $\nu(\mathbf{x})$ периодичны
относительно некоторой решетки, положительно определены и ограничены.
Изучается поведение операторного косинуса $\cos (\tau {\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$
при $\tau \in \R$ и малом  $\varepsilon$. Показано, что этот оператор сходится к $\cos (\tau ({\mathcal L}^0)^{1/2})$ по норме операторов, действующих из
пространства Соболева $H^s$ (с подходящим $s$) в $L_2$.  Здесь ${\mathcal L}^0$
--- эффективный оператор с постоянными коэффициентами. Получены оценки погрешности; исследован вопрос о точности результата в отношении типа операторной нормы. Результаты применяются к вопросу об усреднении задачи Коши для модельного гиперболического уравнения $\partial^2_\tau {\mathbf v}_\eps = - {\mathcal L}_\varepsilon {\mathbf v}_\varepsilon$,  $\operatorname{div} \,{\mathbf v}_\varepsilon=0$,
возникающего в электродинамике. Рассмотрено применение к нестационарной системе Максвелла в случае, когда магнитная проницаемость
равна единице, а диэлектрическая проницаемость задается матрицей  $\eta(\mathbf{x}/\varepsilon)$.
   
 

M. A. DORODNYI, T. A. Suslina

HOMOGENIZATION OF NONSTATIONARY MODEL EQUATION OF ELECTRODYNAMICS

ABSTRACT:
   
  In $L_2({\mathbb R}^3;{\mathbb C}^3)$, we consider a selfadjoint operator ${\mathcal L}_\varepsilon$, \hbox{$\varepsilon >0$}, 
given by the differential expression 
$\operatorname{rot} \eta(\mathbf{x}/\varepsilon)^{-1} \operatorname{rot} - \nabla \nu(\mathbf{x}/\varepsilon) \operatorname{div} $. Here 
a matrix-valued function~$\eta(\mathbf{x})$ with real entries and a real-valued function~$\nu(\mathbf{x})$ are periodic with respect to some lattice, 
positive definite and bounded. We study the behavior of the operator cosine $\cos (\tau {\mathcal L}_\varepsilon^{1/2})$
for $\tau \in \R$ and small  $\varepsilon$. It is shown that this operator converges to $\cos (\tau ({\mathcal L}^0)^{1/2})$ in the norm of operators acting from 
the Sobolev space $H^s$ (with suitable $s$) to $L_2$. Here ${\mathcal L}^0$ is the effective operator with constant coefficients. 
We obtain error estimates and investigate the question if the result is sharp with respect to the type of the operator norm. 
The results are applied to homogenization of the Cauchy problem for the model hyperbolic equation $\partial^2_\tau {\mathbf v}_\eps = - {\mathcal L}_\varepsilon {\mathbf v}_\varepsilon$,  $\operatorname{div} \,{\mathbf v}_\varepsilon=0$, arising in electrodynamics.
We consider application to the Maxwell system  
in the case where the magnetic permeability equals 1 and the electric permittivity is given by the matrix  $\eta(\mathbf{x}/\varepsilon)$.

 Key words:      periodic differential operators, homogenization, operator error estimates,
 nonstationary Maxwell system


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg