Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 04/2018

УСРЕДНЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МАКСВЕЛЛА В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ В СЛУЧАЕ ПОСТОЯННОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ

This preprint was accepted March 12, 2018

АННОТАЦИЯ:
  Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^3$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В области $\mathcal{O}$ рассматривается стационарная система Максвелла при условиях идеальной проводимости на границе. Предполагается, что магнитная проницаемость задана постоянной положительной $(3\times 3)$-матрицей $\mu_0$, а диэлектрическая проницамость 
имеет вид $\eta(\x/\eps)$, где $\eta(\x)$ --- вещественная $(3 \times 3)$-матрица-функция, периодическая относительно некоторой решетки, ограниченная и положительно определенная. Здесь $\eps >0$ --- малый параметр. Считается, что одно из уравнений системы Максвелла (то, которое содержит ротор магнитной напряженности) однородно, а правая часть $\r$ второго уравнения --- соленоидальная вектор-функция класса $L_2$. Известно, что при $\eps \to 0$ решения системы Максвелла --- электрическая напряженность $\u_\eps$, электрическая индукция $\w_\eps$, магнитная напряженность $\v_\eps$ и магнитная индукция $\z_\eps$ слабо сходятся в $L_2$ к соответствующим усредненным полям $\u_0$, $\w_0$, $\v_0$, $\z_0$ (решениям усредненной системы Максвелла с эффективными коэффициентами). Мы усиливаем классические результаты. Показано, что поля $\v_\eps$ и $\z_\eps$ сходятся к $\v_0$ и $\z_0$ соответственно
по норме в $L_2$, причем погрешности оцениваются через $C \eps \|\r\|_{L_2}$ (порядок точный). Для полей $\v_\eps$ и $\z_\eps$ получены также аппроксимации 
по энергетической норме с погрешностями вида $C\sqrt{\eps} \|\r\|_{L_2}$. Для $\u_\eps$ и $\w_\eps$ найдены аппроксимации по норме в $L_2$ с погрешностями 
$C\sqrt{\eps} \|\r\|_{L_2}$.
   
 

T. A. Suslina

HOMOGENIZATION OF THE STATIONARY PERIODIC MAXWELL SYSTEM IN A BOUNDED DOMAIN IN THE CASE OF CONSTANT MAGNETIC PERMEABILITY

ABSTRACT:
   
  Let $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^3$ be a bounded domain of class  $C^{1,1}$. 
In the domain $\mathcal{O}$, we consider a stationary  Maxwell system with the boundary conditions of perfect conductivity. It is assumed that the magnetic permeability is a constant positive $(3\times 3)$-matrix $\mu_0$ and the electric permittivity is given by $\eta(\x/\eps)$, where $\eta(\x)$ is a $(3 \times 3)$-matrix-valued function with real entries; $\eta(\x)$ is periodic with respect to some lattice, bounded and positive definite.
Here  $\eps >0$ is a small parameter. We assume that one of the equations in Maxwell system (which involves the curl of the magnetic intensity) is homogeneous and the right-hand side
 $\r$ of the second equation is a divergence-free vector-valued function of class  $L_2$.  
 Denote the solutions of the Maxwell system as follows: $\u_\eps$ is the electric intensity,  $\w_\eps$ is the electric flux density, $\v_\eps$ is the magnetic intensity, and $\z_\eps$ is the magnetic flux density.
 It is known that, as $\eps \to 0$, the solutions $\u_\eps$, $\w_\eps$, $\v_\eps$, $\z_\eps$ weakly converge in 
  $L_2$ to the corresponding homogenized fields $\u_0$, $\w_0$, $\v_0$, $\z_0$ (the solutions of the homogenized Maxwell system with effective coefficients). 
  We improve the classical results. It is shown that $\v_\eps$ and $\z_\eps$ converge to $\v_0$ and $\z_0$, respectively, in the $L_2$-norm, the error terms are estimated by $C \eps \|\r\|_{L_2}$ (the order is sharp). We also find approximations for  $\v_\eps$ and $\z_\eps$ in the energy norm
  with error terms not exceeding  $C\sqrt{\eps} \|\r\|_{L_2}$. For $\u_\eps$ and $\w_\eps$, approximations in the $L_2$-norm are obtained; the corresponding error terms are estimated by $C\sqrt{\eps} \|\r\|_{L_2}$.

 Key words:      periodic differential operators, Maxwell operator, 
homogenization, operator error estimates


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg