Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 02/2019

CROP CIRCLES DRAWN BY RIEMANN's ZETA FUNCTION AND SOME OTHER ITS NEARBY PROPERTIES

This preprint was accepted July 1, 2019

ABSTRACT:

    Under nearby properties of the Riemann's zeta function
we mean properties of approximations to this function,
or, more generally, properties of functions which are similar to
the zeta function in certain respects. Of these properties
the most interesting are those that cannot be formulated
in terms of the zeta function alone.

   In the paper we consider a particular approximations
to the alternating zeta function
\(\eta(s)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}\)
by finite Dirichlet series
\(\eta_N(\tau,s)=\sum_{n=1}^N a_{N, n}(\tau)n^{-s}\)
with coefficients depending on a real parameter~\(\tau\)
(these coefficients are defined via the values of
the Riemann-Siegel theta function and its derivatives at point
\(1/2+\myi \tau\)).

   The paper presents numerical evidence that the
difference \(\eta_N(\tau,s)-\eta_M(\tau,s)\)
nearly (with high accuracy) satisfies the functional
equation  for the alternating zeta function.

   The paper also contains a large number of plots of the ratios
\(\eta_N(\tau,\sigma+\myi t)/\eta_m(\tau,\sigma+\myi t)\)
as functions of \(t\) for fixed \(M\), \(N\), and \(\sigma\).
These plots have very interesting structure: each consists
of a tower of almost circular arcs (``crop circles'') each
containing one point  corresponding to the value of the ratio
for \(t\) equal to the imaginary part of a non-trivial zeta zero.
  

Ю. В. Матиясевич

Круги на полях, нарисованные дзета-функцией Римана, и некоторые её другие близлежащие свойства

АННОТАЦИЯ:

     Под близлежащими свойствами дзета-функции Римана
здесь понимаются свойства приближений к этой функции
или, говоря  более широко, свойства функций,
в каком-то смысле похожих на дзета-функцию. Среди
таких свойств особый интерес представляют те,
которые не могут быть сформулированы в терминах
одной только дзета-функции.

   В статье рассматривается конкретный вид приближений
знакопеременной дзета-функции
\(\eta(s)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-s}\)
посредством конечных рядов Дирихле
\(\eta_N(\tau,s)=\sum_{n=1}^N a_{N, n}(\tau)n^{-s}\),
коэффициенты которых зависят от вещественного
параметра \(\tau\) (эти коэффициенты определяются через
значения тета-функции Римана--Зигеля и её производных
в точке \(1/2+\myi \tau\)).

   В статье приводятся численные данные, свидетельствующие
о том, что разность  \(\eta_N(\tau,s)-\eta_M(\tau,s)\)
почти (с большой точностью) удовлетворяет
функциональному уравнению для знакопеременной
дзета-функции.

Статья также содержит большое количество графиков отношения
\(\eta_N(\tau,\sigma+\myi t)/\eta_m(\tau,\sigma+\myi t)\)
как функции от \(t\) при фиксированных  \(M\), \(N\)
и \(\sigma\). Эти графики имеют очень интересную структуру:
каждый состоит из башни почти идеальных круговых дуг
(``кругов на полях''), на каждой из которых лежит по одной
точке, соответствующей значению рассматриваемого отношения
при \(t\), равном мнимой части нетривиального нуля
дзета функции.