Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 06/2017

УСРЕДНЕНИЕ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ: ОПЕРАТОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ

This preprint was accepted July 17, 2017

АННОТАЦИЯ:
 Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей 
класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ 
рассматривается самосопряженный матричный эллиптический дифференциальный 
оператор $B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant1$, второго порядка 
при условии Дирихле на границе. Старшая часть оператора задана в 
факторизованной форме. Оператор включает члены первого и нулевого порядков. 
Оператор $B_{D,\varepsilon}$ положительно определен; его коэффициенты 
периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Изучается поведение при 
  $\varepsilon\rightarrow 0$ операторной экспоненты $e^{-B_{D,\varepsilon}t}$, $t>0$. 
 Получены аппроксимации для $e^{-B_{D,\varepsilon}t}$ по операторной норме 
в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и по норме операторов, действующих из 
$L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева 
  $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Результаты применяются к усреднению 
  решений первой начально-краевой задачи для параболических систем.   
 

YU. M. MESHKOVA, T. A. SUSLINA

HOMOGENIZATION OF THE FIRST INITIAL BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR PARABOLIC SYSTEMS: OPERATOR ERROR ESTIMATES

ABSTRACT:
  Let $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^{1,1}$. 
In $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, we consider a selfadjoint matrix elliptic second order differential operator 
$B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$, with the Dirichlet boundary condition. 
The principal part of the operator is given in a factorized form. The operator involves lower order terms. 
The operator $B_{D,\varepsilon}$ is positive definite; its coefficients are periodic and depend on $\mathbf{x}/\varepsilon$. 
We study the behavior of the operator exponential $e^{- B_{D,\varepsilon} t}$, $t>0$, as $\varepsilon \to 0$.
We obtain approximations for the exponential $e^{- B_{D,\varepsilon} t}$ in the
 $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$-operator norm and in the norm of operators acting from $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$
 to the Sobolev space $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. The results 
are applied to homogenization of solutions of the first initial boundary-value problem for parabolic systems. 
   
 
   Key words:     periodic differential operators, parabolic systems,
homogenization, operator error estimates


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg