Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 03/2019

УСРЕДНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В $\mathbb R^d$: ТОЧНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ

This preprint was accepted September 16, 2019

АННОТАЦИЯ:
      В $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ рассматривается самосопряженный сильно эллиптический 
  дифференциальный	 оператор $\mathcal A_\varepsilon$ второго порядка. 
   Предполагается, что коэффициенты оператора $\mathcal A_\varepsilon$ периодичны и зависят от 
  $\mathbf x/\varepsilon$, где $\varepsilon >0$ --- малый параметр. 
  Получены аппроксимации операторов $\cos ( \mathcalA_\varepsilon^{1/2}\tau)$ и 
  $\mathcal A_\varepsilon^{-1/2}\sin ( \mathcal A_\varepsilon^{1/2}\tau)$   
  по норме операторов, действующих из пространства Соболева $H^s(\mathbb R^d)$ 
   в $L_2(\mathbb R^d)$ (при подходящем $s$). Для оператора $\mathcal A_\varepsilon^{-1/2}\sin ( \mathcal A_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 
  получена также аппроксимация при учете корректора по $(H^s \to H^1)$-норме. 
  Исследован вопрос о точности результатов относительно типа операторной нормы и 
  относительно зависимости оценок от $\tau$.  Результаты применяются к исследованию поведения 
  решений задачи Коши для гиперболического уравнения $\partial_\tau^2 {\mathbf u}_\varepsilon = - \mathcal A_\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon + {\mathbf F}$.
   
 

M. A. Dorodnyi, T. A. Suslina

Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients in ${\mathbb R}^d$: Sharpness of the results

ABSTRACT:
   
 In $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$, we consider a selfadjoint second order strongly elliptic differential operator $\mathcal A_\varepsilon$. It is assumed that  the coefficients of $\mathcal A_\varepsilon$ are periodic and depend on  ${\mathbf x}/\varepsilon$, where  $\varepsilon >0$ is the small parameter.  
We find approximations for the operators $\cos ( \mathcal A_\varepsilon^{1/2}\tau)$ and $\mathcal A_\varepsilon^{-1/2}\sin ( \mathcal A_\varepsilon^{1/2}\tau)$ 
in the norm of operators acting from the Sobolev space $H^s({\mathbb R}^d)$ to $L_2({\mathbb R}^d)$ (with suitable  $s$).
Approximation for the operator $\mathcal A_\varepsilon^{-1/2}\sin ( \mathcal A_\varepsilon^{1/2}\tau)$ in the $(H^s \to H^1)$-norm with the corrector taken into account is also found. The questions about the sharpness of the results with respect to the operator norm type and with respect to dependence of estimates on $\tau$ are investigated.
   The results are applied to study 
the behaviour of the solutions of the Cauchy problem for the hyperbolic equation
$\partial_\tau^2 {\mathbf u}_\varepsilon = - \mathcal A_\varepsilon {\mathbf u}_\varepsilon + {\mathbf F}$.

 Key words:   periodic differential operators, hyperbolic equations, 
homogenization, operator error estimates.


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg